廣東省廣州市天河區(qū)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試題含解析

Page19廣東省廣州市天河區(qū)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.直線l：的傾斜角θ為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)斜率的定義即可求得傾斜角.【詳解】的傾斜角θ滿意，故.故選：D.2.數(shù)列，，，，……的通項(xiàng)公式可能是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由分母構(gòu)成等差數(shù)列即可求出.【詳解】數(shù)列的分母形成首項(xiàng)為5，公差為2的等差數(shù)列，則通項(xiàng)公式為，所以.故選：C.3.若拋物線上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5，則p的值為（）A. B.2 C.4 D.5【答案】D【解析】【分析】由方程可得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，進(jìn)而由拋物線的定義可得：，解之可得值.詳解】由題意可得：拋物線開(kāi)口向右，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為：，因?yàn)閽佄锞€上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5，由拋物線的定義可得：，解之可得：，故選：.4.如圖，在平行六面體中，設(shè)，，，若點(diǎn)P滿意，則等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由空間向量的線性運(yùn)算法則求解．【詳解】∵是平行六面體，∴，，故選：A．5.圓C1：與圓C2：的位置關(guān)系是（）A.內(nèi)含 B.內(nèi)切 C.相交 D.外切【答案】C【解析】【分析】求出圓心距,與兩圓半徑的和、差的肯定值比較大小可得．【詳解】標(biāo)準(zhǔn)方程是，圓心為，半徑為，標(biāo)準(zhǔn)方程，圓心，半徑，，，因此兩圓相交，故選：C．6.若動(dòng)點(diǎn)P在直線上，動(dòng)點(diǎn)Q在曲線上，則|PQ|的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)與直線平行直線的方程為，當(dāng)直線與曲線相切，且點(diǎn)為切點(diǎn)時(shí)，，兩點(diǎn)間的距離最小，依據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出直線的方程，再利用平行線間的距離公式即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)與直線平行的直線的方程為，∴當(dāng)直線與曲線相切，且點(diǎn)為切點(diǎn)時(shí)，，兩點(diǎn)間的距離最小，設(shè)切點(diǎn)，，所以，，，，點(diǎn)，直線的方程為，兩點(diǎn)間距離的最小值為平行線和間的距離，兩點(diǎn)間距離的最小值為.故選：.7.北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場(chǎng)所，分上、中、下三層，上層地面的中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊．下一層的第一環(huán)比上一層的最終一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊．已知每層環(huán)數(shù)相同，且上、中、下三層共有扇面形石板(不含天心石)3402塊，則中層共有扇面形石板（）A.1125塊 B.1134塊 C.1143塊 D.1152塊【答案】B【解析】【分析】由等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)求解．【詳解】記從中間向外每環(huán)扇面形石板數(shù)為，是等差數(shù)列，且公差為，，設(shè)每層有環(huán)，則，，是等差數(shù)列，則也成等差數(shù)列，所以，所以，，故選：B．8.已知，，，以C為焦點(diǎn)的橢圓過(guò)A、B兩點(diǎn)，則橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)F的軌跡方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由兩點(diǎn)間距離公式可得，依據(jù)題中條件，得到，結(jié)合雙曲線的定義，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，，所以，，，因?yàn)槎荚跈E圓上，所以，，故的軌跡是以，為焦點(diǎn)的雙曲線的下支，又，，即，，所以，因此的軌跡方程是（）.故選：A.【點(diǎn)晴】方法點(diǎn)睛：求軌跡方程的常見(jiàn)方法有:①干脆法，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，依據(jù)題意列出關(guān)于的等式即可；②定義法，依據(jù)題意動(dòng)點(diǎn)符合已知曲線的定義，干脆求出方程；③參數(shù)法，把分別用第三個(gè)變量表示，消去參數(shù)即可；④逆代法，將代入.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．9.下列說(shuō)法中正確的是（）A.方程表示的曲線是圓 B.橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2，短軸長(zhǎng)為C.雙曲線的漸近線方程為 D.拋物線的準(zhǔn)線方程是【答案】CD【解析】【分析】依據(jù)方程表示成曲線的標(biāo)準(zhǔn)形式，再依據(jù)定義推斷正誤.【詳解】選項(xiàng)A:表示點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B:，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C:化簡(jiǎn)，選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D:拋物線表示成標(biāo)準(zhǔn)方程為，，焦點(diǎn)坐標(biāo)為準(zhǔn)線為,選項(xiàng)D正確；故選：CD.10.