2025年中考數(shù)學大題與幾何壓軸題：三角形壓軸（講練）（解析版）

專題10三角形壓軸

目錄

一、考情分析

二、知識建構

考點三角形壓軸

【真題研析?規(guī)律探尋】

題型01與三角形有關的多結論問題（選/填）

題型02與三角形有關的平移問題

題型03與三角形有關的翻折問題

題型04與三角形有關的旋轉問題

題型05與三角形有關的全等/相似問題

題型06與三角形有關的最值問題

題型07與三角形有關的動點問題

題型08與三角形有關的新定義問題

題型09與三角形有關的閱讀理解問題

題型10與三角形有關的存在性問題

題型11三角形與幾何圖形綜合

題型12三角形與函數(shù)綜合

【核心提煉?查漏補缺】

【好題必刷?強化落實】

考點要求命題預測

在中考中，涉及三角形壓軸題的相關題目單獨出題的可能性還是比較大的，多以

三角形壓軸選擇、填空題型出現(xiàn)，但是三角形結合其它幾何圖形、函數(shù)出成壓軸題的幾率特別大，

所占分值也是比較多，屬于是中考必考的中等偏上難度的考點.

考點三角形壓軸題

?真題研析-規(guī)律探尋

題型01與三角形有關的多結論問題（選/填）

1.（2023?內(nèi)蒙古赤峰?中考真題）如圖，把一個邊長為5的菱形ABCD沿著直線DE折疊，使點C與延長

線上的點0重合.DE交BC于點F,交延長線于點￡.DQ交BC于點尸，DM148于點XM=4,則下

列結論，①DQ=EQ,②BQ=3,@BP=^,@BD||FQ.正確的是（）

A.①②③B.②④C.①③④D.①②③④

【答案】A

【分析】由折疊性質和平行線的性質可得NQDF=NCDF=NQEF,根據(jù)等角對等邊即可判斷①正確；根據(jù)

等腰三角形三線合一的性質求出MQ=4M=4,再求出BQ即可判斷②正確；由△CDPBQP得益=端=

求出BP即可判斷③正確；根據(jù)靠力差即可判斷④錯誤.

【詳解】由折疊性質可知：NCDF=NQD￡CD=OQ=5,

■：CD\\AB,

：.Z-CDF=Z.QEF.

.,.Z-QDF=Z.QEF,

:.DQ=EQ=5.

故①正確；

-DQ=CD=AD=5,DMLABf

：.MQ=AM=4.

???MB=ZB—AM=5—4=1,

：.BQ=MQ-MB=4-1=3.

故②正確；

-CDWAB,

△CDPFBQP.

CPCD5

：,~BP=BQ=3*

?：CP+BP=BC=S,

???BP=|BC=洋

故③正確；

-CDWAB,

???△CDFBEF.

_C￡_CD__5__5

,?茄~~BE~BQ+QE~?+5-8,

EF_8

"DF"13'

QE_5

EFQE

??.△EFQ與△ED8不相彳以.

:,乙EQF豐（EBD.

???8。與尸Q不平行.

故④錯誤；

故選A.

【點睛】本題主要考查了折疊的性質，平行線的性質，等腰三角形的性質，相似三角形的判定和性質，菱

形的性質等知識，屬于選擇壓軸題，有一定難度，熟練掌握相關性質是解題的關鍵.

2.（2023?四川宜賓?中考真題）如圖，△力8c和△20E是以點2為直角頂點的等腰直角三角形，把△ADE

以4為中心順時針旋轉，點M為射線BD、CE的交點.若4B=g,AD=1.以下結論：

①BD=CE；@BD1C￡；

③當點E在B4的延長線上時，MC=與金

④在旋轉過程中，當線段MB最短時，△MBC的面積為《

其中正確結論有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】D

【分析】證明△BAD三△SE即可判斷①，根據(jù)三角形的外角的性質得出②，證明WCMsNECA得出詞=

個，即可判斷③；以4為圓心，4D為半徑畫圓，當CE在。力的下方與04相切時，MB的值最小，可得四

邊形4EMD是正方形，在Rt△MBC中MC=7BC2—MB2=魚+1,然后根據(jù)三角形的面積公式即可判斷

④.

【詳解】解：???△ABC和△40E是以點4為直角頂點的等腰直角三角形，

：.BA=CA,DA=EA,^BAC=/.DAE=90°,

：.Z.BAD=Z.CAE,

??.△BAD=△CAE,

.-.AABD=^ACE,BD=CE,故①正確；

設A4BD=AACE=a,

:?乙DBC—45°—a,

??/EMB=Z.DBC+乙BCM=乙DBC+乙BCA+^ACE=45。-a+45。+a=90°,

'-BD1CE,故②正確；

當點E在84的延長線上時，如圖所示

???乙DCM=^ECA,ADMC=^EAC=90°f

?ZDCM-z_ECA

MC_CD

'~AC~~EC

-AB=V3,AD=1.

