2025新高考數(shù)學(xué)計算題專練：數(shù)列求和（解析版）

2025新高考數(shù)學(xué)計算題型精練數(shù)列求和的運算

1.等比數(shù)列｛4｝的公比為2,且/，%+2,%成等差數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式；

⑵若d=log2&?an+i)+an,求數(shù)列出｝的前"項和r,.

2n+1

【答案】(1)an=2",neN*(2)T?=n+2n+2-2;

【詳解】(1)已知等比數(shù)列｛%,｝的公比為2,且%，為+2,%成等差數(shù)列，

二2(。3+2)=%+%，

2(4?1+2)=2q+8q，解得4=2,

““=2x2"T=2",〃eN*;

,,+12n+1

(2)6“=log2(2”?2)+2"-log22+2"=2〃+1+2",

.、2(1-2"')

=2(1+2+…+〃)+〃+(2+22+…+2")=2(1+2+...+〃)+〃+-^口一.

=n2+2n+2"+1-2;

2.正項數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，已知2a“S“=Y+1.

⑴求證：數(shù)列優(yōu)｝為等差數(shù)列，并求出S,,,an.

⑵若2=3，求數(shù)列｛〃｝的前2023項和瑪g.

an

【答案】(l)s“=6；an=^n-4^-(2)7；023=-A/2023.

【詳解】(1)由2*=4+1可得,2S；=S；+1,

又因為S.為正項數(shù)列｛q｝的前"項和，所以岳=q=1,

因為%=S.-Se，所以2(S“一S"T)S,=(S-S,)+1,

所以S：-=1(,叱2),數(shù)列｛S：｝為等差數(shù)列，

=1)___

所以S；=n,S"=G,a"=<夜尿―^(”>2)'所以""=品7n-1.

(2)4=(D=(-1)”(?+八_]｝

^023=-l+V2+l-V3-V2+V4+>/3-----V2023-V2022=-72023.

3.已知數(shù)列｛4｝為：1,1,2,1,1,2,3,1,1,2,1,1,2,3,4....即先取4=1,接

著復(fù)制該項粘貼在后面作為電，并添加后繼數(shù)2作為的；再復(fù)制所有項1，L2并粘貼在

后面作為應(yīng)，。5，。6，并添加后繼數(shù)3作為。7，.??依次繼續(xù)下去.記或表示數(shù)列｛%｝中"首

次出現(xiàn)時對應(yīng)的項數(shù).

⑴求數(shù)列｛2｝的通項公式；

⑵求+a2+a3-i----F<763.

【答案】⑴)=2-1(2)120

【詳解】(1)由題意知：bn+l=2bn+\,即%+1=2電+1),且4+1=2,

所以數(shù)列山+1｝是以4+1=2為首項，2為公比的等比數(shù)列，

所以仇+1=2",則a=2"-L

(2)由(1)可知，4=26-1=63,所以6在前63項中出現(xiàn)1次，

5在前63項中出現(xiàn)2次，4在前63項中出現(xiàn)2x2=4次，3在前63項中出現(xiàn)4x2=8次，2在

前63項中出現(xiàn)8x2=16次，1在前63項中出現(xiàn)16x2=32次，

所以〃1+。2+生---l-a63=lx32+2x16+3x8+4x4+5x2+6x1=120.

4.已知等差數(shù)列｛%｝的前"項和為S,,,%=5@=15,

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

(2)若2=--------,求數(shù)列也｝的前2023項和.

anan+l

【答案】(1)%="(2)羽2023

q+4d=5

【詳解】⑴設(shè)公差為d,由生=5,$5=15,得5x4,,,解得q=d=l,

54H——-u=15

所以4,=〃.

1__j___1

(2)由(1)可得么=-----

anan+\n(n+l)nn+1

111

所以---+----+…+--------

01a2a2a3々202302024

111112023

+,?,+=1—

T+232023202420242024

故數(shù)列也｝的前2023項和為卷?

5.己知｛%｝是首項為2,公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列出｝滿足4=4也包=32-2力+1.

