2024-2025學(xué)年上海市閔行區(qū)華東師大二附中九年級（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）（含解析）

-2025學(xué)年上海市閔行區(qū)華東師大二附中九年級（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）一、選擇題（本大題每小題4分，滿分24分）1．（4分）下列圖形，一定相似的是A．兩個直角三角形 B．兩個等腰三角形 C．兩個等邊三角形 D．兩個菱形2．（4分）下列關(guān)于的函數(shù)中，當(dāng)時，函數(shù)值隨的值增大而減小的是A． B． C． D．3．（4分）在中，，如果，，那么的長是A． B． C． D．4．（4分）一個測量技術(shù)隊員在一個高為（忽略身高）的位置，觀測一根高出此建筑物的旗桿，測出與旗桿的頂端的仰角為，與地面的俯角為，那么該旗桿的高度是A． B． C． D．5．（4分）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，那么點在A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．（4分）如圖，，，下列各式中正確的是A． B． C． D．二、填空題（本大題每小題4分，滿分48分）7．（4分）如果，那么．8．（4分）已知拋物線，那么這個拋物線與軸的交點坐標(biāo)是．9．（4分）已知點是線段的黃金分割點，，如果，那么的長是．10．（4分）如果在比例尺為000000的地圖上，、兩地的圖上距離是3.4厘米，那么、兩地的實際距離是千米．11．（4分）兩個相似三角形的對應(yīng)邊上中線之比為，周長之和為，則較小的三角形的周長為．12．（4分）將拋物線向右平移3個單位后，所得拋物線的表達(dá)式是．13．（4分）如圖，已知．如果，，，那么的長是．14．（4分）已知傳送帶和地面所成斜坡的坡度，它把物體從地面送到離地面2.5米高的地方，那么物體在坡面上移動了米．15．（4分）在中，，已知，，是的平分線，那么的長是．16．（4分）如圖，點、分別在邊長為1的正方形的邊、上，、，正方形的四邊分別經(jīng)過正方形的四個頂點，已知，那么正方形的邊長是．17．（4分）在中，，如果，，那么的長是．18．（4分）如圖，正方形的邊長為5，點是邊上的一點，將正方形沿直線翻折后，點的對應(yīng)點是點，聯(lián)結(jié)交正方形的邊于點，如果，那么的長是．三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）【請將結(jié)果直接填入答題紙的相應(yīng)位置上】19．（10分）計算：．20．（10分）如圖，已知平行四邊形中，與相交于點，是邊的中點，連接交于點，設(shè)，．（1）；；（用向量、表示）（2）求作：分別在、方向上的分向量．（不要求寫作法，但要寫明結(jié)論）21．（10分）如圖，在中，，，，點在邊上，且，，垂足為，聯(lián)結(jié)．（1）求線段的長；（2）求的正切值．22．（10分）嘉嘉使用桌上書架如圖1所示．嘉嘉發(fā)現(xiàn)，當(dāng)書架與桌面的夾角時，頂部邊緣處離桌面的高度的長為，此時舒適度不太理想．嘉嘉調(diào)整書架與桌面的夾角大小繼續(xù)探究，最后發(fā)現(xiàn)當(dāng)張角時（點是的對應(yīng)點），舒適度較為理想．（1）書架在旋轉(zhuǎn)過程中，求頂部邊緣點到走過的路徑長．（2）如圖2這個平面圖形，如果嘉嘉的眼睛在處，書上有一點，旋轉(zhuǎn)點到點的距離為，嘉嘉看點的俯角為，眼睛到桌面高度為，點到點的距離為，求此時眼睛到點的距離，即的長度．（結(jié)果精確到；參考數(shù)據(jù)：，，23．（10分）已知：如圖，在△中，點，分別在，上，，點在邊上，，與相交于點．（1）求證：△△；（2）當(dāng)點為的中點時，求證：．24．（14分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過原點和點．經(jīng)過點的直線與該二次函數(shù)圖象交于點，與軸交于點．（1）求二次函數(shù)的解析式及點的坐標(biāo)；（2）點是二次函數(shù)圖象上的一個動點，當(dāng)點在直線上方時，過點作軸于點，與直線交于點，設(shè)點的橫坐標(biāo)為．