??.CD=AC—AD=V3-1,CE=yjAE2+i4C2=2

^￡_V3-1

...MC=三，故③正確；

"BMC=90°,

.?.當CE在04的下方與04相切時，MB的值最小，ZADM=Z.DAE=AAEM=90°

四邊形AEMD是矩形，

又力E=4D,

二四邊形4EMD是正方形，

.-.MD=AE=1,

'''BD—EC-y/AC2—AE2-V2,

:.MB=BD—MD=V2-1,

在RtzXMBC中，MC=y/BC2-MB2

??.PB取得最小值時，MC=7AB2+舊C2—MB2=^3+3-(72-1)2=V2+1

:,SABMC=5MBxMC=式—1)(V2^+1)=5

故④正確，

故選：D.

【點睛】本題考查了旋轉的性質，相似三角形的性質，勾股定理，切線的性質，垂線段最短，全等三角形

的性質與判定，正方形的性質，熟練掌握以上知識是解題的關鍵.

3.(2023?湖北?中考真題)如圖，△瓦4&2\。斯和44第都是等腰直角三角形，

NBAC=NDEB=NAEF=90。，點E在△ABC內(nèi)，BE>AE,連接DF交力E于點G,DE交力B于點H,連接CF.給

出下面四個結論：①乙DBA=^EBC；②乙BHE=4EGF；@AB=DF；@AD=CF.其中所有正確結論的

序號是.

D

A

BC

【答案】①③④

【分析】由題意易得aB=4C/4BC=45°=NDBE,AE=EF,DE=BE,Z.DEB=/.AEF=Z.BAC=90°,

則可證aaEB三△FED(SAS),然后根據(jù)全等三角形的性質及平行四邊形的性質與判定可進行求解.

【詳解】解：???△84；必理8和4他尸都是等腰直角三角形，

：.AB=AC./-ABC=45°=^DBE,AE=EF,DE=BE,ADEB=AAEF=^BAC=90°,

■■■/.DBA=Z.DBE—乙ABE,乙EBC=乙ABC—乙ABE,Z.AEB=Z.AED+乙DEB,乙FED=Z.AEF+Z.AED,

...乙DBA=￡EBC,乙AEB=LFED,故①正確；

△AEBm△FED(SAS),

.-.AB=DF=AC,/-ABE=Z.FDE,/.BAE=/.DFE,故③正確；

■:/.ABE+Z.BHE=90°,^EFD+Z.EGF=90°,Z_BAE+NE4C=90°,BE>AE,

:.乙BHE手乙EGF,/.EGF=/.EAC-,故②錯誤；

:.DF||AC,

■:DF=AC,

四邊形acFC是平行四邊形，

.■.AD=CF,故④正確；

故答案為①③④.

【點睛】本題主要考查全等三角形的性質與判定、等腰直角三角形的性質及平行四邊形的性質與判定，熟

練掌握全等三角形的性質與判定、等腰直角三角形的性質及平行四邊形的性質與判定是解題的關鍵.

4.(2022?黑龍江牡丹江?中考真題)如圖，在等腰直角三角形/8C和等腰直角三角形ADE中，

N8aC=N￡ME=90。，點。在8C邊上，與/C相交于點RAH1DE,垂足是G,交BC于點、H.下列

結論中：①4C=CD；@/2AD2=BC-AF-,③若AD=3而，DH=5,則BD=3；@AH2=DH-AC,正確

的是.

A

【答案】②③/③②

［分析】先證明AB=AC=當BQB=乙ACB=乙4DE=^AED=45°,AD=AE,△BAD^△CAE,再證明

ND4G=N瓦4G=45。,。6=EG,若AC=CD,可得AC平分與題干信息不符，可判斷①不符合題意；再

證明△力DFs^aCD,可得禁=裝而AC=￥B&可判斷②符合題意；如圖，連接E8,求解DE=3V^X魚

=3V10,設BD=CE=x,CH=y,再建立方程組｛,十伊+52=9聞)?,可判斷③符合題意；證明

△HADHBA,可得業(yè)=DH-HB,^AH2=DH-AC,貝i|HB=4C,與題干信息不符，可判斷④不符合題

意；從而可得答案.

【詳解】解：■■■/.BAC=^DAE=90°,

"BAD=Z.CAE,

???等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形/DE,

.'.AB=AC=爭QB=4ACB=乙ADE=Z.AED=450Mo=AE,

BAD=△CAE,

：.^ACE=45。/BCE=90°,BD=CEf

-AH1DE,AD=AEf

.?Z/X4G=Z.EAG=45。必=EG,

???Z,EAC+乙CAH=45。，

若ZC=CD,

???^CDA=/.CAD=|(180°-45°)=67.5。，

.-.^CAH=67.5°一45°=22.5°=/-CAE,

???/C平分乙瓦4”,與題干信息不符，故①不符合題意；

'.^ADE=AACB=45°,^DAF=^CAD,

△ADFACD,

AD_AF

,?茄―布

.-.AD2=AC-AF,而"=爭&

：.aAD2=BC?AF,故②符合題意；

如圖，連接EH,

A

由力H1DE,DG=EG,

：.DH=EH=5,

-,-AD=3V5=AE.Z.DAE=90°,

-'-DE=3V5xV2=3V10,

設BD=CE=x,CH=y,

x2+y2=25

...r__2

+(5+y)2=(3^/10)

解得：即囪)=3,故③符合題意；

^^LDAH=Z.B=45O/AHD=乙AHB,

???AHAD“△HBA,

.HA_DH

"HB~AH'

???AH2=DH-HB,

^AH2=DH-AC,則HB=AC,與題干信息不符，故④不符合題意；

故答案為：②③

【點睛】本題考查的是等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理的應用，相似三角形

的判定與性質，作出適當?shù)妮o助線，構建直角三角形是解本題的關鍵.

