課堂留白：發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的有效方式

摘要：高中數(shù)學(xué)教學(xué)留白包括敘述性留白、發(fā)掘性留白、推理式留白、方法式留白、提問(wèn)式留白和超越式留白等六種方式，其核心是教師為學(xué)生提供充足的時(shí)間與空間，引導(dǎo)學(xué)生深度思考數(shù)學(xué)問(wèn)題，從而達(dá)到發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的目的。關(guān)鍵詞：留白式教學(xué)；高中數(shù)學(xué)；核心素養(yǎng)數(shù)學(xué)教學(xué)在培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維、邏輯思維、直觀想象等方面發(fā)揮了獨(dú)特的功能。因此，打造適合學(xué)情的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)環(huán)境，為學(xué)生提供自主學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)與自主發(fā)展能力，探索個(gè)性化、多樣化的新型課堂教學(xué)模式，成為教師必須面對(duì)的挑戰(zhàn)。筆者所在團(tuán)隊(duì)根據(jù)教學(xué)實(shí)際探索出了適合高中數(shù)學(xué)教學(xué)的留白式教學(xué)。一、留白的內(nèi)涵“留白”是國(guó)畫和戲劇的一種表現(xiàn)手法，它蘊(yùn)含著東方智慧與中國(guó)傳統(tǒng)文化之美［1］?！傲舭住痹谒囆g(shù)創(chuàng)作中賦予人們想象的空間，構(gòu)建出獨(dú)特的氛圍；而在舞臺(tái)劇中，它給予觀眾深度理解角色或劇情的機(jī)會(huì)，營(yíng)造出神秘感。在教學(xué)中，“留白”是指以學(xué)生的需求為主導(dǎo)，基于人才培養(yǎng)目標(biāo)，為學(xué)生提供充足的思考時(shí)間和探索空間，促使他們?cè)谝延兄R(shí)的基礎(chǔ)上，積極思考、解決難題、創(chuàng)新發(fā)現(xiàn)，進(jìn)而提升思維品質(zhì)。在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師需要提供充足的時(shí)間讓學(xué)生去思考與實(shí)踐，這就要求教師在教學(xué)中留白。然而，這并不意味著教師什么也不做，而應(yīng)在設(shè)定教學(xué)目標(biāo)的前提下，根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，精確策劃一系列具有深度的數(shù)學(xué)任務(wù)，如疑問(wèn)、活動(dòng)、實(shí)驗(yàn)等，打造適合學(xué)生的學(xué)習(xí)環(huán)境，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)。學(xué)生在完成這些任務(wù)的過(guò)程中，有序地感悟知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的過(guò)程，甚至對(duì)已學(xué)的內(nèi)容進(jìn)行再創(chuàng)造。在不斷地留白與補(bǔ)白過(guò)程中，學(xué)生親歷了問(wèn)題解決的過(guò)程，同時(shí)通過(guò)師生交流、生生交流進(jìn)一步將數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)升華為數(shù)學(xué)思維，最終發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。二、高中數(shù)學(xué)教學(xué)留白的方式高中數(shù)學(xué)教學(xué)留白方式有敘述性留白、發(fā)掘性留白、推理式留白、方法式留白、提問(wèn)式留白和超越式留白等。敘述性留白指教師在授課過(guò)程中，創(chuàng)造機(jī)會(huì)讓學(xué)生闡述他們對(duì)數(shù)學(xué)概念、命題和公式的理解。比如在學(xué)習(xí)集合概念之前，教師可以讓學(xué)生談?wù)剬?duì)“集合”這個(gè)詞的理解。