信號與系統(tǒng)-第1章

孫梅郵箱：tsusunmei@163.com信號與系統(tǒng)祝同學(xué)們學(xué)有所成！參考書：鄭君里等編《信號與系統(tǒng)》（第三版）上、下冊，高等教育出版社。祝同學(xué)們學(xué)有所成！課程要求（1）記筆記（2）每周二上午按時交作業(yè)（3）本學(xué)期共安排6個實驗，實驗前做好預(yù)習(xí)（4）考試內(nèi)容：（上課講的例題，課后題，作業(yè)）所涉及的知識點（5）最后成績：考試成績*70%+平時成績*30%祝同學(xué)們學(xué)習(xí)愉快！課程簡介信號與系統(tǒng)理論的基本概念和基本分析方法先修課程：微分方程、差分方程、級數(shù)、復(fù)變函數(shù)、線性代數(shù)、電路分析基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)模型求解物理意義第一章信號和系統(tǒng)緒言信號的概念信號的運算階躍函數(shù)與沖激函數(shù)★系統(tǒng)的描述系統(tǒng)的特性與分析方法第一章信號與系統(tǒng)一、信號的概念1.消息(message):來自外界的各種報道統(tǒng)稱為消息。2.信息(information):通常把消息中有意義的內(nèi)容稱為信息。1.1緒論1.1緒論它是信息論中的一個術(shù)語。3.信號(signal):信息的載體。通過信號傳遞信息。常見信號：電信號、光信號、聲信號、視頻信號、生物信號、經(jīng)濟信號…二、系統(tǒng)的概念生活中，如手機、電視機、通信網(wǎng)、計算機網(wǎng)等都可以看成系統(tǒng)，它們所傳送的語音、音樂、圖象、文字、視頻等都可以看成信號。信號的概念與系統(tǒng)的概念常常緊密地聯(lián)系在一起。信號的產(chǎn)生、傳輸和處理的物理裝置1.1緒論系統(tǒng)(system):常見系統(tǒng)：電路系統(tǒng)、計算機系統(tǒng)、自動控制系統(tǒng)、生物系統(tǒng)、經(jīng)濟系統(tǒng)…系統(tǒng)的基本作用：對輸入信號進行加工和處理，將其轉(zhuǎn)換為所需要的輸出信號。輸入信號激勵輸出信號響應(yīng)三、信號與系統(tǒng)的聯(lián)系1.1緒論

系統(tǒng)信號分析描述特性運算交換系統(tǒng)分析模型描述響應(yīng)1.2信號的描述和分類第一章信號與系統(tǒng)一、信號的描述電信號的基本形式：隨時間變化的電壓或電流。信號的描述方法：（1）圖形描述：各種波形。（2）數(shù)學(xué)描述：時間的函數(shù)、表格和變換域?！靶盘枴迸c“函數(shù)”兩詞常相互通用。f(t)F(s)y(t)Y(s)1.2信號的描述和分類二、信號的分類確定信號與隨機信號連續(xù)信號與離散信號周期信號與非周期信號實信號和復(fù)信號能量信號與功率信號（一維信號和多維信號）按本書研究問題分類1.2信號的描述和分類1.連續(xù)信號和離散信號

連續(xù)信號指在時間范圍（-∞,+∞）內(nèi)，對任意時刻值除若干個不連續(xù)點外都有定義的信號。離散信號是指只僅在某些不連續(xù)離散時刻有定義，而在其他時刻沒有定義的信號。1.2信號的描述和分類2.周期信號和非周期信號★

周期信號是指一個每隔一定時間T（整數(shù)N），按相同規(guī)律重復(fù)變換的信號.最小的時間T為信號周期1.2信號的描述和分類例1

判斷下列信號是否為周期信號，若是，確定其周期。（1）f1(t)=sin2t+cos3t（2）f2(t)=cos2t+sinπt兩個周期信號x(t)，y(t)的周期分別為T1和T2，若T1/T2為有理數(shù)，則其和信號x(t)+y(t)仍然是周期信號，其周期為T1和T2的最小公倍數(shù)。解：（1）sin2t是周期信號，其角頻率和周期分別為

ω1=2rad/s

，T1=2π/ω1=πscos3t是周期信號，其角頻率和周期分別為

ω2=3rad/s

，T2=2π/ω2=(2π/3)s由于T1/T2=3/2為有理數(shù)，故f1(t)為周期信號，其周期為T1和T2的最小公倍數(shù)2π。（2）

cos2t和sinπt的周期分別為T1=πs，T2=2s，由于T1/T2為無理數(shù)，故f2(t)為非周期信號。1.2信號的描述和分類1.2信號的描述和分類例2