題型02與三角形有關的平移問題

I.(2023?四川攀枝花?中考真題)如圖1,在aABC中，4B=BC=24C=8,△ABC沿BC方向向左平移得

到△DCE,4、C對應點分別是D、E.點尸是線段BE上的一個動點，連接力F,將線段4F繞點/逆時針旋轉

至線段4G,使得=N凡4G,連接FG.

(1)當點尸與點C重合時，求尸G的長；

(2)如圖2,連接BG、DF.在點尸的運動過程中：

①8G和DF是否總是相等？若是，請你證明；若不是，請說明理由；

②當BF的長為多少時，a/lBG能構成等腰三角形？

【答案】⑴2小

(2)①DF=BG；②BF的長為14或11或8或0

【分析】(1)根據(jù)平移的性質可得四邊形4BC。、四邊形4CED是平行四邊形，再由已知推導出48是NC4G

的平分線，由等腰三角形的性質可得2B1CG,過B點作BH14C交于H點，求出BH=2瘠，再由sin/B4C=

爭=咨，所以CG=FG=2VB；

84

(2)①證明△48G三△aOF(SAS),貝!]DF=BG；

②過點4作力N，BC交于N,由等積法可得《X4X2V^=T><84N,求出4N=VH,分三種情況討論：當

4G=4B時，AG=4F=8；當尸點與B點重合時，AF=8,此時BF=0,當BF=2BN時，AF=8,AABN

中，BN=7,可得BF=14；當2G=BG時，DF=AF,過點尸作FM_L4D交于M,所以2M=FN=4,能求

出CN=1,CF=3,貝=當B4=BG時，DC=DF,當尸點在BE上時，CD=DF,此時C點與F點重

合，此時BF=BC=8.

【詳解】(1)解：當P點與C點重合時，AF=AC,

由平移可知，CD=AB,CD||AB,

???四邊形4BC0、四邊形4CED是平行四邊形，

???AD=BC,AD||BC,

???乙BAD=Z-FAG,

???Z-DAF=Z.BAG,

???AB=BC,

??Z-BAC=乙ACB,

vZ-DAC=Z.ACB,

Z.DAC=Z-BAC=Z-BAG,

???48是NG4G的平分線，

-AC=AG,

AB_LCG,

如圖1,過B點作交于”點,

G

圖1

???AB=BC=2AC=8,

???BH=2-/15,

???sin^BAC=品運=注

84

CG=FG=2V15;

(2)解：①DF=BG,理由如下：

如圖2,???AG=AF,Z.DAF=^BAG,AB=AD,

.,.△ABG三△ADF(SAS),

；.DF=BG；

②如圖2,過點4作4NLBC交于N,

圖2

由①可知gx4x2V15=|x871JV,

?1?AN=V15,

當4G=AB時，

vAB=BC=8,

AG=8,

-AG=AF,

AF=8,

當F點與B點重合時，4F=8,此時BF=O,

當BF=2BN時，AF=8,在RtZkABN中，BN=、64—15=7,

???BF=14；

當4G=BG時，AF=BG,

?:DF=BG,

???DF=AF,

過點F作FM1Z0交于M,

??.4M=DM=4,

vFMLAD,ANIBCf

.?.AM=FN=4,

???BN=7,

CN=1,

??.CF=3,

BF=11；

當=時，

???DF=BG,

??.AB=DFf

vAB=CD=BC=AD,

：.DC=DF,

當F點在BE上時，CD=DF,此時C點與尸點重合，

.?.BF=BC=8；

綜上所述：B尸的長為14或11或8或0.

【點睛】本題考查幾何變換的綜合應用，熟練掌握三角形平移的性質，旋轉的性質，三角形全等的判定及

性質，等腰三角形的性質，分類討論是解題的關鍵.

2.(2022?廣西貴港?中考真題)已知：點C,。均在直線/的上方，2C與BD都是直線/的垂線段，且8。在

AC的右側，BD=2AC,力。與BC相交于點。.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,若連接CD,則△BCD的形狀為,筆的值為;

(2)若將BD沿直線/平移，并以4。為一邊在直線I的上方作等邊△4DE.

①如圖2,當力E與4c重合時，連接。E,若=a求。E的長；

②如圖3,當〃CB=60。時，連接EC并延長交直線/于點R連接。F.求證：OF14B.

【答案】(1)等腰三角形，!

⑵①OE=2V7；②見解析

【分析】（1）過點C作CH1AD于〃，可得四邊形/AffC是矩形，即可求得進而可判斷△BCD

的形狀，AC,80都垂直于/,可得A40C-ABO。，根據(jù)三角形相似的性質即可求解.

（2）①過點E作EF14D于點凡AC,5。均是直線/的垂線段，可得2C〃BD,根據(jù)等邊三角形的性質可

得乙BAD=30°,再利用勾股定理即可求解.

