2025中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：胡不歸問題（含答案）

2025中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)胡不歸問題含答案

胡不歸問題

一、基礎(chǔ)題型

如圖，AABC中，AB=AC=10,tanA=2,BE_LAC于點(diǎn)是線段BE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則?！?gt;+包8。

1.

5

的最小值是.

2.如圖，平行四邊形ABCZ)中，NZM2=6O。，A2=6,BC=2,尸為邊CZ)上的一動(dòng)點(diǎn)，則尸2+^尸。

2

的最小值等于

3.如圖，在△ACE中，CA=CE,ZCAE=30°,。。經(jīng)過點(diǎn)C,且圓的直徑在線段AE上.

(1)試說明CE是。。的切線.

⑵若AACE中AE邊上的高為h,試用含h的代數(shù)式表示。O的直徑AB；

(3)設(shè)點(diǎn)D是線段AC上任意一點(diǎn)(不含端點(diǎn))，連接0。，當(dāng)|c/5+O￡>的最小值為6時(shí)，求。。

二、實(shí)際應(yīng)用

4.如圖，△ABC在平面直角坐標(biāo)系中，AB=AC,A(0,272),C(l,0),D為射線AO上一點(diǎn)，一

動(dòng)點(diǎn)尸從A出發(fā)，運(yùn)動(dòng)路徑為A-O-C,點(diǎn)尸在AD上的運(yùn)動(dòng)速度是在C。上的3倍，要使整

個(gè)過程運(yùn)動(dòng)時(shí)間最少，則點(diǎn)。的坐標(biāo)應(yīng)為.

5.如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC,2D相交于點(diǎn)O,△<%>￡>關(guān)于C。的對(duì)稱圖形為△CED

(1)求證：四邊形OC即是菱形；

⑵連接AE,若BC=#1cm.

①求sinZEAD的值；

②若點(diǎn)P為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A重合)，連接OP,一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)。出發(fā)，以lcm/s

的速度沿線段OP勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)尸，再以L5an/s的速度沿線段PA勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A,到達(dá)點(diǎn)

A后停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)。沿上述路線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A所需要的時(shí)間最短時(shí)，求AP的長和點(diǎn)。走完

全程所需的時(shí)間.

6.如圖，已知海島A到海岸公路8c的距離AB=50fcm,B、C間的距離為100初7,從A到C必須

先坐船到BC上的某一點(diǎn)D,航速為25kmih,再乘汽車到C,車速為50km/h,記=。.

問當(dāng)，為多少時(shí)，由A到C所用的時(shí)間f最少？

2

7.如圖，一條筆直的公路/穿過草原，公路邊有一消防站A,距離公路5千米的地方有一居民點(diǎn)

B,A、B的直線距離是13千米.一天，居民點(diǎn)8著火，消防員受命欲前往救火，若消防車在公

路上的最快速度是80千米/小時(shí)，而在草地上的最快速度是40千米/小時(shí)，則消防車在出發(fā)后最

快經(jīng)過小時(shí)可到達(dá)居民點(diǎn)8.（友情提醒：消防車可從公路的任意位置進(jìn)入草地行駛.）

B

IL.""""

I5

——上-----------------B----------I

AC

三、進(jìn)階變形

8.如圖，已知。為射線AB上一動(dòng)點(diǎn)，ZBAC=30°,AC=2。,當(dāng)AO=時(shí)，AD+2CD

取最小值為.

9.如圖，四邊形為。。內(nèi)接四邊形，NABC=30°,BD^^-ZABC,AB=6,^DB+DA+DC

的最小值.

10.如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC上有一動(dòng)點(diǎn)P,BC=6,ZABC=150°,AP+BP+PD的最小值.

3

11.如圖，在RtzXABC中，/B=90。，ZA=30°,AB=36,在AB邊上有一點(diǎn)E,BE=g,連結(jié)

EC,點(diǎn)、D,EG是線段BC,CE,AC邊上的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)EO,DF,FG,^-AG+FG+DF+ED

2

的最小值.

12.如圖，A(-l,0),B(0,3),點(diǎn)C是線段03上的動(dòng)點(diǎn)，四邊形ACDE和四邊形C3PG都是矩形,

且35=1,AE=3,求兩個(gè)矩形面積和的最小值.

13.如圖，在坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)P(a,6)是直線y=&上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)“(0,百)是y軸上一個(gè)點(diǎn)，若

14.如圖，已知/XOy=60。，點(diǎn)A在邊OX上，OA=2.過點(diǎn)A作AC_LOY于點(diǎn)C,以AC為一邊在

ZXOY內(nèi)作等邊三角形ABC,點(diǎn)P是AABC圍成的區(qū)域(包括各邊)內(nèi)的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PDH

OF交OX于點(diǎn)D,作PE〃OX交OF于點(diǎn)E.設(shè)OD=a,OE=b,則a+2b的取值范圍是.

0DAX

4

課后作業(yè)

1.在Rt^ABC中，ZA=30°,BC=2拒,AB=6,。是8c中點(diǎn)，E是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求

2DE+AE的最小值.

2.如圖，AABC+,AB=4,AC=6,ZA=30°,點(diǎn)。為AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值.

2

3.如圖，已知拋物線>=8（尤+2）仁-4）（%為常數(shù)，且%>0）與x軸從左至右依次交于A,B兩點(diǎn),

8

與y軸交于點(diǎn)C,經(jīng)過點(diǎn)B的直線y=一個(gè)x+b與拋物線的另一交點(diǎn)為D.

