2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：二次函數(shù)新定義型綜合問題（3題型）（解析版）

搶分秘籍15二次函數(shù)新定義型綜合問題（壓軸通關(guān)）

目錄

【中考預(yù)測】預(yù)測考向，總結(jié)?？键c(diǎn)及應(yīng)對(duì)的策略

【誤區(qū)點(diǎn)撥】點(diǎn)撥常見的易錯(cuò)點(diǎn)

【搶分通關(guān)】精選名校模擬題，講解通關(guān)策略（含新考法、新情境等）

中考預(yù)測

二次函數(shù)新定義型綜合問題是全國中考的熱點(diǎn)內(nèi)容，更是全國中考的必考內(nèi)容。每年都有一些考生因

為知識(shí)殘缺、基礎(chǔ)不牢、技能不熟、答欠規(guī)范等原因?qū)е率Х帧?/p>

i.從考點(diǎn)頻率看，二次函數(shù)新定義型綜合問題是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是高頻考點(diǎn)、必考點(diǎn)。

2.從題型角度看，以解答題的最后一題或最后第二題為主，分值12分左右，著實(shí)不少!

?（搶分通關(guān)

題型一新定義型二次函數(shù)之共生或伴隨拋物線

典例精講

【例1】（新考法，拓視野）（2024?江西九江?一模）定義：若兩條拋物線的頂點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，二次函數(shù)的

二次項(xiàng)系數(shù)互為負(fù)倒數(shù)，這樣的兩條拋物線稱之為"共生拋物線”，如拋物線j=0.5%2與y=lx?是共生拋物

線，已知拋物線G：y=-g（x+2Y+l的頂點(diǎn)是點(diǎn)尸，它的共生拋物線C?的頂點(diǎn)是Q

⑴點(diǎn)尸的坐標(biāo)是—，點(diǎn)。的坐標(biāo)是，拋物線C?的函數(shù)關(guān)系式是

⑵直線y=機(jī)與拋物線C］、C2均有兩個(gè)交點(diǎn)，這些交點(diǎn)從左到右分別是/、B、C、D.

①求加的取值范圍二

②若4B=CD,求加的值；

2

【答案】⑴(-2,1),(2,-1),C2:y=|(x-2)-l

⑵①加＞-1；②-1

【分析】本題考查了二次函數(shù)的新定義，正確利用二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)共生拋物線的定義，可以得到C,頂點(diǎn)坐標(biāo)和解析式；

(2)找出臨界狀態(tài)，即與兩條拋物線相切時(shí)，利用A=0,求出此時(shí)加的值，即可求出4個(gè)交點(diǎn)加的取值

范圍；

(3)采取"化斜為直”的思想，將斜線段轉(zhuǎn)化為直線段的處理，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系即可求解.

【詳解】(1)解：拋物線C］：y=-；(x+2)2+l的頂點(diǎn)是點(diǎn)尸，

尸(-2,1),

；G、C2是共生拋物線，

由于共生拋物線二次項(xiàng)系數(shù)互為負(fù)倒數(shù)，

3

???G中的。=5，

3

：x2

*,-c2y=-(-)t,

2

故答案為：(-2,1),(2,-1),C2：J=|(X-2)-1.

y=m

有｛21,，

y=_](x+2)+1

整理的：2x2+8x+5-3m=0,

由A=0得：64-8(5-3m)=0,解得加=7；

y=m

尸箝一2）'］，

、乙

整理得：3x2-12x+10-2m=0,

由A=0得：144一12（10-2機(jī)）=0,解得用=-1；

當(dāng)直線＞=僅繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)即有4個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)機(jī)＞7.

②設(shè)點(diǎn)/、8橫坐標(biāo)分別為再外，C、。橫坐標(biāo)分別為無3,%

由AB=CD得：上一%|=%—匕|，

%-4/工2='（工3+無4）~_4無3》4

y=m

聯(lián)立27\21

y=-§(x+2)+i

整理得：2x2+8x+5-3m=0

5-3m

/+x=-4,xx

2x22

y=m

y=g(x_2y_］，

整理得：3x2-l2x+l0-2m=0,

,l0-2m

x3+x4=4,七%-"

I/5-3ml0-2m

l6-4x---

3

解得：m=-1

通關(guān)指導(dǎo)

本題考查了二次函數(shù)的新定義，正確利用二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

【例2】（2023?江蘇泰州?二模）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于函數(shù)必uad+fex+c,其中。、b、c為常數(shù)，。工?

定義：函數(shù)%+bx+a是必=加+6x+c的衍生函數(shù)，點(diǎn)M（a,c）是函數(shù)%=。尤2+&X+C的衍生點(diǎn)，設(shè)函

數(shù)必=ax2+bx+c與其衍生函數(shù)的圖象交于/、8兩點(diǎn)（點(diǎn)N在點(diǎn)3的左側(cè)）.

⑴若函數(shù)％=a/+8+c的圖象過點(diǎn)C（-l,3）、其衍生點(diǎn)M（l,。），求函數(shù)弘=汗+&+。的解

析式；

⑵①若函數(shù)％="+bx+c的衍生函數(shù)為%=2x-l,求/、2兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

②函數(shù)必=a/+6x+c的圖象如圖所示，請(qǐng)?jiān)趫D中標(biāo)出點(diǎn)/、3兩點(diǎn)的位置；

⑶是否存在常數(shù)6,使得無論。為何值，函數(shù)弘=a/+6x+。的衍生點(diǎn)M始終在直線上，若存在，請(qǐng)求

出6的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】⑴M=d-4x-2

⑵①/（-1，-3）,5（1,1）；②見解析

⑶存在，-1

【分析】本題是新定義題，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，正確理解定義是解答本題的關(guān)鍵.

