河南省濮陽市2022-2023學年高一下學期期末數(shù)學試題 含解析

高中一年級學業(yè)質量監(jiān)測數(shù)學命題人：張獻偉本試卷共6頁，22小題，滿分150分．考試用時120分鐘．注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上．將條形碼橫貼在答題卡右上角“貼條形碼區(qū)”．2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．答案不能答在試卷上．3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答無效．4．考生必須保持答題卡的整潔，考試結束后，將答題卡交回．第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.復數(shù)純虛數(shù)，則實數(shù)（）.A.0 B. C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)純虛數(shù)的定義列方程求即可.【詳解】∵復數(shù)為純虛數(shù)，

，，

.

故選：B.2.下列說法正確是（）A.若，則B.若，，則C.長度不相等而方向相反的兩個向量是平行向量D.單位向量都相等【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量的相關性質逐項分析.【詳解】對于A，若，只能說明兩個向量的模長相等，但是方向不確定，所以A錯誤；對于B，如果，結論B不正確；對于C，根據(jù)平行向量的定義，C正確；對于D，單位向量長度相等，但是方向不確定，所以D錯誤；故選：C.3.直線與平面不平行，則（）A.與相交 B.C.與相交或l?α D.以上結論都不對【答案】C【解析】【分析】根據(jù)直線與平面的位置關系的概念，結合題意，即可得到答案.【詳解】由直線與平面的位置關系概念，可得直線在平面內(nèi)、直線與平面平行、直線與平面相交三種位置關系，因為直線與平面不平行，所以與相交或.故選：C.4.在中，若，則邊的長為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理即可.【詳解】因為，所以由正弦定理得：，故選：B.5.某射擊運動員連續(xù)射擊5次，命中的環(huán)數(shù)（環(huán)數(shù)為整數(shù)）形成的一組數(shù)據(jù)中，中位數(shù)為8，唯一的眾數(shù)為9，極差為3，則該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為（）A. B. C.8 D.【答案】B【解析】【分析】首先分析數(shù)據(jù)的情況，再根據(jù)平均數(shù)公式計算可得.【詳解】依題意這組數(shù)據(jù)一共有個數(shù)，中位數(shù)為，則從小到大排列前面有個數(shù)，后面也有個數(shù)，又唯一的眾數(shù)為，則有兩個，其余數(shù)字均只出現(xiàn)一次，則最大數(shù)字為，又極差為，所以最小數(shù)字為，所以這組數(shù)據(jù)為、、、、，所以平均數(shù)為.故選：B6.已知三內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若，則的大小為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知得，利用余弦定理求得，得到角，從而由求出結果.【詳解】，整理可得，，，，，故選：A．7.某同學進行投籃訓練，在甲、乙、丙三個不同的位置投中的概率分別p，，，該同學站在這三個不同的位置各投籃一次，恰好投中兩次的概率為，則p的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意結合獨立事件概率的乘法公式求恰好投中兩次的概率，列方程求解即可得結果.【詳解】在甲、乙、丙處投中分別記為事件A，B，C，則，可知恰好投中兩次為事件，故恰好投中兩次的概率，解得．故選：A.8.點為所在平面內(nèi)的點，且有，，，則點分別為的（）A.垂心，重心，外心 B.垂心，重心，內(nèi)心C.外心，重心，垂心 D.外心，垂心，重心【答案】A【解析】【分析】由題中向量的關系，根據(jù)數(shù)量積轉化為位置上的關系，進而可判斷.【詳解】由，得，即，則，得所以，則，同理可得，，即是三邊上高的交點，則為的垂心；由，得，設的中點為，則，即，，三點共線，所以在的中線上，同理可得在的其余兩邊的中線上，即是三邊中線的交點，故為的重心；由，得，即，又是的中點，所以在的垂直平分線上，同理可得，在，的垂直平分線上，即是三邊垂直平分線的交點，故是的外心，故選：A二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.