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文檔簡介
專題07二元一次方程組
【專題目錄】
技巧1:二元一次方程組的五種特殊解法
技巧2:二元一次方程組中六種類型數(shù)學思想的應用
技巧3:二元一次方程(組)的解的五種常見應用
【題型】一、二元一次方程組的有關概念
【題型】二、用代入法解二元一次方程組
【題型】三、用加減法解二元一次方程組
【題型】四、用整體消元法解二元一次方程組
【題型】五、同解方程組
【題型】六、列二元一次方程組
【考綱要求】
1、了解二元一次方程的概念,能把二元一次方程化為用一個未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個未知數(shù)的形式,能
舉例說明二元一次方程及其中的已知數(shù)和未知數(shù);
2、理解二元一次方程組和它的解等概念,會檢驗一對數(shù)值是不是某個二元一次方程組的解。
【考點總結】一、二元一次方程組
(1)概念:具有相同未知數(shù)的兩個二元一次方程合在一起,就組成了一個二元一次方程組.
b\yci,,,.]
(2)一般形式:,(防,〃2,b\,Z)2均不為零).
定義
(3)二元一次方程組的解
元
一般地,二元一次方程組的兩個方程的公共解,叫做二元一次方程組的解.
代入法解二元一次方程組的一般步驟:
次
a.從方程組中任選一個方程,將方程中的一個未知數(shù)用含有另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示出
方
來;
程解法
b.將這個代數(shù)式代入另一個方程,消去一個未知數(shù),得到含有一個未知數(shù)的一元一次方程;
組
c.解這個一元一次方程,求出一個未知數(shù)的值;
d.將所求得的這個未知數(shù)的值代入原方程組的任一方程中,求出另一個未知數(shù)的值,從而得到
方程組的解.
加減法解二元一次方程組的一般步驟:
。方程組的兩個方程中,如果同一個未知數(shù)的系數(shù)不互為相反數(shù)又不相等,就用適當?shù)臄?shù)去乘
方程的兩邊,使它們中同一個未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù);
b.把兩個方程的兩邊分別相減或相加,消去一個未知數(shù),得到一個一元一次方程;
C.解這個一元一次方程;
d.將求出的未知數(shù)的值代入原方程組的任意一個方程中,求出另一個未知數(shù),從而得到方程組
的解.
解應用題的步驟:①審清題意;②找等量關系;③設未知數(shù);④列方程;⑤解方程;⑥驗根;⑦作答.
工作(或工程)問題:工作量=工作效率X工作時間
利息問題:禾力息=本金x利J率x期數(shù);本息和=本金+利息
常見行程問題:路程=速度x時間;其中湘遇問題:s甲+sjs總;
、-n-i
運用追及問題:(同地異時)前者走的路程=追者走的路程;(異地同時)前者走的路程+兩地間的距離
題型=追者走的路程
利潤
利潤問題:利潤=賣價-進價;利潤率=三瞿X100%.
進價
數(shù)字問題:兩位數(shù)=10x十位數(shù)字+個位數(shù)字;三位數(shù)=100x百位數(shù)字+10X十位數(shù)字+個位數(shù)字
【注意】
1.解二元一次方程組的步驟
(1)代入消元法
①變:將其一個方程化為y=ax+b或者為x=ay+b的形式
②代:將產ax+b或者為x=ay+b代入另一個方程
③解:解消元后的一元一次方程
④求:將求得的未知數(shù)值代入尸QX+6或%=即+6,求另一個未知數(shù)的值
⑤答:寫出答案
(2)加減消元法
①化:將原方程組化成有一個未知數(shù)的系數(shù)相等(互為相反數(shù))的形式,
②加減:將變形后的方程組通過加減消去一個未知數(shù)
③解:解消元后的一元一次方程
④求:將求得的知數(shù)的值代入方程組中任意一個方程求另一個未知數(shù)的值
2.解二元一次方程組的方法選擇
(1)當方程組中某一個未知數(shù)的系數(shù)是1或者-1時,選用代入消元法;
(2)當方程組中某一個方程的常數(shù)項為0時,選用代入消元法;
(3)方程組中同一個知數(shù)的數(shù)相同或互為相反數(shù)時,選用加減消無法
(4)當兩個方程中同一個未知數(shù)的系數(shù)成整數(shù)倍關系時,選用加減消元法
【技巧歸納】
技巧1:二元一次方程組的五種特殊解法
【類型】一、引入?yún)?shù)法解二元一次方程組
1.用代入法解方程組:
2=o,①
.56
3(X—y)—4(3y+x)=85.@
【類型】二、特殊消元法解二元一次方程組
題型1:方程組中兩未知數(shù)系數(shù)之差的絕對值相等
'2015x+2016y=2017,①
2.解方程組:
2016x+2017y=2018.@
題型2:方程組中兩未知數(shù)系數(shù)之和的絕對值相等
13x+14y=40,①
3.解方程組:
14x+13y=41.@
【類型】三、利用換元法解二元一次方程組
-3(x+y)+4(x—y)=20,
4.解方程組%+yx—丫―。
,42
【類型】四、同解交換法解二元一次方程組
5.已知關于x,y的方程組?八一。丫一%與方程組.a、by—16,的解相同,求佰一功2。18的值.