判斷正弦序列f(k)=sin(βk)是否為周期信號，若是，確定其周期。解:f

(k)=sin(βk)=sin(βk+2mπ)，m=0,±1,…由上式可見：（1）僅當(dāng)2π/β為整數(shù)時，正弦序列才具有周期N=2π/β。（2）當(dāng)2π/β為有理數(shù)時，正弦序列仍具有周期性，但其周期為N=M(2π/β)，M取使N為整數(shù)的最小整數(shù)。（3）當(dāng)2π/β為無理數(shù)時，正弦序列為非周期序列。數(shù)字角頻率例如：2π/β=1/3，則需

M=3,N=3×1/3=1例如：2π/β=3，則N=3例如：2π/β=π，則N不存在1.2信號的描述和分類1.2信號的描述和分類舉例

正弦函數(shù)f(t)=sin(2t)

正弦序列f(k)=sin(2k)周期，T=π非周期周期，T=12非周期實信號：在各時刻的函數(shù)（序列）值為實數(shù)。復(fù)信號：在各時刻的函數(shù)（序列）值為復(fù)數(shù)。復(fù)指數(shù)信號：

3.實信號和復(fù)信號1.2信號的描述和分類其中，根據(jù)歐拉公式可得：實際信號一般都是實信號，但是為了簡化運算，常常引用復(fù)信號并以其實部或虛部表示實際信號，即函數(shù)實部表示為，虛部表示為。σ>0：增幅振蕩；σ<0：衰減振蕩；σ=0：等幅振蕩當(dāng)ω=0時：實指數(shù)信號當(dāng)σ=ω=0時，直流信號復(fù)指數(shù)信號對時間的導(dǎo)數(shù)和積分仍然是復(fù)指數(shù)信號。1.2信號的描述和分類1.2信號的描述和分類4．能量信號與功率信號★將信號f(t)施加于1Ω電阻上，它所消耗的瞬時功率為|f(t)|2，在區(qū)間(–∞,∞)的能量和平均功率定義為（1）信號的能量E（2）信號的平均功率P能量信號：信號f(t)的能量有界，即E<∞,則P=0功率信號：信號f(t)的功率有界，即P<∞,則E=∞1.2信號的描述和分類特殊性質(zhì)：

3、時限信號(僅在有限時間區(qū)間不為零的信號)為能量信號;4、周期信號屬于功率信號，而非周期信號可能是能量信號，也可能是功率信號。

1、一個信號不可能同時既是功率信號，又是能量信號。

2、有些信號既不是屬于能量信號也不屬于功率信號，如f(t)=e-t。時限信號t1≤t≤t2f(t)≠0其他

f(t)=0序列f(k)的能量定義為：序列f(k)的功率定義為：1、信號與系統(tǒng)的有關(guān)概念和關(guān)系；2、信號的兩種描述方法；3、信號的分類：（1）信號周期性的判斷及確定周期；（2）能量信號和功率信號的判斷。小結(jié)作業(yè)

P331.5題(1)(2)(5)1.3信號的基本運算1.3信號的基本運算1、信號的相加與相乘2、信號的導(dǎo)數(shù)與積分§1.3信號的基本運算3、信號的平移4、信號的反轉(zhuǎn)（反折）“左加右減”“以y為軸翻轉(zhuǎn)”f(t+t0)將f(t)

超前時間t0

；即將f(t)

的波形向左移動t0

。f(t-t0)將f(t)

滯后時間t0

；即將f(t)

的波形向右移動t0

?！?.3信號的基本運算5、信號的尺度變換（橫坐標(biāo)展縮）a>1

f(at)表示將f(t)的波形沿時間軸壓縮至原來的1/a壓縮0<a<1

則f(at)表示將f(t)的波形沿時間軸擴展至原來的1/a擴展“a>1縮，0<a<1展”§1.3信號的基本運算a<0

?例1

已知f

(t)，畫出f

(–4–2t)。壓縮得f

(2t–4)反轉(zhuǎn)，得f

(–2t–4)右移4，得f

(t–4)三種運算的次序可任意，但注意始終對時間t進行?！?.3信號的基本運算例2

若已知f

(–4–2t)，畫出f

(t)。反轉(zhuǎn)，得f

(2t–4)展開，得f

(t–4)左移4，得f

(t)§1.3信號的基本運算作業(yè)