（1）由衍生點(diǎn)M0，c）,知。=1,然后用待定系數(shù)法求函數(shù)弘=爾+樂+。的解析式；

（2）①由衍生函數(shù)的定義求出％=ax，fcv+c,聯(lián)立必=ax?+6x+c與%=2x-l,解方程組即可求得力、

B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

②仿照①的過程求解即得；

（3）求出直線的表達(dá)式，代入點(diǎn)即可求得6的值.

【詳解】（1）,函數(shù)必=a/+6x+c的衍生點(diǎn)c）,

..Cl—\,

函數(shù)必=ax2+bx+c的圖象過點(diǎn)C（T3）、D（l,-5）,

Jl-6+c=3

11+6+。=-5'

函數(shù)必=ax2+bx+c的解析式為必二/一4%一2；

(2)①:函數(shù)必=ax2+bx+c的衍生函數(shù)為%=2%T,

2

y1=-x+2x,

—+2x—2x—1,

..x——1x=1,

1,—3),3(1,1)；

②由圖象結(jié)合(1)得%=%2—4x—2,

%=—212—4x+1,

%2—4x—2——2%2—4x+1,

..x——1X=1,

.”(—1,3),5(1,-5),如圖所示；

21

(3)丁點(diǎn)yx=ax+bx+c,y2=cx+bx+a,

ax2+bx+c=ex2+bx+a，

，x=-1或x=l,

/.AQ—6+c),8(1,a+6+c),

設(shè)直線45的表達(dá)式為歹=履+加，

[~k+m=a-b+c

\k+m=a+b+c'

\m=a+c

:.y=bx+a+c,

代入得，c=ab+a+c,

a(b+1)=0,

「a是任意實(shí)數(shù),

.,.6+1=0,

:.b=-\.

名校模擬

1.新定義：我們把拋物線y=af+8+c(其中仍片0與拋物線>=6/+ax+c稱為"關(guān)聯(lián)拋物線"，例如，

拋物線y=2/+3x+l的“關(guān)聯(lián)拋物線"為y=3f+2x+l已知拋物線￡：y-Aax2+ax+4a-3(a>0)的“關(guān)聯(lián)

拋物線”為。2，。與y軸交于點(diǎn)￡.

⑴若點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,-1),求G的解析式；

⑵設(shè)。2的頂點(diǎn)為R若跖是以。歹為底的等腰三角形，求點(diǎn)￡的坐標(biāo)；

⑶過X軸上一點(diǎn)P,作X軸的垂線分別交拋物線￡,c2,于點(diǎn)M,N.

①當(dāng)跖V=6時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

②當(dāng)a-4WxVa-2時(shí)，C2的最大值與最小值的差為2a,求。的值.

(1)y=2x2+—x

⑶①尸(TO)或尸(2,0),②2-亞或亞

【分析】(1)根據(jù)“關(guān)聯(lián)拋物線”的定義可直接得出c2的解析式，再將該解析式化成頂點(diǎn)式，可得出G的

頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)根據(jù)“關(guān)聯(lián)拋物線”的定義可得C?的解析式，之后得到函數(shù)的頂點(diǎn)，過點(diǎn)尸作切，V軸于點(diǎn)H,連接,

進(jìn)而得到?！?EH,FH,于是根據(jù)斯2=。爐即可得到結(jié)論；

(3)①設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為冽，則可表達(dá)點(diǎn)/和點(diǎn)N的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可表達(dá)的長，列出

方程，可求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

②當(dāng)a-4V-2Va-2時(shí)得出。2的最大值和最小值，進(jìn)而列出方程，可求出。的值.

【詳解】(1)解：與夕軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為￡(0,-1),

/.4a-3=-l,解得a=L

2

的解析式為歹=2/+；尤_1；

(2)解：根據(jù)“關(guān)聯(lián)拋物線”的定義可得G的解析式為了=辦,+4辦+40-3,

*.*y=ax2+4ax+4tz-3=^z(x+2)2-3,

???。2的頂點(diǎn)少的坐標(biāo)為(-2,-3)

易得點(diǎn)E（0,4a-3）,

過點(diǎn)尸作尸段軸于點(diǎn)“，連接EF.

圖”

OE=3—4。，EH=4。，F(xiàn)H=2,

?：OE=EF,

/.EF2=OE-,即2。+（4a）2=（3-4a）2.

解得。=三，

24

...點(diǎn)E的坐標(biāo)為［。，-'}

（3）解：①設(shè)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為冽，

??,過點(diǎn)尸作X軸的垂線分別交拋物線G，。2于點(diǎn)M，N,

M^m,4am2+即2+4〃-3）,N^m,am2+4am+4a-3^,

MN=\^am+々加+4〃一3—（am+4am+4a-^=|3am-3Q",

*：MN=6a,

/.^am2-3aH=6a,解得切=—1或加=2,

???P（—1,O）或P（2,0）；

②vC2的解析式為"a（%+2）2-3,

?，?當(dāng)x=-2時(shí)，y=-3,

當(dāng)x=a-4時(shí)，y=a（a-4+2）2-3=a^a-2^2-3；

當(dāng)x=a-2時(shí)，y=a（a-2+2）-3=/—3.