不少學(xué)生會(huì)認(rèn)為“集合就是把一堆東西聚集在一起”，如一名學(xué)生舉例說(shuō)道：“比如體育老師上課時(shí)會(huì)喊‘集合啦’，大家就會(huì)從四面八方跑來(lái)，聚集到一起?！睂W(xué)生的補(bǔ)白表明，他們對(duì)集合有了初步的感知，認(rèn)為“集合就是把東西匯聚在一起”。發(fā)掘性留白指為學(xué)生提供尋找并揭示新知識(shí)的機(jī)會(huì)。普通的教育者往往向?qū)W生灌輸數(shù)學(xué)知識(shí)，但卓越的教師則是引導(dǎo)學(xué)生積極地去探尋知識(shí)的本質(zhì)。在實(shí)施發(fā)掘性留白的過(guò)程中，教師需要營(yíng)造環(huán)境或設(shè)定課題來(lái)激發(fā)學(xué)生思考的熱情，為學(xué)生提供有利于找到新知的便利條件。如在教學(xué)兩角差的余弦公式時(shí)，教師可以先帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)誘導(dǎo)公式[cosπ2+α]=[-sinα]，緊接著拋出一個(gè)問(wèn)題：假如把[π2]改成[π3]，該式子如何化簡(jiǎn)呢？這里，教師提出的“如何化簡(jiǎn)[cosπ3+α]”這一問(wèn)題便是發(fā)掘性留白。學(xué)生將利用單位圓，結(jié)合三角函數(shù)的定義，通過(guò)觀察圖形進(jìn)行補(bǔ)白。又如在教學(xué)等差數(shù)列時(shí)，教師給出幾個(gè)數(shù)列，留白讓學(xué)生尋找這幾個(gè)數(shù)列的規(guī)律，學(xué)生通過(guò)觀察、歸納、猜想，完成補(bǔ)白。推理式留白指論證數(shù)學(xué)命題、公式和結(jié)論。數(shù)學(xué)家通過(guò)觀察、猜想，發(fā)現(xiàn)一個(gè)新的命題后，需要對(duì)其進(jìn)行嚴(yán)格的推理證明。類似地，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)定理、公式或者其他數(shù)學(xué)結(jié)論后，教師還需繼續(xù)留白，讓學(xué)生對(duì)公式、命題、結(jié)論等加以證明。比如教學(xué)余弦定理時(shí)，有了正弦定理的鋪墊，教師可以設(shè)置小組活動(dòng)，放手讓學(xué)生推導(dǎo)余弦定理。學(xué)生采用不同的推導(dǎo)方法：有些學(xué)生運(yùn)用向量的三角形法則去推導(dǎo)公式，有些學(xué)生運(yùn)用坐標(biāo)法證明公式，還有有些學(xué)生則運(yùn)用面積法推導(dǎo)公式。補(bǔ)白過(guò)程可謂百花齊放，令人耳目一新。方法式留白與一題多解類似。不同的學(xué)生對(duì)同一個(gè)問(wèn)題往往會(huì)有不同的解法，給學(xué)生充足的時(shí)間和空間去展示這些不同的解法，有利于激發(fā)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新精神?；蛘邔?duì)于某一問(wèn)題，教師先講解一種解法，然后放手讓學(xué)生去探究更多的解法，這是另一種形式的留白。比如在教學(xué)三角恒等變換時(shí)，求解“[α]，[β]是鈍角，[sinα=55]，[sinα-β]=[1010]，則[α+β]等于多少？”，有些學(xué)生會(huì)先求[α+β]的余弦值，進(jìn)而確定[α]+[β]；有些學(xué)生會(huì)先求[α+β]的正弦值或者正切值，再進(jìn)一步求出[α]+[β]。提問(wèn)式留白指教師從數(shù)學(xué)內(nèi)容、思想、方法等角度出發(fā)，讓學(xué)生自己提出新的數(shù)學(xué)問(wèn)題。愛(ài)因斯坦認(rèn)為，提出問(wèn)題往往比解決問(wèn)題更重要。通過(guò)運(yùn)用數(shù)學(xué)計(jì)算和實(shí)驗(yàn)技巧來(lái)解答某個(gè)問(wèn)題或許是必要的，然而，若想發(fā)現(xiàn)全新的疑惑并從中探索出新的可能性，則必須具備創(chuàng)新能力。這種能力能使人們從全新角度審視已知問(wèn)題，從而推動(dòng)科學(xué)發(fā)展。然而在傳統(tǒng)課堂中，教師更樂(lè)于提出各種問(wèn)題啟發(fā)學(xué)生思考，很少或者幾乎沒(méi)有給學(xué)生提出問(wèn)題的機(jī)會(huì)，這不利于學(xué)生創(chuàng)新能力的發(fā)展。因此在教學(xué)過(guò)程中，教師有必要在提出問(wèn)題方面留白。