下列有關復數(shù)的說法中（其中為虛數(shù)單位），正確的是（）A.B.復數(shù)的虛部為C.若，則復平面內(nèi)對應的點位于第二象限D.復數(shù)為實數(shù)的充要條件是【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的乘方判斷A，根據(jù)復數(shù)的定義判斷B，根據(jù)復數(shù)的幾何意義判斷C，根據(jù)充要條件的定義判斷D.【詳解】對于A：，故A正確；對于B：復數(shù)的虛部為，故B錯誤；對于C：，所以，則復平面內(nèi)對應的點為位于虛軸，故C錯誤；對于D：若復數(shù)為實數(shù)則，設，，若，即，所以，則復數(shù)為實數(shù)，故復數(shù)為實數(shù)的充要條件是，故D正確；故選：AD10.從一批產(chǎn)品中取出三件產(chǎn)品，設A=“三件產(chǎn)品全不是次品”，B=“三件產(chǎn)品全是次品”，C=“三件產(chǎn)品不全是次品”，則下列結論正確是（）A.A與B對立 B.B與C互斥C.A與C互斥 D.B與C對立【答案】BD【解析】【分析】利用互斥事件、對立事件的定義直接判斷作答.【詳解】事件A：三件產(chǎn)品都是正品，事件C：三件產(chǎn)品包含一件正品兩件次品，兩件正品一件次品，三件正品，事件A與B互斥不對立，事件A與C不互斥，事件B與C互斥，又對立，所以A，C都不正確；B，D都正確.故選：BD11.下列說法中正確的有（）A.若與是共線向量，則點A，B，C，D必在同一條直線上B.若向量，，則C.若平面上不共線的四點O，A，B，C滿足，則D.若非零向量，滿足，則與的夾角是【答案】BC【解析】【分析】對于A，根據(jù)向量共線的定義，可得其正誤；對于B，利用向量共線定理，可得其正誤；對于C，根據(jù)向量減法，結合共線定理，可得其正誤；對于D，根據(jù)向量模的求解以及夾角公式，可得答案.【詳解】與是共線向量，也可能是，故A錯誤；設，∵，，∴解得∴，又∵，∴，故B正確；由已知得，∴，∴，故C正確；由整理可得，設與的夾角是，則，∴與的夾角是，故D錯誤．故選：BC.12.已知三棱錐中兩兩垂直，且，則下列結論正確的是（）A.二面角的正切值為B.三棱錐的內(nèi)切球的半徑為C.是線段上一動點，則面積的最小值為D.是三棱錐的外接球上一動點，則點到面距離的最大值為【答案】ACD【解析】【分析】將三棱錐嵌套在正方體內(nèi)，對于A：可證，，結合二面角可知：二面角的平面角為，運算判斷；對于B：根據(jù)三棱錐內(nèi)切球的半徑公式，運算判斷；對于C：根據(jù)正方體可證：，結合三角形面積分析可得：當是線段的中點時，面積取到最小值，運算判斷；對于D：結合正方體可知：三棱錐的外接球即為正方體的外接球，且為外接球的直徑，可證平面，則點到面距離的最大值為，運算判斷．【詳解】根據(jù)題意將三棱錐嵌套在正方體內(nèi)，如圖所示：連接交于點，在正方體中，∴∵，點為的中點，則∴二面角的平面角為，則，A正確；三棱錐的表面積為，體積為∴三棱錐的內(nèi)切球的半徑為，B錯誤；根據(jù)題意可知：平面，則∴面積為當是線段的中點時，取到最小值∴面積的最小值為，C正確；三棱錐的外接球即為正方體的外接球，顯然為外接球的直徑，設∵，，則平面∴同理可證：，則平面點到面距離的最大值為∵且，則為平行四邊形∴，則∴，D正確；故選：ACD．第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.某校高一(1)班有50名學生，綜合素質評價“運動與健康”方面的等級統(tǒng)計如圖所示，則該班“運動與健康”評價等級為A的人數(shù)是_____【答案】19【解析】【分析】高一(1)班的總人數(shù)乘以該班“運動與健康”評價等級為A的所占的百分比，即可得該班“運動與健康”評價等級為A的人數(shù)．【詳解】該班“運動與健康”評價等級為A的人數(shù)是：50×38%=19人．故答案為19【點睛】本題主要考查扇形統(tǒng)計圖的定義，其中各部分的數(shù)量=總體×其所占的百分比．14.紫砂壺是中國特有的手工制造陶土工藝品，其制作始于明朝正德年間．紫砂壺的壺型眾多，經(jīng)典的有西施壺、掇球壺、石瓢壺、潘壺等．其中，石瓢壺的壺體可以近似看成一個圓臺（即圓錐用平行于底面的平面截去一個錐體得到的）．下圖給出了一個石瓢壺的相關數(shù)據(jù)，那么該壺的容量為______．（結果用圓周率表示）【答案】##【解析】【分析】利用圓臺體積公式可得，也可以看成為兩個圓錐體積相減.【詳解】方法1：由題意知，圓臺上底面半徑為4，下底面半徑為5，高為4，則.方法2：如圖，設大圓錐的高為h，則，解得：，所以.故答案為：.15.若，則方程有實根的概率為________．【答案】##【解析】【分析】先利用判別式求出的范圍，然后根據(jù)可取的值得概率.【詳解】方程有實根,，解得，又，可取的值的集合為，則方程有實根的概率為.故答案為：.16.