根據(jù)題意可知，需要分三種情況討論：

I.當(dāng)。一4＜一2＜〃一2時(shí)，0＜。＜2,且當(dāng)0＜〃41時(shí)，函數(shù)的最大值為〃（〃一2）2一3；函數(shù)的最小值為-3.

2）—3—（—3）=2〃,解得a=2-或〃=2+V^（舍）或〃=0（舍）；

當(dāng)1＜。＜2時(shí)，函數(shù)的最大值為/_3,函數(shù)的最小值為-3.

a3-3-(-3)=2a,解得q=后或.=_痣(舍)或。=0(舍)；

II.當(dāng)-24°-440-2時(shí)，a>2,函數(shù)的最大值為/一3；函數(shù)的最小值為a(a-2)~-3,

a3—3—[a(a—2)—31=2a,解得a=5(舍)或a=0(舍)；

III.當(dāng)a-44a-24-2時(shí)，a<0,不符合題意，舍去.

綜上，。的值為2-血或血

【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)背景下新定義類問題，涉及等腰三角形以及兩點(diǎn)間距離公式，二次函數(shù)的圖象

及性質(zhì)，由“關(guān)聯(lián)拋物線”的定義得出G的解析式，掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

2.(2023?廣東廣州?一模)定義：在平面直角坐標(biāo)系中，直線了=+左稱為拋物線y=左的

2

伴隨直線，如直線y=-(X+1)-2為拋物線y=-(x+l)-2的伴隨直線.

(1)求拋物線了=2--4x+5的伴隨直線；

⑵無論。取何值，拋物線G]：了=爾-2(a-l)x+a-2總會(huì)經(jīng)過某定點(diǎn)，拋物線G2：y=m(x-l)(x-m-3)

的伴隨直線經(jīng)過該定點(diǎn)，求加的值；

⑶頂點(diǎn)在第一象限的拋物線y=-a(尤-廳+碗與它的伴隨直線交于點(diǎn)A,B(點(diǎn)A在點(diǎn)8的左側(cè))，與x軸

負(fù)半軸交于點(diǎn)C,當(dāng)NBZC=90。時(shí)，V軸上存在點(diǎn)尸，使得N4PB取得最大值，求此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【答案】⑴>=2x+l

(2)m=-4或7=-2

【分析】(1)先化為頂點(diǎn)式，進(jìn)而根據(jù)新定義，寫出伴隨直線解析式即可求解；

(2)根據(jù)拋物線解析式求得定點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線&的伴隨直線解析式即可求解；

(3)根據(jù)題意寫出線y=-a(尤-1丫+40的伴隨函數(shù)，聯(lián)立求出交點(diǎn)，在求出拋物線y=+4”與x

軸的交點(diǎn)，用勾股定理列出關(guān)于。的方程，求出。，先證明當(dāng)//尸3取得最大值，ANB尸的外接圓與了軸相

切，根據(jù)題意畫出圖形，即可求解.

【詳解】(1)角由：???y=2——4x+5=2(x—1『+3

???拋物線y=2/—4x+5的伴隨直線為y=2(x—l)+3=2x+l

(2)角牟：y=ax1-2(6z—l)x+?-2

=ax2-2ax+2x+a-2

=Q(+l)+2(x_1)

=tz(x-l)2+2(x-l)

當(dāng)x=l時(shí)，＞=o,與Q無關(guān),

即拋物線過定點(diǎn)(1,0),

又「歹=加

=m\x2—mx—4x+m+3

=m(^x2-mx-4x^+m(m+3)

22

(,m

-m\2H---+-mm+3)

I2,I2,

m(m^\/x

???G2的伴隨直線為:y=m\x—2--——mI2+—I+鞏加+3)

2

2

將點(diǎn)(1,0)代入得，比］

1-2-ymf2+yj+m例+3)=0

\?加w0,

2

.?.一/2+—|+(冽+3)=0

解得：加=一4或加二一2

(3)???拋物線的解析式為：y=-〃(x-1『+4。,

???其伴隨直線為V=-。(%-1)+4〃即歹=一女+5"，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(L4Q),

???拋物線頂點(diǎn)在第一象限,

?,Q>0,

y=-tz(x-l)2+4Q

聯(lián)立拋物線與伴隨直線的解析式為：

y=-ax+5a

玉—1x?—2

解得:

M=4〃y2=3a"

4(1,4〃),B(2,3a),

y=-6?(x-l)2+4a,令歹=0,

即0=-4(X-1)2+44,

解得：％=-1或x=3,

AC(-l,0),

2222

???"2=4+16/,AB=1+a,BC=9+9a,

ZCAB=90°,

AC2+AB2=BC2

即4+16/+1+/=9+9/,

解得：a=旦或a=一叵（舍去），

22

.?.當(dāng)/。3=90°時(shí)，a=—.

