北京市某中學(xué)2024~2025學(xué)年上學(xué)期九年級期中考試數(shù)學(xué)試卷（含答案解析）

北京市第一六一中學(xué)2024~2025學(xué)年上學(xué)期九年級期中考試數(shù)

學(xué)試卷

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.拋物線y=2。-1）2+5的頂點坐標(biāo)為（）

A.（1,5）B.（0,5）C.（1,8）D.（0,8）

2.如果2機(jī)=3〃（”*0）,那么下列比例式中正確的是

m3m3m2m2

A.—=-B.——=—C.—=—D.——=—

n22nn33n

3.將拋物線y=-3/平移，得到拋物線y=-3（x+2）Jl,下列平移正確的是（）

A.先向左平移2個單位,再向上平移1個單位

B.先向左平移2個單位,再向下平移1個單位

C.先向右平移2個單位,再向上平移1個單位

D.先向右平移2個單位,再向下平移1個單位

4.如圖，點D、E分別在△ABC的AB、AC邊上，下列條件中：①NADE=NC；②-^=鏟

ABBC

ADAJ7

AC布?使4ADE與ZXACB一定相似的是（）

A.①②B.②③C.①③D.①②③

5.已知關(guān)于x的方程M/-3X+4=0,如果加＜0,那么此方程的根的情況是（）

A.有兩個不相等的實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根

C.無實數(shù)根D.不能確定

6.如圖，A4BC的頂點都在方格紙的格點上，那么sin/的值為（）

試卷第1頁，共6頁

A

7.如圖，在口48CD中，點￡在邊AD上，ZC與交于點。，AE:ED=l:2,則A/OE與

8.已知二次函數(shù)y=X?-2x（-1VxV/）,當(dāng)x=-l時，函數(shù)取得最大值；當(dāng)x=l時，函數(shù)

取得最小值，貝w的取值范圍是（）

A.B.-1<Z<3C.t>\D.1<Z<3

二、填空題

9.滿足tanc=正的銳角。的度數(shù)是.

3

10.如圖，在/4BC中，點分別是邊/8,/C上的點，DEHBC,AD=\,BD=AE=2,則

EC的長為.

11.將二次函數(shù)y=/+2x-5用配方法化成y=a（x-/z）2+左的形式為>=.

12.點/（0,%）,8（5,力）在二次函數(shù)y=，-4x+c的圖象上，必與％的大小關(guān)系是.

13.南宋數(shù)學(xué)家楊輝在他的著作《楊輝算法》中提出這樣一個數(shù)學(xué)問題：“直田積八百六十

四步，只云長闊共六十步，問長多闊幾何”.意思是：一塊矩形地的面積為864平方步，已

知長與寬的和為60步，問長比寬多幾步？設(shè)矩形的長為無步，則可列出方程為.

試卷第2頁，共6頁

14.如圖，矩形紙片/BCD中，AB>AD,E,尸分別是48,DC的中點，將矩形/BCD沿EF

所在直線對折，若得到的兩個小矩形都和矩形相似，則用等式表示N8與ND的數(shù)量

關(guān)系為

A

D

15.函數(shù)>=2/一4x+〃?滿足以下條件：當(dāng)2<x<3時，它的圖象位于x軸的下方；當(dāng)

-2<x<-1時，它的圖象位于x軸的上方，則m的值為.

16.如圖，已知是等邊三角形，A8=3,點。在NC邊上，AD=2CD,點E在3C的

延長線上，連接DE,將線段DE繞。逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段。凡連接/廠,若AF〃BE，

則AF的長.

三、解答題

17.計算：sin600-cos30°+tan45°.

18.解方程：

(1)2/=8；

⑵，-61=0.

19.若。是關(guān)于x的一元二次方程2x?=3x-l的根，求代數(shù)式(2aT)2+a(2a-5)的值.

20.如圖，與8C交于。點，ZX=ZC,AO=4,CO=2,CD=3,求N3的長.

21.已知關(guān)于x的一元二次方程—+(4-加卜+3-加=0

試卷第3頁，共6頁

(1)求證：該方程總有兩個實數(shù)根；

(2)若該方程恰有一個實數(shù)根為非負(fù)數(shù)，求加的取值范圍.

22.如圖，在等腰V/5C中，AC=AB,NC4B=90°,E是上一點，將E點繞A點逆

時針旋轉(zhuǎn)90。到連接DE、CD.

(1)求證：△48E之△/CD；

⑵若NCDE=20。，求NCED的度數(shù).

23.已知二次函數(shù)y=-/-2x+c,它的圖象過點/(2,-5),并且與x軸負(fù)半軸交于點民

(1)求二次函數(shù)的解析式和點B坐標(biāo)；

⑵當(dāng)-2<x<2時，結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出函數(shù)值y的取值范圍；

⑶若直線了=h+6經(jīng)過N,3兩點，直接寫出關(guān)于x的不等式后+6>-d-2x+c的解集.