(1)證明也-〃｝是等比數(shù)列，并求｛4｝,｛2｝的通項公式；

(2)若數(shù)列｛4,｝與也,｝中有公共項，即存在太〃zeN*,使得%=粼成立.按照從小到大的順序

將這些公共項排列，得到一個新的數(shù)列，記作｛g｝,求q+C2+???+[.

【答案】⑴證明見解析,a?=3?-l(?eN*),4=3"+"("eN*)

0)9(27“一1"+1)-)

262

【詳解】(1)由題意可得：a“=2+(〃-l)x3=3"-l("wN*),

而4=4為用=36,-2〃+1,變形可得：bn+l-(n+1)=32-3〃=3色,_〃),&-1=3,

故也-"｝是首項為3,公比為3的等比數(shù)列.

從而2一〃=3",即2=3"+M”eN)

(2)由題意可得：3k-l=yn+m,k,meN",令m=3九一1eN*),

則北一1=33"-'+377-1=3(32"-2+n)-l,此時滿足條件，

即機=2,5,8”..,3〃-1時為公共項，

所以J+Q+…+?！?°2+2++44-1

=32+3‘+…+332+.+5+…+3〃_1)=9(2；6.1)+w(3：+l)(nGN*).

6.設(shè)數(shù)列｛風(fēng)｝的前〃項和為S“，已知S.+l=2a“SeN*).

⑴求｛%｝的通項公式；

[a,n=2k—1(、

⑵設(shè)2=_9,且丘N*,求數(shù)列也,｝的前〃項和為

Z2,YI—，/C

【答案】⑴%=2〃T

2〃一1nfn+2)

----+△----"=2k

34

左￡N*

2計1一1n2-l

----------1------n--=2k-l

34

【詳解】（1）當(dāng)〃=1時，囚=1,

3+1=2%

當(dāng)〃22時,nan=24T,

5?_1+l=2an_1

所以｛%,｝是首項為1,公比為2的等比數(shù)列，則a“=2i.

2"~\n=2k-l

（2）由題設(shè)知：b=,,左eN*,

nn,n=2k

當(dāng)〃為偶數(shù)時，n=(4+41----卜2-1)+S?+“+—卜2)=(2°+224----1-2"-)+(2+4H-----I-ri)

2〃—1%+2)

34

2nl

當(dāng)〃為奇數(shù)時，T〃=Si+b3T---*4)+(瓦+b4T----I-bn_x)=(2°+24-----2~)+(2+44-----\-n—V)

2,,+1-lM2-1

1

3-----4

2〃一1〃（幾+2）

--------十——"=2k

34

綜上，Tn=\左￡N*.

2n+i-ln2-l

-------------1----------n=2k-l

34

7.已知數(shù)列｛4｝滿足：%=2,且對任意的〃eN*,%+i=2"''

2向?！?2,〃是偶數(shù).

⑴求的,%的值，并證明數(shù)列1的,T+||是等比數(shù)列；

(2)設(shè)。=%-(“?N*),求數(shù)列｛b?｝的前n項和Tn.

o9

【答案】⑴％=1,〃3=1。，證明見解析⑵1)—丁

【詳解】(1)a2=^-=1,%=2%2+2=10.

由題意得。2〃+1+"I=22〃+&〃+[=22*1(果3)+g=4。2〃_1+[=4]。2〃一1+，

又%+g=|wO,所以數(shù)列卜2a+g｝是等比數(shù)列.

Q2

(2)由(1)知

運用分組求和，nT^T=-(40+41+42+---+4--1)--n=--^^--n

"3V7331-43

=|(4"T)j.

8.已知正項數(shù)列｛q｝的前"項和為J；,q=2且對任意成等差數(shù)列，

又正項等比數(shù)列出｝的前n項和為S?,S2=1,S3=^.

(1)求數(shù)列｛%｝和也｝的通項公式；

(2)若數(shù)列匕｝滿足的=穿也,，是否存在正整數(shù)"，使9+。2+-+?！?gt;9.若存在，求出"的最

大值；若不存在，請說明理由.

