新教材2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章空間向量與立體幾何測評北師大版選擇性必修第一冊

第三章測評一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.已知平面α和平面β的法向量分別為m=(3,1,-5),n=(-6,-2,10),則()A.α⊥β B.α∥βC.α與β相交但不垂直 D.以上都不對2.如圖,已知空間四邊形OABC,M,N分別是OA,BC的中點,且OA=a,OB=b,OC=c,用a,b,c表示向量MN為()A.12a+12b+B.12a-12b+C.-12a+12b+D.-12a+12b-3.已知正四面體ABCD的棱長為a,點E,F分別是BC,AD的中點,則AE·AF的值為(A.a2 B.14a2 C.12a2 D.34.已知向量a=(1,2,3),b=(-2,-4,-6),|c|=14,若(a+b)·c=7,則a與c的夾角為()A.30° B.60° C.120° D.150°5.如圖,在四面體ABCD中,AB,BC,BD兩兩垂直,BC=BD=2,點E是CD的中點,異面直線AD與BE所成角的余弦值為1010,則直線BE與平面ACD所成角的正弦值為(A.23 B.23 C.26.《九章算術(shù)》中,將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑,如圖,在鱉臑P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,且PA=AB=BC=1,則二面角A-PC-B的平面角的大小是()A.30° B.45° C.60° D.90°7.已知OA=(1,2,3),OB=(2,1,2),OP=(1,1,2),點Q在直線OP上運(yùn)動,則當(dāng)QA·QB取得最小值時,點Q的坐標(biāo)為(A.12,C.43,8.正方體ABCD-A1B1C1D1棱長為2,E是棱AB的中點,F是四邊形AA1D1D內(nèi)一點(包含邊界),且FE·FD=-34,當(dāng)三棱錐F-AED的體積最大時,EF與平面ABB1A1A.23 B.53 C.2二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.9.在以下說法中,不正確的是()A.|a|-|b|=|a+b|是a,b共線的充要條件B.若a∥b,則存在唯一的實數(shù)λ,使a=λbC.對空間隨意一點O和不共線的三點A,B,C,若OP=2OA-2OB-OC,則P,A,B,D.若{a,b,c}為空間的一組基,則{a+b,b+c,a+c}構(gòu)成空間的另一組基10.如圖,在菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=60°,將△ABD沿對角線BD翻折到△PBD位置,連接PC,則在翻折過程中,下列說法正確的是()A.PC與平面BCD所成的最大角為45°B.存在某個位置,使得PB⊥CDC.當(dāng)二面角P-BD-C的平面角的大小為90°時,PC=6D.存在某個位置,使得B到平面PDC的距離為311.在四面體PABC中,下列說法正確的有()A.若AD=13AC+B.若Q為△ABC的重心,則PQC.若PA·BC=0,PC·AB=D.若四面體PABC各棱長都為2,M,N分別為PA,BC的中點,則|MN|=112.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點P在線段B1C上運(yùn)動,則()A.直線BD1⊥平面A1C1DB.三棱錐P-A1C1D的體積為定值C.異面直線AP與A1D所成角的取值范圍是[45°,90°]D.直線C1P與平面A1C1D所成角的正弦值的最大值為6三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.已知A,B,C三點不共線,O為平面ABC外一點,若向量OP=13OA+13OB+λOC,且點P與A14.四棱錐S-ABCD的底面是平行四邊形,SE=2EC,若BE=xAB+yAD+zAS,則x+y+z=.

15.已知矩形ABCD中,AB=1,BC=3,將矩形ABCD沿對角線AC折起,使平面ABC與平面ACD垂直,則B與D之間的距離為.

16.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,∠BAD=90°,PA=AB=BC=12AD=1,BC∥AD,已知Q是四邊形ABCD內(nèi)部一點,且二面角Q-PD-A的平面角的大小為π4,則△ADQ的面積的取值范圍是四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(10分)在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是邊長為1的正方形,∠BAA1=∠DAA1=π3,AC1=26(1)求側(cè)棱AA1的長;(2)M,N分別為D1C1,C1B1的中點,求AC1·MN及兩異面直線AC118.(12分)如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,2AB=AA1=4,CE=EC1,AF=3FA1.(1)證明:BE⊥平面B1EF;(2)求二面角E-BF-A的平面角的余弦值.19.(12分)如圖,平面五邊形PABCD中,△PAD是邊長為2的等邊三角形,AD∥BC,AB=2BC=2,AB⊥BC,將△PAD沿AD翻折成四棱錐P-ABCD,E是棱PD上的動點(P,D端點除外),F,M分別是AB,CE的中點,且.

