《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程(第一課時)》教學(xué)設(shè)計

《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程（第一課時）》教學(xué)設(shè)計一．教材及學(xué)情分析：本節(jié)課是《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)》（人民教育出版社課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心編著）選修1－1第二章第一節(jié)《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》第一課時．在這一章中，我們將繼續(xù)用坐標(biāo)法探究圓錐曲線的幾何特征，建立它們的方程，通過方程研究它們的簡單性質(zhì)，并用坐標(biāo)法解決一些與圓錐曲線有關(guān)的簡單幾何問題和實際問題，進一步感受數(shù)形結(jié)合的基本思想．在必修2中學(xué)生已初步掌握了解析幾何研究問題的主要方法,并在平面直角坐標(biāo)系中研究了直線和圓這兩個基本的幾何圖形．在選修1中，教材利用三種圓錐曲線進一步深化如何利用代數(shù)方法研究幾何問題．由于教材以橢圓為重點交代求方程、利用方程討論幾何性質(zhì)的一般方法,在雙曲線、拋物線的教學(xué)中應(yīng)用和鞏固，因此“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”起到了承上啟下的重要作用．本節(jié)內(nèi)容蘊含了許多重要的數(shù)學(xué)思想方法，如：數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想等．因此，教學(xué)時應(yīng)重視體現(xiàn)數(shù)學(xué)的思想方法及價值．根據(jù)本節(jié)內(nèi)容的特點，教學(xué)過程中可充分發(fā)揮信息技術(shù)的作用，用幾何畫板的動態(tài)作圖優(yōu)勢為學(xué)生的數(shù)學(xué)探究與數(shù)學(xué)思維提供支持．二．教學(xué)目標(biāo)：1．知識與技能目標(biāo)：①理解橢圓的定義②掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，在化簡橢圓方程的過程中提高學(xué)生的運算能力2．過程與方法目標(biāo)：①經(jīng)歷橢圓概念的產(chǎn)生過程，學(xué)習(xí)從具體實例中提煉數(shù)學(xué)概念的方法，由形象到抽象，從具體到一般，掌握數(shù)學(xué)概念的數(shù)學(xué)本質(zhì)，提高學(xué)生的歸納概括能力②學(xué)會用坐標(biāo)化的方法求動點軌跡方程——解析法③對學(xué)生進行數(shù)學(xué)思想方法的滲透，培養(yǎng)學(xué)生具有利用數(shù)學(xué)思想方法分析和解決問題的意識3．情感態(tài)度價值觀目標(biāo)：①充分發(fā)揮學(xué)生在學(xué)習(xí)中的主體地位，引導(dǎo)學(xué)生活動、觀察、思考、合作、探究、歸納、交流、反思，促進形成研究氛圍和合作意識②重視知識的形成過程教學(xué)，讓學(xué)生知其然并知其所以然，通過學(xué)習(xí)新知識體會到前人探索的艱辛過程與創(chuàng)新的樂趣③通過對橢圓定義的嚴(yán)密化，培養(yǎng)學(xué)生形成扎實嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)作風(fēng)④通過經(jīng)歷橢圓方程的化簡,增強學(xué)生戰(zhàn)勝困難的意志品質(zhì)并體會數(shù)學(xué)的簡潔美、對稱美⑤利用橢圓知識解決實際問題，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用性和知識的力量，增強學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和信心三．重、難點重點：橢圓的定義、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、坐標(biāo)化的基本思想難點：（1）標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)。（2）橢圓定義中常數(shù)加以限制的原因。關(guān)鍵：含有兩個根式的等式化簡四．教法新課程倡導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，要求教師成為學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者、組織者、合作者和促進者，使教學(xué)過程成為師生交流、積極互動、共同發(fā)展的過程．本節(jié)課采用讓學(xué)生動手實踐、自主探究、合作交流及教師啟發(fā)引導(dǎo)的教學(xué)方法，按照“創(chuàng)設(shè)情境——學(xué)生活動——意義建構(gòu)——數(shù)學(xué)理論——數(shù)學(xué)應(yīng)用——回顧反思——鞏固提高”的程序設(shè)計教學(xué)過程，并以多媒體手段輔助教學(xué)，使學(xué)生經(jīng)歷實踐、觀察、猜想、論證、交流、反思等理性思維的基本過程，切實改進學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，使學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人．五．學(xué)法遵循以學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)，發(fā)展為主旨的現(xiàn)代教育原則。采用了以問題的提出、問題的解決為主線，始終在學(xué)生知識的“最近發(fā)展區(qū)”設(shè)置問題；以學(xué)生主動探索、積極參與、共同交流與協(xié)作為主體，于問題的分析和解決中實現(xiàn)知識的建構(gòu)和發(fā)展。六．教學(xué)準(zhǔn)備一個PowerPoint課件，一個幾何畫板課件，畫橢圓工具（兩顆圖釘、一根細(xì)繩，一張白紙）。七.課型新授課八．教學(xué)程序教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動設(shè)計意圖（一）創(chuàng)設(shè)情境認(rèn)識橢圓由太陽系各大行星運行系統(tǒng)動畫影片切入，逐漸構(gòu)納出地球的運行軌跡，初步給出橢圓的表面映象認(rèn)識。此時充分借助多媒體強大播放功能形象生動地演示各行星的運行軌跡，再重點突出地球的運行軌跡。這樣有助于吸引學(xué)生的注意力。然后再借助圖片展示木衛(wèi)星的橢圓形光環(huán)，茶杯杯口的橢圓形立體視覺效果圖，進一步加深對橢圓的表面映象認(rèn)識。讓學(xué)生對橢圓有一個感性的認(rèn)識，藉此產(chǎn)生學(xué)習(xí)的興趣及學(xué)習(xí)橢圓的必要性。（二）意義建構(gòu)橢

