廣東省廣州市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題

Page182024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試試卷一、單項選擇題：每小題5分，共40分．1.直線的一個方向向量為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)直線方程干脆寫出其方向向量即可得答案.【詳解】由直線方程知：直線方向向量有及它的平行向量均可作為其方向向量.故選：D2.如圖，在四面體OABC中，，，.點M在OA上，且,為BC中點，則等于（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)向量的加法和減法的三角形法則得到.【詳解】連接,是的中點，,,.故選：B3.兩平行直線和間的距離是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將方程變形，再依據(jù)兩平行直線間的距離公式計算可得；【詳解】解：直線即為，所以兩平行直線和間的距離；故選：A4.已知直線：是圓的對稱軸.過點作圓的一條切線，切點為，則A.2 B. C.6 D.【答案】C【解析】【詳解】試題分析：直線l過圓心，所以，所以切線長，選C.考點：切線長5.如圖，已知棱長為的正方體，分別為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標系，求出和的坐標，利用空間向量夾角公式即可求解.【詳解】如圖分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標系，則、、、，所以，，設(shè)異面直線與所成角為，則，故選：A【點睛】方法點睛：求空間角的常用方法（1）定義法，由異面直線所成角、線面角、二面角的定義，結(jié)合圖形，作出所求空間角，再結(jié)合題中條件，解對應(yīng)三角形，即可求出結(jié)果；（2）向量法：建立適當?shù)目臻g直角坐標系，通過計算向量夾角（直線方向向量與直線方向向量、直線方向向量與平面法向量，平面法向量與平面法向量）余弦值，即可求出結(jié)果.6.如圖，己知二面角的棱上有兩個點A，B，線段與分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)，且都垂直與棱l．若，平面與平面的夾角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】過在面內(nèi)作，過作，交于，進而確定平面與平面的夾角為，結(jié)合已知及題圖確定二面角的大小.【詳解】過在面內(nèi)作，過作，交于，由且，故且，又，，，所以平面與平面的夾角為，且為矩形，即，由，則，又，面，則面，面，故，又，則，在直角△中，在△中，，所以，如圖，銳二面角的大小為.故選：C7.已知直線和以為端點的線段相交，則實數(shù)k的取值范圍為（）A. B. C. D.或【答案】D【解析】【分析】先求出所過的定點，結(jié)合直線與線段相交，應(yīng)用斜率兩點式求出斜率k的范圍.【詳解】由題設(shè)，恒過點，則，，又在y軸上，在y軸兩側(cè)，故直線的斜率.故選：D8.在正方體中，E是側(cè)面內(nèi)的動點，且平面，則直線與直線AB所成角的正弦值的最小值是A.B.CD.【答案】B【解析】【分析】以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，為z軸，建立空間直角坐標系利用向量法求出直線與直線AB所成角的正弦值的最小值．【詳解】解：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，為z軸，建立空間直角坐標系，設(shè)正方體中棱長為1，設(shè)0，，，，1，，1，，0，，1，，，1，，1，，設(shè)平面的法向量y，，則，取，得，平面，，解得，，，設(shè)直線與直線AB所成角為，1，，，，，．直線與直線AB所成角的正弦值的最小值是．故選B．【點睛】本題考查線線角的正弦值的最小值的求法，空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)學(xué)問，函數(shù)與方程思想，是中檔題．二、多項選擇題：每小題5分，共20分．9.下列說法正確的是（）A.直線的傾斜角取值范圍是B.若直線的斜率為，則該直線的傾斜角為C.平面直角坐標系中的隨意一條直線都有傾斜角，但不肯定有斜率D.直線的傾斜角越大，其斜率就越大【答案】AC【解析】【分析】依據(jù)直線傾斜角和斜率關(guān)系推斷各項的正誤.【詳解】A：直線傾斜角范圍為，正確；B：當直線斜率為，則該直線的傾斜角為內(nèi)正切值為的角，錯誤；C：平面內(nèi)全部直線都有傾斜角，當傾斜角為90°時沒有斜率，正確；D：傾斜角為銳角時斜率為正，傾斜角為鈍角時斜率為負，錯誤.故選：AC10.