2025年浙江省高考數(shù)學(xué)模擬試卷（附答案解析）

2025年浙江省高考數(shù)學(xué)模擬試卷

一、單選題

1.(5分)已知全集U=R,集合M={x|x2-2x-3W0}ffN={x|x=2k-l,k=l,2,...}的關(guān)系的韋恩（Venn）

圖如圖所示，則陰影部分所示的集合的元素共有（）

C.1個D.無窮多個

2.(5分)已知a=(l,0),b=(l,1),若(入a-b)，b,則實(shí)數(shù)入=()

A.-2B.2C.-1D.1

3.（5分）已知函數(shù)/（#）=sin（2x+勺，將f（x）的圖象向左平移@（小〉0）個單位后，得到函數(shù)g（x）

的圖象，若g（x）的圖象與f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱，則中的最小值等于（）

717171

A.—日-C.-D.一

12A3

4.(5分)將自然數(shù)1,2,3,4,5,-?…，按照如圖排列,我們將2,4,7,11,16,……都稱為“拐角

數(shù)”，則下列哪個數(shù)不是“拐角數(shù)”.（)

C.37D.46

5.（5分）已知某學(xué)校參加學(xué)科節(jié)數(shù)學(xué)競賽決賽的8人的成績（單位：分）為：72,78,80,81,83,86,

88,90,則這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是（）

A.86B.87C.88D.90

6.（5分）已知直線x-y-k=0（k>0）與圓x2+月交于不同的兩。、BQ是坐標(biāo)原點(diǎn)，且有10A+OB2

由AB|,那么k的取值范圍是（）

A.(#,+0)B.(d6,2Y2)C.(42,+0)D.(T2,2Y2)

7.（5分）在AABC中，角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且2acosB=c-a,則四的最小值為（）

b

A.2B2<2C.4D.4也

8.(5分)已知f(x)的定義域?yàn)镽,f(x+y)+f(x-y)=3f(x)f(y),且/(D=；則Z2925f(k)=()

12cl2

A.一之B.-Z,C.-D.-

qR??a

二、多選題

(多選)9.(6分)歐拉公式exi=cosx+isinx(i為虛數(shù)單位，xER)是由數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立的，該公式建立

了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”.依據(jù)歐拉公式，下列選項(xiàng)正確的是()

A.e3的虛部為哼

B.e7ii=-1

C.|exi=|cosx|+|sinx|

D.ez的共甄復(fù)數(shù)為T

(多選)10.(6分)平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡稱為卡西尼卵形線，它是1675年卡西尼

在研究土星及其衛(wèi)星的運(yùn)行規(guī)律時發(fā)現(xiàn)的.已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(-2,0),B(2,0),

動點(diǎn)P滿足|PA|“PB|=5,其軌跡為一條連續(xù)的封閉曲線C,則下列結(jié)論正確的是()

A,曲線C與y軸的交點(diǎn)為(0,1)和(0,-1)

B.曲線C關(guān)于x軸、y軸對稱，不關(guān)于原點(diǎn)0對稱

C.點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的范圍是「3,3]

D.|OPI的取值范圍為[1,2]

(多選)11.(6分)如圖，正方體ABCD-AiBiGDl的棱長為1,動點(diǎn)P在對角線BD】上，過P作垂直

于BD的平面a,記平面a與正方體ABCD-AB3D的截面多邊形(含三角形)的周長為L,面積

為S,BP=X,XG(0N3),下面關(guān)于函數(shù)L(X)和S(X)的描述正確的是()

A.S(x)最大值j-----

4

B.L(x)在％=岑時取得極大值

C.L(x)在乂0,堂)上單調(diào)遞增，在乂*，通:上單調(diào)遞減

D.S(x)在10,字)上單調(diào)遞增，在X字，百］上單調(diào)遞減

三、填空題

12.(5分)已知隨機(jī)變量X?N也,。2),若P(X<2尸0.2,P(x<3)=0.5,則P(X<4)的值為.