①為何值時線段的長度最大，并求出最大值；②是否存在點，使得與相似．若存在，請求出點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．25．（14分）如圖1，在中，，，，點、分別在邊、上，，設(shè)為，四邊形的面積為．（1）當(dāng)點與點重合時，求的正弦值；（2）求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出的取值范圍；（3）是邊的中點，聯(lián)結(jié)，當(dāng)是等腰三角形時，求的長．

參考答案一、選擇題（本大題每小題4分，滿分24分）1．（4分）下列圖形，一定相似的是A．兩個直角三角形 B．兩個等腰三角形 C．兩個等邊三角形 D．兩個菱形解：．兩個直角三角形，對應(yīng)角不一定相等，對應(yīng)邊不一定成比例，不符合相似的定義，故選項不符合題意；．兩個等腰三角形的對應(yīng)角不一定相等，對應(yīng)邊不一定成比例，不符合相似的定義，故選項不符合題意；．兩個等邊三角形的對應(yīng)角一定相等，對應(yīng)邊一定成比例，符合相似的定義，故選項符合題意；．兩個菱形，對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角不一定相等，不符合相似的定義，故選項不符合題意；故選：．2．（4分）下列關(guān)于的函數(shù)中，當(dāng)時，函數(shù)值隨的值增大而減小的是A． B． C． D．解：、二次函數(shù)的圖象，開口向上，并向上無限延伸，在軸右側(cè)時），隨的增大而增大；故本選項錯誤；、一次函數(shù)的圖象，隨的增大而增大；故本選項錯誤；、正比例函數(shù)的圖象在一、三象限內(nèi)，隨的增大而增大；故本選項錯誤；、反比例函數(shù)中，所以當(dāng)時，隨的增大而減??；故本選項正確；故選：．3．（4分）在中，，如果，，那么的長是A． B． C． D．解：如圖：在中，．故選：．4．（4分）一個測量技術(shù)隊員在一個高為（忽略身高）的位置，觀測一根高出此建筑物的旗桿，測出與旗桿的頂端的仰角為，與地面的俯角為，那么該旗桿的高度是A． B． C． D．解：如圖，過作于，則．在△中，，，在△中，，，，即旗桿的高度為．故選：．5．（4分）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，那么點在A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限解：從圖象可知：，，，，，點在第二象限．故選：．6．（4分）如圖，，，下列各式中正確的是A． B． C． D．解：．，，，故本選項符合題意；．，，故本選項不符合題意；．，，，即，故本選項不符合題意；．，，，，，故本選項不符合題意；故選：．二、填空題（本大題每小題4分，滿分48分）7．（4分）如果，那么．解：，，設(shè)，，．故答案為．8．（4分）已知拋物線，那么這個拋物線與軸的交點坐標(biāo)是．解：在中，令可得，拋物線與軸的交點坐標(biāo)為，故答案為：．9．（4分）已知點是線段的黃金分割點，，如果，那么的長是．解：點是線段的黃金分割點，，，，故答案為：．10．（4分）如果在比例尺為000000的地圖上，、兩地的圖上距離是3.4厘米，那么、兩地的實際距離是34千米．解：根據(jù)題意，（厘米）（千米）．即實際距離是34千米．故答案為：34．11．（4分）兩個相似三角形的對應(yīng)邊上中線之比為，周長之和為，則較小的三角形的周長為．解：因為該相似比為，而周長比也等于相似比，則較小的三角形周長為，故答案為：12．（4分）將拋物線向右平移3個單位后，所得拋物線的表達(dá)式是．解：，將拋物線向右平移3個單位后，所得拋物線的表達(dá)式是，即．故答案為：．13．（4分）如圖，已知．如果，，，那么的長是6.4．解：，，，，，，解得，．故答案為：6.4．14．（4分）已知傳送帶和地面所成斜坡的坡度，它把物體從地面送到離地面2.5米高的地方，那么物體在坡面上移動了6.5米．解：如圖所示，已知，，，，故答案為：6.5．15．（4分）在中，，已知，，是的平分線，那么的長是．解：過作交的延長線于，，是的平分線，，是等腰直角三角形，，，，，，，，，，故答案為：．