②連接CD,根據(jù)力C〃BD,得NCBD=N4CB=60。，即△BCD是等邊三角形，把△ABD旋轉得

/.ECD=^ABD=90°,根據(jù)30。角所對的直角邊等于斜邊的一般得到嶗=?=；,則可得△40F“△4DB,

/ioADJ

根據(jù)三角形相似的性質即可求證結論.

【詳解】（1）解：過點C作CH1AD于H如圖所示：

"ACll,DBU,CHA.BD,

:.乙CAB=UBD=「CHB=9Q°,

二四邊形是矩形，

：.AC=BH,

又,；BD=2AC,

：.AC=BH=DH,MCH1BD,

△BCD的形狀為等腰三角形，

■.■AC,2。都垂直于/,

.-.AC//BD,

：2OCFBOD,

AOACAC1__cs

'.而=而=而=于即nn。。=240,

.AO_40_A0__1

'''AD~AO+DO-3^40-3f

故答案為：等腰三角形，

（2）①過點￡作EFLAO于點”，如圖所示:

AB

圖2

-AC,均是直線/的垂線段，

.-.AC//BD,

???△/0E是等邊三角形，且4E與/C重合，

?44。=60。,

：.Z.ADB=AEAD=60°,

"AD=30°,

在RgAOB中，AD=2BD,AB=WBD,

又?:BD=2AC,AC=

：.AD=6,AB=3-/3,

.?.4H=DH=/D=3,AE=6

在Rt△4EH中，EH=，旃_4H2=yj62_32=3近,

又由（1）知哈=g

.-.AO=^AD=2,貝IJOH=1,

.?.在Rt^EOH中，由勾股定理得：OE=7EH2+OH2=2回

②連接CD,如圖3所示：

圖3

■■AC//BD,

:/CBD=Z.ACB=60°,

?.?由（1）知△BCD是等腰三角形，

.?.△BCD是等邊三角形，

又???△4DE是等邊三角形，

△48。繞點。順時針旋轉60。后與△ECD重合,

:.Z.ECD=4ABD=90°,

又-"BCD=^ACB=60°,

.-.AACF=乙FCB=乙FBC=30°,

.-.FC=FB=2AF,

AF_AO_1

"~AB~~AD~3f

X^OAF=^DAB,

.??△/OF?△408,

???44/0=Z.ABD=90°,

.,.OF1AB.

【點睛】本題考查了矩形的判定及性質、三角形相似的判定及性質、等邊三角形的判定及性質、勾股定理

的應用，熟練掌握三角形相似的判定及性質和勾股定理的應用，巧妙借助輔助線是解題的關鍵.

3.2023?湖北宜昌?中考真題)如圖，已知4(0,2)鳳2,0).點￡位于第二象限且在直線丫=-2x±,Z.EOD=90°,

OD=OE,連接AB,DE,AE,DB.

⑴直接判斷aaoB的形狀：△力。8是三角形；

(2)求證：4AOEm4BOD；

(3)直線￡/交x軸于點C(t,0),t>2.將經(jīng)過8,C兩點的拋物線yi=a/+6久一4向左平移2個單位，得到

拋物線及.

①若直線R4與拋物線yi有唯一交點，求f的值；

②若拋物線丫2的頂點尸在直線瓦4上，求t的值；

③將拋物線及再向下平移，許I個單位，得到拋物線若點。在拋物線為上，求點。的坐標.

【答案】(1)等腰直角三角形

(2)詳見解析

⑶①t=3；②t=6；③。

【分析】(1)由4(0,2),8(2,0)得到。4=。3=2,又由乙4。8=90。，即可得到結論；

(2)由Z_EOD=90。，4408=90。得至1"40￡'=48。。，又有4。=。8,OD=OE,利用SAS即可證明

△AOEmABOD；

(3)①求出直線2C的解析式和拋物線yi的解析式，聯(lián)立得/-(t+3)x+3t=0,由△=(t+3)2-4x3t=

(t—3)2=0即可得到/的值；

②拋物線yi=一%+1(t+2)x-4向左平移2個單位得到拋物線丫2=—為一與邛+嗜,則拋物線外的

頂點P件,”|E),將頂點P殍,好)代入"1c=-|%+2得到/-6t=0,解得打=0/2=6,根據(jù)t>2即可

得到f的值；

③過點E作EM，x軸，垂足為過點。作DNlx軸，垂足為N,先證明△ODN三△EOM(AAS),貝U

tot

ON=EM,DN=OM,設EM=2OM=2取由CM||EM得到。C:CM=OA:EM,^\—=而,求得爪=大■，得到。

(gM)，由拋物線丫2再向下平移備個單位，得到拋物線丫3=-評+為―2)%-熹，把D(gM)代

入拋物線%+缶-2)x-消聲得到3t2-19t+6=0,解得ti=疑2=6,由t>2,得￡=6,即可得到點

D的坐標.

【詳解】(1)證明：???/((),2)同2,0),

：.OA=OB=2,

,：Z-AOB=90°,

.?.△408是等腰直角三角形，

故答案為：等腰直角三角形

(2)如圖，

??2EOD=90。，44。8=90。，

???Z-AOB-Z-AOD=Z.DOE-Z.AOD,

AZ-AOE=乙BOD,

'.,AO=OB,OD=OE,

???△40EwZ\800(SAS)；

(3)①設直線/C的解析式為y=k久+b,

???4(0,2),C(t,0),

(b=2

"tfct+b=0'

2.