13.(5分)已知雙曲線E:3一/=l(a>0,b>0：的左、右焦點(diǎn)分別為Fi,F2,離心率為2,過點(diǎn)Fi

的直線1交E的左支于A,B兩點(diǎn).O|B|=|OFi|(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，記點(diǎn)0到直線I的距離為d,則

d

a

14.(5分)已知4ABC內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,D為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，延長BE

交AC于點(diǎn)F,若b=2,4sinAsinC=3Y3sinB,則ZXAEF的面積為

四、解答題

15.(13分)已知數(shù)列｛an｝中，a1=1,an=2an-1+1(n>2).

(1)求｛an｝的通項(xiàng)公式；

⑵求和：優(yōu)】

16.(15分)如圖，在四棱柱ABCD-AiBGDl中，AA1_L平面ABCD,底面ABCD為梯形，AD//BC,BC

=4,AB=AD=DC=AA1=2,Q為AD的中點(diǎn).

(1)在AiDl上是否存在點(diǎn)P,使直線CQ〃平面AGP,若存在，請確定點(diǎn)P的位置并給出證明，若

不存在，請說明理由；

(2)若(1)中點(diǎn)P存在，求平面AGP與平面ABBiAl所成的銳二面角的余弦值.

17.(15分)現(xiàn)有n枚質(zhì)地不同的游戲幣ai,a2,,an(n>3),向上拋出游戲幣am后，落下時正面朝上

的概率為」—(帆=1,2,…，捫).甲、乙兩人用這n枚游戲幣玩游戲.

2?T7

(1)甲將游戲幣az向上拋出10次，用X表示落下時正面朝上的次數(shù)，求X的期望E(X),并寫出當(dāng)

k為何值時，P(X=k)最大(直接寫出結(jié)果，不用寫過程)；

(2)甲將游戲幣ai,m,a3向上拋出，用Y表示落下時正面朝上游戲幣的個數(shù)，求Y的分布列；

⑶將這n枚游戲幣依次向上拋出，規(guī)定若落下時正面朝上的個數(shù)為奇數(shù)，則甲獲勝，否則乙獲勝,

請判斷這個游戲規(guī)則是否公平，并說明理由.

18.(17分)已知函數(shù)f(x)=Inx-x+a.

⑴若a=0,求曲線kf(x)在x=l處的切線方程；

⑵若x>0時，f(x)<09求a的取值范圍；

(3)若Ovagl,證明：當(dāng)xNl時，f(x)+x<(x-1)exa+1.

19.(17分)動點(diǎn)M(x,y)到直線h:y=43x與直線12：y=W3x的距離之積等于3，且|yl〈J3|x|.記

點(diǎn)M的軌跡方程為r.

(1)求F的方程；

(2)過P上的點(diǎn)P作圓Q:x2+(y-4)』l的切線PT,T為切點(diǎn)，求|PT的最小值；

⑶已知點(diǎn)匕(0.3,直線l：y=kx+2(k>0)交F于點(diǎn)A,B,F上是否存在點(diǎn)C滿足GA+?+Gc=0?

若存在，求出點(diǎn)c的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

2025年浙江省高考數(shù)學(xué)模擬試卷

參考答案與試題解析

一、單選題

1.(5分)已知全集11=兄集合M={x|x2-2x-3W0}^BN={x|x=2k-l,k=l,2,-??}的關(guān)系的韋恩(Venn)

圖如圖所示，則陰影部分所示的集合的元素共有()

D.無窮多個

【解答】解：由圖知，陰影部分所示的集合為MNN,

由x2-2x-3W0,得到T〈xW3,所以M={x-lWx<3},又N={x|x=2k-1,k=l,2,…},

所以MNN={1,3},得到陰影部分所示的集合的元素共有2個.

故選：B.

