廣東省2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題含解析

2024—2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試一?單選題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1.下列關(guān)系式中，正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)元素與集合的關(guān)系，集合與集合的關(guān)系進(jìn)行推斷即可.【詳解】，所以A錯(cuò)誤；集合是點(diǎn)集，集合{2}數(shù)集，沒有包含關(guān)系，故B錯(cuò)誤；是有理數(shù)集，，所以C錯(cuò)誤；空集是任何集合的子集，所以D正確.故選：D.2.若集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用并集的定義即可求解【詳解】因?yàn)?，，所以，故選：B3.已知集合，，且，則實(shí)數(shù)的取值構(gòu)成的集合為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先解出集合A，依據(jù)，分類探討求出實(shí)數(shù).【詳解】.因?yàn)椋?，?當(dāng)時(shí)，關(guān)于x的方程無(wú)解，所以；當(dāng)時(shí)，是關(guān)于x的方程的根，所以；當(dāng)時(shí)，是關(guān)于x的方程的根，所以.故實(shí)數(shù)的取值構(gòu)成的集合為.故選：D4.函數(shù)的最小值為（）A.8 B.7 C.6 D.2【答案】B【解析】【分析】結(jié)合基本不等式求得最小值.【詳解】，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故選：B5.函數(shù)，，則（）A.函數(shù)有最小值，最大值 B.函數(shù)有最小值，最大值C.函數(shù)有最小值，最大值 D.函數(shù)有最小值，最大值【答案】A【解析】【分析】求出二次函數(shù)的對(duì)稱軸，推斷在區(qū)間上的單調(diào)性，進(jìn)而可得最值.【詳解】對(duì)稱軸為，開口向上，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)有最小值，最大值，故選：A.6.不等式的解集為，則的解集為（）A. B.或C.或 D.【答案】A【解析】【分析】由不等式的解集得到對(duì)應(yīng)方程的根，結(jié)合韋達(dá)定理，求出，再代入所求的一元二次不等式，即可求解.【詳解】因?yàn)椴坏仁降慕饧癁?，所以和是方程兩根，則，解得，所以不等式即化為，所以，解得.故選：A7.若函數(shù)是上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由是上的減函數(shù)列不等式，求解實(shí)數(shù)的取值范圍即可.【詳解】由題意得，解得；解得；當(dāng)時(shí)解得.綜上得實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D.8.下列說(shuō)法正確的是（）A.不等式的解集為B.若實(shí)數(shù)滿意，則C.若，則函數(shù)的最小值為2D.當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則的取值范圍是【答案】B【解析】【分析】干脆解一元二次不等式即可推斷A；依據(jù)不等式的性質(zhì)推斷B；依據(jù)基本不等式求最值即可推斷C；依據(jù)不等式恒成立的解法求出k的范圍，即可推斷D.【詳解】對(duì)A，由解得或，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，由于，對(duì)兩邊同除，得到，故B正確；對(duì)C，由于，利用基本不等式知，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，①當(dāng)時(shí)，不等式為，恒成立；②當(dāng)時(shí)，若要使不等式恒成立，則，解得，所以當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則k的取值范圍是，故D錯(cuò)誤；故選：B二?多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）9.函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，下列說(shuō)法中正確的是（）A.B.若在上有最小值－1，則在上有最大值1C.若在上為增函數(shù)，則在上為減函數(shù)D.，使【答案】AB【解析】【分析】利用奇函數(shù)定義，使，結(jié)合奇函數(shù)與單調(diào)性的結(jié)論處理推斷．【詳解】∵函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則，使D不正確；令，則，即A正確；若在上有最小值－1，即對(duì)，，使得當(dāng)時(shí)，，即在上有最大值1B正確；依據(jù)奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間單調(diào)性相同可知C不正確；故選：AB．10.下列命題中，真命題的是（）A.a＞1，b＞1是ab＞1的充分不必要條件B.“”是“”的充要條件C.命題“?x0∈R，使得”的否定是“?x∈R，都有x2+x+1≥0”D.命題“?x∈R，x2+x+1≠0”的否定是“?x0∈R，”【答案】ACD【解析】【分析】利用充分性與必要性推斷AB的正確性，依據(jù)全稱命題與存在命題的關(guān)系推斷CD的正確性.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)，時(shí)，，但是當(dāng)時(shí)，得到，不肯定成立，故，是的充分不必要條件，故A正確；對(duì)于B，“”是“”的充要條件，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C,命題“?x0∈R，使得”的否定是“?x∈R，都有x2+x+1≥0”,故C正確；對(duì)于D，命題“?x∈R，x2+x+1≠0”的否定是“?x0∈R，”，故D正確.故選：ACD11.已知冪函數(shù)，則（）A. B.定義域?yàn)镃. D.【答案】AC【解析】【分析】依據(jù)為冪函數(shù)得可推斷A；依據(jù)冪函數(shù)的解析式可推斷B；利用單調(diào)性可推斷C；計(jì)算可推斷D.【詳解】為冪函數(shù)，，得，A對(duì)；函數(shù)的定義域?yàn)椋珺錯(cuò)誤；由于在上為增函數(shù)，，C對(duì)；，，D錯(cuò)誤，故選：AC.12.已知集合，，則使成立的實(shí)數(shù)m的取值范圍可以是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】先依據(jù)題意得出A，然后對(duì)集合B是空集和不是空集兩種狀況進(jìn)行探討，進(jìn)而得到答案.【詳解】，A.若B不為空集，則，解得，，，且，解得．此時(shí)．若B為空集，則，解得，符合題意．綜上，實(shí)數(shù)m滿意或．故選：AC.三?填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）13.