【答案】(l)a“=2(?-J^F，勿=[g「(2)不存在，理由見解析

【詳解】(1)設(shè)也｝的公比為夕，顯然E,

4（i-q2）4

413i-q3

由邑=1S3=§，可得＜

13

,i-q9

解得q=；或q=_；

（舍去），又仇=1,所以b“=

又對任意“22,a/馮成等差數(shù)列，%=2,

所以42+4ZT=4.

因為4=看一&】（〃N2）,

所以（北-射）⑵+射）=4,所以"-姑=4（心2）,

故憶2｝是以T=4為首項，公差4=4的等差數(shù)列，

所以看=4+（"-1）＞＜4=4〃，又4＞0,

所以北＞0,所以看=2方.

當(dāng)〃22時，??==,

+4—1

〃=1時，4=2滿足上式，

故%=2（?_

設(shè)K〃=C]+Q+…+g,

&=4x[J+8x1）+12x0+…+4唱①，

I"''）.'/......3[]”/②,

①一②,得/=4+4x（1+4xflJ+4x以+…+咽「_叫

-6〃[]=9-（3+2〃）生<9,

所以監(jiān)=9-9

故不存在正整數(shù)"，使。+。2+…+%>9.

9.已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛4｝,其前〃項和為S“，滿足2S“=a“+z-6,

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

(2)記①為數(shù)列⑸｝在區(qū)間(am,am+2)中最大的項，求數(shù)列也｝的前"項和T?.

【答案】(1)4,=3X2"T；(2)1=3X2"+2-12-3〃.

【詳解】(1)設(shè)｛q｝的公比為4,則q>0,又2'=“-6,

當(dāng)〃=1時，2sl=%—6,當(dāng)〃=2時，2s2=。4-6,

兩式相減可得，2〃2=。4-。3，所以2=/-4，

所以^=2或a=—1(舍去)，

所以2S]=%一6=4q-6,即4=3,

所以等比數(shù)列｛%｝的通項公式為4=3X2〃T.

(2)由a“=3x2"—,2Sn=an+2-6,可得S,=g(a.+2—6)=)(3'2用一6)=3x2"-3,

所以5"=%-3<%+1，又%>0,

所以S“Na“，當(dāng)且僅當(dāng)〃=1時等號成立，

a

所以心4Sm<Sm+i<m+2<Sm+2，

所以旬=s.=3x2"-3,

所以r=3(22+23+2、…+2"M)-3〃=3X^^--3?=3x2"+2-12-3n.

即7；=3X2'"2-12-3W.

10.已知等差數(shù)列｛4｝的公差d>0,且滿足％=1,%,a2,%成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式；

為奇數(shù)

⑵若數(shù)列｛2｝滿足么=1〃為偶數(shù)求數(shù)列｛2｝的前2力項的和Q.

、%%+2'

【答案】⑴4=〃(2)凡=

34n+412

【詳解】(1)因為%,k,&成等比數(shù)列，所以,=%/，

即(l+d)2=lx(l+3d),

解得d=。或d=1.

因為d>0,所以d=l,

所以%=1+1x(〃-1)=〃.

2”,〃為奇數(shù)，

（2）由（1）得b“=，

會r為偶數(shù)'

2”,〃為奇數(shù),

所以a=<

2U

所以=4+%+4+…+與1+b2n=(4+4+…+4,1)+(%+”+…+。2,)

=(2'+23+---+22"-1)+1

-22"-1-2211p1

1-22-+2[l~2n+2

_22n+l15

-34ra+412'

,2〃+11c

所以數(shù)列也｝的前2"項的和心=氣--4nW.

11.設(shè)S“是數(shù)列｛%｝的前〃項和，已知％=。，a?+1+(-l)"S?=2".

⑴求％,2；

(2)令2=%+i+2%,求■+>+%+…+%.

