2025新高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)突破：外接球與內(nèi)切球問題

（模擬精練）

一、選擇題：（每小題5分，在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）

1.（2024?江西?一模）在體積為12的三棱錐A—BCD中，AC±AD,8C，,平面/CD，平面

BCD,//CD=J,/85=與，若點(diǎn)ABC,。都在球O的表面上，則球。的表面積為（）

34

A.127rB.167rC.32兀D.48兀

2.（2024.湖北.模擬預(yù)測(cè)）已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，E4=PB=PC=4,

=8。=2,4。=2",則球。的表面積為（）

A64?？?0兀c27兀c21兀

A.---h>.---—■—U.---

3342

3.（2024?福建?模擬預(yù)測(cè)）已知正四棱臺(tái)下底面邊長為4方，若內(nèi)切球的體積為當(dāng)兀，則其外接球表面積

O

是（）

A.49兀B.56兀C.65兀D.130兀

4.（2024.陜西寶雞.三模）△ABC與△ABD都是邊長為2的正三角形,沿公共邊AB折疊成60°的二面角，

若點(diǎn)在同一球。的球面上，則球。的表面積為（）

5.（2024?山西太原?二模）已知圓錐的頂點(diǎn)為P,底面圓的直徑AB=2瓜,tan/APB=V3，則該圓錐內(nèi)

切球的體積為（）

A.守B.9C.爭(zhēng)D.4兀

6.（2024?全國?二模）已知圓錐的軸截面是底角為。的等腰三角形，圓錐的底面半徑為a,圓錐內(nèi)有一個(gè)內(nèi)

接圓柱，則圓柱體積的最大值為（）

A.a2tan0B.毛^tan2。C.之；。tandD.tan9

7.（2024?浙江?模擬預(yù)測(cè)）已知邊長為6的正方體與一個(gè)球相交，球與正方體的每個(gè)面所在平面的交線都

為一個(gè)面積為16兀的圓，則該球的表面積為（）

A.967rB.IOOTTC.125兀D.2047r

8.（2024?河南濮陽?模擬預(yù)測(cè)）某圓錐的側(cè)面展開圖是面積為3兀，圓心角為等的扇形，則該圓錐的軸截

O

面的面積為（）???

a

A，2B.4V2c.2V2D.2

9.（2024?青海?二模）如圖，已知在四棱錐P-ABCD中，底面四邊形ABCD為等腰梯形,BCHAD,PD

=2AD=4BC=4,底面積為封之，尸。，AD且=舊，則四棱錐P-ABCD外接球的表面積為

4

（）

A.9兀B.12V37TC.39兀D.207t

10.（2024?浙江?模擬預(yù)測(cè)）清代的蘇州府被稱為天下糧倉，大批量的糧食要從蘇州府運(yùn)送到全國各地.為

了核準(zhǔn)糧食的數(shù)量,蘇州府制作了“小嘴大肚”的官斛用以計(jì)算糧食的多少，五斗為一斛,而一只官斛

的容量恰好為一斛，其形狀近似于正四棱臺(tái)，上口為正方形，內(nèi)邊長為25cm,下底也為正方形，內(nèi)邊長

為50cm，斛內(nèi)高36cm，那么一斗米的體積大約為立方厘米？（）

A.10500B.12500C.31500D.52500

11.（2024?江蘇無錫?模擬預(yù)測(cè)）蒙古包是我國蒙古族牧民居住的房子,適于牧業(yè)生產(chǎn)和游牧生活.如圖所

示的蒙古包由圓柱和圓錐組合而成，其中圓柱的高為2m,底面半徑為4m,O是圓柱下底面的圓心.

若圓錐的側(cè)面與以。為球心,半徑為47n的球相切，則圓錐的側(cè)面積為（）

A.8^5nrn2B.16V57rm2C.20兀D.40nm2

12.（2024?云南大理?模擬預(yù)測(cè)）六氟化硫，化學(xué)式為S房,在常壓下是一種無色、無臭、無毒、不燃的穩(wěn)定氣

體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途.六氟化硫分子結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)（正八面體

每個(gè)面都是正三角形，可以看作是將兩個(gè)棱長均相等的正四棱錐將底面粘接在一起的幾何體）.如圖

所示，正八面體E—ABCD—F的棱長為a,此八面體的外接球與內(nèi)切球的體積之比為（）

C.3V2D.2V2

13.（2024?天津北辰?三模）中國載人航天技術(shù)發(fā)展日新月異.目前，世界上只有3個(gè)國家能夠獨(dú)立開展載

人航天活動(dòng).從神話“嫦娥奔月”到古代“萬戶飛天”，從詩詞“九天攬?jiān)隆钡奖诋嫛笆伺w天”……千百

年來，中國人以不同的方式表達(dá)著對(duì)未知領(lǐng)域的探索與創(chuàng)新.如圖，可視為類似火箭整流罩的一個(gè)容

器，其內(nèi)部可以看成由一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱組合而成的幾何體.圓柱和圓錐的底面半徑均為2,圓柱的

