福建省福州市八縣（市）協(xié)作校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

福州市八縣（市）協(xié)作校2023-2024學(xué)年第一學(xué)期期末聯(lián)考高二數(shù)學(xué)試卷【完卷時(shí)間:120分鐘；滿分:150分】命題：福清融城中學(xué)林江平林厚棟一、單選題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，化簡(jiǎn)數(shù)列為，根據(jù)運(yùn)算規(guī)律，即可求解.【詳解】由數(shù)列，可得化為，可得數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為.故選：C.2.下列求導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算中正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算可得.【詳解】A：，故A錯(cuò)誤；B：，故B錯(cuò)誤；C：，故C錯(cuò)誤；D：，故D正確；故選：D.3.雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)為，漸近線方程為，則雙曲線方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)與漸近線方程求得得雙曲線方程.【詳解】由雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)為得雙曲線的焦點(diǎn)在軸，可設(shè)雙曲線方程為，則，因?yàn)闈u近線方程為，即，所以，所以，所以所求雙曲線的方程為.故選：B4.如圖，已知二面角大小為，，，，且，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意得到，利用結(jié)合向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，即可求解．【詳解】因?yàn)槎娼堑拇笮?，，，，，，所以與的夾角為，又因?yàn)?，所以，所以，即．故選：A．5.已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列前2023項(xiàng)的積為（）A.2 B.3 C. D.【答案】A【解析】【分析】先找到數(shù)列的周期，然后求得數(shù)列前2023項(xiàng)的積.詳解】由，，得，所以數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，且，故數(shù)列前2023項(xiàng)的積為.故選：A.6.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依題意，在區(qū)間上恒成立，分離參數(shù)可得實(shí)數(shù)a的最大值.【詳解】由題意，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上恒成立，即，令，則，又，所以，所以在為減函數(shù)，所以，所以，即實(shí)數(shù)a的最大值是.故選：C7.已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別是，，過(guò)的直線與相交于A，B兩點(diǎn)，若，，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)橢圓的定義得到，再由等腰三角形的性質(zhì)得到，最后由二倍角的余弦公式得到離心率.【詳解】由題意可得，因?yàn)?，所以，設(shè)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得，因?yàn)?，所以，又，所以，故選：B.8.已知關(guān)于的不等式解集中恰有3個(gè)不同的正整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意可得的解集中恰有3個(gè)不同的正整數(shù)解，設(shè)，，作出兩函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象分，分別求解即可.【詳解】因?yàn)?，所?設(shè)，，則，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；又因?yàn)槭沁^(guò)點(diǎn)的直線，如圖所示：由此可得當(dāng)時(shí)，的解集中有若干個(gè)不同的正整數(shù)解，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，要使不等式的解集中恰有3個(gè)不同的正整數(shù)解，當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，取最小值，因?yàn)?，此時(shí)，當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，取最大值，因?yàn)?，此時(shí)，所以的取值范圍為.故選：D.二、多選題:本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知空間向量，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.在上的投影向量為【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算，驗(yàn)證向量的平行垂直，向量的模，投影向量即可解決.【詳解】因?yàn)?，所以，故A正確；由題得，而，所以不成立，故B不正確；因?yàn)?，故C正確；因?yàn)樵谏系耐队跋蛄繛?，故D錯(cuò)誤；故選：AC.10.已知過(guò)點(diǎn)的直線和圓：，則（）A.直線與圓相交B.直線被圓截得最短弦長(zhǎng)為C.直線與被圓截得的弦長(zhǎng)為，的方程為D.不存在這樣的直線，使得圓上有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離為2【答案】ABD【解析】【分析】判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可得選項(xiàng)A的真假；利用弦長(zhǎng)求解方法可得出選項(xiàng)B的真假；利用待定系數(shù)法可得出選項(xiàng)C的真假；判斷出圓心到直線的最長(zhǎng)距離，從而得出選項(xiàng)D的真假.【詳解】解：因?yàn)閳A：，所以圓的圓心為，半徑為4.