已知直線，動直線，則下列結(jié)論正確的是（）A.不存在，使得的傾斜角為90°B.對隨意的，與都有公共點C.對隨意的，與都不重合D.對隨意的，與都不垂直【答案】BD【解析】【分析】A令即可推斷正誤；B由過定點，再由定點與的關(guān)系推斷正誤；C令即可推斷正誤；D利用直線垂直的判定推斷值的存在性即可.【詳解】A：當時，，符合傾斜角為90°，錯誤；B：過定點，而也在上，對隨意的，與都有公共點，正確；C：當時，，明顯與重合，錯誤；D：要使與都垂直則，明顯不存在這樣的值，正確.故選：BD11.已知，圓，則以下選項正確的有（）A.圓C上到B的距離為2的點有兩個B.若過A的直線被圓C所截得的弦為，則的最小值為C.若過A的直線被圓C所截得的弦為，則弦的中點的軌跡方程是D.若點D滿意過D作圓C兩條切線相互垂直，則的最小值為【答案】BCD【解析】【分析】A由定點到圓心距離及圓的半徑推斷；B首先推斷在圓內(nèi)，再依據(jù)所截弦長最短知直線與垂直，寫出直線方程，進而求最小弦長；C由題意的軌跡是以為直徑的圓，即可得圓的方程；D依據(jù)切線性質(zhì)推斷、和兩個切點所成的四邊形為正方形，進而可知的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，最終求定點到圓上點的最小值即可.【詳解】由題設(shè)，圓心為且半徑，則，故，所以圓C上到B的距離為2的點有一個，A錯誤；由，即在圓內(nèi)，故過A的直線被圓C所截得的弦長最小，只需直線與垂直，故直線為，此時，B正確；若過A的直線被圓C所截得的弦的中點為，則，故的軌跡是以為直徑的圓，所以軌跡方程為，C正確；若D滿意過D作圓C的兩條切線相互垂直，結(jié)合切線的性質(zhì)知：、和兩個切點所成的四邊形為正方形，所以的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，即，而，故該圓上點到的最小值為，D正確.故選：BCD12.如圖，正方體的棱長為4，動點P，Q分別在線段，上，則下列命題正確的是（）A.直線與平面所成的角等于 B.點C到平面的距離為C.異面直線和所成的角為 D.線段長度的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】利用正方體的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定證面，進而確定直線與平面所成的角、C到平面的距離，由，異面直線和所成角即為與所成角求大小，過作于，再過作于，利用線面垂直及勾股定理求的最小值.詳解】正方體中面，面，故，又，由，面，故面，而面，故直線與平面所成的角，A正確；C到平面的距離為，B正確；因為，故異面直線和所成角即為與所成角，而△為等邊三角形，故，C錯誤；過作于，再過作于，面面，面面，面，故面，面，則，又，面，所以面，易知：即為異面直線，上兩點的距離，令，則，，所以，當時，，D正確.故選：ABD三、填空題：每小題5分，共20分．13.若平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，且，則______．【答案】【解析】【分析】由，得，利用向量坐標平行計算公式代入計算.【詳解】由，得，所以，解得，，∴．故答案為：14.已知直線，直線，若，則實數(shù)______．【答案】【解析】【分析】由由有，即可求，然后驗證、是否重合.【詳解】∵，有，∴，解得或，當時，，，即、為同一條直線；當時，，，即；∴，故答案為：15.如圖，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面邊長為2，高為1，則點D到平面ACD1的距離是_____．【答案】##【解析】【分析】利用等體積法，依據(jù)可得.【詳解】因為四棱柱ABCD-A1B1C1D1為正四棱柱，，，所以，記AC中點為O，則，所以，記三棱錐的高為h，因為，所以，解得.故答案為：.16.數(shù)學(xué)家歐拉年在其所著的《三角形幾何學(xué)》一書中提出：隨意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線，已知的頂點、，其歐拉線的方程為，則的外接圓方程為______.【答案】【解析】【分析】求出線段的垂直平分線方程，與歐拉線方程聯(lián)立，求出的外接圓圓心坐標，并求出外接圓的半徑，由此可得出的外接圓方程.【詳解】直線的斜率為，線段的中點為，所以，線段的垂直平分線的斜率為，則線段的垂直平分線方程為，即，聯(lián)立，解得，即的外心為，所以，的外接圓的半徑為，因此，的外接圓方程為.故答案為：.【點睛】方法點睛：求圓的方程，主要有兩種方法：（1）幾何法：詳細過程中要用到初中有關(guān)圓的一些常用性質(zhì)和定理．如：①圓心在過切點且與切線垂直的直線上；②圓心在隨意弦的中垂線上；③兩圓相切時，切點與兩圓心三點共線；（2）待定系數(shù)法：依據(jù)條件設(shè)出圓的方程，再由題目給出的條件，列出等式，求出相關(guān)量．一般地，與圓心和半徑有關(guān)，選擇標準式，否則，選擇一般式．