請從下面三個條件中任選一個,補(bǔ)充在上面的橫線上,并作答:①BA·(PA+PD)=0;②PC=7;③點P在平面ABCD的投影在直線AD(1)求證:AB⊥FM;(2)當(dāng)EF與平面PAD所成角最大時,求平面ACE與平面PAD所成二面角的平面角的余弦值.20.(12分)如圖,由直三棱柱ABC-A1B1C1和四棱錐D-BB1C1C構(gòu)成的幾何體中,∠BAC=90°,AB=1,BC=BB1=2,C1D=CD=5,平面CC1D⊥平面ACC1A1.(1)求證:AC⊥DC1;(2)若M為DC1中點,求證:AM∥平面DBB1.21.(12分)如圖所示,已知四棱錐P-ABCD,側(cè)面PAD是邊長為2的正三角形,且平面PAD⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,且∠ABC=60°,M為棱PC上的動點,且PMPC=λ(λ∈[0,1])(1)求證:BC⊥PC;(2)試確定λ的值,使得平面PAD與平面ADM所成銳二面角的平面角的余弦值為101022.(12分)如圖所示,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AD=AB=BC=2,CD=4,E為CD中點,AE與BD交于點O,將△ADE沿AE折起,使點D到達(dá)點P的位置(P?平面ABCE).(1)證明:平面POB⊥平面ABCE;(2)若PB=6,試推斷線段PB上是否存在一點Q(不含端點),使得直線PC與平面AEQ所成角的正弦值為155,若存在,求出PQOB參考答案第三章測評1.B2.C3.B4.C5.C以BC,BD,BA所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖,設(shè)AB=h,則A(0,0,h),B(0,0,0),C(2,0,0),D(0,2,0),E(1,1,0),∴AD=(0,2,-h),BE=(1,1,0),∴AD·BE=2,|AD|=4+h2,|BE|=2,∴cos<∵異面直線AD與BE所成角的余弦值為1010∴24+h2=1010,解得h=4,∴AD=(0,2,-4),設(shè)平面ACD的法向量為n=(x,y,z),則n·AD=0,n·CD=0,即2y-4z=0,-2x+2y=0,令z=1,得n=(2,2,1),∴n·BE=4,|n|=3,設(shè)直線BE與平面ACD所成角為α,∴sinα=|cos<n,6.C∵在鱉臑P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,且PA=AB=BC=1,∴以B為原點,BC為x軸,BA為y軸,過點B作平面ABC的垂線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則A(0,1,0),C(1,0,0),B(0,0,0),P(0,1,1),PA=(0,0,-1),PB=(0,-1,-1),PC=(1,-1,-1),設(shè)平面PAC的法向量n=(x,y,z),則n·PA=-z=0設(shè)平面PBC的法向量m=(a,b,c),則m·PB=-b-c=0設(shè)二面角A-PC-B的平面角的大小為θ,依據(jù)圖可知,二面角A-PC-B的平面角為銳角,則cosθ=|m∴θ=60°.∴二面角A-PC-B的平面角的大小為60°.故選C.7.C8.A如圖,以A為坐標(biāo)原點,AB,AD,AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),E(1,0,0),D(0,2,0),設(shè)F(0,m,n),m∈[0,2],n∈[0,2],則FE·FD=(1,-m,-n)·(0,2-m,-n)=m2-2m+n2=-由于S△ADE為定值,要想三棱錐F-AED的體積最大,則F究竟面ADE的距離最大,其中n2=-34-m2+2m=-(m-1)2+14,所以當(dāng)m=1時,n2取得最大值因為n∈[0,2],所以n的最大值為12,所以F0,1,12,EF=-1,1,12,平面ABB1A1的法向量n1=(0,1,0),所以設(shè)EF與平面ABB1A1所成角為α,sinα=|cos<EF,n1>|=|EF·n19.ABC選項A,|a|-|b|=|a+b|?a,b共線;反之不成立,若a,b同向共線,可能是|a|+|b|=|a+b|成立,因此|a|-|b|=|a+b|是a,b共線的充分不必要條件,因此A不正確;選項B,若a∥b,則存在唯一的實數(shù)λ,使a=λb,不正確,因為當(dāng)a≠0,b=0時不成立,因此B不正確;選項C,對空間隨意一點O和不共線的三點A,B,C,若OP=xOA+yOB+zOC,x+y+z=1,則P,A,B,C四點共面,因此C不正確;選項D,若{a,b,c}為空間的一組基,則{a+b,b+c,a+c}構(gòu)成空間的另一組基,否則其中隨意一個向量必定能用另外兩個向量線性表示,不妨設(shè)a+b=x(b+c)+y(a+c),化為a+b=xb+(x+y)c+ya,則y=1,x=1,且x+y=0,沖突,假設(shè)不成立,因此D正確.