2.(5分)已知a=(l,0),b=(l,1),若(入a-b)_Lb,則實(shí)數(shù)入=()

A.-2B.2C.-lD.1

【解答】解：a=(l,0),b=a,1),

.'.Xa-b=(X-l,-l),

,.,(Xa-b)±b,

/.(Xa-b)-b=X-l-l=0,

解得實(shí)數(shù)入=2.

故選：B.

3.(5分)已知函數(shù)/(乃=￡加3+軟將f(x)的圖象向左平移6(6>0)個單位后，得到函數(shù)g(x)

的圖象，若g(x)的圖象與f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，則中的最小值等于()

n717171

A.—B.-C.-D.一

17643

【解答】解：g(x)=f[x+<p)=sin(2x+23+$),要g(x)的圖象與f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱,

則9(%)=-x)=sin(-2x+9)=sin(2x+給：

所以23+9=冬+2kn,ke乙古攵租=弓+An,kGZ,

又@>0,古牧<%nin=1

B.

4.（5分）將自然數(shù)1,2,3,4,5,……，按照如圖排列，我們將2,4,7,11,16,…??都稱為“拐角

數(shù)”，則下列哪個數(shù)不是“拐角數(shù)”.（）

【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)第n個“拐角數(shù)”為an,

則ai=2=l+l,a2=4=l+l+2,a3=7=l+l+2+3,a4=l1=1+1+2+3+4,...,

歸納可得：Qn=1+1+2+3+4+。—I-71=1+

由此分析選項(xiàng)：ACD都符合，

對于8,1+空把=3（）無整數(shù)解，不符合題意.

故選：B.

5.（5分）已知某學(xué)校參加學(xué)科節(jié)數(shù)學(xué)競賽決賽的8人的成績（單位：分）為：72,78,80,81,83,86,

88,90,則這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是（）

A.86B.87C.88D.90

【解答】解:將數(shù)據(jù)從小到大排序得72,78,80,81,83,86,88,90,

因?yàn)?X75%=6,

86+88

所以第75百分位數(shù)是電工一=87,

故選：B.

6.（5分）已知直線x-y-k=o（k>o）與圓K+yM交于不同的兩點(diǎn)A、B,提坐標(biāo)原點(diǎn),且有10A+0BIN

由AB,那么k的取值范圍是（）

A.（A/6,+0）B,（^6,2^2）C.（d2,+0）D.（也,2也）

【解答】解：設(shè)AB中點(diǎn)為D,則OD_LAB,

,/10A+OBI>^3IAB|,

/,.120D^IABI,

?而F+(京F=4,

.10DP經(jīng)，

??,直線x-y-k=0(k>0)與圓x2+y2=4交于不同的兩點(diǎn)A、B,

AIODM,

.,.4>10DF>3,

.”6#2也.

故選：B.

7.(5分)在AABC中，角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且2acosB=c-a,則］士口勺最小值為()

h

A.2B.2^2C.4D.442

【解答】解：由余弦定理得出cosB='壕代入2acosB=c-a,

坦1a2+c2-h2a2+c2-b2

得2a?—而「=---=c-a,

整理得a2+c2-b2=c2-ac,即b2=a2+ac,

2

訓(xùn)l/C+342_c2+6ac+9a2_c24-6ac+9a2_(5)+6*+9

==。2+一=-i+1

令i+￡=t,?i,

a

則g(t)=(I)2*I)+9=+=t+"422口+4=8

當(dāng)且僅=:時,t=2,即a=c時等號成立，

止匕a=c,cosB=0,即=弓

2牛

故當(dāng)AABC為等腰直角三角形時，上任取到最小值2J2

h

故選：B.