函數(shù)的定義域?yàn)開_______．【答案】【解析】【分析】依據(jù)題意列關(guān)于的不等式組即可求解.【詳解】由題要使得有意義，則，故且，從而的定義域?yàn)?，故答案為?14.設(shè)，，則_______．【答案】105【解析】【分析】先求，再求【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以，故答案為?5.已知正實(shí)數(shù)x，y滿意，則最小值為______．【答案】9【解析】【分析】利用基本不等式的性質(zhì)干脆求解即可.【詳解】正數(shù)，滿意：，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)“”成立，故答案為：.16.關(guān)于的不等式在上恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________．【答案】【解析】【分析】分和探討，時(shí)依據(jù)二次函數(shù)開口向下，且與軸無(wú)交點(diǎn)列出不等式即可【詳解】若,得,符合題意若,由題知,解得綜上實(shí)數(shù)的取值范圍是故答案為：四?解答題（共6小題，滿分70分.解答題應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.）17.設(shè)全集為R，集合或，，（1）求，.（2）求【答案】（1）或，；（2）【解析】【分析】按定義進(jìn)行交集、并集、補(bǔ)集運(yùn)算即可【小問(wèn)1詳解】或，；【小問(wèn)2詳解】，18.（1）已知，求的最大值；（2）已知，，若，求的最小值．【答案】（1）；（2）4【解析】【分析】（1）由題意可得，再將函數(shù)變形為，然后利用基本不等式求出其最大值，（2）利用基本不等式結(jié)合題意可得結(jié)果.【詳解】（1）∵，∴，因此；當(dāng)且僅當(dāng)，即，y有最大值；（2）∵，且，∴；當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，有最小值4．19.已知函數(shù)（1）推斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用定義法證明你的結(jié)論；（2）若，求函數(shù)的最大值和最小值.【答案】（1）減函數(shù)，證明見解析（2），【解析】【分析】（1）依據(jù)定義法證明函數(shù)單調(diào)性即可求解；（2）依據(jù)（1）中的單調(diào)性求解最值即可.小問(wèn)1詳解】任取，，且則-因?yàn)?，所以，所以，即，所以在區(qū)間上是減函數(shù)．【小問(wèn)2詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，所以，.20.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，．（1）當(dāng)時(shí)，求的解析式；（2）若，求的值．【答案】（1）當(dāng)時(shí)，；（2）或.【解析】【分析】（1）設(shè)時(shí)，，則，再依據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)即可得時(shí)，求的解析式；（2）分和兩類，分別解不等式即可得答案.小問(wèn)1詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，所以，又是偶函數(shù)，∴，∴，所以當(dāng)時(shí)，；【小問(wèn)2詳解】解：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，即，解得（舍去），當(dāng)時(shí)，，∴.（舍去），綜上，或21.第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，即2024年北京冬奧會(huì)于2024年2月4日開幕.冬奧會(huì)祥瑞物“冰墩墩”早在2024年9月就正式亮相，到如今已是“一墩難求”，并衍生出許多不同品類的祥瑞物手辦.某企業(yè)承接了“冰墩墩”玩具手辦的生產(chǎn)，已知生產(chǎn)此玩具手辦的固定成本為200萬(wàn)元.每生產(chǎn)x萬(wàn)盒，需投入成本h（x）萬(wàn)元，當(dāng)產(chǎn)量小于或等于50萬(wàn)盒時(shí)；當(dāng)產(chǎn)量大于50萬(wàn)盒時(shí)，若每盒玩具手辦售價(jià)200元，通過(guò)市場(chǎng)分析，該企業(yè)生產(chǎn)的玩具手辦可以全部銷售完.（利潤(rùn)=銷售總價(jià)-成本總價(jià)，銷售總價(jià)=銷售單價(jià)×銷售量，成本總價(jià)=固定成本+生產(chǎn)中投入成本）（1）求“冰墩墩”玩具手辦銷售利潤(rùn)y（萬(wàn)元）關(guān)于產(chǎn)量x（萬(wàn)盒）的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)產(chǎn)量為多少萬(wàn)盒時(shí)，該企業(yè)在生產(chǎn)中所獲得利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為多少萬(wàn)元.【答案】（1）；（2）產(chǎn)量為70萬(wàn)盒，最大利潤(rùn)為1200萬(wàn)元.【解析】【分析】（1）依據(jù)產(chǎn)量的范圍，分段列出函數(shù)關(guān)系式，即得答案.（2）求出每段函數(shù)的最大值，再比較大小即可作答.【小問(wèn)1詳解】依題意，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以銷售利潤(rùn)y（萬(wàn)元）關(guān)于產(chǎn)量x（萬(wàn)盒）的函數(shù)關(guān)系式為：.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，而，因此當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)產(chǎn)量為70萬(wàn)盒時(shí)，該企業(yè)在生產(chǎn)中所獲得利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為1200萬(wàn)元.22.定義：若函數(shù)對(duì)于其定義域內(nèi)的某一數(shù)，有，則稱是的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).已知函數(shù).（1）當(dāng)，時(shí)，求函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)；（2）若對(duì)隨意的實(shí)數(shù)b，函數(shù)恒有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）在（2）的條件下，若圖象上兩個(gè)點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)是函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)C在函數(shù)的圖象上，求實(shí)數(shù)b的最小值.【答案】（1）和3（2）（3）【解析】【分析】（1）依據(jù)不動(dòng)點(diǎn)的定義計(jì)算即可；（2）方程有兩個(gè)不等