圓

的

定

義實際生活中這樣的圖形很多，如何用現(xiàn)有的工具畫出圖形誰能畫出最漂亮、最完美的的一個橢圓呢教師與學(xué)生一起找出上述問題的解決方案，并一同用給的工具畫出圖形，與上述圖形相似——橢圓。學(xué)生分組試驗:(1)取一條細(xì)繩；(2)把細(xì)繩的兩端用圖釘固定在板上的兩點、；(3)用鉛筆尖（）把細(xì)繩拉緊，在板上慢慢移動觀察畫出的圖形是什么（教師巡視指導(dǎo)，展示學(xué)生成果）問：哪些量是固定的、不變的哪些量是變化的[學(xué)生討論、作答]問：橢圓如何定義[學(xué)生討論、作答]形成概念：到兩個定點F1、F2的距離之和等于常數(shù)的點的軌跡叫做橢圓。問：要想用上面那句話作為橢圓的定義，要保證它足夠嚴(yán)密、經(jīng)得起推敲．那么，這個常數(shù)可以是任意正實數(shù)嗎有什么限制條件嗎引導(dǎo)學(xué)生回答：點的距離小于繩子的長即，從而意識到在“定義”中需要加上“常數(shù)>”的限制．深化問題：若常數(shù)=或常數(shù)<,情況會發(fā)生什么變化（學(xué)生繼續(xù)分組討論，請出代表說討論的結(jié)果）引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用平面幾何中的“三角形任意兩邊之和大于第三邊”、“兩點之間線段最短”為理論依據(jù)。設(shè)計一個實驗，一來是為了給學(xué)生一個動手實驗的機會，讓學(xué)生體會橢圓上點的運動規(guī)律；二是通過實踐思考，為進一步上升到理論做準(zhǔn)備

注重概念形成過程，通過讓學(xué)生親自動手，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、歸納、概括能力。通過學(xué)生觀察、思考、討論，概括出橢圓的定義，讓學(xué)生全程參與概念的探究過程，加深理解，提高概括能力和數(shù)學(xué)語言的表達能力.