比如在教學(xué)函數(shù)單調(diào)性時(shí)，教師可以提問(wèn)：“你可以構(gòu)造出一些新的復(fù)合函數(shù)，并求出其單調(diào)區(qū)間嗎？”或者在教學(xué)對(duì)數(shù)時(shí)，給學(xué)生提供一份關(guān)于對(duì)數(shù)發(fā)展史的閱讀材料，然后布置學(xué)習(xí)任務(wù)：閱讀時(shí)嘗試從不同角度思考，提出自己的問(wèn)題，并將其寫下來(lái)，與同學(xué)們交流。超越式留白指超越知識(shí)本身，指向思想與精神目標(biāo)的留白方式。在數(shù)學(xué)課堂上引導(dǎo)學(xué)生補(bǔ)好超越之白并非易事，這需要教師對(duì)所授課的知識(shí)有深刻的理解，對(duì)數(shù)學(xué)課程的育人價(jià)值有深刻的認(rèn)知，同時(shí)，對(duì)學(xué)生也要進(jìn)行長(zhǎng)期的熏陶。比如，在教學(xué)余弦定理公式的推導(dǎo)后，教師可以讓學(xué)生進(jìn)一步思考：在推導(dǎo)公式的過(guò)程中運(yùn)用了哪些數(shù)學(xué)思想？在學(xué)生運(yùn)用不同的方法求解數(shù)學(xué)題目后，教師引導(dǎo)學(xué)生思考：從不同的方法中你得到了什么啟示或者收獲？這六種留白方式各有特色，而且呈現(xiàn)出一定的層次性。敘述性留白、發(fā)掘性留白詮釋“是什么”，推理式留白、方法式留白指向“為什么”，提問(wèn)式留白、超越式留白解釋“還有什么”。一節(jié)課中，以上留白方式不一定全部要出現(xiàn)，教師應(yīng)結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容選擇恰當(dāng)?shù)牧舭追绞?。教師可以按照以下四個(gè)步驟開展留白活動(dòng)：首先，教師設(shè)計(jì)現(xiàn)實(shí)情境或數(shù)學(xué)情境引出探究任務(wù)；其次，教師鼓勵(lì)學(xué)生猜想、分析、推理與試驗(yàn)，并經(jīng)過(guò)討論獲得初步結(jié)果；再次，教師協(xié)助學(xué)生進(jìn)行討論，借由辨析、論證等過(guò)程獲得結(jié)果，在此過(guò)程中，學(xué)生表達(dá)自己的看法，回應(yīng)他人的意見(jiàn)，教師適時(shí)引導(dǎo)或者幫助學(xué)生總結(jié)出結(jié)論；最后，教師評(píng)價(jià)學(xué)生的發(fā)現(xiàn)，在舊問(wèn)題基礎(chǔ)上提出新問(wèn)題，或者對(duì)主題加以升華。在以上四個(gè)步驟中，設(shè)置情境是關(guān)鍵，也是基礎(chǔ)。教師選擇的情境要能夠激發(fā)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容產(chǎn)生興趣，激發(fā)學(xué)生內(nèi)在的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)。在留白活動(dòng)的探究環(huán)節(jié)，則需要注意循序漸進(jìn)，在符合學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)的條件下，構(gòu)建知識(shí)創(chuàng)設(shè)平臺(tái)，讓學(xué)生體會(huì)從不同視角找到問(wèn)題解決的方案，在不同情境中提出新的數(shù)學(xué)問(wèn)題，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提升綜合能力。三、高中數(shù)學(xué)留白教學(xué)實(shí)例現(xiàn)以一節(jié)探究課“牛頓法——用導(dǎo)數(shù)方法求方程的近似解”為例，具體論述留白教學(xué)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用。牛頓法的中心思想就是以切線的零點(diǎn)近似代替曲線的零點(diǎn)。運(yùn)用圖形來(lái)表現(xiàn)這個(gè)中心思想，可以更好地幫助學(xué)生理解其內(nèi)涵。探究的另外一個(gè)要點(diǎn)是，了解牛頓法的計(jì)算方法，熟悉牛頓法的操作過(guò)程，從中提取出它的算法。