高為6,圓錐的高為4.若將其內(nèi)部注入液體，已知液面高度為7,則該容器中液體的體積為（）

R76元c215兀n325兀

B-I-°，-9~16-

14.（2024?湖北武漢?二模）房屋建造時(shí)經(jīng)常需要把長方體磚頭進(jìn)行不同角度的切割，以契合實(shí)際需要.已

知長方體的規(guī)格為24cmX11cm義5cm，現(xiàn)從長方體的某一棱的中點(diǎn)處作垂直于該棱的截面，截取1

次后共可以得到12c?nX11cmX5cm,24cmX--cmX5cm,24cmX11cmX—cm三種不同規(guī)格的

長方體.按照上述方式對(duì)第1次所截得的長方體進(jìn)行第2次截取，再對(duì)第2次所截得的長方體進(jìn)行第

3次截取，則共可得到體積為165cm3的不同規(guī)格長方體的個(gè)數(shù)為（）

A.8B.11C.12D.10

二、多選題：（每小題6分，在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)或者多項(xiàng)是符合題目要求的.）

15.（2024?山東?模擬預(yù)測(cè)）四面體ABCD中，/1C=BC=4B=6,CD=W,=8,四面體ABCD外接

球的表面積記為$,則（）

A.當(dāng)四面體4BCD體積最大時(shí)，S=112兀B.AD±BC

C.當(dāng)AD=6時(shí)，5=普/兀D.S可以是4007r

16.（2024?廣東佛山?模擬預(yù)測(cè)）如圖，幾何體的底面是邊長為6的正方形A.B.C^AA,±底面

AB//AXBX,AAX=AB=3,BC=AD=G[0,1],則（）

A.當(dāng)N=0時(shí)，該幾何體的體積為45

B.當(dāng)/1=；時(shí)，該幾何體為臺(tái)體

C.當(dāng)4=5時(shí)，在該幾何體內(nèi)放置一個(gè)表面積為S的球，則S的最大值為9兀

D.當(dāng)點(diǎn)回到直線DA距離最大時(shí)，則4=1

17.（23-24高一下?福建福州?期末）某圓錐的底面半徑為3,母線長為4,則下列關(guān)于此圓錐的說法正確的

是（）

A.圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為普

B.圓錐的體積為9/7兀

C.過圓錐的兩條母線作截面的面積最大值為8

D.圓錐軸截面的面積為3a

18.（2024.湖南.三模）如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A.B.C.D.中，點(diǎn)P是正方體的上底面A.B.C.D,

內(nèi)（不含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是棱的中點(diǎn)，則以下命題正確的是（）

A.三棱錐Q-PCD的體積是定值

B.存在點(diǎn)P,使得PQ與44i所成的角為60°

C.直線PQ與平面A/DDi所成角的正弦值的取值范圍為優(yōu)，彳）

D.若PR=PQ,則P的軌跡的長度為手

19.（2025?廣東?模擬預(yù)測(cè)）已知球。是某圓錐內(nèi)可放入的最大的球，其半徑為該圓錐底面半徑的一半，則

該圓錐的體積與球O的體積之比為.

20.（2023?江蘇連云港?模擬預(yù)測(cè)）已知正四面體ABCD的棱長為6,點(diǎn)瓦尸滿足BC=ABE,BD=ABF,

用過A,三點(diǎn)的平面截正四面體ABCD的外接球。，當(dāng)NG[1,3]時(shí)，截面的面積的取值范圍為

21.（2024?陜西銅川?三模）柳卯結(jié)構(gòu)是中國古代建筑文化的瑰寶,在連接部分通過緊密的拼接，使得整個(gè)

結(jié)構(gòu)能夠承受大量的重量，并且具有較高的抗震能力.這其中木楔子的運(yùn)用，使得樟卯配合的牢度得

到最大化滿足，木楔子是一種簡單的機(jī)械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木撅、木片等.如圖

為一個(gè)木楔子的直觀圖，其中四邊形是邊長為2的正方形，且△4DEA8CF均為正三角形,

EF〃CE>,EF=4,則該木楔子的外接球的表面積為.

22.（2024?遼寧?模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐P-ABC中，PA=P8=PC=2,ZBB4=ZBFC=60°,AAPC=

90°,若該三棱錐內(nèi)有一球O與三棱錐各面均相切，則球O的半徑為.