8.(5分)已知我x)的定義域?yàn)镽,f(x+y)+f(x-y)=3f(x)f(y),且/(D=?則Z2925f(k)=(

A.-JB.-3C.-D.-

【解答】解：由題意知，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,

f(x+y)+f(x-y)=3f(x)f(y),且/(I)=g

令x=l,y=O,得f(l+0)+f(l-0)=3f(l)f(0),

所以/⑼4；

令x=0,得f(O+y)+f(0-y尸3貨0)耳y),

所以f(-y)=f(y),

所以f(x)是偶函數(shù)，

令y=1,得f(x+l)+f(x-l)=3f(x)f(l)=f(x)?,

所以f(x+2)+f(x)=f(x+1)②，

由①②知負(fù)x+2)+f(x-l)=0,

所以f(x+3)+f(x)=0,f(x+3)=-f(x),

所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x),

所以f(x)的一個周期是6,

由②得f(2)+f(0)=f(l),

所以f(2)=T

同理f(3)+f(l)=f(2),

所以/(3)=-東

又由周期性和偶函數(shù)可得：/(4)=/(-2)=/(2)=-y/(5)=f(-l)=/(I)=<./(6)=/(0)=|

所以f(1)+f(2)+f⑶+-+f(6)=0,

□

所以22025f(k)=337Zk=lf(k)+f(1)+/(2)+/(3)=-彳

故選：B.

二、多選題

(多選)9.(6分)歐拉公式ei=cosx+isinx(i為虛數(shù)單位，xER)是由數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立的，該公式建立

了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”.依據(jù)歐拉公式，下列選項(xiàng)正確的是()

A.e3的虛部感

7

B.e7ri=-1

C.|exi=|cosx|+|sinx

IF

D.eN的共胡復(fù)數(shù)為-i

j

【解答】解：對于A中，feJ=COs|+isin|=1+fi其虛部為當(dāng)所以A正確；

對于B中，由e兀i=cos7i+isin7r=-1,所以B正確；

對于C中，由ei=cosx+isinx,貝lj|exij=^cos2x+sin2x=l,所以C錯誤；

對于D中，由言=c嗎+isin/，故ez'的共朝復(fù)數(shù)為"i,所以D正確

故選：ABD.

(多選)10.(6分)平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡稱為卡西尼卵形線，它是1675年卡西尼

在研究土星及其衛(wèi)星的運(yùn)行規(guī)律時發(fā)現(xiàn)的.已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(-2,0),B(2,0),

動點(diǎn)P滿足|PA|?|PB|=5,其軌跡為一條連續(xù)的封閉曲線C,則下列結(jié)論正確的是()

A.曲線C與y軸的交點(diǎn)為(0,1)和(0,-1)

B.曲線C關(guān)于x軸、y軸對稱，不關(guān)于原點(diǎn)O對稱

C.點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的范圍是［-3,3］

D.|OPI的取值范圍為［1,2］

【解答】解：已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(-2,0),B(2,0),

設(shè)點(diǎn)P(x,y),

又P滿足P|A|?|PB|=5,

則［&+2y+『］-t(x-2)2+y2］=25,

整理得：x2+產(chǎn)d16x2+25-4,

對于A中,當(dāng)x=0時，

解得產(chǎn)土1,

即曲線C與y軸的交點(diǎn)為(0,T),(0,1),

所以A正確；

對于B中，因?yàn)閬V2+尸="16x2+25-4,

用-y替換y,方程不變，

則曲線C關(guān)于x軸對稱，

用-X替換X,方程不變，

則曲線C關(guān)于y軸對稱，

同時用-X替換x,用-y替換y,方程不變,

可得曲線C關(guān)于原點(diǎn)對稱，

所以B錯誤；

對于C中，因?yàn)閤4y*16x2+25-4,

即可得尸=V16^+25-4^220,

即V16x2+25^4+x2,

即x4-8x2-9<0,

解得0^x2<9,

即-3WxW3,

所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是[-3,3],

所以C正確；

對于D中，因?yàn)?忸|2=*2+/=J16x2+25-4,

由C項(xiàng)知-3Cx<3,

貝(IVI6x2+25e[5,13],

所以IOPFe[1,9],

故|OPI<3,

所以D錯誤.

故選：AC.