P331.6題(5)1.4階躍函數(shù)和沖激函數(shù)★

階躍函數(shù)和沖激函數(shù)不同于普通函數(shù)，稱為奇異函數(shù)。研究奇異函數(shù)的性質(zhì)要用到廣義函數(shù)的理論。這里將直觀地引出階躍函數(shù)和沖激函數(shù)?！?.4階躍函數(shù)和沖激函數(shù)一、階躍函數(shù)下面采用求函數(shù)序列極限的方法定義階躍函數(shù)。選定一個函數(shù)序列γn(t)如圖所示。n→∞物理意義：t=0時刻對某一電路接入單位電源（可以是直流電壓源或直流電流源）并且無限持續(xù)下去?！?.4階躍函數(shù)和沖激函數(shù)階躍函數(shù)性質(zhì)：（1）可以方便地表示某些信號f(t)=2ε(t)-3ε(t-1)+ε(t-2)§1.4階躍函數(shù)和沖激函數(shù)符號函數(shù)sgn(t)sgn(t)是奇函數(shù)，可以表示成：sgn(t)=(t)-(-t)=2(t)-1（t=0時sgn(t)=0或者無定義）§1.4階躍函數(shù)和沖激函數(shù)矩形脈沖（門函數(shù)）（2）用階躍函數(shù)表示信號的作用區(qū)間（3）積分單位斜變函數(shù)(a)(b)(c)tf(t)ε(t)o)]1otf(t)[ε(t-t1)-ε(t-t2tt2(tf)ot二、沖激函數(shù)

沖激函數(shù)是個奇異函數(shù)，它是對強度極大，作用時間極短的一種物理量的理想化模型。高度無窮大，寬度無窮小，面積為1的對稱窄脈沖。

§1.4階躍函數(shù)和沖激函數(shù)狄拉克沖激函數(shù)與階躍函數(shù)關(guān)系：n→∞n→∞§1.4階躍函數(shù)和沖激函數(shù)三、沖激函數(shù)的性質(zhì)

1.與普通函數(shù)f(t)的乘積——取樣性質(zhì)若f(t)在t=0、t=t0處存在，則§1.4階躍函數(shù)和沖激函數(shù)0ε(t)

2.沖激函數(shù)的導(dǎo)數(shù)δ’(t)（也稱沖激偶）§1.4階躍函數(shù)和沖激函數(shù)’’’’’’’’

3.δ(t)的尺度變換(1)δ(2t)(2)當(dāng)a=–1時，

δ(–t)=δ(t)為偶函數(shù)

δ’(–t)=–δ’(t)為奇函數(shù)§1.4階躍函數(shù)和沖激函數(shù)=0.5δ(t)’’（習(xí)題1.11）例1已知f(t)，畫出g(t)=f’(t)和g(2t)求導(dǎo)，得g(t)壓縮得g(2t)§1.4階躍函數(shù)和沖激函數(shù)作業(yè)作業(yè)P34

1.101.5系統(tǒng)的描述1.5系統(tǒng)的描述描述連續(xù)動態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是微分方程，描述離散動態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是差分方程。1.5系統(tǒng)的描述一、連續(xù)系統(tǒng)1.解析描述——建立數(shù)學(xué)模型圖示RLC電路，以uS(t)作激勵，以uC(t)作為響應(yīng)，由KVL列方程并整理得抽去具有的物理含義，二階常系數(shù)線性微分方程寫成=++dddd22SCCCuutuRCtuLC???íì++)(0')0(CCuu，1.5系統(tǒng)的描述積分器：加法器：數(shù)乘器：2.系統(tǒng)的框圖描述1.5系統(tǒng)的描述例1.5-1：已知系統(tǒng)的框圖，寫出該系統(tǒng)的微分方程。解：由加法器的輸出，得

y”(t)=f(t)–ay’(t)–by(t)

整理得

y”(t)+ay’(t)+by(t)=f(t)y"(t)y'(t)∑abf(t)∫∫y(t)例1.5-2：已知框圖，寫出系統(tǒng)的微分方程。1.5系統(tǒng)的描述解：設(shè)輔助變量x(t)如圖。x(t)x’(t)x”(t)y”(t)+2y’(t)+3y(t)=4f’(t)+3f(t)

左方加法器的輸出為：

x”(t)=f(t)–2x’(t)–3x(t)即

x”(t)+2x’(t)+3x(t)=f(t)

