分析力學教學課件

分析力學

24學分1.5性質(zhì)必修2021/6/271致童鞋們

之學生虐我千百遍，我待學生如初戀

教書是一場盛大的暗戀，你費勁心思去愛一群人，最后卻只感動了自己。曾經(jīng)怕自己一個人考不好，現(xiàn)在怕一群人考不好。你若不離不棄

我必生死相依

你若自我放棄

我也無能無力2021/6/272緒論一什么是分析力學？分析力學是理論力學的一個分支，是對經(jīng)典力學的高度數(shù)學化的表達。經(jīng)典力學最初的表達形式由牛頓給出，大量運用幾何方法和矢量作為研究工具，因此它又被稱為矢量力學（有時也叫“牛頓力學”）。2021/6/273拉格朗日、哈密頓、雅可比等人使用廣義坐標和變分法建立了一套同矢量力學等效的力學表述方法。同矢量力學相比，分析力學的表述方法具有更大的普遍性。很多在矢量力學中極為復(fù)雜的問題，運用分析力學可以較為簡便的解決。2021/6/274二研究對象它的研究對象是質(zhì)點系。質(zhì)點系可視為宏觀物體組成的力學系統(tǒng)的理想模型，例如剛體、彈性體、流體以及它們的綜合體都可看作質(zhì)點系。工程上的力學問題大多數(shù)是約束的質(zhì)點系，由于約束方程類型的不同，就形成了不同的力學系統(tǒng)。例如，完整系統(tǒng)、非完整系統(tǒng)、定常系統(tǒng)、非定常系統(tǒng)等。2021/6/275三發(fā)展歷史1788年拉格朗日《分析力學》世界上最早的一本分析力學的著作。虛功原理和達朗貝爾原理兩者結(jié)合，可得到動力學普遍方程，從而導(dǎo)出分析力學各種系統(tǒng)的動力學方程。1834年，哈密頓正則方程用廣義坐標和廣義動量聯(lián)合表示的動力學方程。哈密頓體系在多維空間中，可用代表一個系統(tǒng)的點的路徑積分的變分原理研究完整系統(tǒng)的力學問題。2021/6/2761894年赫茲首次將系統(tǒng)按約束類型分為完整約束和非完整約束兩大類。20世紀至今分析力學對非線性、不定常、變質(zhì)量等力學系統(tǒng)作了進一步研究，對于運動的穩(wěn)定性問題作了廣泛的研究。2021/6/277四應(yīng)用分析力學的方法可以推廣到量子力學系統(tǒng)和復(fù)雜動力學系統(tǒng)中，在量子力學和非線性動力學中都有重要應(yīng)用。近20年來，又發(fā)展出用近代微分幾何的觀點來研究分析力學的原理和方法。它廣泛用于結(jié)構(gòu)分析、機器動力學與振動、航天力學、多剛體系統(tǒng)和機器人動力學以及各種工程技術(shù)領(lǐng)域，也可推廣應(yīng)用于連續(xù)介質(zhì)力學和相對論力學。2021/6/278五研究意義分析力學是經(jīng)典物理學的基礎(chǔ)之一，也是整個力學的基礎(chǔ)之一。2021/6/279六分析力學與理論力學比較理論力學分析力學相同點同屬經(jīng)典力學不同點對象力能量方法幾何法分析法基礎(chǔ)牛頓定律變分原理2021/6/27102021/6/2711分析靜力學以一般質(zhì)點系為力學模型，應(yīng)用達朗伯原理和虛位移原理方法得出平衡的普遍規(guī)律。在達朗伯原理和虛位移原理的基礎(chǔ)上，運用動力學普遍方程和拉格朗日方程，解決非自由質(zhì)點系的動力學問題。分析動力學2021/6/2712內(nèi)容第一章虛位移原理第二章動力學普遍方程和拉格朗日方程第三章哈密頓正則方程第四章力學的變分原理第五章一個自由度系統(tǒng)的振動第六章兩個自由度系統(tǒng)的振動第七章狹義相對論的拉格朗日方法和……2021/6/2713