這節(jié)探究課，主要通過(guò)觀察、聯(lián)想、類比、對(duì)比、化歸等方式進(jìn)行分析，能有效發(fā)展學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理等三個(gè)方面的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。（一）留白任務(wù)激發(fā)興趣，體現(xiàn)發(fā)掘性留白問(wèn)題1：人類很早以前就開始探索高次方程的數(shù)值問(wèn)題。在羅馬帝國(guó)時(shí)期，人們常在公共場(chǎng)所舉辦解方程比賽，萬(wàn)人空巷?，F(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們挑戰(zhàn)一下解方程比賽中出現(xiàn)的問(wèn)題（改編），“計(jì)算方程x3+2x2+10x-20=0在區(qū)間（1，2）的近似解，保留小數(shù)點(diǎn)后兩位”。師生活動(dòng)：教師在課前安排學(xué)生解答問(wèn)題1。有一小部分學(xué)生嘗試運(yùn)用配方、拆項(xiàng)等方法去求解方程，發(fā)現(xiàn)不好處理后，改會(huì)用必修1學(xué)習(xí)過(guò)的二分法去求方程的近似解。此時(shí)，教師請(qǐng)學(xué)生演示如何運(yùn)用二分法求解x3+2x2+10x-20=0在區(qū)間（1，2）的近似解，并讓學(xué)生說(shuō)一說(shuō)用二分法求解該方程的步驟。這個(gè)過(guò)程學(xué)生可以借助計(jì)算工具（如表1所示）輔助計(jì)算?！驹O(shè)計(jì)意圖】選取人類探索高次方程解歷史進(jìn)程中的一道題向?qū)W生發(fā)出挑戰(zhàn)，一方面激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和解題的勝負(fù)欲，另一方面借助該題讓學(xué)生重溫二分法，為后面用牛頓法求方程的近似解做鋪墊，建立新舊知識(shí)之間的聯(lián)系。該環(huán)節(jié)運(yùn)用了發(fā)掘性留白。過(guò)渡語(yǔ)：“除用二分法求方程的近似解外，我們能不能運(yùn)用上節(jié)課所學(xué)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及函數(shù)圖象的相關(guān)知識(shí)去解決該問(wèn)題？”這就是本節(jié)課要研究的內(nèi)容——用導(dǎo)數(shù)方法求方程的近似解。（二）問(wèn)題導(dǎo)引驅(qū)動(dòng)思維，體現(xiàn)方法式留白問(wèn)題2：畫出函數(shù)y=2x-3的圖象，觀察圖象并回答，當(dāng)x為何值時(shí)2x-3=0。師生活動(dòng)：學(xué)生通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)，方程的解是相應(yīng)函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。函數(shù)圖象是一條直線，能夠很容易計(jì)算出它與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。教師引出新問(wèn)題“如果函數(shù)圖象是一條曲線，我們?nèi)绾未_定它與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)呢？”，下面以x3+2x2+10x-20為例，請(qǐng)同學(xué)們借助GeoGebra軟件畫出函數(shù)的圖象（如圖1所示），觀察圖象，回答以下問(wèn)題。問(wèn)題3：在區(qū)間（1.359，1.401）的圖象呈現(xiàn)怎樣的形態(tài)？師生活動(dòng)：通過(guò)觀察，學(xué)生發(fā)現(xiàn)這個(gè)區(qū)間內(nèi)的曲線幾乎是一條直線。問(wèn)題4：這條接近直線的曲線可用曲線的什么近似情況代替［2］？師生活動(dòng)：一些學(xué)生回答可以用該曲線在某點(diǎn)處的切線近似代替這條接近的直線。問(wèn)題5：該函數(shù)圖象在區(qū)間（1.359，1.401）與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)可以近似看成其在某點(diǎn)處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)嗎？師生活動(dòng)：學(xué)生回答可以。