3x—y=514x—7y=l
【類型】五、運用主元法解二元一次方程組
6.已知卜一3丫—3z=0,(X,丫,%均不為°),求國土選的值.
X—3y—z=0x2+y2-z2
技巧2:二元一次方程組中六種類型數(shù)學思想的應用
【類型】一、整體思想
1.先閱讀,然后解方程組.
X—y—1=0,①,
解方程組?^時,
4(X—y)—y=5②
由①,得x—y=l,③
然后再將③代入②,得4x1—y=5,解得y=-1,
1一0
從而進一步求得x=0.所以方程組的解為?‘這種方法被稱為“整體代入法”.請用這樣的方法解下面
的方程組:
2x—3y—2=0,
?2x—”+5+2y=9.
2.若x+2y+3z=10,4x+3y+2z=15,求x+y+z的值.
【類型】二、化繁為簡思想
3.閱讀下面解方程組的方法,然后解決問題:
解方程組J9x+18y—17二①時,我們如果直接考慮消元,會很繁瑣,而采用下面的解法則是輕而易舉
117x+16y=15②
的.
解:①一②,得2x+2y=2,所以x+y=l.③
③*16,得16x+16y=16,④
②一④,得x=—1,將x=-1代入③,得y=2.
所以原方程組的解是,
ly=2.
2018x+2017y=2016,
請用上述方法解方程組
2O6x+2O5y=2O4.
【類型】三、方程思想
4.已知(5x—2y—3y+|2x—3y+1|=0,求x+y的值.
5.若3x2m+5n+9+4y4m-2廣7=2是二元一次方程,求⑴+1尸+2018的值.
【類型】四、換元思想
f口=6,
6.解方程組.23
4(x+y)—5(x—y)=2.
【類型】五、數(shù)形結合思想
7.如圖“母親節(jié)那天,很多同學給媽媽準備了鮮花和禮盒,從圖中信息可知,買5束鮮花和5個禮盒共需
多少元?
共143元共121元
【類型】六、分類組合思想
8.若方程組,Xy-5>與.3x+y—9,有公共解,求a,b的值.
ax+by=-113ax—4by=18
技巧3:二元一次方程(組)的解的五種常見應用
【類型】一、已知方程(組)的解求字母的值
1.若關于x,y的方程組,廠'的解是?一'則|m—川的值為()
x+my=nly=l,
A.1B.3C.5D.2
x2x―4
2.已知,'和?'是關于x,y的二元一次方程2ax—by=2的兩組解,求a,b的值.
y=3ly=2
【類型】二、已知二元一次方程組與二元一次方程同解求字母的值
3.已知關于x,y的方程組2y—3m,的解也是方程?x+2y=17的解,求m的值.
X—y=9m
【類型】三、已知二元一次方程組的解滿足某一關系求字母的值
nixInv60,
4.已知m,n互為相反數(shù),關于x,y的方程組?的解也互為相反數(shù),求m,n的值.
3x-y=8
【類型】四、已知兩個二元一次方程組共解求字母的值
2xI~5v―63x—5v16
5.關于x,y的方程組?廠'與,)有相同的解,求(2a+b)2<?8的值.
ax—by=-4|bx+ay=-8
【類型】五、已知二元一次方程組的誤解求字母的值
_7
x-,
2ax丫―5,時,由于粗心,甲看錯了方程組中的得解為2
6.在解方程組乙看錯了方程組中的
|2x-by=13
y=-2;
x=3,
b,得解為
ly=-7.
⑴甲把a錯看成了什么?乙把b錯看成了什么?
(2)求出原方程組的正解.
