專題6.2 反比例函數(shù)的性質(zhì)【十大題型】-2024-2025學年九年級數(shù)學上冊舉一反三系列（北師大版）

PAGE1專題6.2反比例函數(shù)的性質(zhì)【十大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1由反比例函數(shù)的解析式確定其性質(zhì)】 2【題型2判斷反比例函數(shù)圖象所在的象限】 4【題型3判斷反比例函數(shù)的增減性】 7【題型4由反比例函數(shù)的增減性求字母的取值范圍】 9【題型5由雙曲線分布的象限求字母的取值范圍】 11【題型6比較反比例函數(shù)值或自變量的大小】 14【題型7反比例函數(shù)中的幾何變換問題】 15【題型8一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的綜合判斷】 26【題型9一次函數(shù)與反比例函數(shù)的的交點問題】 29【題型10反比例函數(shù)的實際應用】 37知識點1：反比例函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)圖象所在象限增減性三象限在同一象限內(nèi)，隨的增大而減小四象限在同一象限內(nèi)，隨的增大而增大越大，函數(shù)圖象越遠離坐標原點【題型1由反比例函數(shù)的解析式確定其性質(zhì)】【例1】（23-24九年級·河北·階段練習）關(guān)于反比例函數(shù)y=4x的圖象，下列說法正確的是（

）A．必經(jīng)過點(1,1) B．兩個分支分布在第二、四象限C．兩個分支關(guān)于x軸成軸對稱 D．當x<?1時，?4<y<0【答案】D【分析】根據(jù)反比例函數(shù)y=k【詳解】A、必經(jīng)過點（1，1），說法錯誤；B、兩個分支分布在第一、三象限，說法錯誤；C、兩個分支關(guān)于原點成中心對稱，說法錯誤；D、當x<?1時，?4<y<0，說法正確；故選：D．【點睛】此題主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)．【變式1-1】（23-24九年級·河南商丘·期末）對于反比例函數(shù)y=kxk<0A．圖像位于第二，四象限B．圖像關(guān)于y軸對稱C．當x＞0時，y隨D．若點a,b在圖像上，則點?a,?b也一定在圖像上【答案】B【分析】本題考查了反比例函數(shù)的圖像分布，性質(zhì)，對稱性和圖像過點問題，正確理解性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．【詳解】反比例函數(shù)y=kA.圖像位于第二，四象限，正確，不符合題意；B.圖像關(guān)于原點對稱，錯誤，符合題意；C.當x＞0時，y隨D.若點a,b在圖像上，則k=ab=?a·?b故選B．【變式1-2】（23-24九年級·江蘇蘇州·期中）已知反比例函數(shù)表達式為y=?6A．函數(shù)圖象位于第一、三象限 B．點2，C．當x<0時，y隨x的增大而增大 D．當y≥2時，x≥3【答案】C【分析】本題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)．熟練掌握反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．,根據(jù)反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)判斷作答即可．【詳解】解：∵?6<0，∴函數(shù)圖象位于第二、四象限，A錯誤，故不符合要求；當x=2時，y=?6∴點2，當x<0時，y隨x的增大而增大,C正確，故符合要求；當y≥2時，?3≤x<0，D錯誤，故不符合要求；故選：C．【變式1-3】（23-24九年級·四川宜賓·期中）關(guān)于反比例函數(shù)y=5x，下列說法：①圖像位于第一、三象限；②圖像不與坐標軸相交；③在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大；④當x>0時，y>0，其中正確的說法有【答案】3【分析】本題考查了反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)．根據(jù)反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)逐一判斷．【詳解】解：在反比例函數(shù)y=5∵5>0∴圖像位于第一、三象限；在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小；當x>0時，y>0；∴正確的說法有3個，故答案為：3．【題型2判斷反比例函數(shù)圖象所在的象限】【例2】（23-24·廣東廣州·一模）已知一次函數(shù)y=ax+b經(jīng)過點?2,?3，正比例函數(shù)y1=ax不經(jīng)過第三象限，則反比例函數(shù)y2A．第一、第二象限 B．第一、第三象限C．第二、第三象限 D．第二、第四象限【答案】D【分析】本題考查了正比例函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)圖象．熟練掌握正比例函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖象是解題的關(guān)鍵．由正比例函數(shù)y1=ax不經(jīng)過第三象限，可得a<0，由一次函數(shù)y=ax+b經(jīng)過點?2,?3，可知一次函數(shù)經(jīng)過第二、三、四象限，即b<0，進而可判斷反比例函數(shù)【詳解】解：∵正比例函數(shù)y1∴a<0，又∵一次函數(shù)y=ax+b經(jīng)過點?2,?3，∴一次函數(shù)經(jīng)過第二、三、四象限，∴b<0，∴反比例函數(shù)y2故選：D．