選項(xiàng)A：因?yàn)椋渣c(diǎn)圓內(nèi)，故直線與圓相交，選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B：設(shè)圓心到直線的距離為，弦長(zhǎng)為，則，又因?yàn)閳A心到直線的最長(zhǎng)距離，所以，故選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C：直線與被圓截得的弦長(zhǎng)為，所以圓心到直線的距離為，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為，滿足題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，故，解得，故直線方程為，綜上滿足題意的直線方程為或，故選項(xiàng)C不正確；選項(xiàng)D：當(dāng)直線經(jīng)過(guò)圓心時(shí)，圓上到直線的距離為2的點(diǎn)有4個(gè)；當(dāng)直線不經(jīng)過(guò)圓心時(shí)，直線將圓分成優(yōu)弧與劣弧兩個(gè)部分，由于半徑為4，在優(yōu)弧上一定存在兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為2，那么此時(shí)，在劣弧上有且只有一個(gè)點(diǎn)到直線的距離為2.當(dāng)圓心到直線的距離為時(shí)，此時(shí)圓心到直線的距離最大，又因?yàn)榘霃綖?，且，所以此時(shí)劣弧上有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為2，所以不存在所以選項(xiàng)D正確.故選：ABD.11.數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，下列說(shuō)法正確的是（）A.若的首項(xiàng)為1，則為等差數(shù)列B.若為等差數(shù)列，則的公差為2C.D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解選項(xiàng)A，B；根據(jù)數(shù)列的前項(xiàng)和公式求解選項(xiàng)C，D.【詳解】若為等差數(shù)列，則可設(shè),所以，所以，解得，所以，所以的首項(xiàng)為，公差為2，A錯(cuò)誤，B正確；因?yàn)?，所以是?為首項(xiàng)的等差數(shù)列，，C錯(cuò)誤；，因?yàn)?，即，D正確；故選:BD.12.已知拋物線過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)，若為焦點(diǎn)，直線，分別交拋物線于，兩點(diǎn)，則（）A. B.有最小值4C. D.A，P，Q三點(diǎn)共線【答案】ACD【解析】【分析】先根據(jù)拋物線過(guò)點(diǎn)，得到拋物線方程，然后設(shè)直線MN的方程為：，與拋物線方程聯(lián)立，利用拋物線定義得到，結(jié)合韋達(dá)定理判斷B，用坐標(biāo)表示結(jié)合韋達(dá)定理和判別式判斷C，設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，同理得到點(diǎn)Q的坐標(biāo)，利用斜率相等判斷D，根據(jù)點(diǎn)M，P的坐標(biāo)關(guān)系，結(jié)合AN的斜率判斷A.【詳解】如圖所示：因?yàn)閽佄锞€過(guò)點(diǎn)，則，解得，所以拋物線方程為：.設(shè)直線MN的方程為：，，則，代入拋物線方程消去x得：，由，得或，由韋達(dá)定理得：.對(duì)于選項(xiàng)B：由拋物線定義得：，則，即，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)椋?，又，故C正確；設(shè)直線的方程為：，，代入拋物線方程消去x得：，可得，則，即，則，同理可得，且，即，則，即，所以三點(diǎn)共線，故D正確；對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，則，所以，又因?yàn)榛?，則，可知，所以，故A錯(cuò)誤；故選：ACD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.三、填空題:本題共4小題，每小題5分，共20分.13.曲線在處切線的傾斜角為_(kāi)_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)切線斜率即為該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值求解.【詳解】設(shè)所求切線的傾斜角是，令，則結(jié)合傾斜角范圍易知．故答案：14.請(qǐng)寫(xiě)出滿足：直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等且與圓相切的一條直線的方程為_(kāi)__________．（寫(xiě)出一條即可）【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】設(shè)出直線方程，利用圓心到直線的距離為半徑即可得方程.【詳解】圓，圓心，半徑，當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)斜率存在，設(shè)方程為，圓心到直線的距離為，則解得，∴所求直線的方程為，即，當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，圓心到直線的距離為，則，解得(舍)或，∴所求直線的方程為.綜上，滿足題意的直線有或,故答案為：（答案不唯一）.15.我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線方程的概念：直線上的每一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解；反之，方程的解所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在直線上．同理，空間直角坐標(biāo)系中，也可得到平面的方程：過(guò)點(diǎn)且一個(gè)法向量為的平面的方程為．據(jù)上述知識(shí)解決問(wèn)題：建立合適空間直角坐標(biāo)系，已求得某傾斜墻面所在平面方程為：，若墻面外一點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則點(diǎn)P到平面的距離為_(kāi)_______．【答案】##【解析】【分析】確定平面過(guò)定點(diǎn)，平面的法向量為，計(jì)算，再計(jì)算距離得到結(jié)果.【詳解】平面的方程為，取，則平面的法向量為，，則，故點(diǎn)Q到平面的距離為.故答案為：.16.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，若數(shù)列的前項(xiàng)和滿足恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】由的關(guān)系仿寫(xiě)作差得到，再由錯(cuò)位相減法得到，最后由不等式恒成立問(wèn)題和解一元二次不等式求出即可.【詳解】由，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；作差可得，則數(shù)列是首項(xiàng)和公比都為的等比數(shù)列，所以.