進一步強化橢圓定義，真正使學(xué)生理解定義的內(nèi)涵和外延。(三)

數(shù)

學(xué)

理

論

橢圓定義的完善完善定義：到平面內(nèi)兩個定點的距離之和等于常數(shù)（大于）的點的軌跡叫做橢圓。定點稱為橢圓的焦點。間的距離稱為焦距。當(dāng)常數(shù)=時，與兩個定點

的距離之和等于常數(shù)的點的軌跡是線段；當(dāng)常數(shù)<時，與兩個定點的距離之和等于常數(shù)的點的軌跡不存在．加深對橢圓本質(zhì)的認(rèn)識，并逐漸養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)作風(fēng)

橢

圓

的

標(biāo)

準(zhǔn)

方

程(1)回顧用坐標(biāo)法求動點軌跡方程的一般步驟：建系、設(shè)點、寫出動點滿足的幾何限制條件、代坐標(biāo)化、化簡、證明等價性。簡記：建設(shè)限代化（2)推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程①建系設(shè)點：觀察橢圓的幾何特征，如何建系能使方程更簡潔——利用橢圓的對稱性特征方案1以兩定點的連線為X軸其垂直平分線為Y軸

方案2以兩定點的連線為Y軸，其垂直平分線為X軸

以方案1為例推導(dǎo)：以直線為軸，以線段的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系．設(shè)焦距為

，則．設(shè)為橢圓上任意一點，點與點的距離之和為．②動點滿足的幾何約束條件:

③坐標(biāo)化：

④化簡：化簡橢圓方程是本節(jié)課的難點，突破難點的方法是引導(dǎo)學(xué)生思考如何去根號移項后兩次平方法化簡得

設(shè)，(為什么要取平方)[學(xué)生思考，問題由老師來回答]方程簡化為：

(3)建立焦點在軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程問：要建立焦點在軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，又不想重復(fù)上述繁瑣的化簡過程，如何去做此時引導(dǎo)學(xué)生要借助于化歸思想，抓住圖(1)與圖(2)的聯(lián)系即可化未知為已知，將已知的焦點在軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程轉(zhuǎn)化為焦點在軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．只需將圖(1)沿直線翻折或?qū)D(1)繞著原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)即可轉(zhuǎn)化成圖(2)，需將軸、軸的名稱換為軸、軸或軸、軸．焦點在軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(4)辨析焦點分別在軸、軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的異同點（學(xué)生分組討論，個別發(fā)言）區(qū)別：要判斷焦點在哪個軸上，只需比較與項分母的大小即可．若項分母大，則焦點在軸上；若項分母大，則焦點在軸上．反之亦然．聯(lián)系：①它們都是二元二次方程，共同形式為

②兩種情況中都有

進一步熟悉用坐標(biāo)法求動點軌跡方程的方法

掌握化簡含根號等式的方法，提高運算能力，養(yǎng)成不怕困難的鉆研精神

感受數(shù)學(xué)的簡潔美、對稱美

體會數(shù)學(xué)中的化歸思想，化未知為已知，避免重復(fù)勞動

通過對比總結(jié)，強化不同類型的方程的異同，從而深化學(xué)生對橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的理解。抓住數(shù)學(xué)形式的一致性，體會數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)。

（四）

數(shù)

學(xué)

應(yīng)

用

橢

圓

定義

與

標(biāo)

準(zhǔn)

方

程

的

簡

單

應(yīng)

用

例1：判斷分別滿足下列條件的動點M的軌跡是否為橢圓（1）到點和點的距離之和為6的點的軌跡；（是）（2）到點和點的距離之和為4的點的軌跡；（不是）（3）到點和點的距離之和為6的點的軌跡；（是）

例2：判斷焦點的位置并求其坐標(biāo)：（1）

（2）

（3）

例3：求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）已知橢圓的焦點坐標(biāo)是F1（－3，0）、

F2（3，0），橢圓上任一點到F1、F2的距離之和為8，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。（2）兩個焦點的坐標(biāo)分別是（0，－2）、（0，2），并且橢圓經(jīng)過點。

變式一：已知橢圓的兩個焦點的坐標(biāo)分別是，橢圓上一點M到的距離之和為4，求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．變式二：已知橢圓的兩個焦點分別是，橢圓經(jīng)過點，求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

鞏固橢圓定義

掌握兩種類型的橢圓方程的異同和根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程判斷焦點位置的方法。

提醒學(xué)生在解題時先要根據(jù)焦點位置判斷使用哪種形式的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程掌握待定系數(shù)法在求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中的應(yīng)用，深化a、b、c