【答案】⑴%=1，%=3⑵22向—2

【詳解】(1)由％+(-1)￡=2〃得%-4=2,即%=%+2,

2

a3+S2=2=4f即/+4+0i=4,又？=0，所以4=1,%=3,

(2)當(dāng)〃=2左時，a2k+i+S2k=22k,

當(dāng)九二2左一1時,a2k~Szk-i=22*-1,

22

兩式相加可得a2M+S2k+a2k-S2k_x=2〃+2^,得a1M+2a2k=2〃+2^',

由于2=〃〃+i+26，所以

Z?2+Z?4+%+…+處=3+22)+(。5+2a4)+(%+24)+…+(。2〃+1+2%)

=(22+21)+(24+23)+(26+25)+...+(22n+22n-1)

=(22+24+26+...+22n)+(21+23+25+...+22n-1)

4(1-4"),2(1-4")_22n+,2

1-41-4~

12.已知｛4｝是遞增的等差數(shù)列，｛〃｝是等比數(shù)列，且4=1,b2=a2,b3=a5,b,=au.

(1)求數(shù)列｛4｝與也｝的通項公式；

(2)VZ?6N*,數(shù)列匕｝滿足譽+/+…+9=號，求｛%｝的前〃項和S,,.

【答案】①a,=2"T,2=3"\2電=3"

【詳解】(1)解：由題意，設(shè)等差數(shù)列｛”,｝的公差為4(〃>0),

則/?2=。2=1+1，a=〃5=1+42,“=%4=1+13d,

因為數(shù)列出｝為等比數(shù)列，則用=貼4,即(l+4d)2=(l+d)(l+13d),

因為d>0,解得d=2,q=4+(〃一l)d=1+2(九-1)二2九一1.

b

又因為仇=%=3,b3=a5=9,所以，等比數(shù)列也｝的公比為4=言=3,

“2

n2

因此，b?=b2q-=3'-'.

(2)解：由2+f■+…+『=勺，①

仇仇2+13

可得?=壽=1，所以,9=3，

23

當(dāng)〃22時，*+能+…+?=?，②

瓦"b,3?

①一②得臺=”23,所以，*=2-31心2),

Un+\。。3

1/\f3,n=1

9=3不滿足C“=2?3"T(〃、2),所以，C“=12.3，T心2，

當(dāng)〃=1時，5=9=3,

當(dāng)“22時，S?=3+2x(31+32+---+3n-1)=3+6^~3^=3">

1—3

$|=3也滿足5“=3"522),

綜上所述，對任意的〃wN*,S“=3”.

13.已知數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，且S”=2a“+2〃-5.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式；

(2)記bn=log,(a?+1-2),求數(shù)列J1的前〃項和7；.

bb

[n-n+lJ

【答案】"”=2F⑵懸

【詳解】(1)當(dāng)〃=1時，Si=%=2〃i+2—5,解得％=3,

當(dāng)2時，S〃_i=2a〃_i+2(〃一1)—5.

可得S“-兀=2%+2〃-5-12%+2(〃-1)-5],

整理得：4=2%-2,

從而an-2=2(q_1-2)(〃>2),

又a「2=l,所以數(shù)列｛%-2｝是首項為1,公比為2的等比數(shù)列；

所以1—2=(%—2).2"T=2"T,

所以%=2”T+2,經(jīng)檢驗，4=3滿足%=21+2,

綜上，數(shù)列｛凡｝的通項公式為?！?+2；

(2)由(1)得4-2=2"、所以％+「2=2",所以，=log2(%+「2)=〃,

.1_1_1__1_

1

bn+x-bn〃(幾+1)nn+1

.1111

所以]=----1----------1----------F........H-----------

她b2b3b3b&bnbn+l

n+1n+1

14.已知S"為數(shù)列｛a'｝的前”項和，％=1,且〃a“-S“

⑴求數(shù)列｛4｝的通項公式；

⑵若bn=(2“.-1)(2%-1)'求數(shù)列也｝的前〃項和小

【答案】(1)%=2〃-1(2)7；=；［1-尹匕］

【詳解】⑴因為叫f-〃，

所以(九一1)《T一Si=("-1)2-(n-l)(n>2),

兩式相減得nan-(n-V)an_x-an=2n-2,

化簡得=2(n>2),

所以數(shù)列｛4｝是以1為首項，2為公差的等差數(shù)歹！J,

所以a,=l+(〃-l)x2=2〃-l.