【變式2-1】（23-24九年級·江蘇南京·期末）已知反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點Pa,a，則這個函數(shù)的圖像位于第【答案】一、三/三、一【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象．熟練掌握反比例函數(shù)圖象是解題的關(guān)鍵．根據(jù)Pa,a【詳解】解：由題意知，Pa,a∴反比例函數(shù)的圖像位于第一、三象限，故答案為：一、三．【變式2-2】（23-24九年級·全國·單元測試）反比例函數(shù)的圖像過點a,b與點a+2,t，若a、b同號，則此圖像在第象限，用含a、b的式子表示t=．【答案】一、三ab【分析】設(shè)反比例函數(shù)解析式為y=kx，可得k=ab>0，故反比例函數(shù)的圖像在第一、三象限；由反比例函數(shù)的圖像過點a,b與點a+2,t可得ab=(a+2)t，于是【詳解】解：設(shè)反比例函數(shù)解析式為y=k∵反比例函數(shù)的圖像過點a,b，∴k=ab，∵a、b同號，∴k>0，∴反比例函數(shù)的圖像在第一、三象限；∵反比例函數(shù)的圖像過點a,b與點a+2,t∴ab=(a+2)t，∴t=ab故答案是：一、三；aba+2【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)，熟悉性質(zhì)是解題關(guān)鍵.【變式2-3】（23-24九年級·河南南陽·期末）已知五個函數(shù)①y=5x，②y=x?1，③y=?x+3，④y=2x，⑤y=?2x，現(xiàn)有兩個條件：（1）第二、第四象限內(nèi)均有它的圖象，（2）在每個象限內(nèi)，y隨【答案】⑤【分析】本題主要考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)和反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．畫出相應的函數(shù)圖象，根據(jù)一次函數(shù)圖象和反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)逐一判斷即可．【詳解】解：依次畫出這五個函數(shù)的圖象，如圖所示，①由y=5x圖象可知，經(jīng)過第一、三象限，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，故①不符合題意；②由函數(shù)y=x?1圖象可知，第二象限沒有它的圖象，經(jīng)過第一、三、四象限，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，故②不符合題意；③由函數(shù)y=?x+3圖象可知，經(jīng)過第一、二、四象限，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，故③不符合題意；④由函數(shù)y=2x圖象可知，第二、第四象限內(nèi)沒有它的圖象，經(jīng)過第一、三象限，且在每個象限內(nèi)，y隨⑤由函數(shù)y=?2x圖象可知，經(jīng)過第二、四象限，且在每個象限內(nèi)，y隨綜上所述，⑤符合題意；故答案為：⑤．【題型3判斷反比例函數(shù)的增減性】【例3】（23-24九年級·上海崇明·期末）下列函數(shù)中，y隨x的增大而增大的是（）A．y=x+2 B．y=?x+2 C．y=2x 【答案】A【分析】本題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．根據(jù)一次函數(shù)和反比例函數(shù)的增減性逐項判定即可得．【詳解】解：A、一次函數(shù)y=x+2中，k=1>0，所以y隨x的增大而增大，則此項符合題意；B、一次函數(shù)y=?x+2中，k=?1<0，所以y隨x的增大而減小，則此項不符合題意；C、反比例函數(shù)y=2x中，k=2>0，所以函數(shù)圖象位于第一、三象限，在每一象限內(nèi)，y隨D、反比例函數(shù)y=?2x中，k=?2<0，所以函數(shù)圖象位于第二、四象限，在每一象限內(nèi)，y隨故選：A．【變式3-1】（23-24·上?！と＃┓幢壤瘮?shù)y=kx，k>0，則在第三象限，y隨x增大而【答案】減小【分析】此題考查反比例函數(shù)的性質(zhì)．由k>0，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵反比例函數(shù)y=kx，∴反比例函數(shù)在一、三象限，每個象限內(nèi)y隨x增大而減小，∴在第三象限，y隨x增大而減小，故答案為：減小．【變式3-2】（23-24·上?！つM預測）若正比例函數(shù)y=mnx過第二象限，則反比例函數(shù)y=?mnx的圖象在每個象限，y隨x的增大而【答案】減小【分析】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、反比例函數(shù)的性質(zhì)，由題意得出mn<0，從而推出?mn>0，最后由反比例函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】解：∵正比例函數(shù)y=mnx過第二象限，∴mn<0，∴?mn>0，∴則反比例函數(shù)y=?mnx的圖象在每個象限，y隨故答案為：減?。咀兪?-3】（23-24九年級·江西九江·階段練習）已知反比例函數(shù)y=5x，當?5≤y<?1時，自變量x的取值范圍是【答案】?5<x≤?1/?1≥x>?5【分析】本題考查反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、反比例函數(shù)的性質(zhì)，由k的值，可以得到該函數(shù)圖象在第幾象限，再根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，從而可以得到x的取值范圍．