右方加法器的輸出為

y(t)=4x’(t)+3x(t)由以上二式消去中間變量得123系統(tǒng)模擬：實際系統(tǒng)方程模擬框圖實驗室實現(xiàn)指導(dǎo)實際系統(tǒng)設(shè)計1.5系統(tǒng)的描述例：已知y”(t)+3y’(t)+2y(t)=4f’(t)+f(t)，畫框圖。解：該方程含f(t)的導(dǎo)數(shù)，可引入輔助函數(shù)畫出框圖。設(shè)輔助函數(shù)x(t)滿足x”(t)+3x’(t)+2x(t)=f(t)可推導(dǎo)出y(t)=4x’(t)+x(t)，它滿足原方程。y”(t)+3y’(t)+2y(t)

=[4x’(t)+x(t)]’’+3[4x’(t)+x(t)]’+2[4x’(t)+x(t)]

=4[x”(t)+3x’(t)+2x(t)]’+x”(t)+3x’(t)+2x(t)1.5系統(tǒng)的描述二、離散系統(tǒng)1.解析描述——建立差分方程第k個月初的款數(shù)為y(k),這個月初的存款為f(k),上個月初的款數(shù)為y(k-1)，利息為βy(k-1),則

y(k)=y(k-1)+βy(k-1)+f(k)即y(k)-(1+β)y(k-1)=f(k)若設(shè)開始存款月為k=0，則有y(0)=f(0)。上述方程就稱為y(k)與f(k)之間所滿足的差分方程。一階差分方程1.5系統(tǒng)的描述2.差分方程的模擬框圖基本部件單元有：數(shù)乘器，加法器，延遲單元（移位器）比較y(t)y’(t)1.5系統(tǒng)的描述例1.5-3：已知框圖，寫出系統(tǒng)的差分方程。解：設(shè)輔助變量x(k)如圖x(k)x(k-1)x(k-2)得

y(k)+2y(k-1)+3y(k-2)=4f(k-1)+5f(k-2)作業(yè)作業(yè)P36

1.20題(a)、(c)一、系統(tǒng)的分類：即時系統(tǒng)與動態(tài)系統(tǒng)連續(xù)時間系統(tǒng)與離散時間系統(tǒng)時變系統(tǒng)與時不變系統(tǒng)因果系統(tǒng)與非因果系統(tǒng)線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)與不穩(wěn)定系統(tǒng)

RLC電路輸入輸出連續(xù)§1.6系統(tǒng)的特性和分析方法t<t0,f(t)=0時，有t<t0,yzs(t)=0。有界輸入有界輸出重點1.6系統(tǒng)的特性和分析方法1、線性系統(tǒng)（1）線性性質(zhì)：齊次性和疊加性系統(tǒng)的激勵f(·)與響應(yīng)y(·)之間的關(guān)系簡記為:y(·)=T[f(·)]

齊次性：T[af

(·)]=aT[f(·)]

疊加性：T[f1(·)+f2(·)]=T[f1(·)]+T[f2(·)]

線性：T[af1(·)+bf2(·)]=aT[f1(·)]+bT[f2(·)]1.6系統(tǒng)的特性和分析方法（2）動態(tài)系統(tǒng)是線性系統(tǒng)的條件動態(tài)系統(tǒng)的響應(yīng)不僅與激勵{f(·)}有關(guān)，而且與系統(tǒng)的初始狀態(tài){x(0)}有關(guān)。初始狀態(tài)也稱“內(nèi)部激勵”。

★完全響應(yīng)可寫為

y(·)=T[{f(·)},{x(0)}]=yzs(·)+yzi(·)

★零狀態(tài)響應(yīng)為yzs(·)=T[{f(·)},{0}]

★零輸入響應(yīng)為yzi(·)=T[{0}，{x(0)}]1.6系統(tǒng)的特性和分析方法=yzs(·)+yzi(·)當(dāng)動態(tài)系統(tǒng)滿足下列三個條件時該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)：②零狀態(tài)線性：T[{af1(t)+bf2(t)},{0}]=aT[{f1

(·)},{0}]+bT[{f2

(·)},{0}]③零輸入線性：T[{0},{ax1(0)+bx2(0)}]=aT[{0},{x1(0)}]+bT[{0},{x2(0)}]①可分解性：

y

(·)=yzs(·)+yzi(·)=T[{f

(·)},{0}]+T[{0}，{x(0)}]1.6系統(tǒng)的特性和分析方法2、時不變系統(tǒng)滿足時不變性質(zhì)的系統(tǒng)稱為時不變系統(tǒng)。若系統(tǒng)滿足：輸入延遲多少時間，其零狀態(tài)響應(yīng)也延遲多少時間，即若