所以看=4+打+?bn

1111

------------------1--I-----------------------

352n+1

2-12-1…221—12-1

1

所以一

22n+1-l

33〃,

15.已知函數(shù)｛凡｝的首項％且滿足

2an+1*

(1)求證、為等比數(shù)列，并求

an

123100

(2)對于實數(shù)x,［可表示不超過x的最大整數(shù)，求-----1--------1-------F???H--------的值.

3〃

【答案】⑴證明見解析，a(2)5051

n3"+2

33%

【詳解】(］)因為％=不，4+1

2a“+1'

所以?！?，

12%+121

所以——=-.....1--------

%+133。.

所以^-_]=:

a

n+l3

112

又因為[T=§，

所以數(shù)列1-1］是首項為I，公比為;的等比數(shù)歹U,

n-l

所以上1_l=9±x12

an333〃

1213〃

所以一二9+1，所以。〃=

anJ3"+2

12,

(2)因為一+1,

anJ

12310024200

所以——+——+—+???+——=1+丁+…十一^+1+2+3+---+100

加八%〃2〃3%0031323100

12+100x(100+1)

=2x耍+$+???+

2

、幾T123100

設(shè)…+河

所以二+...+吧,

33233343101

所以芍」+1+4+…+!一曙

33323331003101

H1萍100=1x1-1100

T310123100利

3203

所以7=3__勺L

加.44x3100

~123-1003203=5053”

所以—+—+—+，"+~ioo=5050+--------

axa2a3a22x3

因為°<箓<1，

2031

所以°＜再而＜5'

203

所以5051V505L5.....-＜5051.5,

zxj

…123100

所以*+]+T+…+族^=5051.

16.已知各項均為正數(shù)的數(shù)列｛〃〃｝滿足4=1,?！?2q_]+3（正整數(shù)〃>2）

（1）求證：數(shù)列何+3｝是等比數(shù)列；

（2）求數(shù)列｛凡｝的前〃項和S“.

【答案】⑴證明見解析（2電=2"+2-3〃-4

【詳解】（1）證明：已知遞推公式%=2%-+3,兩邊同時加上3,

得：%+3=2（a“_]+3）（〃22）,

因為4>0,q+3>0,

所以+^=2（"22）,

又為+3=4。0,

所以數(shù)歹（]｛%+3｝是以4+3=4為首項、以2為公比的等比數(shù)列.

（2）由（1）a?+3=4x2"-1=2"+1,則q,=2向-3（〃eN*）,

所以S“=%+/+…+%=2?-3+23-3+…+2向-3

=（22+23+---+2"+1）-3?

-3〃=2"+2_3〃-4-

1-2

17.已知在數(shù)列｛%｝中，q=g,且]，1是公差為1的等差數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式;

⑵設(shè)勿=&包+%，數(shù)列抄“｝的前〃項和為4,求使得與4竽的最大整數(shù)優(yōu)的值;

an5

(3)設(shè)1=白谷，求數(shù)列｛%｝的前〃項和。“

/'an

【答案】(1)?！?-^(2)8(3)。,=2-當(dāng)

n+i2

【詳解】(1)由4=g可知5=2,又是公差為1的等差數(shù)列,

所以，=2+5—1)x1=〃+1,故?！?

冊H+1

⑵優(yōu)—“-1+J---1

川+2n+1n+1n+2

=?1I

T=b+b+--+b+

nl2n（2n+2

1142

則5=〃?+--------<—,整理得10（m+2）2_99（切+2）-10《0,

2m+25

解得14相（8,故滿足條件的最大整數(shù)加的值為8.

1一〃“n

（3）由題得?！?不一=歹，

2'an2

則Q〃=lxg+2x/+3x!+…+〃x',

j1Q八=卜1m1+c2乂l亨+…+（/〃-八1”方1+”訶1，

兩式相減得；Q.=[1+1+*+…+（]-八/=1-'一"/?,

ll…八c2n2+n

所以Q=2--=2__—-

18.已知數(shù)列｛%｝各項都不為0,前〃項和為%且3%-2=S"，數(shù)列｛"｝滿足偽=-1,

t>?+l=b?+n.