【詳解】解：∵y=5∴該函數(shù)圖象在第一、三象限，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而減??；∴當y=?5時，則5當y=?1時，則5x=∴當?5≤y<?1時，?5<x≤?1，故答案為：?5<x≤?1．【題型4由反比例函數(shù)的增減性求字母的取值范圍】【例4】（23-24九年級·浙江嘉興·期末）已知點A（a，y1），B（2，y2）在反比例函數(shù)y=m【答案】?2<a<0/【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的增減性和點的位置解答．【詳解】∵m2∴圖象經(jīng)過第一、三象限，在每個象限內(nèi)，y隨著x的增大而減小，∵y1∴y1∵點Aa,y1，B2,y∴A點在第三象限，B點在第一象限，∴a<0∴y1∴m2∴m2∴a>?2∴?2<a<0故答案為：?2<a<0【點睛】本題考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，會根據(jù)函數(shù)值的大小確定點的位置是解題關(guān)鍵．【變式4-1】（23-24·陜西西安·模擬預測）已知反比例函數(shù)y=kx（k≠0），點Ax1,y1，B【答案】y=?2【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，根據(jù)反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)進行判斷即可，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】∵當x1<x∴在每個象限內(nèi)y隨x的增大而增大，∴反比例函數(shù)圖象的兩個分支在第二、四象限，∴k<0，∴該反比例函數(shù)的表達式可以為y=?2故答案為：y=?2【變式4-2】（23-24·湖北武漢·模擬預測）已知點A(a,y1)，B(a+2,y2)，在反比例函數(shù)y=|k|+1A．a(chǎn)<0 B．a(chǎn)<?2 C．?2<a<0 D．a(chǎn)<?2或a>0【答案】D【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)分兩種情況進行討論，①當點（a，y1）、（a＋2，y2）在圖象的同一分支上時；②當點（a，y1）、（a＋2，y2）在圖象的兩支上時，分別求解即可．【詳解】解：∵|k|+1>0，∴圖像在一、三象限，在反比例函數(shù)圖像的每一支上，y隨x的增大而減小，∵y1∴y1＞y2，①當點（a，y1）、（a＋2，y2）在同一象限時，∵y1＞y2，i.當在第一象限時，∴0<a<a+2，解得a>0；ii.當在第三象限時，∴a<a+2<0，解得a<?2；綜上所述：a<?2或a>0；②當點（a，y1）、（a＋2，y2）不在同一象限時，∵y1＞y2，∴a＞0，a＋2＜0，此不等式組無解，因此，本題a的取值范圍為a<?2或a>0，故選：D．【點睛】此題主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握當反比例函數(shù)k的正負對增減性的影響，當k<0時，在圖象的每一支上，y隨x的增大而增大；當k>0時，在圖象的每一支上，y隨x的增大而減?。咀兪?-3】（23-24九年級·浙江杭州·期末）已知反比例函數(shù)y=kx(k≠0)，當1≤x≤3時，y的最大值與最小值之差是4，則【答案】6或-6．【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的增減性質(zhì)列解一元一次方程解答即可．【詳解】解：當k>0時，在每個象限內(nèi)y隨x的增大而減小，∴設(shè)x=1時y=a，則當x=3時，y=a-4，∴a=3（a-4），解得a=6，∴k=6；當k<0時，在每個象限內(nèi)y隨x的增大而增大，∴設(shè)x=1時y=b，則當x=3時，y=b+4，∴b=3（b+4），解得b=-6，∴k=-6；∴k=6或-6，故答案為：6或-6．【點睛】此題考查反比例函數(shù)的增減性：當k>0時，在每個象限內(nèi)y隨x的增大而減小，當k<0時，在每個象限內(nèi)y隨x的增大而增大，以及正確解一元一次方程．【題型5由雙曲線分布的象限求字母的取值范圍】【例5】（23-24九年級·湖南常德·階段練習）若反比例函數(shù)y=m?0.1x?|m|【答案】?1【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的定義和圖像經(jīng)過的象限確定即可確定m的值．【詳解】解：∵y=m?0.1∴?m=?1，即∵函數(shù)圖像經(jīng)過第二、四象限，∴m?0.1<0，即m<0.1，∴m=?1．故答案為?1．【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的定義、反比例函數(shù)的性質(zhì)等知識點，掌握反比例函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．【變式5-1】（23-24九年級·上海閔行·階段練習）若反比例函數(shù)y=1?3kx的圖象不經(jīng)過第一象限，則k的取值范圍是【答案】k>【分析】根據(jù)圖象在坐標平面內(nèi)的位置：不經(jīng)過第一象限，則1?3k<0，解之即可求得k的取值范圍，從而求解．【詳解】解：反比例函數(shù)y=1?3k則經(jīng)過二四象限，∴1?3k<0．