2

設(shè)A4P3的外接圓為。。，當(dāng)與了軸相切時(shí)，

在V軸上任意取一點(diǎn)尸，連接8尸交。。于一點(diǎn)G,則ZAGB=ZAFB+NF4G>ZAFB,

*.*ZAPS=ZAGB,

當(dāng)ZAPB取得最大值，AABP的外接圓與V軸相切，

此時(shí)/。8=90。，

.hy/2=k+b

"\Q=-k+b

k=V2

解得：

b=E

y=y[2x+y/2,

設(shè)經(jīng)過A4PB的外心0的直線解析式為>=J5x+s,

；/(1,2⑹,

k7

'3/7

**?AB中點(diǎn)坐標(biāo)E為—,--—

(24J

.772372

??------=--------FS，

42

解得：s=,

4

?,?直線石。為：y=sfix+立~,

4

???尸軸，則

二?設(shè)。h也t+——，

解得:"一孚+:或，邛+:（舍去），

口+?五一旦里三"正

24J42

?,"［浮-6

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運(yùn)用，切線的性質(zhì)，圓周角定理，三角形的外心的性質(zhì)，新定義運(yùn)算,

熟練掌握新定義以及二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

題型二新定義型二次函數(shù)之特殊形狀問題

典例精講

【例1】（新考法，拓視野）（23-24九年級(jí)上?浙江杭州?期末）定義：由兩條與x軸有相同的交點(diǎn)，并且開口

方向相同的拋物線所圍成的封閉曲線稱為“月牙線”.

【概念理解】

(1)拋物線乂=2(尤-l)(x-2)與拋物線％=/-3尤+2是否圍成"月牙線"？說明理由.

【嘗試應(yīng)用】

(2)拋物線％=g(x-l)2-2與拋物線了2=辦2+法+。，>；］組成一個(gè)如圖所示的“月牙線"，與X軸有相同

的交點(diǎn)M,N(點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè))，與了軸的交點(diǎn)分別為42.

①求Q：6：C的值.

②已知點(diǎn)P(/，M和點(diǎn)。(/,〃)在〃月牙線〃上，m>n,且冽-〃的值始終不大于2,求線段45長的取值范

圍.

【答案】(1)拋物線必=2(x-1)(工-2)與拋物線%=——3X+2圍成，，月牙線，，；(2)①a:6:c的值為1:(-2):(-3)；

②線段長的取值范圍是0<AB&j.

【分析】本題考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及新定義，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，理

解"月牙線”的概念.

(1)求出兩拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的開口方向相同，即可知拋物線M=2(x-l)(x-2)與拋物

線%=-—3x+2圍成"月牙線";

1c,\b=-2a

(2)①求出拋物線必=3(X-1)2-2與x軸交點(diǎn)為(3,0)和(-1,0),代入％=加9+&+。求得_，據(jù)

/IC—JCI

此求解即可；

②先求得兩拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)加-"的值始終不大于2,有<2,即

解得而5(0,-3?)；故/B=-g-(-3a)=3a-g,從而可得線段長的取值范圍是

3

0<AB<-.

2

【詳解】解:(1)拋物線乂=2(x-l)(x-2)與拋物線為=--3x+2圍成"月牙線"；理由如下:

在M=2(x-l)(x-2)中，令y=0得x=l或x=2,

二拋物線乂=2(x-l)(x-2)與x軸的交點(diǎn)為(1,0)和(2,0)；

在％=x?-3x+2中，令y=0得x=l或x=2,

拋物線%=尤？-3x+2與x軸交點(diǎn)為(1,0)和(2,0),

拋物線V,=2(x-l)(x-2)與拋物線%=--3x+2與x軸有相同的交點(diǎn),

又拋物線乂=2(x-l)(x-2)與拋物線外=--3x+2開口方向相同，

拋物線%=2(%-1)(%-2)與拋物線%=/-3尤+2圍成“月牙線"；

(2)①在必=3(x—l)2_2中，令y=0得尤=3或x=—l,

???拋物線必=g(x-Ip-2與x軸交點(diǎn)為(3,0)和(-1,0),

把(3,0)和(一1,0)代入為二加+樂+C得：

[9a+3b+c=0

\a-b+c=0'

a:b:c=a:(-2tz):(一3〃)=1:(-2):(-3)；

...a:6:c的值為1：(-2):(-3)；

22

(2)由①)知，y2=ax-2ax-3a=a(x-I)-4Q,

拋物線歹2—2ax-3a的頂點(diǎn)為(1,-4々)，

拋物線弘=-1)2-2的頂點(diǎn)為(1,-2),

/.-4。＜—2,

?二拋物線為=萬(x—I)?—2在拋物線y2—ax?—2ax—3a上方；

1

=x2

/.m~(o-2,n=ax^-2ax0-3a,

113

=

YYI_z?—(XQ-1)2_2_(4ZXQ_2ax°_3a)—(——+(2a―1)/+3a—-9

.?"-〃的值始終不大于2,

整理得：2/-34+140,

解得LwaWl,

2

,1,

..—＜aW1；

2

iQ

在必=5(x—l)2—2中，令尤=0得＞=_],

在%=a--2ax-3a中，令％=0得y=-3。，

/.5(0,—3a)；

33

AB=---(一3。)=3。——,

22

—<6Z<1;

2

33

0<3cl--W一,

22

3

「?線段AB長的取值范圍是0j.

通關(guān)指導(dǎo)

本題考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及新定義，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，理

解“月牙線”的概念.

【例2】二次函數(shù)＞=--2小的圖象交x軸于原點(diǎn)。及點(diǎn)A.

感知特例

（1）當(dāng)機(jī)=1時(shí)，如圖1,拋物線￡:歹=/-2工上的點(diǎn)8,O,C,A,。分別關(guān)于點(diǎn)A中心對(duì)稱的點(diǎn)為",

O',C,A',D，,如下表：

5(-1,3)0(0,0)C（『l）A(一,—)0(3,3)

9(5,-3)。'（4,0）C'(3,l)4(2。

①補(bǔ)全表格；

②在圖1中描出表中對(duì)稱后的點(diǎn)，再用平滑的曲線依次連接各點(diǎn)，得到的圖象記為少.