（1）若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為-5,求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

⑵在（1）的條件下，設(shè)廠為線段8。上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接AR一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿線

段AF以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到F,再沿線段FD以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到D后停

止，當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中用時(shí)最少？

5

胡不歸問題

一、基礎(chǔ)題型

如圖，AABC中，AB=AC=10,tanA=2,BE_LAC于點(diǎn)是線段BE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則。￡>+包8。

1.

5

的最小值是.

【答案】46

c

2.如圖，平行四邊形A3C。中，NZM2=6O。，A2=6,3C=2,尸為邊CD上的一動(dòng)點(diǎn)，MPB+—PD

2

的最小值等于.

【答案】373

3.如圖，在△ACE中，CA=CE,ZCAE=30°,。。經(jīng)過點(diǎn)C,且圓的直徑在線段AE上.

(1)試說明CE是。。的切線.

⑵若4ACE中AE邊上的高為h,試用含h的代數(shù)式表示。O的直徑AB；

(3)設(shè)點(diǎn)D是線段AC上任意一點(diǎn)(不含端點(diǎn))，連接0。，當(dāng)gcZ)+O￡>的最小值為6時(shí)，求。。

二、實(shí)際應(yīng)用

4.如圖，△ABC在平面直角坐標(biāo)系中，AB=AC,A（0,2后），C（l,0）,D為射線AO上一點(diǎn)，一

動(dòng)點(diǎn)尸從A出發(fā)，運(yùn)動(dòng)路徑為A-O-C,點(diǎn)尸在AD上的運(yùn)動(dòng)速度是在C。上的3倍，要使整

個(gè)過程運(yùn)動(dòng)時(shí)間最少，則點(diǎn)。的坐標(biāo)應(yīng)為.

【答案】（0,?）

4

5.如圖，矩形ABCZ）的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,△<%）￡）關(guān)于C。的對(duì)稱圖形為△CED

（1）求證：四邊形OC即是菱形；

（2）連接AE,若AB=6cm,BC=#>cm.

①求sinZEAD的值；

②若點(diǎn)P為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），連接OP,一動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)O出發(fā)，以lcm/s

的速度沿線段OP勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P,再以1.5c7w/s的速度沿線段PA勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A,到達(dá)點(diǎn)

A后停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)。沿上述路線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A所需要的時(shí)間最短時(shí)，求4尸的長和點(diǎn)Q走完

全程所需的時(shí)間.

2

【答案】-53

3

6.如圖，已知海島A到海岸公路BC的距離42=50淅，B、C間的距離為lOOhw,從A到C必須

先坐船到BC上的某一點(diǎn)D,航速為25kmih,再乘汽車到C,車速為5Qkm/h,記ZBDA=0.

問當(dāng)。為多少時(shí)，由A到C所用的時(shí)間/最少？

【答案】V3+2

2

3

7.如圖，一條筆直的公路/穿過草原，公路邊有一消防站A,距離公路5千米的地方有一居民點(diǎn)

B,A、B的直線距離是13千米.一天，居民點(diǎn)8著火，消防員受命欲前往救火，若消防車在公

路上的最快速度是80千米/小時(shí)，而在草地上的最快速度是40千米/小時(shí)，則消防車在出發(fā)后最

快經(jīng)過小時(shí)可到達(dá)居民點(diǎn)艮（友情提醒：消防車可從公路的任意位置進(jìn)入草地行駛.）

三、進(jìn)階變形

8.如圖，已知。為射線AB上一動(dòng)點(diǎn)，ZBAC=3Q°,AC=2也,當(dāng)AD=時(shí)，AD+2CD

取最小值為.

【答案】2；6

9.如圖，四邊形ABCC為。。內(nèi)接四邊形，/4BC=30°,BD平分/ABC,AB=6,求DB+ZM+DC

的最小值.

【答案】3^/2

10.如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC上有一動(dòng)點(diǎn)P,BC=6,ZABC=150°,AP+BP+PD的最小值.

【答案】3亞

4

11.如圖，在RtzXABC中，/B=90。，ZA=30°,AB=36,在AB邊上有一點(diǎn)E,BE=g,連結(jié)

EC,點(diǎn)、D,EG是線段BC,CE,AC邊上的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)EO,DF,FG,^-AG+FG+DF+ED

2

的最小值.

【答案】6

12.如圖，A(-l,0),8(0,3),點(diǎn)C是線段。8上的動(dòng)點(diǎn)，四邊形ACOE和四邊形CB尸G都是矩形,

且Bb=1,AE=3,求兩個(gè)矩形面積和的最小值.

272+3

【答案】

~3~

13.如圖，在坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)P(a,6)是直線y=6無上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M(0,6)是y軸上一個(gè)點(diǎn)，若MP

的長為c,則a+c的最小值為

5

14.如圖，已知/xoy=60。，點(diǎn)A在邊OX上，OA=2.過點(diǎn)A作AC_LOY于點(diǎn)C,以AC為一邊在

/XOY內(nèi)作等邊三角形ABC,點(diǎn)P是△ABC圍成的區(qū)域（包括各邊）內(nèi)的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作尸

OF交0X于點(diǎn)。，作PE〃OX交。丫于點(diǎn)E.設(shè)OD=a,OE=b,則a+2b的取值范圍是.

【答案】2<a+2b<5

課后作業(yè)

1.在RtZ\ABC中，ZA=30°