問(wèn)題6：你能計(jì)算出y=x3+2x2+10x-20在點(diǎn)A（x0，y0）處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1嗎？［結(jié)果用f（x0）、f′（x0）表示］師生活動(dòng)：學(xué)生運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及直線方程的知識(shí)去解決問(wèn)題6。待學(xué)生計(jì)算出橫坐標(biāo)x1后（解答過(guò)程如下頁(yè)圖2所示），教師借助GeoGebra軟件向?qū)W生演示過(guò)函數(shù)y=x3+2x2+10x-20上的點(diǎn)A（x0，y0）作切線的過(guò)程（如下頁(yè)圖3所示）。問(wèn)題7：是否可以把x1作為函數(shù)y=x3+2x2+10x-20的零點(diǎn)r的近似解？師生活動(dòng)：經(jīng)過(guò)觀察，學(xué)生發(fā)現(xiàn)x1與零點(diǎn)距離尚遠(yuǎn)，所以不能把x1看成該函數(shù)零點(diǎn)的近似解?！驹O(shè)計(jì)意圖】教師設(shè)計(jì)問(wèn)題串引發(fā)學(xué)生思考，運(yùn)用了方法式留白。比如問(wèn)題2幫助學(xué)生復(fù)習(xí)方程的根就是函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，求方程的解的問(wèn)題可從數(shù)與形兩個(gè)角度去探究，一旦函數(shù)圖象為一條直線的形式，我們可以很快地推算出它與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，這有助于后續(xù)導(dǎo)入以直代曲思想。緊接著，通過(guò)問(wèn)題3引導(dǎo)學(xué)生識(shí)圖，師生共同操作圖象放大和縮小，感受在很小的區(qū)間范圍內(nèi)，曲線形狀接近于直線，再次直觀感知以直代曲思想，為引出切線鋪墊。問(wèn)題4、5、6、7都是圍繞切線和函數(shù)零點(diǎn)展開，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用已學(xué)知識(shí)解決新問(wèn)題，滲透轉(zhuǎn)化思想，為新知再創(chuàng)造做好準(zhǔn)備。（三）GeoGebra軟件助力探究知識(shí)本質(zhì)，體現(xiàn)推理式留白與提問(wèn)式留白小組活動(dòng)：各小組成員利用GeoGebra軟件調(diào)整點(diǎn)A（x0，y0）在曲線y=x3+2x2+10x-20上的位置，探究何時(shí)可以找到函數(shù)的零點(diǎn)r的近似解（精確度0.01）？在探究過(guò)程中完成表2；各小組梳理探究結(jié)果，撰寫探究報(bào)告。師生活動(dòng)：學(xué)生在填寫表格時(shí)，可能會(huì)填寫具體的數(shù)字，但是隨著迭代次數(shù)的增多，計(jì)算量增大，而且都是重復(fù)相同的步驟，因此教師可以引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)符號(hào)去表示求解過(guò)程，比如x2可以用f（x1）、f′（x1）表示，x3可以用f（x2）、f′（x2）表示，不需要寫出具體的數(shù)值。其次，在探究過(guò)程中，不同小組的學(xué)生取的初始值不一樣，那么經(jīng)歷的迭代次數(shù)就會(huì)不一樣，最好取離零點(diǎn)r附近的點(diǎn)作為初始值。至于什么時(shí)候可以找到零點(diǎn)r的近似解，不少學(xué)生都可以總結(jié)出當(dāng)[xn-r]很小很小時(shí)，即近似值與準(zhǔn)確值之差的絕對(duì)值小于0.01時(shí)，[xn]可以看成是函數(shù)零點(diǎn)r的近似解。此時(shí)，教師可以提問(wèn)，有時(shí)我們并沒(méi)有辦法求出方程的準(zhǔn)確值，無(wú)法知道近似值與準(zhǔn)確值相差多少，所以不能算出[xn-r]的值。問(wèn)題8：何時(shí)終止計(jì)算？[xn]滿足哪些條件才可以作為函數(shù)零點(diǎn)的近似解？師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生用[xn-xn-1xn-1]去判斷何時(shí)終止計(jì)算。隨著[xn-xn-1xn-1]的減小，xn就越逼近r。我們把[z=xn-xn-1xn-1]稱為精確度，當(dāng)[z≤z0]時(shí)，我們就把xn作為方程的近似解。