解得：k>1故答案為：k>1【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（23-24九年級·安徽合肥·期末）若反比例函數(shù)y=mx（m≠0）與正比例函數(shù)y=7x無交點，則m的取值范圍是【答案】m<0【分析】根據(jù)反比例函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵正比例函數(shù)y=7x中，7＞0，∴正比例函數(shù)y=7x的圖象過第一、三象限，∵反比例函數(shù)y=mx（m≠0）與正比例函數(shù)y=7x∴反比例函數(shù)y=mx（m∴m＜0．故答案為：m＜0．【點睛】本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟知一次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（23-24·陜西西安·模擬預測）已知反比例函數(shù)y=kxk≠0的圖象經(jīng)過第一、三象限，Ax1,y1與Bx2,【答案】2【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，明確圖象上點的坐標適合解析式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)圖象上點的坐標特征得到y(tǒng)1=kx1，y2=kx2，變形為1y1=【詳解】解：∵點A(x1，y1)，B(x∴y1=∴1y1=∵1y∴x2∴x2∵x2∴k?1=2解得：k=2或?1，∵反比例函數(shù)y=k∴k=2，故答案為2．【題型6比較反比例函數(shù)值或自變量的大小】【例6】（23-24九年級·浙江紹興·期末）已知x1,y1，x2,y2，x3,y3是反比例函數(shù)y=2024A．y1<yC．y3<y【答案】B【分析】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)反比例函數(shù)增減性與k的關(guān)系進行解答即可．【詳解】解：∵k=2024>0，∴反比例函數(shù)y=2024x的圖象分布在第一三象限，在每個象限內(nèi)，y隨∵x1<∴點x3,y3在第一象限，點∵x∴y∴y故選：B．【變式6-1】（23-24九年級·江蘇蘇州·階段練習）若點Ax1,?5、Bx2,2、Cx3,5都在反比例函數(shù)y=A．x1<x2<x3 B．【答案】C【分析】本題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，根據(jù)反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可解題．【詳解】解：∵點Ax1,?5、Bx2∴x1<0，x又∵反比例函數(shù)y=10x，在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，且∴x∴x1故選：C．【變式6-2】（23-24九年級·廣東廣州·期末）若點A?2,y1，B?1,y2，C2,y3都在反比例函數(shù)y=【答案】y【分析】本題主要考查反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的圖像是解題的關(guān)鍵．根據(jù)反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)解題即可．【詳解】解：∵k故反比例函數(shù)經(jīng)過一、三象限，所以每一象限y隨x的增大而減小，所以y3故答案為：y3【變式6-3】（23-24九年級·浙江金華·階段練習）若點Ax1,?1，Bx2,1，Cx3,5都在反比例函數(shù)y=【答案】x1<【分析】本題考查比較反比例函數(shù)值的大小關(guān)系，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，進行判斷即可．【詳解】解：∵y=5x，∴雙曲線兩支分別位于第一、三象限，在每一個象限內(nèi)y隨著x的增大而減小，∵點Ax1,?1，Bx2∴點A在第三象限，B,C在第一象限，∴x1∵5>1，∴x2∴x1故答案為：x1【題型7反比例函數(shù)中的幾何變換問題】【例7】（23-24九年級·山東泰安·期末）閱讀下面的問題及其解決途徑．問題：將函數(shù)y=2x?3的圖像向右平移2個單位長度，所得到的圖像對應的函數(shù)表達式是什么？解決途徑：

結(jié)合閱讀內(nèi)容，完成下面的問題．(1)填寫下面的空格．問題：將函數(shù)y=6

(2)靈活應用如圖，已知反比例函數(shù)y=2x的圖像C與正比例函數(shù)y=axa≠0的圖像l相交于點A1,m和點B．將函數(shù)y=2x的圖像和直線AB同時向右平移nn>0個單位長度，得到的圖像分別記為C①求出平移后的圖像l1②直接寫出不等式2x?2【答案】(1)x+1，y；y=(2)①y=2x?4；②1≤x<2或x≥3【分析】（1）根據(jù)材料可得，將Px,y向右平移1個單位后，P′坐標為x+1,y，再將（2）①直接把A點坐標代入y=2x即可求出m的值，然后再把A點坐標代入y=ax求出a的值，最后利用反比例函數(shù)的圖像與正比例函數(shù)的圖像的交點關(guān)于原點對稱確定B點坐標；根據(jù)題意得到函數(shù)y=2x的圖像和直線AB向右平移nn>0個單位長度，得到的圖像C1的解析式為y=2x?n和圖像l1②不等式2x?2+4≤ax可理解為比較y=2x?2和y=2x?4的函數(shù)值，由于y=2x?2和y=2x?4為函數(shù)【詳解】（1）解：設(shè)變換后新的函數(shù)圖像上任意點P的坐標為x,y，將Px,y向右平移1個單位后，P′坐標為將P′x+1,y代入y=6∴平移后的圖像對應的函數(shù)表達式為：y=6故答案為：x+1，y；y=6（2）解：①把A1,m代入y=2x∴A1,2把A1,2代入y=ax得：a=2∴反比例函數(shù)y=2x的圖像與正比例函數(shù)∴B點坐標為?1,?2，函數(shù)y=2x的圖像和直線y=2x的圖像向右平移nn>0個單位長度，得到的圖像C1的解析式為y=2把M3,2代入得：2解得：n=2，∴圖像C1的解析式為y=2x?2，l∴平移后的圖像l1對應的函數(shù)表達式為：y=2x?4②由①得，函數(shù)y=2x的圖像和直線∵平移之前A1,2，B∴平移以后兩個函數(shù)圖像的解析式為：圖像C1的解析式為y=2x?2，l1的解析式為y=2x?4；平移后的兩個圖像交點分別是3,2，1,?2，直線y=2x?4與∵不等式2x?2又∵a=2，即：2x?2∴結(jié)合圖像可知解集為：1≤x<2或x≥3∴不等式2x?2≤ax?4的解集為：1≤x<2或【點睛】本題主要考查圖形的幾何變換，考查了反比例函數(shù)的綜合應用，反比例函數(shù)圖像上點的坐標特征，會確定反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標以及待定系數(shù)法確定解析式，用數(shù)形結(jié)合法解不等式．