(1)求數(shù)列也｝和也｝的通項公式；

⑵令g=?4,求數(shù)列｛q｝的前"項和為1

【答案】⑴凡=[|1也=（〃+1）T-2）；⑵[=8+3（/4）xjB

【詳解】(1)由3fl?-2=S,,可得3al—2=邑一22),兩式相減得3an-3an_x=Sn-Sn_x=an,

整理得見=1a,i，因為數(shù)列｛%｝各項都不為0,所以數(shù)列｛%｝是以|■為公比的等比數(shù)列.令

n—1,貝lj3%—2==q,解得%=1,故%.

由題知2+1-2=〃，

所以％=(2-2一1)+(%-％.2)+???+03-4)+02-4)+4

/八/c11n2-n-2(n+l)(n-2)

二(〃-+-2)H-------1-2+1—I=------------=----------------

r\1\tl-l

(2)由⑴得c“=也=(-2)-，所以

〃+112,

(3丫(3丫(3丫-1

?；=q+C2+…+c”十+0x-+-+(n-2)x-，

Q(八1/八2(八〃

彳4十l)x7+°x-+…+("2)X-，

3〕"3『一

-x1——

兩式相減得々切+；1”卜一+6一3，

L]_巳\L)\L)\L)

2

所以7；=8+3（"-4卜

19.已知等比數(shù)列｛4｝的公比為2,數(shù)列也｝滿足4=2,打=3,anbn+l-a?=Tbn.

⑴求｛q｝和也｝的通項公式；

（2）記S”為數(shù)歹U，，｝的前〃項和，證明：14S“<3.

【答案】（1）4=2"；斗="+1⑵證明見解析

【詳解】（1）當(dāng)〃=1時，-4=2瓦,

又4=2,/?2=3,解得％=2.

所以｛為｝是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，故%=2X2"T=2〃.

則2〃%「2〃=2〃2,即切討=2+1.

所以也｝是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列，故2=2+(〃-l)xl=〃+l.

b〃+1

(2)由(1)可得%=2-，bn=n+1f所以口

an2n*

mo234n+1

貝2=5+中+牙+…①，

234n+1小

Ls齊+夢+吩+…+k②，

2〃

n—\

1

1-

①-②可得：Ls=i+11n+11n+1_3n+3

+及+…+*/廣=1+—--_n+i

2"142^22

所以S〃=3—S<3.

2n

n+4〃+3〃+2

因為—-3+>0,所以⑸｝是遞增數(shù)列.

2n+i2“2n+l

則S〃2H=3-號=1,故1WS.<3.

20.在數(shù)列｛?！埃?，=-l,%=24T+3"-6(〃Z2,"€N*).

(1)求證：數(shù)列｛%+3〃｝為等比數(shù)列，并求數(shù)列｛4｝的通項公式;

(2)設(shè)勿=?！?力，求數(shù)歹!)｛〃｝的前〃項和I.

【答案】⑴證明見解析;%=2"-3〃；⑵2例-25+1)

【詳解】⑴=2a“T+3”-6(〃22,〃eN*),

a+3n2a+3〃—6+3〃2(a“]+3n-3)

，當(dāng)〃22時,n=2,

a?_j+3(H-1)<+3”—3+3n—3

數(shù)列仇+3科是首項為4+3=2,公比為2的等比數(shù)列，

/.4+3〃=2",%=2〃-3〃；

nn

(2)bn=an+n=an=2-+n=2—2n

123

數(shù)列｛&｝的前〃項和T?=b,+b2+...+bri=(2-2)+(2-4)+(2-6)+...+(2"-2H)

20-2")2+ln

=21+22+...+2,!-(2+4+6+...+2?)=xn=2,,+1-2-n(n+l).

1-22

21.記S”為數(shù)列｛%｝的前〃項和，己知4=1,｛2%｝是公差為2的等差數(shù)列.