問(wèn)題9：初始值不同是否會(huì)影響方程的近似解？師生活動(dòng)：教師可以建議學(xué)生用9、2、1、-3或者其他數(shù)值來(lái)試一試。在此過(guò)程中，學(xué)生借助GeoGebra軟件探究函數(shù)圖象，多次選取不同的初始值，總結(jié)出一些相關(guān)結(jié)論?！驹O(shè)計(jì)意圖】探究導(dǎo)數(shù)法求方程的近似解是本節(jié)課的重點(diǎn)。通過(guò)小組活動(dòng)的方式，在課堂上給學(xué)生留出適當(dāng)?shù)目臻g和時(shí)間，給他們自由想象、自由探索的機(jī)會(huì)，旨在發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。但是單純拋出一個(gè)問(wèn)題就讓學(xué)生自主探究，學(xué)生的思維會(huì)天馬行空，得出各種各樣的結(jié)論，或者得不出結(jié)果。因此，教師在設(shè)計(jì)小組活動(dòng)時(shí)，一方面借助GeoGebra軟件減輕學(xué)生畫圖的負(fù)擔(dān)，另一方面設(shè)計(jì)了表格和問(wèn)題鏈作為腳手架，幫助學(xué)生“跳一跳摘到果子”，在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生需要自己組織語(yǔ)言把小組探究的結(jié)果表述出來(lái)，這一環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)運(yùn)用了敘述性留白。學(xué)生在探究過(guò)程中，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的同時(shí)也會(huì)提出新的問(wèn)題，這一過(guò)程實(shí)現(xiàn)了提問(wèn)式留白。（四）抽象凝練，體現(xiàn)敘述性留白與方法式留白問(wèn)題10：你能類比二分法求方程近似解的步驟總結(jié)出牛頓法求方程近似解的步驟嗎？師生活動(dòng)：學(xué)生自主總結(jié)牛頓法求方程近似解的步驟。1.給定初始值x0和精確度z0。2.計(jì)算x1=x0-[fx0f′x0]（[f′x0≠0]）。3.若滿足精確度[z=x1-x0x0≤z0]，則x1為所求，否則令x0=x1，回到第2步。用程序框圖梳理牛頓法求方程近似解的步驟。（如圖4所示）問(wèn)題11：對(duì)比牛頓法和二分法求方程x3+2x2+10x-20=0的近似解（精確度0.01），完成表3。師生活動(dòng)：學(xué)生分組討論，總結(jié)牛頓法的優(yōu)點(diǎn)是迭代的次數(shù)少，能找出“不變號(hào)零點(diǎn)”，缺點(diǎn)是對(duì)初始值要求較高，運(yùn)算煩瑣；二分法的優(yōu)點(diǎn)是運(yùn)算簡(jiǎn)潔，缺點(diǎn)是需要多次迭代，且僅能找到變量零點(diǎn)。此外，總結(jié)牛頓法和二分法中蘊(yùn)含的算法思想、逼近思想、以直代曲思想等?！驹O(shè)計(jì)意圖】以表格為依托，引導(dǎo)學(xué)生梳理歸納二分法和牛頓法求方程近似解的異同與優(yōu)缺點(diǎn)，揭示其背后的數(shù)學(xué)思想，運(yùn)用了敘述性留白與方法式留白。（五）應(yīng)用鞏固，體現(xiàn)方法式留白與推理式留白例1：用牛頓法求方程[115x3-35x2+2x-125=0]在x=4附近的近似解，精確度為0.01。（計(jì)算過(guò)程中數(shù)字保留小數(shù)點(diǎn)后3位）師生活動(dòng)：學(xué)生上臺(tái)展示、互評(píng)，最后教師小結(jié)?！驹O(shè)計(jì)意圖】這道練習(xí)題的目的是強(qiáng)化學(xué)生對(duì)牛頓法的理解，幫助學(xué)生完成對(duì)新知識(shí)的構(gòu)建，運(yùn)用了方法式留白與推理式留白。（六）課堂小結(jié)，關(guān)注方法和思想，體現(xiàn)超越式留白教師小結(jié)：1.通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？2.假如你的同學(xué)還不太會(huì)用牛頓法求方程的近似解，你能教一教他（她）解題步驟嗎？【設(shè)計(jì)意圖】利用兩個(gè)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生回顧這堂課的探究過(guò)程，總結(jié)其中涉及的思想