北京市通州區(qū)2025屆高三上學期11月期中質(zhì)量檢測數(shù)學試題 含解析

2/2通州區(qū)2024—2025學年第一學期高三年級期中質(zhì)量檢測數(shù)學試卷2024年11月本試卷共4頁，共150分.考試時長120分鐘.考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，請將答題卡交回.第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.已知集合，集合，則（）A. B.C. D.2.設復數(shù)，則復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點的坐標是（）A. B.C. D.3.下列函數(shù)中，在上單調(diào)遞增的是（）A. B.C. D.4.已知角終邊經(jīng)過點，且，則（）A. B. C. D.5.設，為非零向量，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件6.中，，，，則（）A. B. C. D.7.沙漏也叫做沙鐘，是一種測量時間的裝置.現(xiàn)有一個沙漏（如圖）上方裝有的細沙，細沙從中間小孔由上方慢慢漏下，經(jīng)過時剩余的細沙量為，且（b為常數(shù)），經(jīng)過時，上方還剩下一半細沙，要使上方細沙是開始時的，需經(jīng)過的時間為（）A. B. C. D.8.設函數(shù)，已知，，則最小值為（）A. B. C. D.9.設集合，則（）A.對任意實數(shù)a， B.對任意實數(shù)a，C.當且僅當時， D.當且僅當時，10.已知是的重心，過點作一條直線與邊，分別交于點，（點，與所在邊的端點均不重合），設，，則的最小值是（）A.1 B. C.2 D.4第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.函數(shù)的定義域是___________．12.已知向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為，則________.13.已知等差數(shù)列的首項為，設其前項和為，且，則過點和，且滿足的直線的斜率是________.14.設函數(shù)①若，則函數(shù)的零點個數(shù)有________個.②若函數(shù)有最小值，則實數(shù)a的取值范圍是________.15.已知無窮數(shù)列滿足，，給出下列四個結(jié)論：①，；②數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列；③，使得；④，均有.其中正確結(jié)論的序號是________.三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程.16.已知函數(shù)，.（1）求最小正周期及的值；（2）直線與函數(shù)，圖象分別交于兩點，求的最大值.17.記的內(nèi)角的對邊分別為，已知，.（1）求及；（2）再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使存在且唯一，求的面積.條件①：；條件②：；條件③：.注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別作答，按第一個解答計分.18.已知為數(shù)列的前項和，滿足，．數(shù)列是等差數(shù)列，且，．（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）設求數(shù)列的前項和．19.設函數(shù)，若函數(shù)在處取得極小值8.（1）求的值；（2）求函數(shù)在上的最大值和最小值，以及相應x的值；（3）證明：曲線是中心對稱圖形.20.已知函數(shù).（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：當，曲線的切線不經(jīng)過點；（3）當時，若曲線與直線在區(qū)間上有兩個不同的交點，求實數(shù)a的取值范圍.21.已知數(shù)列的通項公式為（表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù)），數(shù)列的通項公式為.（1）寫出數(shù)列的前6項；（2）試判斷與是否為數(shù)列中項，并說明理由；（3）證明：數(shù)列與數(shù)列的公共項有無數(shù)多個.通州區(qū)2024—2025學年第一學期高三年級期中質(zhì)量檢測數(shù)學試卷2024年11月本試卷共4頁，共150分.考試時長120分鐘.考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，請將答題卡交回.第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.已知集合，集合，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)條件，利用集合的運算，即可求解.【詳解】因為，又，所以，故選：D.2.設復數(shù)，則復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點的坐標是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用復數(shù)的四則運算和復數(shù)對應點的特征求解即可.【詳解】因為，所以，故復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點的坐標是，故C正確.故選：C3.