(1)求｛4｝的通項公式;

(2)證明:5?<4,

【答案】⑴%=聲⑵證明見解析

【詳解】（1）因為4=1，所以2q=2,

因為｛2"4｝是公差為2的等差數(shù)列，所以2k“=2+2（〃—1）=2〃,

所以g=|?=&

⑵S”=:+W+1+…+會，①

匚亡21c12n-1n小

所以『S"=不+至+…+^￥+至，(2)

乙乙乙乙乙

nn+2

①-②則2s,=l+-+4-+---+—-7_-—=-V2---------

o?2222'12"112〃T

2i----

2

所以S“=4一72+賓2<4?

22.已知數(shù)歹!]{〃〃}滿足“〃=2%—1—2〃+4(應(yīng)2,MGN),%=4.

⑴求證：數(shù)歹?。?-2科為等比數(shù)列，并求｛4｝的通項公式;

（2）求數(shù)列的前〃項和S”.

【答案】⑴證明見解析，?！?2"+2”

為偶數(shù)

33

⑵

S"=<r\n+\C

------〃---，〃為奇數(shù)

33

【詳解】（1）團。〃=24_1-2〃+4,

回%_2〃=2%_4〃+4=2[%-2(〃-1)],

%-2H

所以=2又4—2=2,

-2(〃-1)

回｛4-2〃｝是首項為2,公比為2的等比數(shù)列,

回—2〃=2”,

團〃〃=2"+2〃.

(2)團(」)%“=(一2)"+2(—1)"〃,

12

05,1=(-2)+(-2)+---+(-2)"+2[-1+2-3+4--??+(-1)""],

當(dāng)〃為偶數(shù)時，

,1+1n+l

。(-2巾-(-2)[z?八[2-2-n22

sn=-1?2)—+2[(-1+2)+(-3+4)+...+(-?+2+?-1)-?]=---+2x-=—+?--

當(dāng)〃為奇數(shù)時,

)[1一(一2)1_2_2〃+i2同

S上——-——-+2[(-1+2)+(-3+4)H----F(-〃+2+〃-=------------\-n-l—2n=-

1-(一2)33

5

-n——

3

L+為偶數(shù)

33

綜上工

2〃+iS

------n—，〃為奇數(shù)

3----3

23.已知數(shù)列｛%｝是公差為或4/0）的等差數(shù)列，且滿足4=1M“M=M”+2.

⑴求｛4｝的通項公式；

4幾

⑵設(shè)a=（-D"—，求數(shù)列出｝的前io項和九.

anan+\

【答案】⑴氏=2〃-1⑵-五

【詳解】⑴因為｛叫是公差為d(dwO)的等差數(shù)列，％=1,%=y+2,

所以當(dāng)九=1時，%=%4+2=X+2,

當(dāng)〃=2時，%—AZZ2+2=x(X+2)+2=尤之+2%+2,

因為。3~a2=。2—%，即X2+%=%+1,

解得％=±1,所以d=2或4=。(舍去)，

所以%=1+2(〃-1)=2〃-1；

(2)由(1)得，

4〃4〃(\1A

aa

〃nn+i(2n-l)(2n+l)(2〃-12n+lJ'

所以；；111120

So=_1_++:—:---1--1---1--=—Id---=

719212121

24.已知數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，且S“=2%-4.

（1）求｛%｝的通項公式;

（2）求數(shù)列｛〃*｝的前〃項和T..

【答案】①??=2向⑵T“=(n-1)2*3_2〃(〃+1)+8

【詳解】（1）因為5“=24-4,所以當(dāng)〃22時，5?_,=2??.1-4,

兩式相減，得S,-S“T=2（一4-（2%7一4）,整理得%=2?！耙?

即〃22時，4=2%,又當(dāng)〃=1時，S[=4=2%—4,解得q=4,

所以數(shù)列｛〃〃｝是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列，

所以%=4X2"T=2"M.