故選ABC.10.BC選項A,取BD的中點O,連接OP,OC,則OP=OC=3(圖略).由題可知,△ABD和△BCD均為等邊三角形,由對稱性可知,在翻折的過程中,PC與平面BCD所成的角為∠PCO,當(dāng)PC=3時,△OPC為等邊三角形,此時∠PCO=60°>45°,即選項A錯誤;選項B,當(dāng)點P在平面BCD內(nèi)的投影為△BCD的重心時,設(shè)為點Q,有PQ⊥平面BCD,BQ⊥CD,∴PQ⊥CD,又BQ∩PQ=Q,∴CD⊥平面PBQ,∵PB?平面PBQ,∴PB⊥CD,即選項B正確;選項C,當(dāng)二面角P-BD-C的平面角的大小為90°時,平面PBD⊥平面BCD,∵PB=PD,∴OP⊥BD,∵平面PBD∩平面BCD=BD,∴OP⊥平面BCD,∴OP⊥OC,又OP=OC=3,∴△POC為等腰直角三角形,∴PC=2OP=6,即選項C正確;選項D,∵點B到平面PDC的距離為3,則點B到PD的距離為3,點B到CD的距離為3,則有DB⊥平面PCD,即DB⊥CD,與△BCD是等邊三角形沖突.故選BC.11.ABC對于A,∵AD=13AC+23AB,∴3AD=AC+2AB,∴∴3BD=BD+對于B,若Q為△ABC的重心,則QA+QB+∴3PQ+QA+QB∴3PQ=即PQ=對于C,若PA·BC=0,PC則PA·BC∴PA·BC+PC·(∴PA·BC∴(PA-PC)·BC∴CA·BC+PC·AC=0,∴∴AC·PB對于D,∵M(jìn)N=PN-PM=12(PB+PC∵|PA-=PA=2=22,∴|MN|=2.故D錯誤.12.ABD對于選項A,連接B1D1,由正方體可得A1C1⊥B1D1,且BB1⊥平面A1B1C1D1,則BB1⊥A1C1,BB1∩B1D1=B1,所以A1C1⊥平面BD1B1,故A1C1⊥BD1;同理,連接AD1,易證得A1D⊥BD1,A1D∩A1C1=A1,則BD1⊥平面A1C1D,故A正確;對于選項B,VP-A1C1D=VC1-A1PD,因為點P在線段B1C上運(yùn)動,所以S△A1DP=12A對于選項C,當(dāng)點P與線段B1C的端點重合時,AP與A1D所成角取得最小值為60°,故C錯誤;對于選項D,因為直線BD1⊥平面A1C1D,所以若直線C1P與平面A1C1D所成角的正弦值最大,則直線C1P與直線BD1所成角的余弦值最大,則P運(yùn)動到B1C中點處,即所成角為∠C1BD1,設(shè)棱長為1,在Rt△D1C1B中,cos∠C1BD1=C1B13.13∵A,B,C三點不共線,O為平面ABC外一點,向量OP=13OA+13OB+λOC,且點P與A,B,14.23因為SE=2EC,所以CE=13CS,四棱錐S-ABCD的底面是平行四邊形,則AD+AB=AC,所以BE=BC+CE=AD+13CS=AD+13(AS15.102如圖,過點B,D分別向AC作垂線,垂足分別為M,N.則可求得AM=12,BM=32,CN=12,DN=3由于BD=所以|BD|2=(BM+MN+ND)2=|BM|2+|MN|2+|ND|2+2(BM·MN+MN·ND+BM·ND)=322+1216.0,255以點A為坐標(biāo)原點,AD,AB,AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)點Q的軌跡與y軸的交點坐標(biāo)為Q(0,b,0)(b>0).由題意可知A(0,0,0),D(2,0,0),P(0,0,1),所以DP=(-2,0,1),DQ=(-2,b,0),AD=(2,0,0).則平面APD的一個法向量為n1=(0,1,0),設(shè)平面PDQ的一個法向量為n2=(x2,y2,z2),則n即-2x2+z2=0,-2x2+b所以n2=1,2b,2,設(shè)二面角Q-PD-A的平面角為θ,則cosθ=|cos<n1,n2>|=|n1·n2||n1||n2|=2b17.解(1)設(shè)側(cè)棱AA1=x,∵在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是邊長為1的正方形,且∠A1AD=∠A1AB=60°,∴AB2=AD2=1,AA12=x又AC1=AB+AD+AA1,∴AC12=(AB+AD+AA1)2=AB2+AD2+AA即側(cè)棱AA1=4.(2)∵AC∴AC1·MN=12(AB-AD)·(AB+AD+AA1)=12(AB18.(1)證明由條件可知BE=22,BF=13,EF=5,滿意BF2=BE2+EF2,∴EF⊥BE,又BE=B1E=22,BB1=4,滿意B1E2+BE2=BB1∴BE⊥B1E,又B1E∩EF=E,∴BE⊥平面B1EF.