24.如圖，在菱形48CD中，對角線NC與8。相交于點。，延長C8到點E,使BE=BC,

連接

(1)求證：四邊形/E5D是平行四邊形;

試卷第4頁，共6頁

(2)連接?！?若tan4E3=g,AC=2,求OE的長.

25.圓圓發(fā)現(xiàn)某乒乓球發(fā)球器有“直發(fā)式”與“間發(fā)式”兩種模式，在“直發(fā)式”模式下，球從發(fā)

球器出口到第一次接觸臺面的運(yùn)動軌跡近似為一條拋物線；在“間發(fā)式”模式下，球從發(fā)球器

出口到第一次接觸臺面的運(yùn)動軌跡近似為一條直線，球第一次接觸臺面到第二次接觸臺面的

運(yùn)動軌跡近似為一條拋物線.如圖1和圖2分別建立平面直角坐標(biāo)系xOy.

O'!'x

圖1直發(fā)式圖2間發(fā)式

通過測量得到球距離臺面高度y(單位：dm)與球距離發(fā)球器出口的水平距離x(單位：dm)

的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示：

表1直發(fā)式

x(dm)02468101620

y(dm)3.843.9643.96m3.642.561.44

表2間發(fā)式

x(dm)024681012141618

y(dm)3.36n1.680.8401.402.4033.203

根據(jù)以上信息，回答問題：

(1)表格中切=,"=:

(2)求“直發(fā)式”模式下，球第一次接觸臺面前的運(yùn)動軌跡的解析式;

(3)若“直發(fā)式”模式下球第一次接觸臺面時距離出球點的水平距離為4間發(fā)式”模式下球第

二次接觸臺面時距離出球點的水平距離為人,請你比較4和出的大小，并說明理由.

26.在平面直角坐標(biāo)系式切中，點Z(T,"z),點8(3,〃)在拋物線〉=62+歷；+?。＞0)

上.設(shè)拋物線的對稱軸為直線尤=:.

(1)當(dāng)1=2時,

①直接寫出6與。滿足的等量關(guān)系；

②比較正,〃的大小，并說明理由；

試卷第5頁，共6頁

⑵已知點C(x°,0)在該拋物線上，若對于3<%<4,都有用>?>",求才的取值范圍.

27.如圖，在VN3C中，AB=AC,/A4c=120。.。是48邊上一點，DE//C交C4的

延長線于點￡.

(1)用等式表示/。與ZE的數(shù)量關(guān)系，并證明；

(2)連接8E,延長BE至尸，使EF=BE.連接DC,CF,DF.

①依題意補(bǔ)全圖形；

②判斷AOCF的形狀，并證明.

28.在平面直角坐標(biāo)系xS中，對于點A,點8和直線/,點A關(guān)于/的對稱點為點H,點8

是直線/上一點.將線段48繞點?逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到HC,如果線段/'C與直線/有交點,

稱點C是點A關(guān)于直線/和點3的“旋交點”.

備用圖

(1)若點/的坐標(biāo)為(1,2),在點q(-l,2),C2(-l,0),C3(-l,-l)中，是點/關(guān)于X軸和點8的“旋

交點''的是

⑵若點3的坐標(biāo)是(0,-2),點A、C都在直線v=x+2上，點C是點A關(guān)于V軸和點3的“旋

交點”，求點A的坐標(biāo)；

⑶點A在以(0J)為對角線交點，邊長為2的正方形M(正方形的邊與坐標(biāo)軸平行)上，直

線/:y=x-l,若正方形M上存在點C是點A關(guān)于直線/和點8的“旋交點”，直接寫出/的取

值范圍.

試卷第6頁，共6頁

參考答案:

題號12345678

答案AABCACBD

1.A

【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，記住頂點式夕=”('-/7)2+左，頂點坐標(biāo)是(/7/),對稱

軸是直線X=/7.已知拋物線的頂點式，可直接寫出頂點坐標(biāo).

【詳解】解：拋物線k2(xT)2+5的頂點坐標(biāo)是(1,5).

故選：A.

2.A

【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)，兩邊同除以2n,即可得出.

【詳解】；2，=3",(〃片0),

,故選A.

n2

【點睛】此題主要考查比例的性質(zhì).

3.B

【分析】此題考查了二次函數(shù)圖象的平移與幾何變換，利用拋物線解析式的變化規(guī)律：左加

右減，上加下減是解題關(guān)鍵.直接根據(jù)“上加下減，左加右減”的原則進(jìn)行解答即可.

【詳解】解：由“左加右減”的原則可知，將拋物線＞=-3f向左平移2個單位所得拋物線的

解析式為：y=-3(x+2)2.