形成概念

我們發(fā)現(xiàn)形如（1）中的圖象〃上的點(diǎn)和拋物線Z上的點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A中心對(duì)稱，則稱〃是上的"孔像拋物線例

如，當(dāng)加=-2時(shí)，圖2中的拋物線//是拋物線上的“孔像拋物線

探究問題

（2）①當(dāng),"=-1時(shí)，若拋物線工與它的“孔像拋物線"少的函數(shù)值都隨著x的增大而減小，則x的取值范圍

為;

②在同一平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)初取不同值時(shí)，通過畫圖發(fā)現(xiàn)存在一條拋物線與二次函數(shù)y=f-2mx的所

有“孔像拋物線"V，都有唯一交點(diǎn)，這條拋物線的解析式可能是.（填"了=。尤2+bx+c"或"y=

或"y=ax2+c"或其中HcwO）；

③若二次函數(shù)y=f-2加x及它的"孔像拋物線"與直線＞=/有且只有三個(gè)交點(diǎn)，求機(jī)的值.

【答案】（1）①2,0；②見解析；（2）①-3VxV-l；@y=ax1-,③加=±1.

【分析】（1）①根據(jù)中心對(duì)稱的定義求解即可；②根據(jù)表格，描點(diǎn)，連線即可；

（2）①畫出草圖，利用數(shù)形結(jié)合思想即可求解；②結(jié)合（1）②的圖象以及（2）①的圖象即可回答；

③根據(jù)"孔像拋物線”的性質(zhì)求得圖象￡的頂點(diǎn)為P（相，-m），則圖象〃的頂點(diǎn)為P（3%,m2）,再根據(jù)題

意即可求解.

【詳解】（1）;點(diǎn)、B（-l,3）與點(diǎn)9（5,-3）關(guān)于點(diǎn)/中心對(duì)稱，

二點(diǎn)N的坐標(biāo)為（匚”，三坦），即42,0）,

故答案為：2,0；

②描點(diǎn)，連線，得到的圖象如圖所示：

（2）①當(dāng)加=-1時(shí)，拋物線上為y=x?+2x,對(duì)稱軸為x=-l,

它的“孔像拋物線”，的解析式為了=-（尤+24x+4）,對(duì)稱軸為》=一1=-3,

畫出草圖如圖所示:

.??拋物線L與它的"孔像拋物線"'的函數(shù)值都隨著x的增大而減小,

則x的取值范圍為：-34x4-1；

由圖象知，這條拋物線的解析式只能是了="2；

故答案為：y=ax2；

③￡：y=x2-2mx=（x-m）2-m2,設(shè)頂點(diǎn)為網(wǎng)小，-〃巧，過點(diǎn)p作尸河，x軸于點(diǎn)“，“孔像拋物線"〃的

頂點(diǎn)為P,過點(diǎn)尸‘作軸于點(diǎn)AT,

由題意可知△尸及〃之△PW2,

得“（3加，0）,所以「'（3%，m2）,

：拋物線L及"孔像拋物線"L'與直線y=m有且只有三個(gè)交點(diǎn),

-m2=m或加2-m,

解得〃2=±1或0,

當(dāng)機(jī)=0時(shí)，y=f與y=—-只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意，舍去,

.*.m=±1.

【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合并熟練掌握二次

函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

名校模擬

1.（2023?江西贛州?一模）定義：若直線夕=-1與開口向下的拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，則這兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離

叫做這條拋物線的"反碟長”.如圖，已知拋物線乙：了=-》2與直線＞=-1相交于p,Q.

%十弋A

ZI\4\

⑴拋物線口的“反碟長"尸。=.

⑵拋物線隨其頂點(diǎn)沿直線y=1x向上平移，得到拋物線4.

①當(dāng)拋物線4的頂點(diǎn)平移到點(diǎn)（6,3）,拋物線4的解析式是.拋物線七的"反碟長”是.

②若拋物線右的"反碟長"是一個(gè)偶數(shù)，則其頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)可能是.（填寫所有正確的選項(xiàng)）

A.15B.16C.24D.25

③當(dāng)拋物線4的頂點(diǎn)A和拋物線心與直線＞=-1的兩個(gè)交點(diǎn)3,C構(gòu)成一個(gè)等邊三角形時(shí)（點(diǎn)3在點(diǎn)C左

右），求點(diǎn)A的坐標(biāo).

【答案】⑴2

⑵①y=-（尤-6）,3；4；②/C；③（4,2）

【分析】（1）根據(jù)定義，令解方程即可求解；

（2）①根據(jù)拋物線的平移，即可求解；令＞=-1,解方程即可求解；

②由題意可設(shè)拋物線4的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2〃/）（加＞0）,則拋物線4的解析式為〉=-（尸2〃?）2+小令〉=-1,

得出拋物線4的"反碟長"為2而T，根據(jù)拋物線石的"反碟長”是一個(gè)偶數(shù)，而斤是整數(shù)，結(jié)合選項(xiàng)即可

求解；

③由②可知網(wǎng)-新節(jié)+2私T）,C（J加+1+2加,-1）,過點(diǎn)A作4D/BC于點(diǎn)D,則40=加+1,

BD=yjm+1,根據(jù)是等邊三角形，得出乙45。=60。，即/=。3,解方程即可求解.