理解和掌握通過圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、對折確定點的坐標從而確定函數(shù)的表達式是解題的關(guān)鍵．【變式7-1】（23-24九年級·北京西城·期末）如圖，在平面直角坐標系xOy中，Rt△ABC的直角邊AB在x軸上，∠ABC=90°．點A的坐標為1，0，點C的坐標為3，4，M是BC邊的中點，函數(shù)y=k（1）求k的值；（2）將△ABC繞某個點旋轉(zhuǎn)180°后得到△DEF（點A，B，C的對應點分別為點D，E，F(xiàn)），且EF在y軸上，點D在函數(shù)y=kx【答案】（1）6；（2）y=2x-1．【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和坐標與圖形的特點求得點M的坐標，將其代入反比例函數(shù)解析式求得k的值；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)推知：△DEF?△ABC，故其對應邊、角相等：DE=AB，EF=BC，∠DEF=∠ABC=90°，由函數(shù)圖象上點的坐標特征得到：D2,3，E0,3.結(jié)合EF=BC=4得到【詳解】（1）∵Rt△ABC的直角邊AB在x軸上，∠ABC=90°，點C的坐標為（3，4），∴點B的坐標為（3，0），CB=4．∵M是BC邊的中點，∴點M的坐標為（3，2）．∵函數(shù)y=k∴k=3×2=6．（2）∵△ABC繞某個點旋轉(zhuǎn)180°后得到△DEF，∴△DEF≌△ABC．∴DE=AB，EF=BC，∠DEF=∠ABC=90°．∵點A的坐標為（1，0），點B的坐標為（3，0），∴AB=2．∴DE=2．∵EF在y軸上，∴點D的橫坐標為2．∵點D在函數(shù)y=6當x=2時，y=3．∴點D的坐標為（2，3）．∴點E的坐標為（0，3）．∵EF=BC=4，∴點F的坐標為（0，-1）．設(shè)直線DF的表達式為y=ax+b，將點D，F(xiàn)的坐標代入，得3=2a+b?1=b∴直線DF的表達式為y=2x-1．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).解題時，注意函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合數(shù)學思想的應用.【變式7-2】（23-24·四川成都·二模）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線l:y=?34x+3與x軸、y軸分別交于點A、B，與雙曲線y=kx交于點C6,m，D兩點，直線x=t分別與直線l和雙曲線y=k(1)求k的值；(2)點M在線段AB上（不與端點A、B重合），若CM=CN，求△BCN的面積；(3)將點N沿直線AB翻折后的對應點為N′，當N′落在x軸上時，求【答案】(1)?9(2)18(3)2±【分析】（1）先求出C6,?（2）結(jié)合題意得出M坐標t,?34t+3，N坐標t,?9t，過C作CH⊥MN于點H，求出H縱坐標為1（3）將x軸沿直線AB翻折得直線l′，過點O作OP⊥AB交直線l′于點P，交直線AB于點Q，由題意得出直線OP解析式y(tǒng)=43x，求出Q3625,4825，從而得到【詳解】（1）解：將C6,m代入直線y=?34解得：m=?3再將C6,?32代入y=（2）解：由（1）得直線l:y=?34x+3，雙曲線y=?9x∴M坐標t,?34t+3，N過C作CH⊥MN于點H，∵CM=CN，∴H為MN中點，∴H縱坐標為12∴1解的t1=2，∴t=2，可得M2,32，N∴S△BCN（3）解：將x軸沿直線AB翻折得直線l′，過點O作OP⊥AB交直線l′于點P，交直線AB于點由直線l:y=?34x+3可得直線OP聯(lián)立y=?34x+3∴Q36∵Q為OP中點，則P72設(shè)直線l′的解析式為：y=mx+n將P7225,9625及A解得：m=?24∴直線l′解析式y(tǒng)=?聯(lián)立y=?247x+解得：x=2±106當t=2±1064時，將點N沿直線AB翻折后的對應點N′∴t=2±106【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點問題、求反比例函數(shù)解析式、求一次函數(shù)解析式、三角形面積公式、求中點坐標等知識點，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵．【變式7-3】（23-24·四川成都·一模）如圖，已知直線y=?x+m+1與反比例函數(shù)y=mxx>0,m>0的圖象分別交于點A和點B，與x軸交于點C，與y