第一章虛位移原理1.約束及約束方程2.自由度和廣義坐標3.虛位移4.虛位移原理5.虛位移原理的應(yīng)用舉例6.用廣義力表示的質(zhì)點系平衡條件7.在勢力場中質(zhì)點系的平衡條件及平衡的穩(wěn)定性2021/6/27141.約束及約束方程2021/6/2715實現(xiàn)這些約束條件的物體稱為約束體。受到約束條件限制的物體叫做被約束體。習慣上，把約束體簡稱為約束,將被約束體簡稱為物體。注意：這里的約束是名詞，而非動詞的約束。非自由質(zhì)點系受到的預(yù)先給定的限制稱為約束2021/6/2716約束力（或約束反力）——把約束對物體的作用力稱為約束力。主動力和約束力（或約束反力）主動力——作用于被約束物體上的除了約束以外的力統(tǒng)稱為主動力，如重力，結(jié)構(gòu)承受的風力和水壓力、機械結(jié)構(gòu)中的彈簧力以及電磁力等等。約束反力是主動力引起的，故它是一種被動力。2021/6/27171.約束反力取決于約束本身的性質(zhì)、主動力和物體的運動狀態(tài)。約束反力的特點：2.大小常常是未知的，往往由平衡方程求得。3.作用點在物體與約束相接觸的那一點。4.方向總是與約束限制物體的位移方向相反。2021/6/2718例如，光滑接觸面約束：約束力沿接觸面公法線方向指向物體。在支座約束中，固定鉸支座，約束反力過銷中心，方向不能確定，通常用正交的兩個分力表示。2021/6/2719解除約束原理當受約束的物體在某些主動力的作用下處于平衡，若將其部分或全部約束解除，代之以相應(yīng)的約束反力，則物體的平衡不受影響。2021/6/27202021/6/27211-3約束的分類2021/6/2722xyoφlMlABxoyrω2021/6/2723Cxoyφω瞬心CMMxCPvCrωMMPvCωMMPvCωMPvCφφM輪C在水平軌道上純滾動的條件表達為yC=r運動約束方程vC－rω=0或yC=r2021/6/2724約束：單擺約束分類約束方程剛性擺桿雙面約束不可伸長的繩單面約束2021/6/2725舉例：定常約束：前面所列的單擺、曲柄連桿機構(gòu)及車輪的約束；非定常約束：變擺長的單擺。xyoφlMv其中擺錘M可簡化為質(zhì)點，軟線是擺錘的約束，初始長度為

，穿過固定的小圓環(huán)，在拉拽過程中,以速度v伸長。在任意瞬時t，其約束方程為:2021/6/27262021/6/27272.自由度和廣義坐標質(zhì)點系由n個質(zhì)點、s個完整約束組成，則其自由度N=3n－s對平面問題，如Oxy平面內(nèi)，zi≡0，則N=2n－s情形一：以質(zhì)點作為質(zhì)點系基本單元xyoφlM例：圖示的平面擺，其中：n=1，s=1。則

N=2×1－1=12021/6/2728情形二：以剛體作為質(zhì)點系基本單元質(zhì)點系由n個剛體、s個完整約束組成，則其自由度

N=6n－s對平面問題，如Oxy平面內(nèi)，兩個平動一個轉(zhuǎn)動，則

N=3n－s例1：圖示的輪C在水平軌道上純滾動，其中：n=1，s=2。則

N=3×1－2=1CxoyxCPvCφωyC=rvC－rω=02021/6/2729例2：圖示的平面雙擺由剛體OA、AB及鉸鏈O、A組成，其中：n=2，s=4，則

N=3×2－4=2xyoABφ1φ2l1l22021/6/2730例一：如曲柄連桿機構(gòu)有一個自由度，可任選xA、yA

、xB之一為廣義坐標，而選

更方便。xoylrAB

2021/6/2731例二：再如平面雙擺有兩個自由度，選

1

、

2為廣義坐標比較合適。xyoAB

1

2l1l22021/6/2732對于有n個質(zhì)點的質(zhì)點系，若有s個完整約束組成，則其自由度N=3n－s，可選N個廣義坐標q1，q2，…，qN。則各質(zhì)點的坐標可由廣義坐標表示為：矢量形式為：注：用廣義坐標表示各質(zhì)點位置的一般表達式，隱含了約束條件，這是采用廣義坐標的方便之處。2021/6/27333.虛位移2021/6/27342021/6/27354-1.在定常幾何約束下，質(zhì)點系無限小的實位移是其虛位移之一。MMMMM

在圖示瞬時，物塊M在dt內(nèi)發(fā)生的無限小的實位移dr沿斜面向下。

物塊M的虛位移可以是沿斜面向下的δr1，也可以是沿斜面向上的δr2，因為δr1，δr2都是約束所容許的。drdrdrdrδr1δr1δr1δr2δr1物塊M置于固定的斜面上，斜面對于物塊M的約束是定常約束。δr2δr2δr22021/6/27364-2.非定常約束下，無限小的實位移不是虛位移之一！物塊M置于以速度vo移動的斜面上，斜面對于物塊M的約束是非定常約束。MdrdredrrM'v0

在dt內(nèi)，斜面位移為dre，物塊的實位移為dr。根據(jù)合成運動理論，有dr=dre+drr=MM‘dre=v0dt---牽連位移drr---物塊相對斜面的位移drdredrrdrdredrrdrdredrrdredredredreM