【詳解】（1）解：令則X=1或X=-l,

.??尸0=1{1）=2.

（2）①由題意拋物線右的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（6,3）

.??由平移的性質(zhì)可得拋物線4的解析式為＞=-（》-6『+3,

4-（X-6）2+3=-1,

解得：》=8或》=4,

二拋物線七的"反碟長”為：8-4=4

②解：由題意可設(shè)拋物線4的頂點(diǎn)坐標(biāo)為＞0）,

則拋物線4的解析式為y=+

令一（x-2m『+m=-l,

解得：x=slm+1+2m^x=—slm+1+2m，

???拋物線4的"反碟長"為2標(biāo)T

v拋物線4的"反碟長”是一個(gè)偶數(shù)

?*.\jm+l是整數(shù)

結(jié)合選項(xiàng)可知：當(dāng)“2=15或24時(shí)符合題意，故/,C正確.

③解：：點(diǎn)A在直線y=上

丁?可設(shè)4（2加，加）（冽＞0）

由②可知B（—yjj/i+1+2m1j,C（J加+1+2m,—1^

BC=（J冽+1+2加）-1力?+1+=2yjm+l

過點(diǎn)A作力。13。于點(diǎn)D,

/\

Ai\L

則40=機(jī)+1,BD=4m+\

”BC是等邊三角形

ZABC=60°

//ADm+1fr

...tanN4BC--—,—4

BDyjm+1

解得：加=2或加=-1(不合題意，舍去)

.?.點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,2)

【點(diǎn)睛】本題考查了新定義，二次函數(shù)與直線交點(diǎn)問題，等邊三角形的性質(zhì)，正切的定義，熟練掌握二次

函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

題型三新定義型二次函數(shù)與其他函數(shù)的綜合問題

典例精講

【例1】(新考法，拓視野)(2024?湖南長沙?三模)對(duì)某一個(gè)函數(shù)給出如下定義：如果函數(shù)的自變量x與函

數(shù)值V滿足：當(dāng)(x-w)(x-〃)40時(shí)，(y-m)(y-〃)40為實(shí)數(shù),且以<〃)，我們稱這個(gè)函數(shù)在正上

是"民主函數(shù)比如：函數(shù)y=r+l在-1->2上是"民主函數(shù)理由：???由阿-(-l)](x-2)V0,得

-l<x<2.x=l-y,<2,解得一1V〉V2,A[j-(-l)](y-2)<0,.,.是"民主函數(shù)

⑴反比例函數(shù)y=9是2->3上的"民主函數(shù)"嗎？請(qǐng)判斷并說明理由：

⑵若一次函數(shù)y=h+b在〃上是“民主函數(shù)"，求此函數(shù)的解析式(可用含"”的代數(shù)式表示)；

⑶若拋物線V=+樂+c(a>0,。+6>0)在1-3上是“民主函數(shù)"，且在1VXV3上的最小值為4。，設(shè)拋物

線與直線y=3交于48點(diǎn)，與V軸相交于C點(diǎn).若“3C的內(nèi)心為G,外心為試求MG的長.

【答案】(1)反比例函數(shù)y=@是2-3上的"民主函數(shù)"，理由見解析

x

{2)y=x^y=-x+m+n

【分析】

(1)根據(jù)"民主函數(shù)"的定義進(jìn)行判斷即可；

(2)根據(jù)"民主函數(shù)"的定義以及一次函數(shù)的增減性，分兩種情況進(jìn)行求解即可；

(3)由。>0,a+b>0,得-貝U拋物線y=a(x+2>+c-2-在1VXV3上是遞增的，可知x=l時(shí),

2a2"2a4a

>=1,且最小值為4a,得出拋物線的解析式，從而得出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，設(shè)M(OJ),根據(jù)M4=MC,

可得M的坐標(biāo)，再利用面積法求出點(diǎn)G的坐標(biāo)，從而解決問題.

【詳解】(1)解：當(dāng)(x-2乂尤-3)V0時(shí)，則：2<x<3,

'：y=~,在第一象限內(nèi)y隨x的增大而減小，

時(shí)，2"=之3,

X

：.(y-2)(y-3)<0,

.??反比例函數(shù)y=°是2f3上的“民主函數(shù)"；

X

(2)由題意，得：當(dāng)mKxW及時(shí)，m<y<n,

**y=kx+b,

當(dāng)月>o時(shí)，y隨著x的增大而增大,

，當(dāng)x=m時(shí)，y=m,當(dāng)％="時(shí)，y=n,

fmk+b=m[k=\

,，解得：,n，

\nk+b=nb=0

即：片工；

當(dāng)左<0時(shí)，V隨著％的增大而減小,

.??當(dāng)％=加時(shí)，y=n,當(dāng)％=〃時(shí)，y=mf

fmk+b=nk=-\

，解得:

[nk+b=mb=m+n

gp.y=-x+m+n.

綜上：y=x^y=-x+m+n.

