2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-7.1-基本立體圖形及幾何體的表面積與體積-專項訓(xùn)練【含答案】

2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-7.1-基本立體圖形及幾何體的表面積與體積-專項訓(xùn)練【A級基礎(chǔ)鞏固】1.一個菱形的邊長為4cm，一內(nèi)角為60°，用斜二測畫法畫出的這個菱形的直觀圖的面積為()A.2eq\r(3)cm2 B.2eq\r(6)cm2C.4eq\r(6)cm2 D.8eq\r(3)cm22.下面關(guān)于空間幾何體的敘述正確的是()A.直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐B.用平面截圓柱得到的截面只能是圓和矩形C.直平行六面體是長方體D.存在每個面都是直角三角形的四面體3.刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容.由曲率刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點的曲率等于2π與多面體在該點的面角之和的差(多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制)，多面體面上非頂點的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點的曲率之和.則如圖所示正八面體(八個面均為正三角形)的總曲率為()A.2π B.4π C.6π D.8π4.用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截得的圓臺上底面半徑為1，下底面半徑為2，且該圓臺的側(cè)面積為3eq\r(5)π，則原圓錐的母線長為()A.2 B.eq\r(5) C.4 D.2eq\r(5)5.在古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的著作《幾何原本》中，把軸截面為等腰直角三角形的圓錐稱為直角圓錐.在直角圓錐SO中，點S與底面圓O都在同一個球面上，若球的表面積為4π，則圓錐的側(cè)面積為()A.4eq\r(2)π B.4π C.eq\r(2)π D.π6.如圖，AB，CD分別是圓柱上、下底面圓的直徑，且AB⊥CD.O1，O2分別為上、下底面圓的圓心，若圓柱的軸截面為正方形，且三棱錐A－BCD的體積為4eq\r(3)，則該圓柱的側(cè)面積為()A.9π B.10π C.12π D.14π7.在三棱錐P－ABC中，△ABC是邊長為2的等邊三角形，PA＝PB＝2，PC＝eq\r(6)，則該棱錐的體積為()A.1 B.eq\r(3) C.2 D.38.已知圓錐PO的底面半徑為eq\r(3)，O為底面圓心，PA，PB為圓錐的母線，∠AOB＝eq\f(2π,3)，若△PAB的面積等于eq\f(9\r(3),4)，則該圓錐的體積為()A.π B.eq\r(6)π C.3π D.3eq\r(6)π9.如圖是水平放置的正方形ABCO，在直角坐標(biāo)系xOy中，點B的坐標(biāo)為(2，2)，則由斜二測畫法畫出的正方形的直觀圖中，頂點B′到x′軸的距離為________.10.如圖，有一個圓錐形糧堆，其軸截面是邊長為8m的等邊三角形ABC，糧堆母線AC的中點P處有一老鼠正在偷吃糧食，此時小貓正在B處，它要沿圓錐側(cè)面到達(dá)P處捕捉老鼠，則小貓所經(jīng)過的最短路程是________m.11.陀螺是中國民間最早的娛樂工具之一，也稱陀羅.圖1是一種木陀螺，可近似地看作是一個圓錐和一個圓柱的組合體，其直觀圖如圖2所示，其中B，C分別是上、下底面圓的圓心，且AC＝3AB＝3BD，則該陀螺下半部分的圓柱的側(cè)面積與上半部分的圓錐的側(cè)面積的比值是________.12.某同學(xué)的通用技術(shù)作品如圖所示，該作品由兩個相同的正四棱柱組成.已知正四棱柱的底面邊長為3cm，則這兩個正四棱柱的公共部分構(gòu)成的多面體的面數(shù)為________，體積為________cm3.【B級能力提升】13.如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD中，DA⊥AB，∠D＝45°，AB＝2，BC＝2eq\r(2)，AD＝6，現(xiàn)將該四邊形沿AB旋轉(zhuǎn)一周，則旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的表面積為()A.(16eq\r(2)＋16)π B.(28eq\r(2)＋4)πC.(36eq\r(2)＋36)π D.(36eq\r(2)＋40)π14.