下列函數(shù)中，在上單調(diào)遞增的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】選項A和D，對函數(shù)求導，利用導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關系，即可判斷選項A和D的正誤，選項B和C，根據(jù)常見函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】對于選項A，由，得恒成立，則在上單調(diào)遞增，所以選項A正確，對于選項B，因為在上單調(diào)遞減，所以選項B錯誤，對于選項C，因為在上單調(diào)遞減，所以選項C錯誤，對于選項D，由，得到，當時，，當時，，所以在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故選項D錯誤，故選：A.4.已知角終邊經(jīng)過點，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義，以及，求得，再求即可.【詳解】根據(jù)三角函數(shù)定義可得：，故可得，則.故選：A.5.設，為非零向量，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】，為非零向量，“”平方后展開，進而判斷出結(jié)論.【詳解】，為非零向量，“”展開為：∴“”是“”的充要條件.故選：C.【點睛】本題考查充分條件和必要條件的定義，屬于基礎題.6.在中，，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用三角形的性質(zhì)得到，由正弦的和角公式得，再利用正弦定理，即可求解.【詳解】因為，，得到，又，，由正弦定理得，所以，故選：D.7.沙漏也叫做沙鐘，是一種測量時間的裝置.現(xiàn)有一個沙漏（如圖）上方裝有的細沙，細沙從中間小孔由上方慢慢漏下，經(jīng)過時剩余的細沙量為，且（b為常數(shù)），經(jīng)過時，上方還剩下一半細沙，要使上方細沙是開始時的，需經(jīng)過的時間為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依題意有，解得，，由此能得出結(jié)果．【詳解】依題意有，即，兩邊取對數(shù)得，所以，得到，當容器中只有開始時時，則有，所以，兩邊取對數(shù)得，所以，故選：C．8.設函數(shù)，已知，，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)條件，利用的性質(zhì)，得到和，從而得到，即可求解.【詳解】因為，且，所以，得到①又，則，得到②，由①②得到，，即，又，所以的最小值為，故選：B.9.設集合，則（）A.對任意實數(shù)a， B.對任意實數(shù)a，C.當且僅當時， D.當且僅當時，【答案】C【解析】【分析】利用的取值，反例判斷是否成立即可．【詳解】對A，若，則，將代入不全部滿足，此時可知，故A錯誤；對B，當時，則，將代入全部滿足，此時可知，故B錯誤；對C，若，，解之可得，所以C正確；對D，當，則，將代入不全滿足，所以，故D錯誤.故選：C10.已知是的重心，過點作一條直線與邊，分別交于點，（點，與所在邊的端點均不重合），設，，則的最小值是（）A.1 B. C.2 D.4【答案】B【解析】【分析】由平面向量的基本定理得到的等式，再用基本不等式求得最小值.【詳解】如圖：取中點，則，，，∵三點共線，∴，即，∴，當且僅當時，取等號；故選：B第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.函數(shù)的定義域是___________．【答案】【解析】【分析】利用具體函數(shù)的定義域的求法求解即可.【詳解】因為，所以，則且，故的定義域是.故答案為：.12.已知向量在正方形網(wǎng)格中位置如圖所示.若網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為，則________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)條件，得到，且，再利用數(shù)積的定義及運算律，即可求解.【詳解】由圖知，，且，所以，故答案為：.13.已知等差數(shù)列的首項為，設其前項和為，且，則過點和，且滿足的直線的斜率是________.【答案】2【解析】【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解通項公式，再結(jié)合斜率公式求解即可.【詳解】設公差為，因為，所以，解得，所以，，故直線斜率為.故答案為：214.設函數(shù)①若，則函數(shù)的零點個數(shù)有________個.②若函數(shù)有最小值，則實數(shù)a的取值范圍是________.【答案】①.3②.【解析】【分析】①，由來求得零點的個數(shù).②，對進行分類討論，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得的取值范圍.【詳解】①，當時，，由解得；由，解得或.綜上所述，的零點個數(shù)有個.②，當時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，值域為，無最值.當時，，開口向上，對稱軸為，，當時，，則，①，的開口向上，對稱軸為，，則①不成立.當時，，則，解得.綜上所述，.故答案為：；15.已知無窮數(shù)列滿足，，給出下列四個結(jié)論：①，；②數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列；③，使得；④，均有.其中正確結(jié)論的序號是________.【答案】①②④【解析】【分析】根據(jù)以及即可得，進而得，即可判斷①②③，利用，利用累加法求和即可判斷④.