16．（4分）如圖，點、分別在邊長為1的正方形的邊、上，、，正方形的四邊分別經(jīng)過正方形的四個頂點，已知，那么正方形的邊長是．解：、，，，，，，又，△△，，，同理可求：，，正方形的邊長為，故答案為：．17．（4分）在中，，如果，，那么的長是6．解：解法一：過作，垂足為，在上取點，連接，使，，，，，，，，，即，故答案為：6．解法二：作平分交于，，，，平分，，設(shè)，，，，，，，即，解得，．故答案為：6．18．（4分）如圖，正方形的邊長為5，點是邊上的一點，將正方形沿直線翻折后，點的對應(yīng)點是點，聯(lián)結(jié)交正方形的邊于點，如果，那么的長是．解：如圖：連接，由翻折得，，，，，設(shè)，，，，，，，，，，，過作于，，，，，，，，或（不合題意舍去），，故答案為：．三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）【請將結(jié)果直接填入答題紙的相應(yīng)位置上】19．（10分）計算：．解：．20．（10分）如圖，已知平行四邊形中，與相交于點，是邊的中點，連接交于點，設(shè)，．（1）；；（用向量、表示）（2）求作：分別在、方向上的分向量．（不要求寫作法，但要寫明結(jié)論）解：（1）四邊形中，與相交于點，，，，．，，，，，是邊的中點，，，，；（2）如圖，過點作交于點，交于點，，即為向量分別在、方向上的分向量．21．（10分）如圖，在中，，，，點在邊上，且，，垂足為，聯(lián)結(jié)．（1）求線段的長；（2）求的正切值．解：（1）如圖所示，過點作于點，，，在中，，，（2），，，又，22．（10分）嘉嘉使用桌上書架如圖1所示．嘉嘉發(fā)現(xiàn)，當(dāng)書架與桌面的夾角時，頂部邊緣處離桌面的高度的長為，此時舒適度不太理想．嘉嘉調(diào)整書架與桌面的夾角大小繼續(xù)探究，最后發(fā)現(xiàn)當(dāng)張角時（點是的對應(yīng)點），舒適度較為理想．（1）書架在旋轉(zhuǎn)過程中，求頂部邊緣點到走過的路徑長．（2）如圖2這個平面圖形，如果嘉嘉的眼睛在處，書上有一點，旋轉(zhuǎn)點到點的距離為，嘉嘉看點的俯角為，眼睛到桌面高度為，點到點的距離為，求此時眼睛到點的距離，即的長度．（結(jié)果精確到；參考數(shù)據(jù)：，，解：（1），，在△中，，，則，，，，點到走過的路徑長為：；（2）如圖2，過點作于，于，則四邊形為矩形，，在△中，，，則，，，在△中，，，則，答：眼睛到點的距離約為．23．（10分）已知：如圖，在△中，點，分別在，上，，點在邊上，，與相交于點．（1）求證：△△；（2）當(dāng)點為的中點時，求證：．【解答】證明：（1），，而，△△，，△△，△△．（2）作交的延長線于，如圖，，，點為的中點，，，△△，，．24．（14分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過原點和點．經(jīng)過點的直線與該二次函數(shù)圖象交于點，與軸交于點．（1）求二次函數(shù)的解析式及點的坐標(biāo)；（2）點是二次函數(shù)圖象上的一個動點，當(dāng)點在直線上方時，過點作軸于點，與直線交于點，設(shè)點的橫坐標(biāo)為．①為何值時線段的長度最大，并求出最大值；②是否存在點，使得與相似．若存在，請求出點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．解：（1）拋二次函數(shù)經(jīng)過，，，將三點坐標(biāo)代入解析式得，解得：，，，二次函數(shù)的解析式為：；直線經(jīng)過、兩點，設(shè)直線解析式為：，將、兩點代入得，解得：，，直線解析式為：，點是直線與軸交點，令，則，．（2）①點在直線上方，，由題知，，，當(dāng)時，是最大值．②存在，理由如下：，，，是直角三角形，要使與相似，只有保證是直角三角形就可以．（Ⅰ）當(dāng)時，，，此時軸，、關(guān)于對稱軸對稱，；（Ⅱ）法一：當(dāng)時，，，，為等腰直角三角形，，由①知，，，，，，解得，（舍，．法二：當(dāng)時，，過作軸，作，作，則易證，，，，，，，解得，（舍，．法三：當(dāng)時，，，，，直線的解析式為：，聯(lián)立方程組得，解得：或，綜上，存在點使與相似，此時的坐標(biāo)為或．2