《自動(dòng)控制原理及其應(yīng)用》第4章 習(xí)題及參考答案

4-1已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試?yán)L制出相應(yīng)的閉環(huán)根軌跡圖。1）2）圖4-1（1）解：（1）①由G(s)知，n=3，m=0，p1=0，p2=–1，p3=–3。②實(shí)軸上[0，–1]、[–3，]是根軌跡段。③有n–m=3條漸近線,交點(diǎn)，夾角、180°。④實(shí)軸上[0、–1]根軌跡段上有分離點(diǎn)d。由求d：解得（分離點(diǎn)）（舍去）⑤求根軌跡與虛軸交點(diǎn)，令代入，得解得根軌跡圖見圖4-1（1）圖4-1（2）（2）①由G(s)知，n=3，m=1，p1=0，p2=–2，p3=–3，p4=–5②實(shí)軸上[-2、0]，[-5、-3]是根軌跡段③有n-m=2條漸近線：，夾角a=±90°④實(shí)軸上[-2、0]根軌跡段上有分離點(diǎn)d，由求d：，試湊得s1=-0.88是其解，且是分離點(diǎn)。根軌跡圖見圖4-1（2）。4-2已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試?yán)L制出相應(yīng)的閉環(huán)根軌跡圖。1）2）解：（1）根軌跡圖見圖4-2（1）圖4-2（1）（2）①n=4，m=0，p1=0，p2=–4，p3、4=–2±j4②p1、p2連線中點(diǎn)正好是p3、p4實(shí)部，開環(huán)極點(diǎn)分布對(duì)稱于垂線s=–2，根軌跡也將對(duì)稱于該垂線。圖4-2(2)∴實(shí)軸上[0、–4]復(fù)平面內(nèi)[p3、p4]間是根軌跡③有n-m=4條漸近線：a=±45°、±135°漸近線如圖4-2(2)中虛線示。④[0、–4]間、[P3、P4]間根軌跡上有分離點(diǎn)，由分離點(diǎn)方程可解得，均為分離點(diǎn)⑤由中，求根軌與虛軸交點(diǎn)：令代入，得，解得與虛軸交點(diǎn)及臨界值：（此即根軌跡起點(diǎn)p1，不是K*增大時(shí)與虛軸交點(diǎn)，舍去）系統(tǒng)根軌跡如圖4-2(2)所示.4-3單位負(fù)反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為1）繪制根軌跡，分析系統(tǒng)穩(wěn)定性；2）若增加一個(gè)零點(diǎn)試問根軌跡有何變化，對(duì)穩(wěn)定性有何影響。圖4-3解：(1)繪制系統(tǒng)根軌跡：①n=3，m=0，p=0，p1=p2=0，p3=–2；②實(shí)軸上[0,0]、[–2，–∞]是根軌跡段；③有n-m=3條漸近線，、180°漸近線如圖4-3點(diǎn)劃線示，根軌跡如圖中虛線示，由p1=p2=0出發(fā)的分支在右半s平面，任何K1下系統(tǒng)均不穩(wěn)定。（2）①增加z=–1，實(shí)軸上[0，0]、[–1，–2]為根軌跡段。②現(xiàn)有n-m=2漸近線，，，漸近線如圖4-3中細(xì)虛線示；根軌跡如圖中實(shí)線示，可見加進(jìn)Z=-1后，系統(tǒng)在任何K1下均穩(wěn)定。這說明給系統(tǒng)加進(jìn)一個(gè)位置適當(dāng)?shù)拈_環(huán)左實(shí)零點(diǎn)，可使n-m變?yōu)閚-m+1，漸近線條數(shù)減少一條，傾角增大，根軌跡向左移動(dòng)，可使系統(tǒng)穩(wěn)定性、平穩(wěn)性得到改善。4-4設(shè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，試?yán)L制系統(tǒng)在下列條件下的根軌跡。1）2）3）4）解：該系統(tǒng)n=3，m=1，開環(huán)極點(diǎn)p1、2=0，p3=–a，開環(huán)零點(diǎn)z=–1；隨a不同取值，在[–1，P3]實(shí)軸段上可能存在分離點(diǎn)與會(huì)合點(diǎn)。但G(s)H(s)為三階且有零點(diǎn)，求分離點(diǎn)、會(huì)合點(diǎn)d時(shí)用分離點(diǎn)方程更方便。將值代入分離點(diǎn)方程，有化簡整理得∴該系統(tǒng)分離點(diǎn)會(huì)合點(diǎn)可能相等或不等，但只能是同時(shí)出現(xiàn)在實(shí)軸段[–1，P3]上，否則其解應(yīng)舍去。(1)a=10圖4-4(1)圖4-4(2)①系統(tǒng)開環(huán)零極點(diǎn)分布如圖4-4(1)所示；②實(shí)軸上[0，0]、[–1，–10]是根軌跡段；③有n–m=2條漸近線，，，漸近線如圖中4-4（1）虛線所示；④可求得[–1、–10]段上有分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)：系統(tǒng)根軌跡如圖4-4(1)中實(shí)線所示。(2)a=9①系統(tǒng)開環(huán)零、極點(diǎn)分布如圖4-4(2)所示；②實(shí)軸上[0，0]、[–1，–9]是根軌跡段；③有n–m=2條漸近線，，，根軌跡漸近線如圖4-4（2）中虛線所示；④可求得[-1,-9]段上的分離點(diǎn)、會(huì)合點(diǎn)：，系統(tǒng)根軌跡如圖4-4(2)中實(shí)線所示。