???'"=一了+2Q，

將C(t,0),B(2,0)代入拋物線yi=ax2+bx-4得，

fO=at2+bt—4

l0=4a+2b-4'

解得a=—5b=F(t+2),

2

...y1=—|x+|(f+2)x—4,

直線=-|%+2與拋物線%=—評+|(t+2)x-4有唯一交點

???聯(lián)立解析式組成方程組解得/—(t+3)久+3t=0

:.△=(t+3)2—4x3力=(t-3)2=0

?"=3

②???拋物線yi=—+|(t+2)%—4向左平移2個單位得到、2,

???拋物線及=一-爭+年泠

將頂點P殍,嗜)代入y4c=—色+2,

2

???t—6t=0,解得〃=0,t2=6,

,:t>2,

???t=6；

.'./.EMO=(OND=90°,

vZ-DOE=90°,

??.乙EOM+乙MEO=乙EOM+乙NOD=90°,

??.4ME。=乙NOD,

?；OD=OE,

AOD/V=AEOM(AAS),

：.ON=EM,DN=OM,

,?,OE的解析式為y=—2x,

???設EM=2OM=2m,

；.DN=OM=m,

vEM1久軸，

.'.OAWEM,

???△CAO-△CEM,

AOC\CM=OA'.EM,

._t___

"t+m2m?

?,?山=占

.?.EM=ON=2OM=2m=二，DN=OM=m=三,

???哈w），

2

???拋物線，2再向下平移77手個單位，得到拋物線乃，

?,?拋物線為=一32+|(t-2)久-涓*,

???D(三,M)代入拋物線％=-|%2+|(t_2)x__A_5

???3t2—19t+6=0,

解得ti=*2=6,

由t>2,得t=6,

2t_12_12t_6_6

At^l-6^1--6^1-5J

【點睛】此題是二次函數(shù)和幾何綜合題，考查了二次函數(shù)的平移、二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題、待定

系數(shù)法求函數(shù)解析式、解一元二次方程、全等三角形的判定和性質及相似三角形的判定與性質等知識點，

綜合性較強，熟練掌握二次函數(shù)的平移和數(shù)形結合是解題的關鍵.

題型03與三角形有關的翻折問題

I.(2022?浙江紹興?中考真題)如圖，在AJ8C中，ZJSC=4O°,乙4c8=90。，4E平分乙84c交BC于點、

E.尸是邊3c上的動點(不與5,C重合),連結/P,將A4PC沿/P翻折得A4P。，連結。C,記

Z-BCD=a,

備用圖

(1)如圖，當P與￡重合時，求a的度數(shù).

(2)當尸與￡不重合時，記乙BAD=0,探究a與/的數(shù)量關系.

【答案】(1)25°

(2)①當點尸在線段5E上時，2a—0=50。；②當點尸在線段CE上時，2a+/=50。

【分析】(1)由48=40。，乙4cB=90。，得乙B/C=50。，根據(jù)NE平分N84C,P與E重合，可得乙4C。，

從而a=^ACB-^ACD；

(2)分兩種情況：①當點尸在線段上時，可得乙4OC="CD=90o-a,根據(jù)A4OC+乙

L.BCD,即可得2(/-夕=50。；②當點尸在線段CE上時，延長40交3c于點尸，由乙4。。=乙4c0=90。-外

Z-ADC=ZAFC+a=AABC+/LBAD+a可得90°-a=40°+a+夕，即2a+P=50。.

【詳解】（1）解：,?23=40。，4c3=90°,

."/C=50°,

與E重合，/￡平分必/C,

二。在48邊上，AE1CD,

.-./.ACD=65°,

；.a=UCB—UCD=25°；

（2）①如圖1,當點尸在線段BE上時，

圖1

■■■^ADC^^ACD=90°-a,AADC+乙BAD=￡B+乙BCD,

.?.90°—a+￡=40°+a,

；.2a—￡=50°；

②如圖2,當點P在線段CE上時，

圖2

延長/。交2C于點

???zADC=UCZ）=90°—a,ZXDC=2L4FC+a=ZJ5C+z5/Z>+a=40°+a+H，

.?.90°—a=40°+a+￡,

.■-2a+^=50o.

【點睛】本題考查三角形綜合應用，涉及軸對稱變換，三角形外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角的和的應用，解

題的關鍵是掌握軸對稱的性質，能熟練運用三角形外角的性質.

2.（2023?寧夏?中考真題）綜合與實踐

問題背景

數(shù)學小組發(fā)現(xiàn)國旗上五角星的五個角都是頂角為36。的等腰三角形，對此三角形產(chǎn)生了極大興趣并展開探究.

探究發(fā)現(xiàn)

如圖1,在△4BC中，Z4=36°,AB=AC.