【題型講解】
【題型】一、二元一次方程組的有關概念
3
a=2—ax+b7y=5
是二元一次方程組《
例1、若71的解,則x+2y的算術平方根為(
b=l
ax-by=2
A.3B.3,—3C.V3D.G,-Vs
【題型】二.用代入法解二元一次方程組
x+y=2
例2、二元一次方程組⑵-…的解是()
x=0x-2x=3x=1
A.〈B.〈C.<D.〈
J=Ob=-ib=1
【題型】三、用加減法解二元一次方程組
x+加=4
例3、由方程組《可得出x與y之間的關系是(
y-3=m
A.x+y=1B.x-\-y=-1C.x+y=7D.x-\-y=-7
【題型】四、用整體消元法解二元一次方程組
2m-3n=7m=22(x+l)-3(j-2)=7
例4、若方程組<cu1的解是v則方程組V的解是()
3m+5w=In=-l3(x+
X=1x=lx=3x=3
A.4B.{=C<D.<3
b-ip=lb=-
【題型】五、同解方程組
2x-3y=4[3x-5v=6
例5、已知關于x,y的方程組\「',與]'“,有相同的解,則。,6的值為()
ax+by=2[bx+町=-4
a——2a-\a-\a——I
A.<c.1D.1
〔力=l伍=-2伍=2b=-2
【題型】六、列二元一次方程組
例6、《孫子算經》是中國古代重要的數(shù)學著作,紙書大約在一千五百年前,其中一道題,原文是:“今三人
共車,兩車空;二人共車,九人步.問人與車各幾何?”意思是:現(xiàn)有若干人和車,若每輛車乘坐3人,則
空余兩輛車:若每輛車乘坐2人,則有9人步行,問人與車各多少?設有x人,y輛車,可列方程組為()
xXXX
T=V+2-=y-2T=V+2-=y-2
3333
A.’B.<C.《D.《
x八x-9x-9x八
-+9=v△-y--y「9=y
12[2[2[2
二元一次方程組(達標訓練)
一、單選題
1.(2022?廣東?深圳外國語學校模擬預測)“綠水青山就是金山銀山”,某地準備購買一些松樹和柏樹綠化荒
山,已知購買2棵松樹和3棵柏樹需要120元,購買2棵松樹比1棵柏樹多20元,設每棵松樹x元,每棵
柏樹y元,則列出的方程組正確的是()
A.1'2x+3y=120]'2x+3〉=120][2x+3尸120D.1[3x+2)=120
2x-y=20B.|2x+y=20']
]2y—x=20、x+2y=2Q
方程組12x+y=8的一解匙)
2.(2022?天津河北?一模)st
A/x=2x=4cjx=\D.(x=2
1B.
J=1J=2J=2>=4
方程組12x+y=-1的解是()?
3.(2022?天津紅橋?三模)2y+to
A.1x=—1cjx=-2D.1x=2
IB
J=-2J=3J=-3
4.(2022?上海楊浦?二模)下列方程中,二元一次方程的是()
11
A.Jcy=lB.x2-1^0C.x-y=lD.x+—=l
y
\2ax+by=3\x=\
5.(2022?山東威海?一模)已知關于x,了的二元一次方程組?,的解為一則。-26的值是
[ax-by=11了=T
()
A.-2B.2C.3D.-3
二、填空題
6.(2022?湖南婁底?二模)我國明代數(shù)學讀本《算法統(tǒng)宗》一書中有這樣道題:一支竿子一條索,索比竿子
長一托,對折索子來量竿,卻比竿子短一托.如果一托為5尺,那么索長與竿子長之和為_____尺.
fx+2y—6
7.(2022?江蘇無錫?二模)已知方程組〈/,貝”+了的值為
[2x+y=21---------
三、解答題
fx-y-1=00
8.(2022?廣東?廣州市第一二三中學模擬預測)閱讀材料:善于思考的小軍在解方程組.、好時,
采用了一種“整體代入”的解法:
解:由①得x-y=l③
將③代入②得:4x1-y=5,即y=-1
把歹=-1代入③得x=0,
(x=0
...方程組的解為,
h=-l
2x—3y=2
請你模仿小軍的“整體代入”法解方程組,解方程、.
l2^x-3Ly+5+2尸9n
二元一次方程組(提升測評)
—>單選題
1.(2022?廣東?江門市新會東方紅中學模擬預測)若最簡二次根式3"下訪育和百二T而能合并,則。、b
的值分別是()
A.2和1B.1和2C.2和2D.1和1
2.(2022?福建?平潭翰英中學一模)已知[二是二元一次方程組[墨的解,貝U4機+3〃的立方根
[y=2(nx+my=1
為()
A.±1B.V2C.土蚯D.-1
(2x—3y=3fx=3
3.(2022??二模)我們知道二元一次方程組,/〈的解是[.現(xiàn)給出另一個二元一次方程組
[3x—4y=5['=1
2(2x+l)-3(3y-1)=3,
3(2x+l)-4(3yT)=5'匕的解是()
x=-lx=-lx=l(x=l
A.〈2B.《2C.\2D.\2
v=—歹=一二y=—y=——
I3I3
4.(2022?福建寧德?二模)《九章算術》是人類科學史上應用數(shù)學的“算經之首”,書中記載:今有二人共車
九人步;三人共車,二車空.問:人與車各幾何?譯文:若每輛車都坐2人,則9需要步行:若每輛車都
坐3人,則兩輛車是空的,問:車與人各多少?設有1輛車,y人,根據(jù)題意,列方程組是()
[y=2x+9fy=2x+9
A?a°B.
[y=3x-2[y=3(x-2)
fy=2x-9fy=2x-9
C[y=3x-2
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