（圖中劃線與實(shí)軸夾角為根軌跡的分離角會(huì)合角）(3)a=8圖4-4(3)①開環(huán)零極點(diǎn)分布如圖4-4(3)；②實(shí)軸上[0，0]、[–1，–8]是根軌跡段；③有n–m=2條漸近線，，，漸近線如圖中4-4（3）虛線示；④由計(jì)算可知，d1、2不在[–1、–8]段上應(yīng)舍去，[–8，–1]段上無分離點(diǎn)、會(huì)合點(diǎn)；系統(tǒng)根軌跡如圖4-4(3)中實(shí)線所示。此題說明，開環(huán)極點(diǎn)在s平面實(shí)軸上位置移動(dòng)，會(huì)導(dǎo)致根軌跡圖發(fā)生大的變化。(4)a=3圖4-4(4)①開環(huán)零、極點(diǎn)分布如圖4-4(4)中所示；②實(shí)軸上[0，0]、[–1，–3]是根軌跡段；③有n–m=2條漸近線，，，漸近線如圖中虛線示；④由計(jì)算可知應(yīng)舍去，實(shí)軸[–3、–1]段上既無分離點(diǎn)，也無會(huì)合點(diǎn)，系統(tǒng)根軌跡如圖實(shí)線所示。4-5設(shè)系統(tǒng)的方框圖如圖4-5所示，圖4-5繪制以a為變量的根軌跡，并：1）求無局部反饋時(shí)系統(tǒng)單位斜坡響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差、阻尼比及調(diào)節(jié)時(shí)間；2）討論a=2時(shí)局部反饋對(duì)系統(tǒng)性能的影響；3）求臨界阻尼的a值。解：本題求作系統(tǒng)參量根軌跡，首先寫出系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)由閉環(huán)特征方程中求出以為參數(shù)變量時(shí)的等效開環(huán)傳遞函數(shù)等效開環(huán)傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)分布為：，由此可知實(shí)軸上[0、–]是根軌跡段，復(fù)平面內(nèi)的根軌跡是以z為圓心、為半徑、由P1、2出發(fā)的圓弧段，交實(shí)軸于–1點(diǎn)，即根軌跡會(huì)合點(diǎn)d=–1，系統(tǒng)參量根軌跡如圖4-5（1）示。圖4-5（1）(1)無局部反饋即時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)s1、2與等效開環(huán)傳遞函數(shù)極點(diǎn)P1-2相等，由題圖可知，該系統(tǒng)=1，，。該系統(tǒng)比較典型二階系統(tǒng)，可知：(，=0.5，。(2)當(dāng)時(shí)，已有，閉環(huán)極點(diǎn)均在實(shí)軸上，過阻尼狀態(tài)，系統(tǒng)階躍響應(yīng)不振蕩。求解時(shí)，essv=3，，，∴由可得閉環(huán)極點(diǎn)，∴系統(tǒng)性能可按一階近似計(jì)算秒。(3)由幅值條件，臨界阻尼比時(shí)，。4-6根據(jù)下列正反饋回路的開環(huán)傳遞函數(shù)，繪出其根軌跡的大致形狀。1）2）3）解：(1)該系統(tǒng)正反饋根軌跡如圖4-6(1)所示，僅實(shí)軸上[，–1]、[–2、-]是根軌跡段。圖4-6(2)①n=3、m==0、P1=0、P2=–1、P3=–2；②實(shí)軸上（，0、[–1、–2]是根軌跡段；③有n–m=3條漸近線，，、0°；漸近線如圖4-6（2）中虛線示；圖4-6④[–1、–2]間有分離點(diǎn)d，由可得d=1.575(3)①n=4，m=1，開環(huán)零、極點(diǎn)分布如圖4-6(3)示；圖4-6②實(shí)軸上（，0）、[–1，–2]、[–3，–4]為根軌跡段；③有n–m=3條漸近線，、0°漸近線如圖4-6(3)中虛線示。④在[–3，–4]段上有分離點(diǎn)，在兩開環(huán)極點(diǎn)間的根軌跡段上，分離點(diǎn)處對(duì)應(yīng)，當(dāng)n≥4時(shí)可由K*-d曲線法試解求d：由D（s）=0可得：，列表計(jì)算，其中對(duì)應(yīng)的s值即為分離點(diǎn)坐標(biāo)d。s=d –3.48 –3.49 –3.50 –3.505 –3.51 –3.52 –3.58K1 1.4575 1.4575 1.4583 1.45833 1.4580 1.4566 1.424解得：系統(tǒng)根軌跡如圖4-6(3)所示。4-7設(shè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡。解：單位負(fù)反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)中有非最小相位環(huán)節(jié)（1-s），由于s項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，因此系統(tǒng)根軌跡遵循零度根軌跡繪制法則①n=2，m=1，系統(tǒng)開環(huán)零極點(diǎn)分布如圖4-10；②實(shí)軸上（，1]、[0，-2]為根軌跡段；③有n-m=1條漸近線，；漸近線與實(shí)軸重合④（、1）間有會(huì)合點(diǎn)，[0、–2]段上有分離點(diǎn)。會(huì)合點(diǎn)、分離點(diǎn)由，解得：分離點(diǎn)，會(huì)合點(diǎn)d2=2.732；⑤復(fù)平面內(nèi)的根軌跡為圓心z=1、半徑的圓，該圓與實(shí)軸交點(diǎn)即分離點(diǎn)d1、會(huì)合點(diǎn)d2；⑥