（1）操作發(fā)現(xiàn)：將△ABC折疊，使邊BC落在邊B力上，點C的對應點是點E,折痕交力C于點D,連接DE,

DB,則NBDE=°,設4c=1,BC=x,那么ZE=（用含％的式子表示）；

（2）進一步探究發(fā)現(xiàn)：髓=年，這個比值被稱為黃金比.在（1）的條件下試證明：髓=年；

月安HLZ牘HLZ

拓展應用：

當?shù)妊切蔚牡着c腰的比等于黃金比時，這個三角形叫黃金三角形.例如，圖1中的△力BC是黃金三角

形.如圖2,在菱形A8CD中，^BAD=72°,AB=1.求這個菱形較長對角線的長.

圖2

【答案】（1）72°,l-x（2）證明見解析，拓展應用：等

【分析】（1）利用等邊對等角求出N4BC/4CB的長，翻折得至I］乙4BD=NCBD=、4BC,

==利用三角形內(nèi)角和定理求出，/.BDC,AEAB-BEAB-BC,表示出4E即可;

（2）證明△BDC”△力BC,利用相似比進行求解即可得出慧=早；

拓展應用：連接2C,延長4D至點E,使4E=AC,連接CE,得到△4CE為黃金三角形，進而得到案=與1

求出力C的長即可.

【詳解】解：(1)?-24=36。，AB=AC,

■.^ABC="=1(180°-36°)=72°,

?.?將△ABC折疊，使邊BC落在邊B4上，

.-.Z.ABD=乙CBD=l^ABC=36°,4BDC=/.BDE.BC=BE=x,

:/BDC=Z.BDE=180°-4CBD一4C=72°,AEAB-BEAB-BC1-X；

故答案為:72°,l-x；

(2)證明："DC=72°="，

??.BD=BC=%,

vz.i4=Z-CBD=36°,乙。=Z.C,

???△BDCFABC,

BC_CD

''~AC~~BC,

-Z.ABD=乙CBD=^A=36°,

.,.AD=BD=BC=x,

??.CD=1—x,

X_lr

?,?T—,

1x

整理，得：x2+x-l=0,

解得：%=^i(負值已舍掉)；

經(jīng)檢驗》=等是原分式方程的解.

底BC_g1

,,腰4c廠;

拓展應用：

如圖，連接ac,延長4。至點E,使4E=4C,連接CE,

E

?.?在菱形ABC。中，NBA。=72。，AB=1,

：.^CAD=AACD=36°,CD=AD=1,

；/EDC=Z.DAC+^ACD=72°,^ACE=^AEC=|(180°-ADAQ=72°,

；/EDC=乙AEC,

.?.CE=CD=1,

???△/CE為黃金三角形，

.CE_V5-1

"AC~f

.?.4：=高=亨.即菱形的較長的對角線的長為空.

V5-122

【點睛】本題考查等腰三角形的判定和性質，菱形的性質，相似三角形的判定和性質.解題的關鍵是理解

并掌握黃金三角形的定義，利用相似三角形的判定和性質，得到黃金三角形的底邊與腰長的比為與.

3.（2023?遼寧大連?中考真題）綜合與實踐

問題情境：數(shù)學活動課上，王老師給同學們每人發(fā)了一張等腰三角形紙片探究折疊的性質.

已知力B=4C,N4>90。，點E為4c上一動點，將△4BE以BE為對稱軸翻折.同學們經(jīng)過思考后進行如下探

究：

獨立思考：小明：“當點。落在BC上時，NEDC=2乙4CB.”

小紅：“若點E為2C中點，給出AC與DC的長，就可求出BE的長.”

實踐探究：奮進小組的同學們經(jīng)過探究后提出問題1,請你回答：

問題1：在等腰△ABC中，48=4&乙4>90。,43。石由4485翻折得到.

（1）如圖1,當點。落在8C上時，求證：NEDC=2N&CB；

（2）如圖2,若點E為力C中點，AC=4,CD=3,求BE的長.

問題解決：小明經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：若將問題1中的等腰三角形換成乙4<90。的等腰三角形，可以將問題進一

步拓展.

問題2：如圖3,在等腰中，Z/1<90°fAB=AC=BD=4,2zD=^ABD.若CD=1,則求BC的長.

【答案】（1）見解析；（2）土咨；問題2：8C=V1U

【分析】（1）根據(jù)等邊對等角可得乙48C=NC,根據(jù)折疊以及三角形內(nèi)角和定理，可得N8DE=N力

=180。—2“，根據(jù)鄰補角互補可得4EDC+NBDE=180。，即可得證；

（2）連接4。，交BE于點、F,貝怩F是△4DC的中位線，勾股定理求得根據(jù)BE=BF+EF即可求解;

問題2：連接4。，過點B作于點M,過點C作CG，8M于點G,根據(jù)已知條件可得則四邊形

CGMD是矩形，勾股定理求得2D,根據(jù)三線合一得出MQCG,根據(jù)勾股定理求得BC的長，即可求解.

