安徽省皖南八校2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第二次大聯(lián)考試題含解析

Page16安徽省皖南八校2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期其次次大聯(lián)考試題考生留意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.2.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色黒水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷?草稿紙上作答無效.3.本卷命題范圍：高考范圍.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A.B.C.D.若復(fù)數(shù)滿意（為虛數(shù)單位），則（）A.B.C.D.3.已知單位向量滿意，則在上的投影向量為（）A.B.C.D.4.已知雙曲線以正方形的兩個頂點為焦點，且經(jīng)過該正方形的另兩個頂點，則雙曲線的離心率為（）A.B.C.D.5.在三棱錐中，，則三棱錐外接球的體積為（）A.B.C.D.6.已知圓的方程為，若直線上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓有公共點，則實數(shù)的最小值是（）A.B.C.D.7.為落實疫情防控“動態(tài)清零”總方針和“四早”要求，有效應(yīng)對奧密克戎變異株傳播風(fēng)險，確保正常生活和生產(chǎn)秩序，某企業(yè)確定于每周的周二?周五各做一次抽檢核酸檢測.已知該企業(yè)組裝車間的某小組有6名工人，每次獨立?隨機的從中抽取3名工人參與核酸檢測.設(shè)該小組在一周內(nèi)的兩次抽檢中共出名不同的工人被抽中，下列結(jié)論不正確的是（）A.該小組中的工人甲一周內(nèi)被選中兩次的概率為B.C.該小組中的工人甲一周內(nèi)至少被選中一次的概率為D.8.已知，若，則大小關(guān)系為（）A.B.C.D.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.隨著時代與科技的發(fā)展，信號處理以各種方式被廣泛應(yīng)用于醫(yī)學(xué)?聲學(xué)?密碼學(xué)?計算機科學(xué)?量子力學(xué)等各個領(lǐng)域.而信號處理背后的“功臣”就是正弦型函數(shù)，的圖象就可以近似的模擬某種信號的波形，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱B.函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱C.函數(shù)為周期函數(shù)，且最小正周期為D.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的最大值為410.已知拋物線的焦點到準線的距離為4，過的直線與拋物線交于兩點，為線段的中點，則下列結(jié)論正確的是（）A.拋物線的準線方程為B.當，則直線的傾斜角為C.若，則點到軸的距離為8D.11.在底面邊長為2?高為4的正四棱柱中，為棱上一點，且分別為線段上的動點，為底面的中心，為線段的中點，則下列命題正確的是（）A.與共面B.三棱錐的體積為C.的最小值為D.當時，過三點的平面截正四棱柱所得截面的周長為12.已知都是定義在上的函數(shù)，對隨意滿意，且，則下列說法正確的有（）A.B.函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱C.D.若，則三?填空題：全科免費下載公眾號《中學(xué)僧課堂》本題共4小題，每小題5分，共20分.13.國慶節(jié)前夕，某市舉辦以“紅心頌黨恩?喜迎二十大”為主題的青少年學(xué)生演講競賽，其中10人競賽的成果從低到高依次為：（單位：分），則這10人成果的第75百分位數(shù)是__________.14.在的綻開式中，的系數(shù)為__________.15.已知，則__________.16.已知，不等式對隨意的實數(shù)恒成立，則實數(shù)的最小值是__________.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步棷.17.（10分）已知數(shù)列的首項，且滿意.（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）若，求滿意條件的最大整數(shù).18.（12分）近年來，我國高校生畢業(yè)人數(shù)呈逐年上升趨勢，各省市出臺實惠政策激勵高校畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè)，以創(chuàng)業(yè)帶動就業(yè).某市統(tǒng)計了該市其中四所高校2024年的畢業(yè)生人數(shù)及自主創(chuàng)業(yè)人數(shù)（單位：千人），得到如下表格：高校A高校B高校C高校D高校當年畢業(yè)人數(shù)（千人）3456自主創(chuàng)業(yè)人數(shù)（千人）（1）已知與具有較強的線性相關(guān)關(guān)系，求關(guān)于的線性回來方程；（2）假設(shè)該市政府對選擇自主創(chuàng)業(yè)的高校生每人發(fā)放1萬元的創(chuàng)業(yè)補貼.（i）若該市高校2024年畢業(yè)生人數(shù)為7千人，依據(jù)（1）的結(jié)論估計該市政府要給高校選擇自主創(chuàng)業(yè)的畢業(yè)生創(chuàng)業(yè)補貼的總金額；（ii）若高校的畢業(yè)生中小明?小紅選擇自主創(chuàng)業(yè)的概率分別為，該市政府對小明?小紅兩人的自主創(chuàng)業(yè)的補貼總金額的期望不超過萬元，求的取值范圍.