（多選）11.（6分）如圖，正方體ABCD-AiBiGDl的棱長為1,動點(diǎn)P在對角線BD1上，過P作垂直

于BDi的平面a,記平面a與正方體ABCD-AIBCIDI的截面多邊形（含三角形）的周長為L,面積

為S,BP=x,x6(0,43),下面關(guān)于函數(shù)L（x）和S（x）的描述正確的是（）

B.L(x)在k=母時取得極大值

C.L(x)在：(o,享)上單調(diào)遞增，在停，何)上單調(diào)遞減

D.S(x)在乂0,卓)上單調(diào)遞增，在乂亭,百))上單調(diào)遞減

【解答】解：當(dāng)Xu,。時，截面為等邊三角形，如圖：

”0,—

因?yàn)锽P=x,所以EF=/6x,

所以：L(x尸346x,5(*)=孥f；xG(0,當(dāng)

此時L(x),S(x)在：(0,身上單調(diào)遞增，且L(x)W342,S(x)<

當(dāng)xW(字，竽))時截面為六邊形，如圖：

翊￡=/,則AE=AF=CG=CH=BN=BiM=t,

所以六邊形EFGHMN的周長為：3V2t+3^2(l-t)=3^2為定值;

做NN」平面ABCD于Ni,MM」平面ABCD于M/.

設(shè)平面EFGHMN與平面ABCD所成的角為a,則易求cosa=空.

所以SEFDHMN-cosa=SFAN】MiCG

所以SEFDHMN=V3[l-1(1-t)2-1t2]=V3(1+1-12)?

在tC(O,3上遞增，在1〕上遞減，

所以截面面積的最大值為百&+；—3=苧，此時t=;,即*=率

所以S(x)在(*，冬上遞增，在昌，竽)上遞減.”=判即)最大，為呼.

當(dāng)(孚，,)時,易得：

L(x尸3<6(<3-x),S(x)=^2-(百—X1

此時L(x),S(x)在：(綽，何)上單調(diào)遞減，L(x)<3〈2,S(*)V坐

綜上可知：AD是正確的，BC錯誤.

故選：AD.

三、填空題

12.(5分)已知隨機(jī)變量X?N(NQ2),若P(X<2)=0.2,P(X<3)=0.5,貝UP(X<4)的值為0.8.

【解答】解：因?yàn)殡S機(jī)變量X?N(u,4)，若P(X<2)=0.2,P(X<3尸0.5,

則對稱軸為U=3,

則P(2<X<3尸0.5-0.2=0.3,

則P(X<4)=0.5+0.3=0.8.

故答案為：0.8.

13.(5分)已知雙曲線E:，一5=l(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,離心率為2,過點(diǎn)Fi

的直線I交E的左支于A,B兩點(diǎn).|OBI=|OFi|(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，記點(diǎn)O到直線1的距離為d,則=

n

1+夕

7—,

【解答】解：令雙曲線E的半焦距為c,由離心率為2,得c=2a,

取RB的中點(diǎn)D,連接OD,由|OB|=QR|,得OD_LRB,則|ODI=d,

連接RB,由。為F1F2的中點(diǎn)，得BF2〃OD,|BF2l=2d,BF2LBFM|FiB|=2d-2a,

因此IBFZP+IBFJWIFBF,即(2d)2+(2d-2a)2=(4a)2,整理得嗎尸一爭一,=0,

_d1+\/7

而一〉0,歷以一=——.

nCl2

1+夕

故答案為:

7

B/

DL

F)x

14.（5分）已知AABC內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,D為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，延長BE

V3

交4c于點(diǎn)F,若b=2,4sinAsinC=3?3sinB,JJUJAAEF的面積為—

【解答】解：連接DF,：4sinAsinC=3Y3sinB,；.4asinC=3Y3b=6Y3,，

SAABC=^absinC=苧，：'D為BC中點(diǎn),/.SAABD=SAADC,

——-f)-----1

XE為AD中點(diǎn),/.SAAEF=SAEFD,SAABE=SABDE,SABFD=SADCF,

,△DC尸=聶.=攀SAAEF=N苧一學(xué)）邛

故答案為:

四、解答題

15.（13分）已知數(shù)列｛an｝中,al=l,an=2an-l+l（n^2）.