(2)解以AC的中點O為坐標(biāo)原點,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz,則B(0,3,0),E(-1,0,2),F(1,0,3).∴BF=(1,-3,3),BE=(-1,-3,2).設(shè)平面BEF的法向量為n=(x,y,z),∵n·BF=0,n·BE=0,∴x-3易得平面ABF的一個法向量為m=(3,1,0),cos<m,n>=m·由圖可知,二面角E-BF-A的平面角是鈍角,故二面角E-BF-A的平面角的余弦值為-102019.(1)證明取AD,CD的中點分別為O,G,連接PO,FG,MG,選擇①:因為BA·(PA+PD)=0,PA+PD所以BA·PO即BA⊥PO,又因為BA⊥AD,AD∩PO=O,所以BA⊥平面PAD,因為M,G分別為CE,CD的中點,所以MG∥PD,且MG?平面PAD,PD?平面PAD,所以MG∥平面PAD,同理可得FG∥平面PAD,因為MG∩FG=G,所以平面FGM∥平面PAD,所以BA⊥平面FGM,又因為FM?平面FGM,所以BA⊥FM.選擇②:連接OC,則OC=AB=2,OP=3,因為PC=7,PC2=OP2+OC2,所以O(shè)C⊥PO,即BA⊥PO,又因為BA⊥AD,AD∩PO=O,所以BA⊥平面PAD,因為M,G分別為CE,CD的中點,所以MG∥PD,且MG?平面PAD,PD?平面PAD,所以MG∥平面PAD,同理可得FG∥平面PAD,因為MG∩FG=G,所以平面FGM∥平面PAD,所以BA⊥平面FGM,又因為FM?平面FGM,所以BA⊥FM.選擇③:因為點P在平面ABCD的射影在直線AD上,所以平面PAD⊥平面ABCD,因為平面PAD∩平面ABCD=AD,OP?平面PAD,AD⊥PO,所以O(shè)P⊥平面ABCD,所以BA⊥PO,又因為BA⊥AD,AD∩PO=O,所以BA⊥平面PAD,因為M,G分別為CE,CD的中點,所以MG∥PD,且MG?平面PAD,PD?平面PAD,所以MG∥平面PAD,同理可得FG∥平面PAD,因為MG∩FG=G,所以平面FGM∥平面PAD,所以BA⊥平面FGM,又因為FM?平面FGM,所以BA⊥FM.(2)解連接AE,由(1)可知AB⊥平面PAD,所以∠AEF即為EF與平面PAD所成的角,因為tan∠AEF=AFAE=1AE,所以當(dāng)AE最小時,∠AEF最大,所以當(dāng)AE⊥PD,即E為以點O為坐標(biāo)原點,以O(shè)C所在直線為x軸,OD所在直線為y軸,OP所在直線為z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,-1,0),E0,12,32,所以AE=0,32,32,AC設(shè)平面ACE的法向量為m=(x1,y1,z1),則32y1+32z1=0,2x1+y1設(shè)平面PAD的法向量為n,n=(1,0,0),所以cos<m,n>=m·由圖可知,平面ACE與平面PAD所成二面角為銳角,所以平面ACE與平面PAD所成二面角的平面角的余弦值為171720.證明(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,故AC⊥CC1.由平面CC1D⊥平面ACC1A1,且平面CC1D∩平面ACC1A1=CC1,所以AC⊥平面CC1D.又因為C1D?平面CC1D,所以AC⊥DC1.(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,所以AA1⊥AB,AA1⊥AC.又因為∠BAC=90°,所以,如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,依據(jù)已知條件可得A(0,0,0),C(0,3,0),C1(2,3,0),B(0,0,1),B1(2,0,1),D(1,3,2),所以BB1=(2,0,0),BD=(1,3設(shè)平面DBB1的法向量為n=(x,y,z),由n令y=1,則z=-3,x=0,于是n=(0,1,-3).因為M為DC1中點,所以M32,3,1所以AM=32,3,1由AM·n=32,3,1·(0,1,-3)=0,可得AM⊥n又因為AM?平面DBB1,所以AM∥平面DBB1.21.(1)證明取AD的中點O,連接OP,OC,AC,由題意可得△PAD,△ACD均為正三角形,所以O(shè)C⊥AD,OP⊥AD.又因為OC∩OP=O,所以AD⊥平面POC.又因為PC?平面POC,所以AD⊥PC.因為BC∥AD,所以BC⊥PC.(2)解由(1)可知PO⊥AD,又因為平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PO?平面PAD,所以PO⊥平面ABCD.故可得OP,OC,OD兩兩垂直,以O(shè)為原點,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz,則P(0,0,3),A(0,-