如圖所示，在三棱柱中，底面，，，，為上的動點，則的最小值為________．【答案】5【解析】【分析】將二面角沿展開成平面圖形，得四邊形，若要取得最小值，當且僅當、、三點共線，即可求出滿足條件的點位置，然后應余弦定理求解.【詳解】由題設可知為等腰直角三角形，且平面，故，將二面角沿展開成平面圖形，得四邊形，如圖所示，若要取得最小值，當且僅當、、三點共線，∵、，，，∴，∴當最小值時，由余弦定理得，∴，即的最小值為．故答案為：5.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知復數(shù)（i是虛數(shù)單位），為z的共軛復數(shù).（1）求復數(shù)z的模；（2）若（a，），求a，b的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先利用復數(shù)的運算法則化簡復數(shù)，再根據(jù)復數(shù)模的定義，直接計算的模長即可（2）先利用復數(shù)的運算法則化簡復數(shù)，再根據(jù)復數(shù)相等即可求解【小問1詳解】∵，∴【小問2詳解】∵，∴∴，∴∴18.倉廩實，天下安．習近平總書記強調(diào):“解決好十幾億人口的吃飯問題，始終是我們黨治國理政的頭等大事”“中國人的飯碗任何時候都要牢牢端在自己手上”．糧食安全是國家安全的重要基礎．從某實驗農(nóng)場種植的甲、乙兩種玉米苗中各隨機抽取5株，分別測量它們的株高如下（單位：cm）：甲：29，31，30，32，28；乙：27，44，40，26，43．請根據(jù)平均數(shù)和方差的相關知識，解答下列問題：（1）哪種玉米苗長得高？（2）哪種玉米苗長得齊？【答案】（1）乙種玉米苗長得高（2）甲種玉米苗長得齊【解析】【分析】（1）計算甲乙的平均數(shù)，再比較大小即可；（2）計算甲乙是的方差，比較大小即可.【小問1詳解】，，．乙種玉米苗長得高．【小問2詳解】，，．甲種玉米苗長得齊．19.已知平面向量、，若，，.（1）求向量、的夾角；（2）若且，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在等式兩邊平方，結合平面向量數(shù)量積的運算性質可求得向量、的夾角的余弦值，結合向量夾角的取值范圍即可得解；（2）由已知可得，利用平面向量數(shù)量積的運算性質求出的值，然后利用平面向量數(shù)量積的運算性質可求得.【小問1詳解】解：因，則，所以，，又因為，因此，，即向量、的夾角為.【小問2詳解】解：因為且，則，解得，因此.20.某校組織全體學生參加“數(shù)學以我為傲”知識競賽，現(xiàn)從中隨機抽取了100名學生的成績組成樣本，并將得分分成以下6組：[40，50），[50，60），[60，70），……，[90，100]，統(tǒng)計結果如圖所示：（1）試估計這100名學生得分的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值代表）；（2）現(xiàn)在按分層抽樣的方法在[80，90）和[90，100]兩組中抽取5人，再從這5人中隨機抽取2人參加這次競賽的交流會，求兩人都在[90，100]的概率．【答案】（1）70.5（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖直接代入平均數(shù)的計算公式即可求解；（2）根據(jù)分層抽樣在分組中抽取的人數(shù)為人，在分組中抽取的人數(shù)為2人，利用古典概型的概率計算公式即可求解.【小問1詳解】由頻率分布直方圖的數(shù)據(jù)，可得這100名學生得分的平均數(shù)：分．【小問2詳解】在和兩組中的人數(shù)分別為：100×(0.015×10)=15人和100×(0.01×10)=10人，所以在分組中抽取的人數(shù)為人，記為a，b，c，在分組中抽取人數(shù)為2人，記為1，2，所以這5人中隨機抽取2人的情況有：，共10種取法，其中兩人得分都在的情況只有，共有1種，所以兩人得分都在的概率為．21.若△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足.（1）求角A；（2）若，求△ABC周長的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角互化，可得，由余弦定理即可求解，（2）根據(jù)正弦定理得，由內(nèi)角和關系以及和差角公式可得，進而由三角函數(shù)的性質即可求解.【小問1詳解】由正弦定理可得：，，，【小問2詳解】因為，，所以，故由正弦定理得：所以，所以周長因為，則，所以故求周長的取值范圍為.22.如圖，在幾何體ABCDE中，面，，，．（1）求證：平面平面DAE；（2）AB=1，，，求CE與平面DAE所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)線線平行證得，再結合線面垂