（1）求｛an｝的通項(xiàng)公式;

⑵求和：邛二】儲

【解答】解：⑴因?yàn)閍n=2an-l+l（吟2）,

所以an+l=2（anT+l）（nN2）,又ai+l=2,

所以數(shù)列｛an+1｝為首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,

所以an+l=2n,

所以｛an｝的通項(xiàng)公式為an=2nT.

⑵設(shè)%=名」,Sn=Zn=l空^則Sn=bi+b2+b3+...+bn,

1+QnL~rQ.j

由（1）可得八

所以S1=去+*+*+...+爺士,

所以權(quán)k今+*+*+…+^^

相減可得亭4+;+a+...+今一第

11

,11丁/2n-l

所CC1以-Sn=一+---T—

2n21-12n+1

7

所以Sn=1+4（；-3i）一

所以&=3.竽.

所以2i-la2九+3

所以%=1不為-3-R

16.(15分)如圖，在四棱柱ABCD-A】B1cM中，AA】J_平面ABCD,底面ABCD為梯形，AD//BC,BC

=4,AB=AD=DC=AA1=2,Q為AD的中點(diǎn).

(1)在A1DI上是否存在點(diǎn)P,使直線CQ〃平面AGP,若存在，請確定點(diǎn)P的位置并給出證明，若

不存在，請說明理由；

(2)若⑴中點(diǎn)P存在，求平面AGP與平面ABBiAi所成的銳二面角的余弦值.

2

【解答】解：(1)存在，證明如下：

在四棱柱ABCD-A】B￡D中，因?yàn)槠矫鍭BCD〃平面AiBiCR,

所以可在平面A必GDI內(nèi)作GP〃CQ,

由平面幾何知識可證△GDP絲ZXCDQ,所以》P=DQ,可知P是AQ1中點(diǎn),

因?yàn)镃iPc平面AGP,所以CQ〃平面AGP.

即存在線段AQ1的中點(diǎn)，滿足題設(shè)條件.

滿足條件的點(diǎn)只有一個，證明如下：

當(dāng)CQ〃平面AGP時，因?yàn)镃Q〃平面AiBiC.Dl,

所以過C1作平行于CQ的直線既在平面ACF內(nèi)，也在平面A1B1GD1內(nèi)，

而在平面AIBIGD1內(nèi)過Cl只能作一條直線CF//CQ,

故滿足條件的點(diǎn)P只有唯一一個.

所以，有且只有4D1的中點(diǎn)為滿足條件的點(diǎn)P,使直線CQ〃平面AGP,

(2)過點(diǎn)D作DFLBC,垂足為F,又因?yàn)镈D」平面ABCD,

B

所以DA,DF,DDi兩兩互相垂直,

以D為坐標(biāo)原點(diǎn),分別比A,DF,DD1所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系D-

貝1JA(2,0,0),P(l,0,2),C1(-l,^3,2),Al(2,0,2),B(3j3,0),

PA=(1,0,-2),PCI=(-2,^3,0),AB=(1,^3,0),AAI=(0,0,2),

設(shè)平面PAG的法向量為n=(x5yz),

則有『巧](n-PA=Of

n1PC.[n-PCr=0

艮#"2z=0，

I—2x+V3v=0.

令x=2Y3,得y=4,z=d3,

所吹(2J3,4V3),

設(shè)平面ABB1A的法向量為mfy⑵，

AB-m=0

—?

AAX-m=0,

艮肝+V5y=o,

=0.

令x=<3,得y=-l,z=0,

所以m=(J3,-1,0),

7m_6-4+0_VJI

所以cos<h,m>=

Inllml273131

故平面AGP與平面ABBiAl所成的銳二面角的余弦值為?烏.