物塊M的虛位移可以是沿斜面向下的δr1，也可以是沿斜面向上的δr2，因為δr1，δr2都是約束所容許的。δr1δr2δr1δr2δr1δr2δr1δr22021/6/2737——約束方程2021/6/2738為曲面上該點的法向矢量!其中：所以

非自由質(zhì)點

M的虛位移垂直于曲面上該點處的法線，也就是說虛位移必在通過該點的曲面的切平面上。2021/6/27392021/6/2740補充知識：剛體的平面運動

------平面圖形上各點的速度

2021/6/2741剛體運動時，如果體內(nèi)任意一點到某一固定平面的距離始終保持不變，則這種運動成為剛體的平面運動。即：剛體作平面運動時，體內(nèi)任意一點都在與某固定平面平行的平面內(nèi)運動。一．剛體平面運動的定義2021/6/27421．速度基點法平面圖形的運動可以看成是:

牽連運動（隨同基點A的平動）與相對運動（繞基點A的轉(zhuǎn)動）的合成因此:

平面圖形上任意一點B的運動可用合成運動的概念進行分析，其速度可用速度合成定理求解。二．剛體平面運動的特征2021/6/27432.速度投影定理定理:同一瞬時，平面圖形上任意兩點的速度在這兩點連線上的投影相等。反映了剛體不變形的特性：

因剛體上任意兩點間的距離應(yīng)保持不變，所以剛體上任意兩點的速度在這兩點連線上的投影應(yīng)該相等，否則，這兩點間的距離不是伸長，就要縮短，這將與剛體的性質(zhì)相矛盾。因此，速度投影定理不僅適用于剛體作平面運動，而且也適用于剛體的一般運動。2021/6/2744問題的提出？若選取速度為零的點作為基點，求解速度問題的計算會大大簡化。于是，自然會提出，在某一瞬時，平面上是否有速度等于零的點？如果有，該點如何確定？3.速度瞬心法2021/6/2745定理:

一般情況下，每一瞬時，平面圖形上都唯一地存在一個速度為零的點。在某瞬時，平面圖形上速度為零的點稱為平面圖形在該瞬時的瞬時速度中心，簡稱為速度瞬心或瞬心。AN’上任意一點M：證明：總有一點I滿足：則I點的（絕對）速度：2021/6/27464.平面圖形上各點速度的分布其中，I為瞬心剛體上任意一點M的速度:總結(jié)：平面圖形的運動可以看成是繞它的速度瞬心作瞬時轉(zhuǎn)動。注意：速度瞬心的速度為零，但是加速度不為零。2021/6/27475.速度瞬心位置的確定（1）若平面圖形沿一固定面滾動而無滑動，則圖形與固定面的接觸點I就是該瞬時圖形的速度瞬心。注意：是在固定面上的純滾動，如果不是固定面，接觸點并非瞬心。2021/6/27485.速度瞬心位置的確定（2）已知某瞬時平面圖形上任意兩點的速度方向，且兩者不相平行，則速度瞬心必在過每一點且與該點速度垂直的直線上。2021/6/27495.速度瞬心位置的確定（3）已知某瞬時平面圖形上兩點的速度相互平行，并且速度的方向垂直于這兩點的連線，但兩速度的大小不等，則圖形的速度瞬心必在這兩點的連線與兩速度矢端的連線的交點。2021/6/27506.瞬時平動已知某瞬時平面圖形上兩點的速度相互平行，但速度方向與這兩點的連線不相垂直；或雖然速度方向與這兩點的連線垂直，但兩速度的大小相等，則該瞬時圖形的速度瞬心在無限遠處，圖形的這種運動狀態(tài)稱為瞬時平動。此時，圖形的角速度等于零，圖形上各點的速度大小相等，方向相同，速度分布與平動時相似。2021/6/2751注意：瞬時平動只是剛體平面運動的一個瞬態(tài)，與剛體的平動是兩個不同的概念，瞬時平動時，雖然圖形的角速度為零，圖形上各點的速度相等，但圖形的角加速度一般不等于零，圖形上各點的加速度也不相同。例如：曲柄連桿機構(gòu)裝置示意圖，連桿BC作瞬時平動。補充內(nèi)容結(jié)束！2021/6/27526-1.幾何法用求實位移的方法來求各質(zhì)點虛位移之間的關(guān)系；質(zhì)點的實位移與其速度成正比dr=vdt，所以實位移之間的關(guān)系可以用速度之間的關(guān)系代替，如速度合成法、瞬心法、速度投影法等。2021/6/27532021/6/27546-2.解析法2021/6/2755解析法的一般推廣選廣義坐標q1，q2，…，qN