(1)如圖1，當點A坐標為1,3時，①求直線AB的解析式：②若點P是反比例函數(shù)在第一象限直線AB上方一點，當△ABP面積為2時，求點P的坐標；(2)將直線CD向上平移2個單位得到直線EF，將雙曲線位于CD下方部分沿直線CD翻折，若翻折后的圖象（圖中虛線部分）與直線EF有且只有一個公共點，求m的值．【答案】(1)①y=?x+4；②P3+6(2)m=3+2【分析】（1）①根據(jù)點A的坐標求得反比例函數(shù)的解析式，即可求得m的值，代入一次函數(shù)即可求得直線AB的解析式；②作MN∥AB，過C作CQ⊥MN于Q；聯(lián)立AB與反比例函數(shù)解析式，求得A，B的坐標，進而求得AB的長，根據(jù)三角形面積求得MN，AB的距離，進而求得（2）過點O作OJ⊥EF，交y=mx于點H，交AB于點I，由題意可知直線EF的解析式為y=?x+m+3，則Em+3,0,F0,m+3，同（1）可得Cm+1，0,D0，m+1，證明I為CD的中點，得到Im+12，m+12，則直線OI的解析式為y=x【詳解】（1）解：①∵A1，3∴m=1×3=3，把m=3代入y=?x+m+1中得：y=?x+4，則直線AB解析式為：y=?x+4，反比例函數(shù)解析式為：y=3②由直線y=?x+4與反比例函數(shù)y=3x的圖象分別交于點A和點則y=?x+4y=解得x=1y=3或x=3∴B3∴AB=3?1如圖，過P作MN∥AB分別交x軸、y軸于點M、N，過C作CQ⊥MN于Q，設(shè)MN，AB的距離為d，則解得d=2∴MN，AB的距離為∴CQ=2

∵y=?x+4，令x=0，則y=4，令y=0，則x=4，即C∴OC=OD=4，∴△OCD是等腰直角三角形，∴∠OCD=45°，∵MN∥CD，∴∠QMC=∠OCD=45°，∴△CQM是等腰直角三角形，在Rt△CQM中，CM=∴直線MN是直線AB向右平移2個單位后得到的直線，∴直線MN的解析式為y=?x+6，聯(lián)立y=?x+6y=解得x=3+6y=3?6∴P3+6，（2）解：過點O作OJ⊥EF于J，交y=mx于點H，交AB于點

∴OJ⊥CD，由題意可知直線EF的解析式為y=?x+m+3，∴Em+3,0同（1）可得Cm+1∴OD=OC，∵OI⊥CD，∴I為CD的中點，∴Im+1∴直線OI的解析式為y=x，若翻折后的圖像（圖中虛線部分）與直線EF有且只有一個公共點，則H點對應的點為J，∴IJ=IH，即I是JH的中點，聯(lián)立y=xy=mx，解得x=∴Hm∴m+∴2m∴2m∴m2解得：m=3+22【點睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例數(shù)綜合，求一次函數(shù)與反比例函數(shù)解析式，等腰直角三角形的性質(zhì)，解一元二次方程，一次函數(shù)的平移，軸對稱的性質(zhì)，正確作出輔助線，利用數(shù)形結(jié)合的思想求解是解題的關(guān)鍵．【題型8一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的綜合判斷】【例8】（23-24九年級·四川內(nèi)江·階段練習）在同一直角坐標系中，函數(shù)y=mx+m與y=mxm≠0A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象綜合分析．根據(jù)每個函數(shù)圖象分析出對應的參數(shù)范圍，再綜合對比即可．【詳解】解：當m>0時，∴反比例函數(shù)y=mx圖象在一、三象限，函數(shù)當m<0時，∴反比例函數(shù)y=mx圖象在二、四象限，函數(shù)故選：A．【變式8-1】（23-24九年級·全國·課后作業(yè)）在同一直角坐標系中，函數(shù)y=kx?k與y=A．①或④ B．②或③C．①或③ D．②或④【答案】B【分析】此題考查一次函數(shù)的圖象和反比例函數(shù)的圖象，根據(jù)k的取值范圍，分別討論k>0和k<0時的情況，然后根據(jù)一次函數(shù)和反比例函數(shù)圖象的特點進行選擇正確答案．【詳解】解：當k>0時，一次函數(shù)y=kx?k經(jīng)過一、三、四象限，函數(shù)y=k故選項②的圖象符合要求．當k<0時，一次函數(shù)y=kx?k經(jīng)過一、二、四象限，函數(shù)y=k故選項③的圖象符合要求．故選：B．【變式8-2】（23-24·廣東廣州·二模）定義新運算：a?b=aba≥0baa<0例如A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查定義新運算，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象，根據(jù)新運算的法則，列出關(guān)系式，進行判斷即可．【詳解】解：由題意，得：y=x?2=x∴當x≥0時，函數(shù)圖象是過原點的向上的直線，當x<0時，函數(shù)圖象是過第三象限的雙曲線；故符合題意的是：C【變式8-3】（23-24九年級·江蘇泰州·期中）變量y與x、變量z與y之間的函數(shù)關(guān)系分別如圖①，②所示，則表示變量z與x之間的函數(shù)關(guān)系的圖象可能是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】本題主要考查函數(shù)的圖象，一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)．由圖①可得y=12x+1，由圖②可得z=1y【詳解】解：設(shè)圖①y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，由圖①得?2k+b=0b=1，解得k=∴y=1設(shè)z與y之間的函數(shù)關(guān)系式為y=k由圖②得k′∴z=1∴z=1∵x+2≠0，∴變量z與x之間的函數(shù)關(guān)系的圖象可能是A．故選：A．【題型9一次函數(shù)與反比例函數(shù)的的交點問題】【例9】（23-24九年級·四川內(nèi)江·期中）如圖，直線y=kx+b與雙曲線y=mx(x<0)相交于A(?3,1)、B(?1,n)兩點，與x(1)分別求出一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；(2)連接OA、OB，求△AOB的面積；(3)直接寫出當x<0時，關(guān)于x的不等式kx+b<m【答案】(1)一次函數(shù)的表達式為y=x+4；反比例函數(shù)表達式為y=?