17.(15分)現(xiàn)有n枚質(zhì)地不同的游戲幣al,a2,...,an(n>3),向上拋出游戲幣am后，落下時正面朝上

的概率為—(m=1/2，…，兀).甲、乙兩人用這n枚游戲幣玩游戲.

7m

(1)甲將游戲幣a2向上拋出10次，用X表示落下時正面朝上的次數(shù)，求X的期望E(X),并寫出當(dāng)

k為何值時，P(X=k)最大(直接寫出結(jié)果，不用寫過程)；

(2)甲將游戲幣al,a2,a3向上拋出，用Y表示落下時正面朝上游戲幣的個數(shù)，求Y的分布列；

(3)將這n枚游戲幣依次向上拋出，規(guī)定若落下時正面朝上的個數(shù)為奇數(shù)，則甲獲勝，否則乙獲勝,

請判斷這個游戲規(guī)則是否公平，并說明理由.

【解答】解：(1)由題意可知，X?B&,10),

E(X)另xlO=2

當(dāng)k=2時,P(X=k)最大；

(2)記事件Ak為“第ak枚游戲幣向上拋出后，正面朝上”，

則P(4)=/，k=l,2,3,Y可取0,1,2,3,

則P(y=0)=P(石石而=P(而P④P⑥=(1-1)(1-3(1一3=焉

P(Y—1)—P(A1A2A3+A1A2A3+A1A2A3)—P(AiA2A3)+P(A1A2A3)+P(AiA2A3)

135,115,13123

=2X4X6+2X4X6+2X4X6=48,

P(Y=2)=P(AiA2A3)+P(AiA2A3)+P(AIA2A3尸2x1x(l-l)+2x(l-4)x1+(l-2)x4x

1

A

1513,113

=RX6+i7X4+2X24=ifi,

x

p(r=3)=p(M2/i3)=5z4=^

故Y的分布列為：

Y023

52331

P

1a48774A

(3)不妨假設(shè)按照ai,a2,…,an的順序拋這n枚游戲幣,

記拋第ak枚游戲幣后，正面朝上的游戲幣個數(shù)為奇數(shù)的概率為Pk,k=l,2,…題

11

于是Pk=Pfc-l-(1-^)+(1-Pfc-i)-=pk-l-■知+4一■知=(1-加-1+4,

111

即Pk=號￡-1+龍，BPfcPk=(fe-l)Pk-1+^k>2,

記bk=kPk,麴尻一既t=^k>2,

故數(shù)列｛bn｝為首項(xiàng)是1x匕=I公差為U的等差數(shù)列，

1k

故

瓦X-=-

22

貝iJkPk=?

故/=關(guān)=1,2,3,…用，

則匕=7'因此公平.

18.(17分)已知函數(shù)f(x)=Inx-x+a.

⑴若a=0,求曲線y=f(x)在x=l處的切線方程；

⑵若xX)時，f(x)〈O,求a的取值范圍；

⑶若Ovagl,證明：當(dāng)xNl時，f(x)+x<(x-l)ea+l.

【解答】解：⑴當(dāng)a=O時，f(x尸Inx-x,則廳(x)=<T所以k=f⑴=0,

又f⑴=-1,所以切線方程為y+l=O.

⑵f(x)=i-l=^,

當(dāng)0<x<l時，f(x)>O,f(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)x>l時，f(x)<O,f(x)單調(diào)遞減，

所以f(x)Wf(l)=T+a,又f(x)<0,

所以-l+a〈O,即

所以a的取值范圍為(-0,1).

(3)證明：由f(x)+x<(x-1)exa+l可得(x-1)exa-Inx+l-a>0,

即證當(dāng)O〈aWl,xNl時,(x-1)exa-Inx+1-a>0,

令g(a尸(x-1)ex-a-Inx+1-a,

則g*(a)=(x-1)ex-a-(-1)-1=(1-x)ex-a-1,

由xNl可知，g(a)<0,故g(a)在(0,1)上單調(diào)