，則各質(zhì)點的坐標對上式中第一式求變分，則得到：質(zhì)點在直角坐標中的虛位移與廣義坐標中的虛位移之間的關(guān)系為δqk稱為廣義虛位移。2021/6/27564.虛位移原理4-1.虛功：質(zhì)點或質(zhì)點系所受的力在虛位移上所作的功稱為虛功，用δW表示。注：虛位移是虛設(shè)的，虛功也是虛設(shè)的元功。設(shè)質(zhì)點m的虛位移為δr，力F在虛位移上所作的虛功為δW=F·δr

=Fδrcosφ滑塊的虛位移為δrB，設(shè)曲柄的虛位移為δφ，δW=－FδrB力偶M的虛功：δW=Mδφ力F的虛功：如曲柄滑塊機構(gòu)在力偶M和力F的作用下處于平衡，ABδφMMMMδφδφδφxoyFFFFδrBδrBδrBδrB2021/6/27574-2.理想約束：在質(zhì)點系的任何虛位移中，如果約束反力所作的虛功之和等于零，這種約束稱為理想約束。若質(zhì)點系中任意質(zhì)點Mi，受約束反力Ni，虛位移δri，則理想約束的條件為：如光滑的接觸面δW=N·δr=0M

N

δrN

δrN

δrN

δr對于作純滾動剛體的固定面約束C

ω

F

T

N

DG

F

N

F

N

2021/6/2758理想約束舉例：光滑鉸鏈連接N

N'

δrA

N

N'

δrN

N'

δr光滑鉸支座或光滑軸承N

δrN

δrN

δr理想剛體δrBδrAABδrBδrAδrBδrANANANANBNBNBB

A

δrB柔性體約束TBTAβ

α

TBTATBTAδrBδrBδrA2021/6/27594-3.虛位移原理：具有完整、雙面、定常、理想約束的質(zhì)點系，在給定位置保持平衡的必要和充分條件是：所有作用于該質(zhì)點系上的主動力在任何虛位移中所作的虛功之和等于零，又稱虛功原理。矢量表達式為坐標分解式為虛功方程虛功方程又稱為靜力學普遍方程！2021/6/2760必要性：如果質(zhì)點系平衡則虛功原理的證明設(shè)質(zhì)點系由n個質(zhì)點組成，第i個質(zhì)點Mi平衡，受力有Fi-----主動力的合力Ni-----約束反力的合力則Fi+Ni=0∴

WFi+

WNi

=n個方程求和得∵系統(tǒng)的約束為理想約束，∴∑Ni·

ri=0(Fi+Ni)·

ri=0（i=1,2,…，n）0得證！2021/6/2761充分性：如果則質(zhì)點系平衡反證法：設(shè)質(zhì)點系由n個質(zhì)點組成，作用于該質(zhì)點系的主動力在給定的位置的任意虛位移中所作的虛功之和等于零，但該質(zhì)點系不平衡。即至少有一個質(zhì)點Mj不平衡，則

Fj+Nj＝

Rj

≠0質(zhì)點Mj由靜止開始運動，其實位移drj應(yīng)沿著Rj的方向該質(zhì)點的合力在實位移中的元功為Rj

·drj=（Fj+Nj）

·drj＞0∵質(zhì)點系受定常約束，∴drj∈δrj

，∴（Fj+Nj）·

rj＞0∴

∑Fi

·

ri＞0這與假設(shè)矛盾！∴質(zhì)點系必然平衡。得證！∴∑（Fj+Nj）·

rj＞0又∵∑Ni·

ri=02021/6/27625.虛功原理的應(yīng)用已知質(zhì)點系處于平衡狀態(tài)，求主動力之間的關(guān)系或平衡位置。已知質(zhì)點系處于平衡狀態(tài)，求其內(nèi)力或約束反力。2021/6/2763WAolPPPPB例1：螺旋千斤頂中，旋轉(zhuǎn)手柄OA=l=0.6m，螺距h=12mm。今在OA的水平面內(nèi)作用一垂直手柄的力P=160N，試求舉起重物B的重量。不計各處摩擦。2021/6/2764例1續(xù)已知OA=l=0.6m，螺距h=12mm。P=160N，求舉起重物B的重量W。WδrAδφl解：千斤頂受理想約束給P力點A虛位移δrA=

lδφ，由虛功方程∑δWF=0得：Pl

－W

rB=0，約束條件為：手柄旋轉(zhuǎn)一周，頂桿上升一螺距，即AoPδφδφδφδrAδrAδrAδrBδrBδrBδrB相應(yīng)地W力點B