△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(4，0)，B(0，3)，C(6，7)，下列說(shuō)法中正確的是（）A.邊BC與直線平行B.邊BC上的高所在的直線的方程為C.過(guò)點(diǎn)C且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的方程為D.過(guò)點(diǎn)A且平分△ABC面積的直線與邊BC相交于點(diǎn)D(3，5)【答案】BD【解析】【分析】由直線斜率推斷A，求出相應(yīng)的直線方程推斷BC，求出邊中點(diǎn)坐標(biāo)推斷D．【詳解】直線的斜率為，而直線的斜率為，兩直線不平行，A錯(cuò)；邊上高所在直線斜率為，直線方程為，即，B正確；過(guò)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)方程為，過(guò)原點(diǎn)時(shí)方程為，C錯(cuò)；過(guò)點(diǎn)A且平分△ABC面積的直線過(guò)邊BC中點(diǎn)，坐標(biāo)為，D正確．故選：BD．11.（多選）設(shè)數(shù)列滿意，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】依題意當(dāng)時(shí)，求出，再利用作差法得到，即可得到的通項(xiàng)公式，再利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前項(xiàng)和即可；【詳解】解：由題意，當(dāng)時(shí)，得，令，則當(dāng)時(shí)，所以，即．又時(shí)，也成立，∴，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為，∴，即有．故選：ABD．12.如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為2，E、F、G分別為棱BC、CC1、BB1的中點(diǎn)，則下列選項(xiàng)中正確的是（）A.點(diǎn)A到直線EF的距離為 B.平面AEF截正方體所得截面為五邊形C.三棱錐-AEF的體積為 D.存在實(shí)數(shù)λ、μ使得【答案】ACD【解析】【分析】在中，由三邊長(zhǎng)求得邊上的高推斷A，證明共面推斷B，由求得三棱錐的體積推斷C，證明依據(jù)平面對(duì)量的基本定理推斷D．【詳解】連接，由已知，，，，中，，點(diǎn)A到直線EF的距離為，A正確；連接，則由分別是中點(diǎn)得，又正方體中易得，因此，∴平面，從而截面為四邊形，B錯(cuò)；由已知點(diǎn)到直線的距離行于，，平面即為平面，，平面，平面，則平面，∴，到平面的距離相等，∴，由正方體性質(zhì)知到平面的距離為，是中點(diǎn)，則到平面的距離為，∴，C正確；與平行且相等（可由傳遞），則是平行四邊形，，平面，平面，∴平面，事實(shí)上，而在平面中，不共線，可作為平面的基底，從而存在實(shí)數(shù)λ、μ使得，即，D正確．故選：ACD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{}中，若，則_________．【答案】2【解析】【分析】依據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算．【詳解】等比數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，∴，（負(fù)值舍去）故答案為：2.14.如圖是某圓拱形橋的示意圖，雨季時(shí)水面跨度AB為6米，拱高(圓拱最高點(diǎn)到水面的距離)為1米．早季時(shí)水位下降了1米，則此時(shí)水面跨度增大到_________米．【答案】8【解析】【分析】畫(huà)出圓拱圖示意圖，構(gòu)建直角坐標(biāo)系，列出雨季和旱季時(shí)水位方程即可求出圓的半徑，旱季時(shí)水面跨度.【詳解】畫(huà)出圓拱圖示意圖，設(shè)圓半徑為,雨季時(shí)水位方程，解得；旱季時(shí)水位方程，解得，所以此時(shí)水面跨度為.所以答案8.15.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正四面體(四個(gè)面都是正三角形)ABCD中，M、N分別是AD、BC的中點(diǎn)，則異面直線AN，CM所成角的余弦值為_(kāi)________．【答案】【解析】【分析】作出異面直線所成的角，在三角形中由余弦定理求解．【詳解】如圖，連接，取中點(diǎn)，連接，又是中點(diǎn)，則，所以異面直線AN，CM所成角是或其補(bǔ)角，由已知，，，又，，中，，∴異面直線AN，CM所成角的余弦值為．故答案為：．16.已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，過(guò)F點(diǎn)作圓的一條切線，切點(diǎn)為T(mén)，延長(zhǎng)FT交橢圓C于點(diǎn)A，若T為線段AF的中點(diǎn)，則橢圓C的離心率為_(kāi)________．【答案】##【解析】【分析】利用圖中的幾何關(guān)系及橢圓的定義即可求解.【詳解】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為,連接，,由幾何關(guān)系可知，則，即，由橢圓的定義可知，即且，整理得，解得，.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.已知數(shù)列{}為等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)和，且，．?dāng)?shù)列{}中，，．（1）分別求數(shù)列{}，{}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1），.（2）【解析】【分析】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，依據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式列出方程組，解之即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，由題意可知：數(shù)列為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)結(jié)合（1）可得：，利用分組求和的方法即可求解.