23.（2024?湖南邵陽?三模）在四面體48co中，△430是邊長為4方的等邊三角形，BC,CD,BC=

CD,AC=4v5,點(diǎn)E在棱AD上，且BD=4BE,過點(diǎn)E作四面體ABCD的外接球O的截面，則所得

截面圓的面積最小值與球O的表面積之比為.

24.（2024?安徽蕪湖?模擬預(yù)測(cè)）在AABC中，AB==g,AC=2,將△ABC沿AC旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)口到達(dá)

點(diǎn)B'的位置時(shí)，平面B'AC±平面BAC,則三棱錐B'-48。外接球表面積為.

25.（2024?吉林?模擬預(yù)測(cè)）清初著名數(shù)學(xué)家孔林宗曾提出一種“差藜形多面體”，其可由兩個(gè)正交的全等正

四面體組合而成（每一個(gè)四面體的各個(gè)面都過另一個(gè)四面體的三條共點(diǎn)的棱的中點(diǎn)）.如圖，若正四面

體棱長為2,則該組合體的表面積為；該組合體的外接球體積與兩正交四面體公共部分的內(nèi)切

球體積的比值為

26.（2024.內(nèi)蒙古鄂爾多斯.二模）如圖，平面四邊形4DBC中，48，口。,48=反7=2△48。為

等邊三角形，現(xiàn)將4ABD沿AB翻折，使點(diǎn)。移動(dòng)至點(diǎn)P,且尸B,則三棱錐P-ABC的外接球

的表面積為.

27.（2024.浙江.二模）已知正方體AtA2A3A4-4444的棱長為3，取出各棱的兩個(gè)三等分點(diǎn)，共24個(gè)

點(diǎn)，對(duì)于正方體的每個(gè)頂點(diǎn)4,設(shè)這24個(gè)點(diǎn)中與4距離最小的三個(gè)點(diǎn)為R,Qa,入，從正方體中切去所

有四面體4舄Q優(yōu),i=1,2,…，8,得到的幾何體的外接球表面積是.

28.（2024?湖南衡陽?模擬預(yù)測(cè)）某冷飲店為了吸引顧客，特推出一款蛋仔冰淇淋,其底座造型如圖所示，外

部為半球型蛋殼，內(nèi)有三個(gè)特制的球型蛋仔,蛋仔兩兩相切,且都與蛋殼相切，蛋仔的頂端正好與半球

型的蛋殼的上沿處于同一水平面，如果球型蛋仔的半徑為四，求這個(gè)蛋殼型的半球的容積為.

一、單i&M

29.（2023?全國?高考真題）已知四棱錐P—ABCD的底面是邊長為4的正方形，PC=P0=3,NPCA=

45°,則△PBC的面積為（）

A.2V2B.3V2C.4V2D.6V2

30.（2023?天津?高考真題）在三棱錐P—ABC中，點(diǎn)MN分別在棱上，且PN=

o

6

日尸3,則三棱錐P—4WN和三棱錐P—ABC的體積之比為（）

O

AXR2c—

9。3

31.（2006?江西?高考真題）如圖，在四面體ABCD中，截面人即經(jīng)過四面體的內(nèi)切球（與四個(gè)面都相切的

球）球心O,且與BC、分別截于E、F.如果截面將四面體分為體積相等的兩部分，設(shè)四棱錐A-

BEED與三棱錐A-EFC的表面積分別為Si，S2,則必有（）

A.&VS2B.Si>S2C.Si=$2D.Si、S2的大小不能確定

32.（2022?天津?高考真題）十字歇山頂是中國古代建筑屋頂?shù)慕?jīng)典樣式之一，左圖中的故宮角樓的頂部即

為十字歇山頂.其上部可視為由兩個(gè)相同的直三棱柱重疊而成的幾何體（如右圖）.這兩個(gè)直三棱柱有

一個(gè)公共側(cè)面ABCD.在底面中，若班=CE=3,NBCE=120°,則該幾何體的體積為（）

D.27V3

33.（2022.全國.高考真題）甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為2兀,側(cè)面積分別為

S甲和S乙,體積分別為%和吃.若爹=2,則粵=（）

b乙）乙

A.V5B.2V2C.V10D.

4

34.（2022?全國?高考真題）南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水

庫.已知該水庫水位為海拔148.5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為140.Okn?；水位為海拔157.5?n時(shí)，相

應(yīng)水面的面積為180.Oknf,將該水庫在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺(tái)，則該水庫水位從海拔

148.5m上升到157.57n時(shí)，增加的水量約為（/772.65）（）

A.1.0X10WB.1.2X10WC.1.4X10WD.1.6x10W

35.（2005?江