，，以上兩式相減可得，則，因?yàn)楹愠闪ⅲ?，解得或，故答案為?四、解答題:本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）借助等差數(shù)列基本量計(jì)算即可得；（2）借助裂項(xiàng)相消法即可求和.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由已知得，解得，，所以；【小問(wèn)2詳解】，所以，即.18.在長(zhǎng)方體中，底面為正方形，，，為中點(diǎn)，為中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求與平面成角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）法1：構(gòu)造平行四邊形，證明線線平行，即可證明線面平行；法2：利用向量法證明線面垂直；（2）利用向量法求線面角.【小問(wèn)1詳解】法1：取的中點(diǎn),連接,,依題意可知：且,且所以且,四邊形為平行四邊形，故，又平面,平面,所以平面.法2：以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，，,,，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，,又面，所以平面，【小問(wèn)2詳解】由（1），設(shè)與平面所成角為，則，所以與平面所成角的余弦值為.19.已知函數(shù).（1）求在上的最大值；（2）若函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值及端點(diǎn)的函數(shù)值，即可求出函數(shù)的最大值；（2）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值，再結(jié)合題意列出不等式組即可得解.【小問(wèn)1詳解】，可知時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，由，，；【小問(wèn)2詳解】，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在和上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)橛腥齻€(gè)零點(diǎn)，所以，即，解得，故的取值范圍為.20.已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足．（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）若，求滿足條件的最大正整數(shù)．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）1011【解析】【分析】（1）由已知遞推關(guān)系兩邊取倒數(shù)，再構(gòu)造數(shù)列即可，注意驗(yàn)證.（2）由上問(wèn)求出，再由等比數(shù)列的前項(xiàng)和求出不等式左邊，最后結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求出結(jié)果即可.【小問(wèn)1詳解】由,得,則又，，所以數(shù)列是以首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列.【小問(wèn)2詳解】由（1）可得，所以，則，，得，即，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知為單調(diào)遞增函數(shù)，所以滿足的最大正整數(shù)為.21.已知?jiǎng)狱c(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離的比是.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）若的下頂點(diǎn)為，不過(guò)的直線與交于點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，若，試問(wèn)直線是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)？若經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）（2）直線恒過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為【解析】【分析】（1）設(shè)點(diǎn)，根據(jù)條件建立方程，化簡(jiǎn)即可得出結(jié)果；（2）利用條件及，得到，從而有，設(shè)的方程為，聯(lián)立，得到，由韋達(dá)定理有，再利用，即可求出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】設(shè)點(diǎn)，依題意得，整理化簡(jiǎn)得，即，所以點(diǎn)的軌跡的方程為.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，又，所以，得到，又為線段的中點(diǎn)，所以，因此，根據(jù)題意可知直線的斜率一定存在，設(shè)的方程為，聯(lián)立，消去得，，根據(jù)韋達(dá)定理可得，易知，所以，故，所以，整理得，解得或.又直線不經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以舍去，于是直線的方程為，恒過(guò)定點(diǎn)，又該點(diǎn)在橢圓軌跡內(nèi)，滿足，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴：本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于利用，結(jié)合圖形，利用幾何關(guān)系得到，再聯(lián)立直線與橢圓方程，利用來(lái)解決問(wèn)題.22.已知函數(shù)．（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性．（2）若有兩個(gè)不相等的實(shí)根，且，求證：．【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再分、兩種情況討論，分別求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）依題意可得，即可得到，設(shè)，則只需證明，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，即可得證.【小問(wèn)1詳解】由題意知，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，得．?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，令，得．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)