(2)由(1)知S“=2x2向一4=2-2-4,所以必“=〃立用一4”,

令6"="?2”',c"=_4〃，易知，C]+c2H-----FCK=-4x—-_-=+1),

設(shè)數(shù)列的前幾項和為&,則(=1x23+2x24+3x25+…+加2"短①,

2^?=1X24+2X25+3X26+---+H-2"+3(2),

由①-②，得-K,=1X23+24+25+26+…+2"+2-”.2"+3,

3

即一K=2+24(1-2"|)_n2"+3=2用_".2"+3_8

"1-2

所以K=23+2*"2")-n-2"+3=("-1)?2"+3+8，

"1-2

所以1=&-2n(n+l)=(n-l)-2"+3-2”(a+1)+8.

25.已知等比數(shù)列｛4｝的各項均為正數(shù)，且。2+/+%=39,a5=2a4+3a3.

(1)求｛%｝的通項公式；

⑵數(shù)列也｝滿足2="q,求也｝的前"項和T,.

【答案】(1)。"=3"'(2)7；=⑶-y+l.

【詳解】(1)設(shè)數(shù)列｛4｝的公比為4(4>0),

6仿+/+/)=39\CL=1

則：2，叱。，解得_2，

axq=2a1q+341g國=3

所以a?=3"T,即｛an｝的通項公式為??=3"i；

(2)由題可知b“=w-3"T,

則Tn=1x30+2x31+3x3?+…+(九一1)X3"-2+〃X3"T,

123,1-1,1

37；,=1X3+2X3+3X3+---+(/7-1)X3+7ZX3,

兩式相減得：—2T"=1+31+3-+33H—?+3"—nx3"

(2n-l)3n+l

26.已知數(shù)列｛“"｝中，%=1,%=$,〃eN*.

⑴求數(shù)列｛4｝的通項公式;

(2)設(shè)2=142〃；+3〃，數(shù)列的前〃項和S“，求證：S?<|.

〃(〃一1)

【答案】(1)名=2-⑵證明見解析

【詳解】(1)解：因為％=1,鉀■=。.(?eN*),

=2"(neN*),

二匚l、l77_40n-la2〃(〃一D

所以“一q-%,q'=2"T?2"-2??…2'-1=2“2+""("-1)=22

當(dāng)〃=1時，％=1滿足條件,

n(n-l)

所以?！ǘ?2

(2)因為4=log2"；+3〃=〃(〃+2),

所以工=^—

加以an(n+2)2nn+29

所以S〃二」(l—工+工―工+…+!—一—)=-(1+-一一-----)=-(--------),

2324nn+222n+\n+222H+1n+2

3

所以.

bn

27.數(shù)列｛%｝滿足〃i=3,〃用一〃;=2an,2=an+l.

⑴求證：出｝是等比數(shù)列；

n,.

⑵若c,=/+l,求｛g｝的前〃項和為卻

九+2

【答案】⑴證明見解析⑵4="+2-〒.

【詳解】(1),I1=6Z?+1,=log2(an+1),=log2(3+1)=2,

a=a

n+in+2%,an+i+1=a；+2an+1=(%+1),

.'.log2(a?+1+1)=210g2(a“+1),

.2+il°g?(4,+1+D.2,

'b“l(fā)og2(a?+l)一

所以數(shù)列｛2｝是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列.

(2)由(1)可得，bn=T,所以1=^+1,

設(shè)4=右,設(shè)其前“項和為S”，

貝2+最+…++晟，①

1123n-1n

2n-+g+夢+??H-------------1--------------，②

T-“2e

減②得

1"

1cli11〃2\1)n+2

—S=--1----1---F...H--------=---------------n-=1------

2"2122232"2"T,12n+12n+1

1-----

2

所以S“=2一zz變+2

n+2

所以7；=S“+〃=〃+2--.

28.已知正數(shù)數(shù)列｛q｝,4=1,且滿足靖―("T)。"％—=。("之2).

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式;

H—1

(2)設(shè)用=——,求數(shù)歹式2｝的前〃項和S,,.

【答案】(1)4=〃!⑵5“=1一々

n\

【詳解】(1)0-(n-l)a?a?_j-na^^=0(n>2),

回色—解C”+??.i)=0(n>2),

^]—=n(n>2).

又a“>0,San=na,5-1，