(3)?..拋物線的頂點(diǎn)式為y=a(x+t；+c-g,頂點(diǎn)坐標(biāo)為b2

4a

?/tz>0,a+b>0,

b1

2a2

???拋物線尸a(x+2)2+c上在W3上是遞增的,

2a4a

.,.當(dāng)x=l時(shí)，取最小值，

1

Cl——

4

a+b+c=1=4a

9a+3b+c=3,解得’b=U,

3

c=—

4

ia

???拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y干七,

???拋物線與直線y=3相交于A、3兩點(diǎn)，設(shè)”(貓,3),3(乙,3),

i3

假設(shè)A點(diǎn)在5點(diǎn)的左側(cè)，即7一+3,

44

%2=9,解得，xA=-3f/=3,

二.在A248c中，4（—3,3）,5（3,3）,cf0,—

AB=6,AC=7

???外心〃在線段43的垂直平分線上，設(shè)〃(0,。，則M4=MC,

二.J(-3)2+?_3)2=52+,，解得,/,

在一BC中，根據(jù)內(nèi)心的性質(zhì)，設(shè)內(nèi)心G到各邊距離為d,得S，/BC=；X6X「一：]=；x(/5+BC+C4)x",

d=19

???/5C是等腰三角形，V軸為//CB的角平分線,

內(nèi)心G在V軸上，

「?凡=乃-1=2,

.?G（0,2）,

31c15

??MG=y—y=-----2=—

MG88

通關(guān)指導(dǎo)

本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形外心和內(nèi)

心的性質(zhì)等知識(shí)，理解新定義，得出拋物線的解析式從而得出“8C的頂點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

【例2】(2023?江蘇南通?一模)定義：若函數(shù)圖象上存在點(diǎn)M(W,"J,n2),且滿足%一4=，

則稱:為該函數(shù)的"域差值".例如：函數(shù)＞=2x+3,當(dāng)x="‘時(shí)，"]=2/"+3；當(dāng)x=m+l時(shí),

n2=2m+5,n2-nx=2則函數(shù)y=2x+3的"域差值”為2

4

⑴點(diǎn)M(〃?，々)，④在y=—的圖象上，"域差值=求加的值；

X

⑵已知函數(shù)y=-2x2(x>0),求證該函數(shù)的“域差值"/<-2；

⑶點(diǎn)A(a,b)為函數(shù)y=-2/圖象上的一點(diǎn)，將函數(shù)y=-2x2(x>a)的圖象記為M,將函數(shù)了=-2x2(xWa)的

圖象沿直線V翻折后的圖象記為%當(dāng)%,%兩部分組成的圖象上所有的點(diǎn)都滿足"域差值時(shí)，求a

的取值范圍.

【答案】⑴-苴土1■或在二

22

⑵見解析

【分析】(1)由題意得到多,%的值，再由列方程解答，即可；

(2)設(shè)函數(shù)y=-2，(％>0)圖象上存在點(diǎn)〃■(肛片),M,(m+1,巧)，且滿足々-%=%,m>0,可得

22

t=nx-n2=-2(m+l)-(-2m)=-4m-2,再利用不等式的性質(zhì)即可得出一4加一2<-2,即￡<一2；

3

(3)當(dāng)％兩部分組成的圖象上所有的點(diǎn)滿足“域差值〃，時(shí)，則-4加-2V1,可得加2-w，對(duì)于函數(shù)

了=-2尤2(尤Va)的圖象沿直線y=6翻折后的圖象即為名：y=2x2-4a2(x<a),利用對(duì)稱性可得即

可解答.

4

【詳解】(1)解：???點(diǎn)M(加，力)，AT(冽+1,%)在丁=—的圖象上，

X

44

%=—,n=----

m2m+1

???“域差值"t=-4,

：.%—幾1=_4,

44

即-------二—4,

m+1m

整理,得：m2+m-1=0,

解得：叫=-勺'%=*

經(jīng)檢驗(yàn)'號(hào)'%=與均是方程占4

二=-4的解,

m

"的值為-TH；

(2)證明：設(shè)函數(shù)y=-2，(％>0)圖象上存在點(diǎn)〃(加，％),MXm+1,n?),且滿足〃2-々加>0,

2

當(dāng)％=初時(shí)，nx=-2m,

當(dāng)x=冽+1時(shí)，n2=-2(m+1>,

t—及之一=一久m+1)2—(—2m——4加一2,

,/m>0,

/.-4m<0,

'.—4m—2<—2,

即，<-2,

故該函數(shù)的“域差值"t<-2；

解：???點(diǎn)4（〃，6）為函數(shù)>=-2/圖象上的一點(diǎn)，

b——24,

由（2）得：t=—4m—2,

當(dāng)多兩部分組成的圖象上所有的點(diǎn)都滿足“域差值"時(shí)，

則一4加-2<1,

3

解得：m>--,

4

???如圖，當(dāng)。2-；時(shí)，函數(shù)y=-2/Q2Q）的圖象上所有的點(diǎn)都滿足，“域差值"t<\.

22

對(duì)于函數(shù)y=-2x（x<Q）的圖象沿直線>=6翻折后的圖象記為W2：y=2x-4Q2(X<a),

3

可得：

4

名校模擬

1.(2023?江蘇南通?一模)定義：若函數(shù)的圖象上至少存在一個(gè)點(diǎn)，該點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)落在函數(shù)&的

圖象上，則稱函數(shù)G1,G為關(guān)聯(lián)函數(shù)，這兩個(gè)點(diǎn)稱為函數(shù)G1,&的一對(duì)關(guān)聯(lián)點(diǎn).例如，函數(shù)y=2x與函數(shù)

y=x-3為關(guān)聯(lián)函數(shù)，點(diǎn)(1,2)和點(diǎn)(1,-2)是這兩個(gè)函數(shù)的一對(duì)關(guān)聯(lián)點(diǎn).