(多選)如圖，四邊形ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，PA∥BE，PA＝BC＝2BE＝2AB＝2，記三棱錐P－CDE，E－PBC，E－PAC的體積分別為V1，V2，V3，則下列說法正確的是()A.該幾何體的體積為eq\f(4,3)B.V3＝2V2C.3V1＝2V2D.V1＋V2＝V315.底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺的體積為________.16.如圖，一個正三棱錐P－ABC的底面邊長為1，高為2，則此三棱錐的體積為________.若一個正三棱柱A1B1C1－A0B0C0的頂點A1，B1，C1分別在該三棱錐的三條棱上，A0，B0，C0在該三棱錐的底面ABC上，則此三棱柱側(cè)面積的最大值為________.參考答案與解析【A級基礎(chǔ)鞏固】1.答案B解析直觀圖的面積為eq\f(\r(2),4)×eq\f(\r(3),2)×42＝2eq\r(6)(cm2).2.答案D解析A中，不一定，當(dāng)以斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸時，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的幾何體不是圓錐，如圖所示，它是由兩個同底圓錐組成的幾何體，A不正確；B中，當(dāng)平面與圓柱的母線平行或垂直時，截得的截面才為矩形或圓，否則為橢圓或橢圓的一部分，B不正確；C中，直平行六面體是平行六面體的側(cè)棱與底面垂直，所以底面可以是平行四邊形，它不是長方體，C不正確；D中，如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中的四面體C1－ABC，四個面都是直角三角形，D正確.3.答案B解析因為正八面體每一個頂點都是4個正三角形的交點，所以正八面體每個頂點處的曲率為2π－eq\f(π,3)×4＝eq\f(2π,3)，又正八面體有6個頂點，所以正八面體的總曲率為eq\f(2π,3)×6＝4π，故選B.4.答案D解析設(shè)圓臺的母線長為l，因為該圓臺的側(cè)面積為3eq\r(5)π，所以由圓臺側(cè)面積公式可得πl(wèi)(1＋2)＝3πl(wèi)＝3eq\r(5)π，解得l＝eq\r(5).設(shè)原圓錐的母線長為l′，由三角形相似可得eq\f(l′－l,l′)＝eq\f(1,2)，解得l′＝2eq\r(5)，所以原圓錐的母線長為2eq\r(5).故選D.5.答案C解析由題意，設(shè)直角圓錐SO的底面圓的半徑為r，則直角圓錐SO的高為r，又在直角圓錐SO中，點S與底面圓O都在同一個球面上，設(shè)球的半徑為R，則r＝R，又因為球的表面積為4π，則4πR2＝4π，解得R＝1，即r＝1，所以圓錐的母線長為eq\r(12＋12)＝eq\r(2)，所以圓錐的側(cè)面積為eq\f(1,2)×2π×1×eq\r(2)＝eq\r(2)π.故選C.6.答案C解析設(shè)圓柱的母線長為2a，且圓柱的軸截面為正方形，則圓柱的底面圓的半徑為a，連接O1C，O1D，O1O2，如圖，由題意可知VA－BCD＝2VA－O1CD＝2×eq\f(1,3)×AO1×S△O1CD＝2×eq\f(1,3)×AO1×eq\f(1,2)×O1O2×CD＝2×eq\f(1,3)×a×eq\f(1,2)×2a×2a＝eq\f(4,3)a3＝4eq\r(3)，解得a＝eq\r(3)，所以該圓柱的側(cè)面積S＝2π×a×2a＝2π×eq\r(3)×2eq\r(3)＝12π.故選C.7.答案A解析如圖，取AB的中點D，連接PD，CD，因為△ABC是邊長為2的等邊三角形，PA＝PB＝2，所以PD⊥AB，CD⊥AB，所以PD＝CD＝eq\r(3)，又PC＝eq\r(6)，所以PD2＋CD2＝PC2，所以PD⊥CD，又AB∩CD＝D，AB，CD?平面ABC，所以PD⊥平面ABC，所以VP－ABC＝eq\f(1,3)·S△ABC·PD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×eq\r(3)×eq\r(3)＝1，故選A.8.答案B解析在△AOB中，AO＝BO＝eq\r(3)，∠AOB＝eq\f(2π,3)，由余弦定理得AB＝eq\r(3＋3－2×\r(3)×\r(3)×（－\f(1,2)）)＝3.設(shè)等腰三角形PAB底邊AB上的高為h，則S△PAB＝eq\f(1,2)×3h＝eq\f(9\r(3),4)，解得h＝eq\f(3\r(3),2)，由勾股定理得母線PA＝eq\r(（\f(3,2)）2＋（\f(3\r(3),2)）2)＝3，則該圓錐的高PO＝eq\r(PA2－OA2)＝eq\r(6)，所以該圓錐的體積為eq\f(1,3)×3π×eq\r(6)＝eq\r(6)π.9.