【詳解】由，，進而可得，結(jié)合，以此類推可得，故，故，故①②正確，③錯誤，由可得，故由于，故，進而可得，故，因此，累加，故，當時，，故，故④正確，故答案為：①②④【點睛】關鍵點點睛：，利用累加法求和.三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程.16.已知函數(shù)，.（1）求的最小正周期及的值；（2）直線與函數(shù)，的圖象分別交于兩點，求的最大值.【答案】（1）最小正周期為，（2）.【解析】分析】（1）利用誘導公式化簡三角函數(shù)，求解最小正周期和函數(shù)值即可.（2）利用題意把線段長度表示為三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解最值即可.【小問1詳解】因為，所以，的最小正周期為.【小問2詳解】由題意可知，兩點的坐標為，，則，即，故，因為，所以，所以，所以MN在時的最大值為.17.記的內(nèi)角的對邊分別為，已知，.（1）求及；（2）再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使存在且唯一，求的面積.條件①：；條件②：；條件③：.注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別作答，按第一個解答計分.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理和正弦定理求解角度和邊長即可.（2）首先證明條件①不符合題意，選擇條件②和條件③時利用余弦定理結(jié)合給定條件求解面積即可.【小問1詳解】由和余弦定理可得.因為為的內(nèi)角，所以，故，由變形得，由正弦定理得【小問2詳解】選擇條件①：，由正弦定理得，解得，因為為的內(nèi)角，所以，故，與相互矛盾，故不存在這樣的三角形，所以我們不選擇條件①，選擇條件②：，因為，，所以，解得，由余弦定理得，化簡得，解得或（舍），所以.選擇條件③：，因為，所以.因為，所以，由余弦定理得，化簡得.解得或，當時，是直角三角形，與題干不符，故排除，所以.18.已知為數(shù)列的前項和，滿足，．數(shù)列是等差數(shù)列，且，．（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）設求數(shù)列的前項和．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）先由數(shù)列的前項和和通項的關系式求出相鄰項之間的關系，判斷出數(shù)列的類型，再利用等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項公式即可求解；（2）利用分組求和法及公式法進行求和即可．【小問1詳解】解：因為，，①所以有，．②②①得．所以數(shù)列成以為首項，以為公比的等比數(shù)列．所以．又數(shù)列是等差數(shù)列，且，．所以，．所以．【小問2詳解】因為設數(shù)列的前項和為，所以．19.設函數(shù)，若函數(shù)在處取得極小值8.（1）求的值；（2）求函數(shù)在上的最大值和最小值，以及相應x的值；（3）證明：曲線是中心對稱圖形.【答案】（1），.（2），最小值為8，，最大值為24.（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)極值點及極值可求的值；（2）根據(jù)導數(shù)可得單調(diào)性，從而可求何時取何最值；（3）可證曲線上任意點關于的對稱的點仍在曲線上，從而可得曲線的對稱性.【小問1詳解】，由題意函數(shù)在處取得極小值8得，解得，.此時，當或時，f′x>0，當時，f′故為的極小值點，故，滿足條件.【小問2詳解】由（1）分析列表得：x00,222,33

-0+

24單調(diào)遞減8單調(diào)遞增15所以當時取得最小值為8，時取得最大值為24.【小問3詳解】曲線的對稱中心為，證明如下：設點為曲線上任意一點，則點關于(0，24)的對稱點為，因為在圖象上，所以.又.所以點也在的圖象上.所以曲線是中心對稱圖形.20.已知函數(shù).（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：當，曲線的切線不經(jīng)過點；（3）當時，若曲線與直線在區(qū)間上有兩個不同的交點，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）證明見解析；（3）.【解析】【分析】（1）求導，利用導數(shù)研究單調(diào)性即可；（2）將，利用導數(shù)求出切線方程，利用反證法證明即可；（3）將問題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上有兩個不同的解，即在區(qū)間上有兩個不同的解，設，利用導數(shù)求解即可.【小問1詳解】當時，，的定義域為.，令，解得.當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減.所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；【小問2詳解】當時，，.設曲線的切點為，則切線方程為，假設切線過原點，則有，整理得：.令，則.所以當時，；當時，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以對任意，，所以方程無解.綜上可知，曲線在點的切線不過原點.【小問3詳解】曲線與直線在區(qū)間上有兩個不同的交點，等價于在區(qū)間上有兩個不同的解，即，在區(qū)間上有兩個不同的解，設，則，令，解得，又因為，所以，當，，所以單調(diào)遞增；當，，所以單調(diào)遞減；所以，當時，，當時，，要使在區(qū)間上有兩個不同的解，只需使即可.所以實數(shù)a的取值范圍是.21.已知數(shù)列的通項公式為（表示不超過實數(shù)x的最