(2)4(3)x<?3或?1<x<0【分析】本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)和反比例函數(shù)解析式、三角形面積等；解題時著重使用一次函數(shù)，體現(xiàn)了方程思想，綜合性較強．（1）將已知點坐標代入反函數(shù)表達式，再求解B的坐標，再求解一次函數(shù)的解析式即可；（2）先求解D的坐標，結(jié)合點A，點B的坐標，然后根據(jù)△AOB的面積=S（3）根據(jù)圖象即可解決問題．【詳解】（1）解：將A?3,1代入y=mx∴反比例的解析式為y=?3把B(?1,n)代入y=?3∴n=3，∴B(?1,3)，將A?3,1，B(?1,3)代入y=kx+b?3k+b=1?k+b=3解得：k=1b=4∴一次函數(shù)的解析式為y=x+4，（2）解：對于y=x+4，當x=0時，y=4∴點D的坐標為0,4，∴點B的坐標為?1,3，A?3,1∴△AOB的面積=S（3）解：觀察圖象，當x<0時，關(guān)于x的不等式kx+b<mx的解集是x<?3或【變式9-1】（23-24九年級·江蘇揚州·期末）如圖1，已知反比例函數(shù)y=kx與一次函數(shù)y=ax+b的圖像相交于點A、B，直線AB與x軸、y軸交于點C、(1)若點A(1,6)，點B(2,m)．①一次函數(shù)解析式是；②直接寫出線段AD、BC的長，你有什么發(fā)現(xiàn)？(2)若點A(m,n)，點B(n,m)，則②中的結(jié)論是否仍然成立？試說明理由．(3)實際上，對于任意兩點A、B，②中的結(jié)論都成立，利用此結(jié)論解決問題：如圖2，已知矩形EFGH，點E(1,4),FG=2，若反比例函數(shù)y=kx與矩形的對角線EG有交點，則k的最大值為【答案】(1)①y=?3x+9；②AD=10，BC=10(2)仍然成立，證明見解析(3)4.5【分析】本題考查反比例函數(shù)和一次函數(shù)的交點以及圖像問題，坐標兩點的距離公式，坐標與圖形，利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題是關(guān)鍵．（1）①根據(jù)題意利用待定系數(shù)法將點A(1,6)求出k=6，再代入點B(2,m)，求出m=3，所以點B(2,3)，將兩點A、B分別代入一次函數(shù)即可得出答案；②由①得出方程式可知點D(0,9)，C(3,0)，得AD=10，BC=10，發(fā)現(xiàn)（2）根據(jù)題意將A(m,n)，點B(n,m)分別代入函數(shù)y=ax+b得ma+b=nna+b=m，解得a=?1b=m+n，即一次函數(shù)為y=?x+m+n，得到點D(0,m+n)，C(m+n,0)，進而得出AD=2（3）根據(jù)題意得出點E坐標E(1,4)，F(xiàn)G=2，所以G(3,0)，求出EG的一次函數(shù)y=?2x+6，延長EG交于y軸于點M，即EG函數(shù)也是MG函數(shù)，求出點M坐標為M(0,6)，因為②中得出結(jié)論，即可得出中點N的坐標為(1.5,3)，代入函數(shù)即可得到答案．【詳解】（1）解：①∵兩點A、B是y=kx與∴將點A代入y=kx，解得k=6，再代入點B(2,m)，解得∴B(2,3)，將兩點A、B分別代入y=ax+b得：6=a+b3=2a+b，解得a=?3故答案為：y=?3x+9．②由①知一次函數(shù)為y=?3x+9，即D(0,9)，C(3,0)，∴AD=12+j即AD=BC．（2）解：②中的結(jié)論是否仍然成立，理由如下：把點A(m,n)，點B(n,m)代入一次函數(shù)y=ax+b中得：ma+b=nna+b=m，解得：a=?1∴一次函數(shù)解析式為：y=?x+m+n；當x=0時，y=m+n，∴D(0,m+n)當y=0時，?x+m+n=0，∴x=m+n，∴C(m+n,0)∴AD=m2+AD=BC，仍然成立．（3）解：∵四邊形EFGH是矩形，點E(1,4)，F(xiàn)G=2，∴G(3,0)，如圖2延長GE交y軸于M，設(shè)直線EG得解析式為：y=k則k1+b∴直線EG得解析式為：y=?2x+6，當x=0時，y=6，∴M(0,6)，∴MG的中點N的坐標為(1.5,3)，在②中對于任意兩點A,B，②中得結(jié)論都成立，∴當反比例函數(shù)y=kx于矩形的對角線EG有交點N時，k有最大值，此時故答案為：4.5．【變式9-2】（23-24九年級·浙江寧波·期中）如圖，在平面直角坐標系xOy中，反比例函數(shù)y=kx(x<0)的圖象與直線y=x+2

(1)求k，m的值；(2)已知點Pa,b是直線y=x上位于第三象限的點，過點P作平行于x軸的直線，交直線y=x+2于點M，過點P作平行于y軸的直線，交反比例函數(shù)y=kx①當a=?1時，判斷線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②若PM≤PN，結(jié)合函數(shù)的圖象，直接寫出a的取值范圍．【答案】(1)k的值是3，m的值是?1(2)①PM=PN；理由見解析；②?1≤a<0或a≤?3【分析】（1）將A點代入y=x+2中即可求出m的值，然后將A的坐標代入反比例函數(shù)中即可求出k的值．（2）①當a=?1時，分別求出M、N兩點的坐標即可求出PM與PN的關(guān)系；②由題意可知：P的坐標為a,aa<0，由于PM≤PN，從而可知PN≥2，根據(jù)圖象可求出a【詳解】（1）解：∵函數(shù)y=kx(k<0)的圖象與直線y=x+2∴m=?3+2=?1，∴A(?3,?1)，∴k=?1×(?3)=3，即k的值是3，m的值是?1．（2）解：①PM=PN；理由如下：當a=?1時，又點P(a,b)是直線y=x上，∴P?1,?1把y=?1代入y=x+2，得：?1=x+2解得：x=?3，∴M(?3,?1)，∴PM=?1??3把x=?1，代入y=3x得：y=?3，∴PM=PN．②∵點Pa,b是直線y=x∴Pa,a∵過點P作平行于x軸的直線，交直線y=x+2于點M，∴Ma?2,a∴PM=a?a?2∵PM≤PN，∴PN≥2，∵過點P作平行于y軸的直線，交反比例函數(shù)y=3x(x<0)∴Na,當PN=2時，a?3解得：a=?1或a=?3，如圖：P1N1