T[{f(t)}，{0}]=yzs(t)則有

T[{f(t

-td)}，{0}]=yzs(t

-

td)系統(tǒng)的這種性質(zhì)稱為時不變性。1.6系統(tǒng)的特性和分析方法1o1f(t)12ttyzs(t)oT22o1f(t-1)23ttyzs(t-1)oT112描述線性時不變系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是常系數(shù)線性微分（或差分）方程。時不變時不變時變1.6系統(tǒng)的特性和分析方法y(k)+y(k–1)+y(k–2)=f(k)y(k)+(k–1)y(k–1)+y(k–2)=f(k)時變’’’’’’判斷方法：方程中均為輸出、輸入序列的一次關(guān)系項，則是線性的。輸入輸出序列前的系數(shù)為常數(shù)，且無反轉(zhuǎn)、展縮變換，則為時不變的。線性、時不變非線性、時不變線性、時變1.6系統(tǒng)的特性和分析方法例1：下列微分或差分方程描述的系統(tǒng)，是否線性？是否時不變？（習(xí)題1.24）（1）y’(t)+2y(t)=f’(t)–2f(t)（2）

y’(t)+(sint)y(t)=f(t)（3）y’(t)

+[y(t)]2=f(t)（4）

y(k)+(k–1)y(k–1)=f(k)（5）y(k)+y(k–

1)y(k–2)=f(k)非線性、時不變線性、時變f2(t)f(1–t)3、LTI連續(xù)系統(tǒng)的微分特性和積分特性★①微分特性：若f(t)→yzs(t)，則f’(t)→y’

zs

(t)②積分特性：若f(t)→yzs(t)，

則1.6系統(tǒng)的特性和分析方法

本課程重點討論線性時不變系統(tǒng)(LinearTime-Invariant)，簡稱LTI系統(tǒng)。例2（習(xí)題1.27）

某LTI連續(xù)系統(tǒng)，其初始狀態(tài)一定,當(dāng)激勵為f(t)時，其全響應(yīng)為y1(t)=e–t+cos(πt)，；若初始狀態(tài)不變，當(dāng)激勵為2f(t)時，全響應(yīng)為

y2(t)=2cos(πt)，求初始狀態(tài)不變，輸入3f(t)時系統(tǒng)的全響應(yīng)。解：設(shè)給定初始狀態(tài)下系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為yzi(t)，

激勵為f(t)時系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為y1zs(t)。由LTI系統(tǒng)的分解特性可得：1.6系統(tǒng)的特性和分析方法初始狀態(tài)不變，激勵為2f(t)時系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為2y1zs(t)，所以由題意可得：（1）（2）1.6系統(tǒng)的特性和分析方法當(dāng)初始狀態(tài)不變，激勵為3f(t)時系統(tǒng)的全響應(yīng)為：由(1)、(2)兩式可得：例3

某LTI因果連續(xù)系統(tǒng)，當(dāng)x(0)=1，輸入f1(t)，全響應(yīng)y1(t)=e–t+cos(πt)，t>0；當(dāng)x(0)=2，輸入3f1(t)，全響應(yīng)y2(t)=–2e–t+3cos(πt)，t>0；求輸入f3(t)=+2f1(t–1)時，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)y3zs(t)。解：設(shè)當(dāng)x(0)=1，輸入f1(t)時，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)分別為y1zi(t)、y1zs(t)。

由于是線性系統(tǒng)，所以當(dāng)x(0)=2，輸入3f1(t)時，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)分別為2y1zi(t)、3y1zs(t)。

1.6系統(tǒng)的特性和分析方法由題中條件，有

y1(t)=y1zi(t)+y1zs(t)=e–t+cos(πt)，t>0（1）

y2(t)=2y1zi(t)+3y1zs(t)=–2e–t+3cos(πt)，t>0（2）由(1)、(2)二式可得：

y1zs(t)=[–4e-t+cos(πt)]ε(t)

（3）由LTI連續(xù)系統(tǒng)的微分特性和時不變特性可得，當(dāng)輸入f3(t)=+2f1(t-1)時，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)y3zs(t)為y3zs(t)=+2y1zs(t–1)=–3δ(t)+[4e-t–πsin(πt)]ε(t)+2{–4e1-t+cos[π(t–1)]}ε(t–1)1.6系統(tǒng)的特性和分析方法二、

LTI系統(tǒng)分析系統(tǒng)的分析方法：輸入輸出法（外部法）狀態(tài)變量法（內(nèi)部法）（chp.8)外部法時域分析（chp.2,chp.3)變換域法連續(xù)系統(tǒng)—頻域法(4)和復(fù)頻域法(5)離散系統(tǒng)—z域法（chp6