【詳解】（1）???等腰中，/8=/&乙4>90。,48?！暧?48￡1翻折得至1」

：./.ABC=ZC,4BDE=4A=180°-2ZC,

???4EDC+NBOE=180。,

.,.Z.EDC=2/.ACB；

（2）如圖所示，連接力D,交BE于點尸，

圖2

折疊，

.-.EA=ED,AF=FD,AE=^AC=2,ADIBE,

???E是AC的中點，

：.EA=EC,

??封=豺=1，

在RtaaEF中，7F=7AE2_EF2=P_（1）2=亨，

在Rt△4BF中，BF=7AB2—旃=J42_=浮，

.-.BE=BF+EF=亞魚；

2

問題2：如圖所示，連接4。，過點8作BM，40于點M,過點C作CG1BM于點G,

圖3

,：AB—BD,

1

.-.AM=MD,￡.ABM=乙DBM=-Z.ABD,

?；2乙BDC=乙ABD,

:.乙BDC=Z-DBM,

.'.BMWCD,

.-.CDLAD,

又CG1BM,

四邊形CGMD是矩形，

貝|JCD=GM,

在Rt△力CD中，CD=LAD=4,AD=>JAC2-CD2=V42-I2=V15,

.-.AM=MD=^-,CG=MD=叵

22

在Rtz\BDM中，BM=VBZ)2-DM2=J42-(^p)=|,

75

；.BG=BM—GM=BM—CD=《T=：,

在RtZkBCG中，BC=、BG2+g=J?+殍J=祗

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，折疊的性質，勾股定理，矩形的性質與判定，熟練掌握以上知識

是解題的關鍵.

題型04與三角形有關的旋轉問題

1.(2023?遼寧丹東?中考真題)在△ABC中，^BAC=90°,乙4BC=30。，4B=6,點。是BC的中點.四

邊形DEFG是菱形CD,E,F,G按逆時針順序排列)，N￡DG=60。，且。E=2,菱形DEFG可以繞點。旋

轉，連接4G和CE,設直線4G和直線CE所夾的銳角為a.

DECB

(1)在菱形DEFG繞點。旋轉的過程中，當點E在線段DC上時，如圖①，請直接寫出4G與CE的數(shù)量關系及a

的值；

(2)當菱形DEFG繞點。旋轉到如圖②所示的位置時，(1)中的結論是否成立?若成立，請寫出證明過程；

若不成立，請說明理由；

(3)設直線4G與直線CE的交點為P,在菱形DEFG繞點。旋轉一周的過程中，當EF所在的直線經(jīng)過點B時，

請直接寫出△4PC的面積.

【答案】(1)4G=CE,a=60°；

(2)(1)中結論成立，證明見解析；

或

【分析】

(1)根據(jù)2G=aD—GD=2g—2,CE=CD-DE=2V3-2=AG,即可得出答案；

(2)證明△4DG三△CDE(SAS),即可求解；

(3)證明△BDE、△DGC均為等邊三角形，證明/、M、P、G共線，由(1)、(2)知，

NMPC=Z71DM=60°,則PM=1^=1,在等邊三角形4CD中，AC=2近,貝iMM=4Qsin60。=3,則

AP=AM+MP=3+1=4,進而求解；當B、尸重合時，也符合題意，由(1)、(2)知，

APA.2

/.MPA=/.ADC=60°,根據(jù)tanZTlCE=左==石，在△4PC中，用解直角三角形的方法即可求解.

【詳解】(1)

解：AG=CE,a=60°,理由如下：

在△4BC中，N84C=90°,/.ABC=30°,AB=6,

則AC=力Btan30°=2通,BC=2AC=4四，

???點。是的中點，

BD=CD=AD=2V3,

則4G=2D—GD=2V^—2,CE=CD-DE=2^-2,

：.CE=AG,

???△4DC為等邊三角形，

???^.ADC=60°=a；

(2)解：(1)的結論成立，理由：

證明：延長4G交CD于點7,交CE于點N,

?-?Z.ADG+/.GDC=60°=4GDC+乙CDE,

???Z.ADG=Z-CDE,

???AD=CD,GD=ED,

???△/OGwZ\COE(SAS),

AG=CEf乙DCE=^DAN,

???4ATD=Z.CTN,

??.Z.ANC=Z.ADC=60°,

???a=60°；

(3)解：當B、E、尸共線時，如下圖，連接ZD,

A

根據(jù)圖形的對稱性，當2、E、尸共線時，且點。是BC的中點，

則尸、G、C共線，分別過點G、￡作BC的垂線，垂足分別為"M,GM交CE于點尸,

???NEDG=60",

則NBDE=Z.CDG=60°,

貝壯乙EBH=Z.HDE=Z.MCG=60°,

即△8DE,aOGC均為等邊三角形，

BH=HD=DM=CM=：BC=V3,

由（1）知△4DC為等邊三角形，

則4MJ.CD,則/、M,P、G共線，

由（1）、（2）知，^MPC=^ADM=60°,

則加=蒜=1，

在等邊三角形4co中，AC=2V3,

則aM=4C-sin60°=3,

AP=AM+MP=3+1=4,

SAAPC=|xCM-71P=|X4XV3=2V3;

當B、尸重合時，也符合題意，如下圖：

在RtzXABC中，AC=2^3,AE=AB-BE=6-2=4,

AE42

???tanZ-ACE=—=-~p，

AC2VF3=V3

由(1)、(2)可知，NMP4=Z71￡)C=60",

???tan60°=1^=V3,

設2M=V^x，貝iJPM=x,

AMV3x3

:.CM=----------==-%,

tan-CE行2

???AC2=AM2+CM2,

即12=3/+2

4

4

解得：%=厲,

S^APC=|xAM.PC=gxV3xx(%+1%)=

綜上，△ape的面積為：竿或2VJ.