參考公式：回來方程中斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：.19.（12分）如圖，將長方形（及其內(nèi)部）繞旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，其中，劣弧的長為為圓的直徑.（1）在弧上是否存在點（在平面的同側(cè)），使，若存在，確定其位置，若不存在，說明理由；（2）求平面與平面夾角的余弦值.20.（12分）如圖，在平面四邊形中，.（1）若平分，證明：；（2）記與的面積分別為和，求的最大值.21.（12分）已知橢圓經(jīng)過點，其右焦點為.（1）求橢圓的標準方程；（2）橢圓的右頂點為，若點在橢圓上，且滿意直線與的斜率之積為，求面積的最大值.22.（12分）已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù).（1）設(shè)曲線與軸正半軸相交于點，曲線在點處的切線為，求證：曲線上的點都不在直線的上方；（2）若關(guān)于的方程（為正實數(shù)）有兩個不等實根，求證：.2024屆“皖南八校”高三其次次大聯(lián)考?數(shù)學(xué)參考答案?解析及評分細則1.C因為，則.故選C.2.D設(shè)，則，，解得即.故選D.3.C因為是單位向量，所以，故，由得，，即，解得.設(shè)與的夾角為，則在上的投影向量為.故選C.4.A如圖，正方形的頂點為雙曲線的焦點，頂點在雙曲線上，則，，故.由正方形得，所以，則即，兩邊同除得，解得或（舍）.故選A.5.A因為，所以，在中，由正弦定理得，即，所以，取的中點，可知為三棱錐外接球的球心，外接球的半徑，所以三棱錐外接球的體積為，故選A.6.D圓的方程為，整理得：圓心為，半徑，又直線上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓有公共點，點到直線的距離小于或等于，化簡得，解得的最小值是.故選D.7.B依題意每次抽取工人甲被抽到的概率，所以工人甲一周內(nèi)被選中兩次的概率為，故A正確；依題意的可能取值為，則，所以，故B錯誤；對于，工人甲一周內(nèi)至少被選中一次的概率為，故正確；，所以，故D正確.故選B.8.B因為，所以為上的偶函數(shù).當時，，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以在上單調(diào)遞減，又因為為上的偶函數(shù).所以在上單調(diào)遞增.因為，由，得，所以，由，得，所以，從而有.故選B.9.ABD函數(shù)，對于A，可以驗證，故A正確；對于B，同樣可以驗證，故B正確；對于，由誘導(dǎo)公式易知，故C錯誤；對于，易知，故D正確.故選.10.AD對于，易知，從而準線方程為，故正確；對于，如圖分別過兩點作準線的垂線，垂足分別為，過點作的垂線，垂足為點.由于，不妨設(shè)，則，由拋物線的定義易知：，，在直角中，，此時的傾斜角為，根據(jù)拋物線的對稱性可知，的傾斜角為或，所以錯誤；對于，點，由拋物線的定義知，，有，所以到軸距離，C錯誤；對于，由拋物線定義知，所以，當且僅當，即時取得等號，所以D正確.故選AD.11.ACD對于，如圖1，在中，因為為的中點，所以，所以與共面，所以A正確；對于，由，因為到平面的距離為定值2，且的面積為1，所以三棱錐的體積為，所以錯誤；對于，如圖2，綻開平面，使點共面，過作，交與點，交與點，則此時最小，易求的最小值為，則正確；對于，如圖3，取，連接，則，又所以，所以共面，即過三點的正四棱柱的截面為，由，則是等腰梯形，且，所以平面截正四棱柱所得截面的周長為，所以D正確.故選ACD.12.ABD對于，令，代入已知等式得，得，再令，1，代入已知等式得，可得，結(jié)合得，故A正確；對于B，再令，代入已知等式得，將代入上式，得函數(shù)為奇函數(shù)，函數(shù)關(guān)于點對稱，故B正確.對于，再令代入已知等式，得，又，即得，故C錯誤；對于，再分別令和代入已知等式，得以下兩個等式，兩式相加易得，所以有，從而有為周期函數(shù)，且周期為.故D正確.故選ABD.13.，所以從小到大選取第8個數(shù)作為第75百分位數(shù)，即93.14.由二項式綻開式的定義易知的系數(shù)為.15.因為，因為，所以，所以，故16.由題意得化簡得易知函數(shù)是單調(diào)遞增的函數(shù)，所以對恒成立，此時，令，則，當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，當時，，即的最小值為.17.（1）證明：由，可得，，又，故數(shù)列是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列.（2）解：由（1）可知，故..令易知隨的增大而增大.，故滿意的最大整數(shù)為4.18.解：（1）由題意得..所以故得關(guān)于的線性回來方程為.（2）（i）將代入，得，所以估計該市政府須要給高校畢業(yè)生選擇自主創(chuàng)業(yè)的人員發(fā)放補貼金總額為萬元）.（ii）設(shè)小明?小紅兩人中選擇自主創(chuàng)業(yè)的人數(shù)為，則的全部可能值為.，，..，故的取值范圍為.19.解：（1）存在，當為圓柱的母線，.連接，因為為圓柱的母線，所以平面，又因為平面，所以.因為為圓的直徑，所以.，所以平面，因為平面，所以.（2）以為原點，分別為軸，垂直于軸直線為軸建立空間直角坐標系，如圖所示.，因為的長為，所以，設(shè)平面的法向量，令，解得，所以.因為軸垂直平面，所以設(shè)平面的法向量.所以.所以平面與平面夾角的余弦值為.20.（1）證明：平分，則，由余弦定理得，即，解得；，，，又.（2）解：，，整理可得；，當時，取得最大值，最大值為14.21.解：（1）依題可得解得所以橢圓的方程為.（2）易知直線與的斜率同號，所以直線不垂直于軸，故可設(shè)，由可得，，所以，即，而，即，化簡可得，，化簡得，所以或，