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，，則，解得：，所以.又因?yàn)?，，所以?shù)列是以1為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，則，故數(shù)列{}，{}的通項(xiàng)公式分別為：，.【小問(wèn)2詳解】由（1）可知：，所以18.已知圓C的圓心在x軸上，且經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O和點(diǎn)A(3，)．（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求過(guò)點(diǎn)P(4，4)與圓C相切的直線方程．【答案】（1）；（2）或．【解析】【分析】（1）設(shè)圓心坐標(biāo)為，由圓心到圓上兩點(diǎn)距離相等求得，然后得半徑，從而得圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）切線斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，由圓心到切線距離等于半徑求得，再說(shuō)明斜率不存在時(shí)直線也是切線．【小問(wèn)1詳解】設(shè)圓心坐標(biāo)為，由，解得，∴圓半徑為，圓方程為；【小問(wèn)2詳解】易知直線與圓相切，當(dāng)切線斜率存在時(shí)設(shè)方程為，即，∴，解得，切線方程為，即，綜上切線方程為或．19.如圖，在直三棱柱中，，D、E、F分別是棱、、的中點(diǎn)．（1）求證：DF平面；（2）若，求平面DEF與平面ABC的夾角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】【分析】（1）取AC中點(diǎn)M,連接，證明DF∥，即可證明DF∥平面（2）利用空間向量法分別將平面與平面的法向量表示出來(lái)，再求出夾角的余弦值【小問(wèn)1詳解】取AC中點(diǎn)M,連接，，且，又，，四邊形是平行四邊形，,又平面平面，所以DF∥平面.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋杂忠驗(yàn)橹比庵?，且，平面所以平面又平面所以所以、、兩兩垂直故以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系由題知，所以，，，，，設(shè)平面的法向量為，，則，取，得，平面的一個(gè)法向量，所以平面DEF與平面ABC的夾角的余弦值為20.設(shè)數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，已知，，且．（1）求證：；（2）求．【答案】（1）證明過(guò)程見(jiàn)詳解（2）【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，由題可得，，兩式子相減可得，即，然后驗(yàn)證當(dāng)時(shí)，命題成馬上可；（2）通過(guò)求解數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)的和即可得到其對(duì)應(yīng)前項(xiàng)和的通項(xiàng)公式.【小問(wèn)1詳解】）由條件，對(duì)隨意，有，因而對(duì)隨意，有，兩式相減，得，即，又，所以，故對(duì)一切，．【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，所以，于是數(shù)列是首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列，數(shù)列是首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列，所以，于是．所以.21.如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，E為AB的中點(diǎn)，將△ADE沿直線DE折起到(平面ABCD)的位置．（1）推斷當(dāng)△ADE折起到什么位置時(shí)，四棱錐的體積最大(無(wú)需證明)，并求出這個(gè)最大體積；（2）若，點(diǎn)M在線段A1C上，當(dāng)直線BM與平面DEC所成角的正弦值為時(shí)，試推斷點(diǎn)M的位置．【答案】（1）平面平面時(shí)，四棱錐的體積最大，最大體積為；（2）為中點(diǎn)．【解析】【分析】（1）利用點(diǎn)到直線的距離是定值，得出平面平面時(shí)體積最大，再由體積公式計(jì)算；（2）取中點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，由空間向量法求線面角，從而得參數(shù)值，確定出點(diǎn)位置．【小問(wèn)1詳解】取中點(diǎn)．連接，則，折疊過(guò)程中始終與垂直，因此當(dāng)平面時(shí)，點(diǎn)到平面的距離最大為，由平面，得平面平面，由已知，，；【小問(wèn)2詳解】由已知，，，又，，∴，，所以，，又，，平面，∴平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，其中軸．，，，設(shè)軸與交于點(diǎn)，則為中點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，由與平行且相等得是平行四邊形，所以，于是為中點(diǎn)，，，因此，所以，，設(shè)，，則，平面的一個(gè)法向量是，因?yàn)橹本€BM與平面DEC所成角的正弦值為，所以，解得（舍去），所以是中點(diǎn)．22.已知雙曲線C：的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在雙曲線C上．（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)A、B分別為雙曲線C的左、右頂點(diǎn)，若過(guò)點(diǎn)F的直線l交雙曲線C的右支于M、N兩點(diǎn)，設(shè)直線AM、BN的斜率分別為、，是否存在實(shí)數(shù)λ使得？若存在，求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）存在，，理由見(jiàn)解析【解析】【分析