【點睛】本題為四邊形綜合題，涉及到三角形全等、解直角三角形、面積的計算、勾股定理的運用，題目

難度很大，分類求解是本題解題的關鍵.

2.(2023?湖南益陽?中考真題)如圖，在Rt^ABC中，乙4cB=90。，AC>BC,點。在邊AC上，將線段

繞點。按順時針方向旋轉90。得到D4,線段D4交力B于點E,作4F14B于點尸，與線段4C交于點G,連接

FC,GB.

A

(1)求證：△ADE三△4DG；

(2)求證:AF-GB=AG-FC；

(3)若4C=8,tan4=當4G平分四邊形DCBE的面積時，求4。的長.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

(3噌

【分析】(1)根據(jù)旋轉的性質可得￡M=D4,乙4D4=4GD4=90。，再根據(jù)AF1AB,可得乙4=44,即

可；

(2)根據(jù)NBFG=乙ACB=90°,可得點3,C,G,尸四點共圓，從而得到NCBG=Z.CFG,AABC+乙CGF=180°,

從而得至IjNAGF=N4BC,進而得至!]N4CF=N4BG,可證明△ABG”△4CF,即可；

(3)連接EG,根據(jù)4c=8,tanA=可得8c=4,4。=4。=2DE,A'F=2EF,AB=4V5,設

DE=DG=x,則4。=2D=2x可得ZE=4G=代%,A'E=x,CG=8-3x,EF=^x,A'F=^-x,FG=

,

今務，BF=4V5—再由4G平分四邊形DCBE的面積，可得S/^DEG+S/^FEG=S^BFG+S^BCG，從而得

到關于x的方程，即可求解.

【詳解】(1)證明：???線段繞點。按順時針方向旋轉90。得到。4,

.'.DA=04,乙404=^LGDA'=90°,

：.Z-A+Z-AED=90°,

-A'FIAB,即乙4'FE=90。，

+/AEF=90。，

-：Z-AED=Z.AEF,

.??44=

在△40E和△AOG中，

???NZ=DA=DA'.Z-ADA'=^LGDA'=90°,

.'.AADE=AArDG；

(2)證明：^^.BFG=Z.ACB=90°,

.,點B,C,G,產(chǎn)四點共圓，

工乙CBG=^CFG,AABC+Z.CGF=180°,

vZi4GF+zCGF=180°,

：.Z-AGF=乙ABC,

-Z.AGF=乙CFG+AACF^ABC=^ABG+乙CBG,

：.Z-ACF=Z-ABG,

?：Z-A=Z.A,

???△ABG-AACF,

AG_BG

：，~AF~~CFf

即ZF?GB=4G?FC；

(3)解：如圖，連接EG,

vAADE=AA'DG,

：.DE=DG,AE=A'G,

'：AC=8,tan?l=1,

aBCDE1…EF1

而=，

??.tan4=^=5tan”=—29

：.BC=^fA'D=AD=2DE,A'F=2EF,

：-AB=4V5,

設DE=DG=K,則40=40=2%,

.t.AE=A'G=V5x,A'E=x,CG=8—3x,

.-.EF=爭,4/=等x,

；.FG=哈，BF=4再一等％,

??,4G平分四邊形。C8E的面積，

:*s4DEG+S&FEG=^ABFG+S&BCG，

.-.^DEXDG+^EFxFG=^BCXCG+,BFXFG,

即I?久2+gx等x竽尤=[x4(8—3x)+14西一等x)X竽X,

解得：％=喑(負值舍去)，

：.AD=2x=逅.

13

【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，解直角三角形，勾股定理

等知識，熟練掌握全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質是解題的關鍵.

3.(2022?山西?中考真題)綜合與實踐

問題情境：在MA48C中，4B4c=90°,48=6,AC=8.直角三角板EOF中立￡。尸=90。，將三角板的直角頂

點。放在放A48C斜邊8c的中點處，并將三角板繞點。旋轉，三角板的兩邊。尸分別與邊N8,AC

交于點M,N,猜想證明:

(1)如圖①，在三角板旋轉過程中，當點M為邊48的中點時,試判斷四邊形/MW的形狀，并說明理

由;

問題解決：

(2)如圖②，在三角板旋轉過程中，當NB=NMDB時，求線段CN的長；

(3)如圖③，在三角板旋轉過程中，當時，直接寫出線段NN的長.

【答案】⑴四邊形/MW為矩形；理由見解析；⑵CN=票(3)AN=^-.

【分析】(1)由三角形中位線定理得到MDII4C,ffi^A=^AMD=AMDN=90°,即可證明結論；

(2)證明aNDC是等腰三角形，過點"作旅?!"？于點G,證明△CGNsaC/8,利用相似三角形的性質

即可求解；

(3)延長ND,使DH=DN,證明△8。8三△CZW,推出5/7=CN,3BH="J,證明rMBH=90。，設

AM=AN=x,在必△切儂中，利用勾股定理列方程，解方程即可求解.

【詳解】解：(1)四邊形為矩形.

理由如下：?.?點河為45的中點，點。為5c的中點,

.-.MDWAC,

山Affl+"=180。，

?4=90。，

-./.AMD=90°,

“EDF=90°,

山=乙4MD=