∴根據(jù)函數(shù)可知：當PN≥2時，?1≤a<0或a≤?3．【點睛】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合問題，求反比例函數(shù)解析式，平行于x軸和y軸的直線上兩點間的距離，解題的關(guān)鍵是求出反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式，本題屬于基礎(chǔ)題型．【變式9-3】（23-24九年級·河北滄州·期中）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD是平行四邊形，點A，B，C的坐標分別為A2,0，B6,2，C6,6．反比例函數(shù)y=kx(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)如果PC把四邊形ABCD的面積分成1:3兩部分，直接寫出直線PC的解析式；(3)對于一次函數(shù)y=ax+ba≠0，當y隨x的增大而增大時，直接寫出點P的橫坐標x【答案】(1)y=(2)y=x或y=(3)4【分析】本題考查了反比例函數(shù)的綜合應用，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)點B、C的坐標求出線段BC的長，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AD=BC，求出點D的坐標，再利用待定系數(shù)法求解即可；（2）分兩種情況：①當PC經(jīng)過線段AD的中點時，PC把四邊形ABCD的面積分成1:3兩部分，②當PC經(jīng)過線段AB的中點時，PC把四邊形ABCD的面積分成1:3兩部分；分別利用待定系數(shù)法求解即可；（3）過C作x軸、y軸的平行線，交雙曲線于點P1、P2，分別求出P1【詳解】（1）解：∵B6,2，C∴BC∥y軸，BC=6?2=4，又∵四邊形ABCD是平行四邊形，A2,0∴D2,4又∵點D在反比例函數(shù)y=k∴k=2×4=8，∴反比例函數(shù)的關(guān)系式為：y=8（2）解：①當PC經(jīng)過線段AD的中點時，PC把四邊形ABCD的面積分成1:3兩部分，由（1）可知AD中點坐標為2,2，設(shè)PC解析式為y=kx+b，∴2k+b=26k+b=6解得k=1b=0∴PC解析式為：y=x，②當PC經(jīng)過線段AB的中點時，PC把四邊形ABCD的面積分成1:3兩部分，線段AB的中點坐標為4,1，設(shè)PC解析式為y=mx+n，∴4m+n=16m+n=6解得m=5∴直線PC的解析式為：y=5綜上分析，直線PC的解析式為：y=x或y=5（3）解：如圖，過C作x軸、y軸的平行線，交雙曲線于點P1，∵C6,6∴當x=6時，y=43，當y=6時，∴P16,4當點P在P1、P2之間的雙曲線上時，直線PC，即直線y=ax+ba≠0∴點P的橫坐標x的取值范圍為43【題型10反比例函數(shù)的實際應用】【例10】（23-24·遼寧鐵嶺·二模）小明家飲水機中原有水的溫度為20℃，通電開機后，飲水機自動開始加熱[此過程中水溫y（℃）與開機時間x（分）滿足一次函數(shù)關(guān)系]，當加熱到100℃時自動停止加熱，隨后水溫開始下降[此過程中水溫y（℃）與開機時間x（分）成反比例關(guān)系]，當水溫降至20℃時，飲水機又自動開始加熱…，重復上述程序（如圖所示），根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題：(1)當0≤x≤8時，求水溫y（℃）與開機時間x（分）的函數(shù)關(guān)系式；(2)求圖中t的值；(3)有一天，小明在上午7:10（水溫20℃），開機通電后去上學，中午放學回到家時間剛好11:56，飲水機內(nèi)水的溫度約為多少℃？并求：在7:10?11:56這段時間里，水溫共有幾次達到100℃？【答案】(1)y=10x+20(2)t=40(3)飲水機內(nèi)水溫約為80℃，共有7次達到100℃【分析】本題考查了一次函數(shù)以及反比例函數(shù)的應用，根據(jù)題意得出正確的函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．（1）利用待定系數(shù)法代入函數(shù)解析式即可得出答案；（2）先求出反比例函數(shù)解析式進而得出t的值即可得出答案；（3）先求出總時間，再利用每40分鐘圖象重復出現(xiàn)一次，即可得出答案．【詳解】（1）解：設(shè)y=kx+b將0，20、8k+b=100解得k=10水溫y（℃）與開機時間x（分）的函數(shù)關(guān)系式為y=10x+20；（2）在水溫下降過程中，設(shè)水溫y（℃）與開機時間x（分）的函數(shù)關(guān)系式為：y=mx依據(jù)題意，得：100=m故y=800當y=20時，20=解得：t=40；（3）由（2）t=40，結(jié)合圖象，可知每40分鐘圖象重復出現(xiàn)一次，7:10到11:56經(jīng)歷286分鐘，286÷40=7?6，8>6∴當x=6時，y=10×6+20=80答：飲水機內(nèi)水溫約為80℃，共有7次達到100℃．【變式10-1】（23-24九年級·山東煙臺·期末）某藥品研究所開發(fā)一種抗菌新藥，臨床實驗中測得成人服藥后血液中藥物濃度y（微克/毫升）與服藥時間x（小時）之間的函數(shù)關(guān)系圖象由一條線段和一段曲線組成，如圖（當x≥4時，y與x成反比例）．則血液中藥物濃度不低于4微克/毫升的持續(xù)時間為（

）

A．4小時 B．6小時 C．8小時 D．10小