3

⑴判斷函數(shù)y=x+2與函數(shù)>=一-是否為關(guān)聯(lián)函數(shù)？若是，請(qǐng)直接寫出一對(duì)關(guān)聯(lián)點(diǎn)；若不是，請(qǐng)簡要說明

x

理由；

⑵若對(duì)于任意實(shí)數(shù)左，函數(shù)y=2x+b與夕=丘+左+5始終為關(guān)聯(lián)函數(shù)，求6的值；

⑶若函數(shù)了=》2-始+1與函數(shù)了=2》-!(加，"為常數(shù))為關(guān)聯(lián)函數(shù)，且只存在一對(duì)關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求2/+〃2一6"

的取值范圍.

【答案】⑴函數(shù)y=x+2與函數(shù)>=是關(guān)聯(lián)函數(shù)，(1,3)和(1,-3)或(-3,-1)和是這兩個(gè)函數(shù)的一對(duì)

關(guān)聯(lián)點(diǎn)

⑵6=-3

⑶0<2m2+n2-6m<8

【分析】(1)根據(jù)新定義，設(shè)(。/)和(兄-?是這兩個(gè)函數(shù)的一對(duì)關(guān)聯(lián)點(diǎn)，分別代入解析式，列出方程組，

解方程組即可求解.

(2)跟將新定義得出2x+6+foc+左+5=0,根據(jù)與后值無關(guān)得出x=T,即可求解；

2

(3)設(shè)9和"是這對(duì)函數(shù)的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，只存在一對(duì)關(guān)聯(lián)點(diǎn)，根據(jù)題意得出力-加.+1+為-'=o,則

關(guān)于。的方程，/+(2-加)°+1_；=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，得出〃2=+4"，代入代數(shù)式，根據(jù)二次

函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

3

【詳解】(1)解：函數(shù)歹=x+2與函數(shù)V=—―是關(guān)聯(lián)函數(shù)

x

依題意，設(shè)(。力)和(凡-h是歹=x+2與函數(shù)歹=-巳這兩個(gè)函數(shù)的一對(duì)關(guān)聯(lián)點(diǎn),

x

\b=a+2

。-3ci—\

解得:6=-1或

b=3

/.(1,3)和。,-3)或(-3,-1)和(-3,1)是這兩個(gè)函數(shù)的一對(duì)關(guān)聯(lián)點(diǎn)；

(2)解：?.?對(duì)于任意實(shí)數(shù)上，函數(shù)y=2x+6與>=辰+左+5始終為關(guān)聯(lián)函數(shù),

2x+b=—(kx+左+5),

2x+b+kx+k+5=0,

艮fl左(x+1)+2x+6+5=0,

x=-\,2x+b+5=0,

.\Z）=-2x（-l）-5=-3；

2

（3）解：y=/-s+1與函數(shù)y=2x-?（〃?，"為常數(shù)）為關(guān)聯(lián)函數(shù)，且只存在一對(duì)關(guān)聯(lián)點(diǎn)，

設(shè)（a,6）和（0,-6）是這對(duì)函數(shù)的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，

及2

??/—ma+1+2（7-------0，

4

2

即關(guān)于。的方程，-〃7）a+l_'=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

=(2-冽『-4115

A=〃-4QC

=4-4m+m2-4+H2=m2-4m+n2=0

n2=-m2+4m>0,

2m2+n2-6m=2m2-m2+4m-6m=m2-2m=（m-l）2-1,-1<m-1<3,

VO<（M7-1）2<9,

**?—1<2m2+n2—6m<8.

【點(diǎn)睛】本題考查了新定義，反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)問題，軸對(duì)稱的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌

握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.（2024?浙江湖州?一模）定義：對(duì)于y關(guān)于x的函數(shù)，函數(shù)在占4x4%（占<%）范圍內(nèi)的最大值，記作

如函數(shù)V=2x,在-14尤43范圍內(nèi)，該函數(shù)的最大值是6,即，=6.

請(qǐng)根據(jù)以上信息，完成以下問題：

已知函數(shù)j=（（z-l）x2-4x+tz2-l（°為常數(shù)）

⑴若。=2.

①直接寫出該函數(shù)的表達(dá)式，并求的值；

②已知M=3,求p的值.

⑵若該函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0,0）,且M[-3用=左，求左的值.

【答案】⑴①M(fèi)[l,4]=3；②p=0

⑵上的值是12,或2

【分析】本題考查了二次函數(shù)與正比例函數(shù)的圖形與性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸，a的正負(fù)判斷出二次函

數(shù)開口方向，找到最大值是解答本題的關(guān)鍵.

(1)①先求出二次函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱軸，開口方向即可找到范圍內(nèi)的最大值，進(jìn)而得出結(jié)果;

②根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱軸，開口方向即可知當(dāng)x時(shí)，y=-；<3,即可求出P值；

(2)根據(jù)函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,0),得到。=±1,分兩種情況分別求解即可.

【詳解】(1)解:①：a=2,

y=x2-4x+3.

???該函數(shù)的圖象對(duì)稱軸為直線x=2,且開口向上，

.,.在1VXW4范圍內(nèi)，當(dāng)x=4時(shí)，V有最大值，

當(dāng)x=4時(shí)，y=3,即M[l,4]=3.

?-.-Mpg=3,該函數(shù)的圖象對(duì)稱軸為直線x=2,且開口向上，

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又?.?當(dāng)時(shí)，y=_:<3,

24

02-4夕+3=3,解得Pi=0,22=4.

5

,:p<3,

.”二0；

(