不論是哪種形式，都要確定三個獨立參數(shù)，所以應(yīng)當有三個獨立等式．四、解答題：本題包括6小題．共70分．17.三角形的三個頂點是，，．（1）求邊上的高所在直線的方程；（2）求邊上的中線所在直線的方程．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）先依據(jù)斜率公式得，由于邊上的高與所在直線垂直且過，故依據(jù)點斜式求解即可；（2）由題知中點為，故再依據(jù)點斜式求解即可.【詳解】（1）邊所在直線的斜率因為所在直線的斜率與BC高線的斜率乘積為，所以高線的斜率為，又因為高線所在的直線過所以高線所在的直線方程為，即（2）設(shè)中點為，則中點，又所以邊上的中線所在的直線方程為：，即：【點睛】本題考查直線的方程的求解，解題的關(guān)鍵在于利用兩直線垂直且斜率存在，則斜率乘積為，考查運算求解實力，是基礎(chǔ)題.18.已知圓：與圓：.（1）若圓與圓外切，求實數(shù)m的值;（2）在(1)的條件下，若直線l過點(2，1)，且與圓的相交弦長為，求直線l的方程.【答案】（1）m=5（2）或【解析】【分析】（1）依據(jù)兩圓外切，兩圓心之間的距離等于兩圓半徑之和可得；（2）先依據(jù)弦長求出圓心到直線的距離，然后分斜率存在和不存在兩種狀況探討，利用點到直線的距離公式可得.【小問1詳解】圓：，則，半徑r1=1，由圓：，得，則，半徑.∵圓與圓外切，∴，∴，解得m=5.【小問2詳解】由(1)得m=5，圓的方程為，則，r2=2.由題意可得圓心到直線l的距離，當直線l斜率不存在時，直線方程為x=2，符合題意;當直線l斜率為k時，則直線方程為，化為一般形式為，則圓心(3，0)到直線l的距離，解得k=0，得直線方程為y=1.綜上，直線l的方程為或.19.如圖，在棱長為4的正方體中，E，F(xiàn)分別是AB，BC上的動點，且．（1）求證：；（2）當三棱錐的體積取得最大值時，求平面與平面的夾角的正切值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）構(gòu)建空間直角坐標系，令且，應(yīng)用向量法求證垂直即可；（2）由三棱錐體積最大，只需△面積最大求出參數(shù)a，再標出相關(guān)點的坐標，求平面與平面的法向量，進而求它們夾角的余弦值，即可得正切值.小問1詳解】如下圖，構(gòu)建空間直角坐標系，令且，所以，，，，則，，故，所以，即.【小問2詳解】由（1），三棱錐體積取最大，即△面積最大，所以，當時，故為AB，BC上的中點，所以，，，故，若為面的法向量，則，令，故，又面的法向量為，所以，由圖，平面與平面的夾角正切值為.20.（1）求過點且在兩坐標軸上截距相等的直線l的方程；（2）設(shè)直線l的方程為，若，直線l與x，y軸分別交于M，N兩點，O為坐標原點，求面積取最小值時，直線l的方程．【答案】（1）x＋y－1＝0或3x＋4y＝0；（2）x＋y－2＝0【解析】【分析】（1）分直線過原點和不過原點，當直線不過原點時設(shè)截距式方程，代入點可得；（2）求出M，N兩點坐標，利用坐標表示出面積，分別常數(shù)后運用基本不等式可得.【詳解】（1）當直線不過原點時，設(shè)l的方程為＋＝1，∵點在直線上，∴＋＝1，解得，所以直線方程為x＋y－1＝0；當直線過原點時，直線斜率，∴直線的方程為，即3x＋4y＝0.綜上知，所求直線方程為x＋y－1＝0或3x＋4y＝0.（2）∵，∴M，，∴＝＝≥2，當且僅當a＋1＝，即a＝0時等號成立．故所求直線l的方程為x＋y－2＝0.21.已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，分別為和的中點，為棱上的點，．（1）證明：（2）當為何值時，面與面所成的二面角的余弦值最大？【答案】（1）證明見解析（2）時，面與面所成的二面角的余弦值最大【解析】【分析】（1）利用線面垂直性質(zhì)可知，結(jié)合可證得平面，由和線面垂直性質(zhì)可證得結(jié)論；（2）以為坐標原點建立空間直角坐標系，利用面面角的向量求法可求得結(jié)果.【小問1詳解】三棱柱為直三棱柱，平面，又平面，，又，平面，，平面，又平面，；四邊形為正方形，，.【小問2詳解】以為坐標原點，為軸可建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，設(shè)，則，則，，設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，；又平面的一個法向量，，則當時，，即當時，面與面所成的二面角的余弦值最大.22.已知圓的圓心在射線上，截直線所得的弦長為6，且與直線相切．（1）求圓的方程；（2）已知點，在直線上是否存在點（異于點），使得對圓上的任一點，都有為定值？若存在，懇求出點的坐標及的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）存在,為,【解析】【分析】（1）由題,設(shè)圓心為,由相