函數(shù)單調(diào)性與曲線凹凸性的判別法

節(jié)函數(shù)單調(diào)性與曲線凹凸性的判別法2021/6/271本節(jié)要點(diǎn)

本節(jié)通過函數(shù)一階導(dǎo)函數(shù)及二階導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)研究函一、函數(shù)單調(diào)性的判別法二、曲線的凹凸性的判別法數(shù)的單調(diào)性及曲線的凹凸性.2021/6/272一、函數(shù)單調(diào)性的判別法1.問題的提出

設(shè)函數(shù)如果函數(shù)負(fù),即如果函數(shù)在在上單調(diào)增加,則曲線的圖形是一條沿軸正向逐漸上升的曲線,因而曲線上各點(diǎn)處的切線斜率非ab同樣,2021/6/273

由導(dǎo)數(shù)的定義及極限的保號(hào)性,上單調(diào)減少,則曲線的圖形是一條沿軸正向逐下降的曲線,因而曲線上各點(diǎn)處的切線斜率非正,即由此可見,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)有密切的關(guān)系.我們可證明:ab2021/6/274

若可導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)增加（減少）,

反之,我們有定理（函數(shù)單調(diào)性的判別法）若⑴若有且則:⑵若有則對(duì)任意的有則在上單調(diào)增加;則在上單調(diào)減少.2021/6/275證僅證⑴.則由拉格朗日中又因:故由此說明函數(shù)是單調(diào)增加的.值定理,得2021/6/276例1判定函數(shù)解因

我們知道,函數(shù)是的單調(diào)性.所以是單調(diào)增加的.單調(diào)增加的,但此說明一個(gè)單調(diào)增加的函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)可能有若干個(gè)零點(diǎn).作為一般結(jié)論,我們有2021/6/277定理若函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo),且在例2設(shè)則所以,函數(shù)在任何一個(gè)有限區(qū)間僅有有限個(gè)駐點(diǎn),由的任何一個(gè)有限區(qū)間內(nèi)僅有有限個(gè)零點(diǎn),則是單調(diào)增加的.上面的定理知函數(shù)是單調(diào)增加的.2021/6/278水平切線2021/6/279例3討論函數(shù)解因所以當(dāng)即的單調(diào)性.是單調(diào)減少的;當(dāng)增加的.即函數(shù)是單調(diào)

可以將函數(shù)的導(dǎo)數(shù)符號(hào)及單調(diào)性按區(qū)間分段列表2021/6/2710

注此例說明了如何去討論函數(shù)的單調(diào)性:若函數(shù)點(diǎn)點(diǎn)可導(dǎo),則可根據(jù)函數(shù)的駐點(diǎn)將函數(shù)劃分成若干個(gè)單調(diào)區(qū)間.但若函數(shù)在某些點(diǎn)不可導(dǎo),則此方法不再適用.2021/6/2711例4求函數(shù)解函數(shù)的定義域?yàn)椴⑶以趨^(qū)間當(dāng)從而將定義域分成三個(gè)區(qū)間:當(dāng)因而函數(shù)單調(diào)增加;的單調(diào)區(qū)間.內(nèi)連續(xù).的導(dǎo)數(shù)為2021/6/2712當(dāng)因而函數(shù)單調(diào)減少;當(dāng)因而函數(shù)單調(diào)增加.2021/6/2713

將函數(shù)的導(dǎo)數(shù)符號(hào)及單調(diào)性按三個(gè)區(qū)間列表如下:2021/6/2714單調(diào)下降單調(diào)上升2021/6/2715

結(jié)合上面的兩個(gè)例子,我們得到求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一⑴確定函數(shù)的定義域;⑵求出函數(shù)的一階導(dǎo)函數(shù),并求出函數(shù)的駐點(diǎn)及不可⑶根據(jù)駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn),劃分區(qū)間,注意到,般方法:導(dǎo)點(diǎn);導(dǎo)函數(shù)在每一個(gè)區(qū)間內(nèi)的符號(hào)不會(huì)改變,從而有確定的單調(diào)性.2021/6/2716

應(yīng)用:證明不等式.例5證明當(dāng)時(shí),有證令所以函數(shù)在區(qū)間中是單調(diào)增加的,因而則2021/6/2717當(dāng)時(shí),有

注從這個(gè)例中可以歸納出利用單調(diào)性證明不等式的即基本方法.2021/6/2718

問題證明當(dāng)時(shí)有:

方法⑴構(gòu)造函數(shù)⑵驗(yàn)證從而函數(shù)在⑶由此得到:當(dāng)時(shí),有

在中連續(xù),可導(dǎo);且函數(shù)給定的區(qū)間上單調(diào)增加;即2021/6/2719例6證明證令所以所以在上單調(diào)增加,從而且2021/6/2720由此即得2021/6/2721二、曲線的凹凸性及判別法

考察右圖中的曲線,注意到即設(shè)點(diǎn)與點(diǎn)曲線是向下凸的,即任取曲線上兩點(diǎn),那么連接這兩點(diǎn)的弦總位于這兩點(diǎn)間的弧段的上方.

是曲線上任意兩點(diǎn),那么介于之間的中點(diǎn)的函數(shù)值滿足2021/6/2722由此我們引入曲線凹凸性的定義.2021/6/2723定義設(shè)函數(shù)在區(qū)間中連續(xù)，如果對(duì)任意的則稱曲線在區(qū)間內(nèi)是下凸的（或稱凹?。?都有2021/6/2724如果對(duì)任意的都有則稱曲線在區(qū)間內(nèi)是上凸的（或稱凸?。?2021/6/2725上下凸性,則稱點(diǎn)

如果函數(shù)的圖形在經(jīng)過點(diǎn)時(shí)改變了的一個(gè)拐點(diǎn).是曲線2021/6/2726曲線凹凸性判別法1設(shè)且導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)單調(diào)增加（減少）,那么曲線在內(nèi)是下凸（上凸）的.證設(shè)單調(diào)增加,任取，記

由微分中值定理2021/6/2727

從而證明了曲線是下凸的.2021/6/2728即有如下的:

更進(jìn)一步地,如果函數(shù)在區(qū)間有二階導(dǎo)數(shù),則如果則曲線在內(nèi)是下凸的；我們可以通過二階導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)來判定曲線的凹凸性.曲線凹凸性判別法2如果則曲線在內(nèi)是上凸的.2021/6/2729例7對(duì)函數(shù)因由判別法知曲線在定義域內(nèi)是下凸的;再對(duì)函數(shù)因知曲線在定義域內(nèi)是上凸的.2021/6/2730例8設(shè)函數(shù)解當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí)而當(dāng)時(shí),二階導(dǎo)數(shù)不存求曲線的凹凸區(qū)間.在,從而將函數(shù)的定義域劃分成三個(gè)區(qū)間:2021/6/2731

將函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)符號(hào)及凹凸性按三個(gè)區(qū)間列表如下:2021/6/2732當(dāng)當(dāng)當(dāng)從而點(diǎn)是曲線的拐點(diǎn),而不是曲線曲線如下圖所示.曲線是上凸的;的拐點(diǎn).曲線是下凸的;曲線是下凸的.2021/6/273