答案eq\f(\r(2),2)解析利用斜二測畫法作正方形ABCO的直觀圖如圖，在坐標(biāo)系x′O′y′中，B′C′＝1，∠x′C′B′＝45°.過點B′作x′軸的垂線，垂足為點D′.在Rt△B′D′C′中，B′D′＝B′C′sin45°＝1×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),2).10.答案4eq\r(5)解析如圖所示，根據(jù)題意可得△ABC是邊長為8m的正三角形，所以BC＝8m，所以圓錐底面周長為π×8＝8π(m).設(shè)圓錐側(cè)面展開后的扇形圓心角為θ，點B在展開圖中對應(yīng)的點為B′，連接AB′，B′P.根據(jù)底面圓的周長等于展開后扇形的弧長，可得8θ＝8π，故θ＝π，則∠B′AC＝eq\f(π,2)，所以B′P＝eq\r(64＋16)＝4eq\r(5)(m)，所以小貓所經(jīng)過的最短路程是4eq\r(5)m.11.答案2eq\r(2)解析設(shè)AB＝BD＝m，則AD＝eq\r(2)m，因為AC＝3AB＝3m，所以BC＝2m，則圓柱的側(cè)面積S1＝2π·BD·BC＝4πm2，圓錐的側(cè)面積S2＝π·BD·AD＝eq\r(2)πm2，故eq\f(S1,S2)＝eq\f(4πm2,\r(2)πm2)＝2eq\r(2).12.答案818eq\r(2)解析易知兩個正四棱柱的公共部分為兩個正四棱錐拼接而成，且兩個正四棱錐的底面重合，所以公共部分構(gòu)成的多面體的面數(shù)為8，因為正四棱柱的底面邊長為3，則公共部分的兩個正四棱錐的底面邊長為3eq\r(2)，高為eq\f(3\r(2),2)，所以體積V＝2×eq\f(1,3)×(3eq\r(2))2×eq\f(3\r(2),2)＝18eq\r(2)(cm3).【B級能力提升】13.答案C解析連接BD，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠DAB＝90°，所以BD是四邊形ABCD外接圓的直徑，所以∠DCB＝90°，則∠ABC＝135°.延長AB，過點C作CE垂直AB的延長線于點E，過點C作CF⊥AD，垂足為F，則∠CBE＝45°，所以△BCE是等腰直角三角形，所以BE＝CE＝2.作出四邊形ABCD關(guān)于直線AB對稱的圖形，如圖所示.由于CE∥AF，AE∥CF，∠DAB＝90°，所以四邊形AECF是矩形，AF＝CE＝2，DF＝CF＝AE＝4，所以在等腰直角三角形CDF中，CD＝4eq\r(2).將該四邊形沿AB旋轉(zhuǎn)一周，則旋轉(zhuǎn)形成的幾何體是一個圓臺挖掉一個圓錐，其表面積為π×62＋π×(2＋6)×4eq\r(2)＋π×2×2eq\r(2)＝(36eq\r(2)＋36)π.故選C.14.(多選)答案BD解析因為PA⊥平面ABCD，BE∥PA，所以BE⊥平面ABCD，又BC?平面ABCD，所以BC⊥BE.因為四邊形ABCD為矩形，所以BC⊥AB，又AB∩BE＝B，AB，BE?平面ABEP，所以BC⊥平面ABEP，同理可證得CD⊥平面PAD，故該幾何體的體積V＝VC－ABEP＋VP－ACD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×(1＋2)×1×2＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×2×2＝eq\f(5,3)，故A錯誤；如圖，取PA的中點為F，連接EF，F(xiàn)C，F(xiàn)D，因為BE∥PA，PA＝2BE，所以AF∥BE且AF＝BE，所以四邊形ABEF為平行四邊形，所以EF∥AB，又AB∥CD，所以EF∥CD，因為EF?平面PCD，CD?平面PCD，所以EF∥平面PCD，所以點E，F(xiàn)到平面PCD的距離相等，所以V1＝VP－CDE＝VE－PCD＝VF－PCD＝VC－PDF＝eq\f(1,3)×1×eq\f(1,2)×1×2＝eq\f(1,3)，V2＝VE－PBC＝VC－PBE＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×2＝eq\f(1,3).因為BE∥PA，BE?平面PAC，PA?平面PAC，所以BE∥平面PAC，所以點B，E到平面PAC的距離相等，所以V3＝VE－PAC＝VB－PAC＝VP－ABC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×1×2＝eq\f(2,3)，所以V3＝2V2，3V1≠2V2，V1＋V2＝V3，故B，D正確，C錯誤.故選BD.15.答案28解析如圖所示，正四棱錐P－ABCD的底面邊長為4，用平行于底面的平面截去一個底面邊長為2，高為3的正四棱錐P－A′B′C′D′后，得到正四棱臺A′B′C′D′－ABCD，且A′B′＝2，AB＝4.記O′，O分別為正四棱臺A′B′C′D′－ABCD上、下底面的中心，H′，H分別為A′B′，AB的中點，則P，O′，O三點共線，P