的關(guān)系。充分讓學(xué)生動手、動腦。及時反饋，強化知識點的學(xué)習(xí)。

進一步強化橢圓的概念(五)回顧反思深化橢圓的概念與標(biāo)準(zhǔn)方程1．知識點：橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程2．?dāng)?shù)學(xué)方法：用坐標(biāo)化的方法求動點軌跡方程3．?dāng)?shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想通過小結(jié)，使學(xué)生理清這節(jié)課的重難點。（六）課后作業(yè)鞏固提高1．必做題：課本49頁習(xí)題2．2A組2，5(1)(2)，6，92．思考題：動圓與定圓

相內(nèi)切且過定圓內(nèi)的一個定點A（0，-2）．求動圓圓心P的軌跡方程．3.實驗操作題：折紙游戲（準(zhǔn)備圓形紙片）請按如下步驟進行操作：1．將圓心記作點，然后在圓內(nèi)任取一定點2．在圓周上任取10個點，分別記作，將它們與圓心相連，得半徑3．折疊圓形紙片，使點與點重合，將折痕與半徑的交點記作；然后再次折疊圓形紙片，使點與點重合，將折痕與半徑的交點記作；……；依此類推，最后折疊圓形紙片，使點與點重合，將折痕與半徑的交點記作4．用平滑曲線順次連接點，你有何發(fā)現(xiàn)5.請對你的猜想進行證明。

進一步完善教學(xué)目標(biāo)的實現(xiàn)。

再次探究橢圓的形成，加深對概念的理解，比較幾何法與代數(shù)法的優(yōu)劣點。九．板書設(shè)計§橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程一、定義：（大于）焦點焦距=2c二、標(biāo)準(zhǔn)方程：焦點在X軸：焦點在Y軸：【關(guān)系】

【例1】

【例2】

【例3】

[變式一]

[變式二]

十.教學(xué)反思本節(jié)課既有概念的教學(xué)，又有橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)和應(yīng)用．在概念學(xué)習(xí)上，學(xué)生可能會受傳統(tǒng)教學(xué)方式的影響，忽略對概念本質(zhì)的深入學(xué)習(xí)，忽視對概念的理解，導(dǎo)致學(xué)生在處理相關(guān)問題時出現(xiàn)偏差，也使得學(xué)生的數(shù)學(xué)思維的發(fā)展受到限制．在橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)中，按坐標(biāo)法求曲線方程的過程，學(xué)生存在一定的障礙，具體表現(xiàn)為：如何建立合適的坐標(biāo)系，學(xué)生在認(rèn)知上還不是很到位；對于含兩個根號的式子的化簡，平時接觸不多，方程中字母超過三個，且次數(shù)高，項數(shù)多，計算量較大，學(xué)生沒有信心和能力自我解決這一難題；方程中字母的引入，學(xué)生更是較難想到．基于以上情況，我在教學(xué)上作了以下設(shè)計：（1）在橢圓定義的教學(xué)上我花了大量時間，課前精心準(zhǔn)備了實驗教具，課上讓學(xué)生親自動手實驗，感受橢圓的形成過程，并鼓勵學(xué)生總結(jié)橢圓上點的運動規(guī)律．當(dāng)學(xué)生定義不準(zhǔn)確、不嚴(yán)謹(jǐn)時，不是否定學(xué)生，而是保護學(xué)生的自尊心，“在最近發(fā)展區(qū)”繼續(xù)設(shè)計問題，引導(dǎo)學(xué)生不斷探索．通過這樣的實踐，學(xué)生對條件的理解水到渠成．這樣，不僅完善了橢圓的定義，也有助于學(xué)生能力的培養(yǎng)．（2）如何建立坐標(biāo)系對這一問題，教師并不是急于給出坐標(biāo)系，而是給學(xué)生時間和機會，放手給學(xué)生做．又通過折橢圓，展示橢圓的對稱性．再借助圓來說明（在求圓的方程式，若把圓心作為坐標(biāo)原點建系時，得出的方程比另外的不把圓心作為原點得出的方程簡潔美觀）．啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生找出最好的建系方案，讓學(xué)生明白哪種坐標(biāo)系更合適，這樣，不用老師叮囑，在以后的建系中，學(xué)生自然會注意到平衡對稱對簡化問題的作用．（3）①無理方程的化簡這是一難點，但也是學(xué)生利用坐標(biāo)法求曲線方程必經(jīng)的過程，所以我放手