由“上加下減”的原則可知，將拋物線y=-3(x+2尸向下平移1個單位所得拋物線的解析式為:

y=-3(x+2)2—1；

故選：B.

4.C

【分析】由兩角相等的兩個三角形相似得出①正確，由兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形

相似得出③正確；即可得出結(jié)果.

【詳解】：/DAE=NBAC,

.,.當(dāng)ADE=NC時，△ADES/^ACB,故①符合題意，

答案第1頁，共19頁

ZB不一定等于NAED,

.二△ADE與AACB不一定相似，故②不符合題意，

ADAJ7

當(dāng)把=絲時，△ADES^ACB.故③符合題意，

ACAB

綜上所述：使4ADE與aACB一定相似的是①③，

故選：C.

【點睛】本題考查相似三角形的判定，兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似；兩邊對應(yīng)成比例且

夾角相等的兩個三角形相似；三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似；熟練掌握相似三角形的判

定定理是解題關(guān)鍵

5.A

【分析】此題考查一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）A>0o方程有兩個不相

等的實數(shù)根；（2）A=0o方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）A<00方程沒有實數(shù)根.先求

一元二次方程的判別式，再根據(jù)加<0,判斷出A的情況，由△與0的大小關(guān)系來判斷方程

根的情況.

【詳解】解：：關(guān)于x的方程/MX?-3x+4=0中，a—m,b=-3,c—4,

A=b2-4ac=（-3）2-4xmx4=9-16m,

*/m<0,

:,9-16m>0,

..?關(guān)于X的方程mx2-3x+4=o有兩個不相等實數(shù)根.

故選：A.

6.C

【分析】本題考查了直角三角形的邊角關(guān)系，勾股定理，利用網(wǎng)格構(gòu)造直角三角形是解題的

關(guān)鍵.利用網(wǎng)格構(gòu)造直角三角形，根據(jù)格點線段的長度求出斜邊的長，再根據(jù)三角函數(shù)的意

義求出答案.

【詳解】解：如圖，設(shè)小正方形邊長為1,AELCE,

答案第2頁，共19頁

A

,?*AC=^IAE2+CE2=V42+32=5，

...CE3

??sinZ=-----=—

AC5

故選：C.

7.B

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)，牢記相似三角形的面積

比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵,由可得出再利用相似三角

形的性質(zhì)即可得出LAOE與ACOB的面積之比.

【詳解】解：???在口力BCD中，

AD//BC,AD=BC,

：.AAOESACOB,

AF

??.相似比為茲=而

?：AE:ED=\-.1,即/￡:/。=1:3,

.AEAE1

’?正一而一寫

I，即A/OE與ACQ8的面積之比為1:9,

V

°ACOB

故選：B.

8.D

【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)的最值等知識.熟練掌握二次函數(shù)的

圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

由＞-2x=(x-l)2-l,可知圖象開口向上，對稱軸為直線x=l,頂點坐標(biāo)為(1,T),當(dāng)

尤=一1時，y=3,即(-1,3)關(guān)于對稱軸對稱的點坐標(biāo)為(3,3),由當(dāng)x=-l時，函數(shù)取得最大

值；當(dāng)尤=1時，函數(shù)取得最小值，可得1W/W3.

答案第3頁，共19頁

【詳解】解：:y=x2-2x=(x-l)2-l,

...圖象開口向上，對稱軸為直線x=l,頂點坐標(biāo)為(1,T),

當(dāng)％=-1時，>=3,

-1,3)關(guān)于對稱軸對稱的點坐標(biāo)為(3,3),

?.?當(dāng)x=-l時，函數(shù)取得最大值；當(dāng)x=-l時，函數(shù)取得最小值，

1<Z<3,

故選：D.

9.30730M

【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求解可得.

【詳解】解：???tana=—

3

Z,a-30°

故答案為：30°.

【點睛】本題考查銳角三角函數(shù)，熟練掌握30。、45。、60。的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

10.4

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理即可解決問題.

【詳解】VBC//DE,AD=1,BD=AE=2,

:.AADE?AABC,/8=/。+。8=1+2=3,

.ADAE12

則n一=—,-=——，

ABAC3AC

：.AC=6,

AE=2,

：.EC=AC-AE=6-2=4.

故答案為：4.

【點睛】本題考查平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常

考題型.

11.(x+iy-6

【分析】本題考查的是將二次函數(shù)一般式化為頂點式，正確利用配方法把二次函數(shù)一般式化

為頂點式是解題的關(guān)鍵.利用配方法把二次函數(shù)一般式化為頂點式即可.

答案第4頁，共19頁

【詳解】解：y=x2+2x-5,

=x2+2x+1—1—5?

=（x+1）2—6,

故答案為：（x+以-6.

12.yi<y2/y2>yl

【分析】本題主要考查對二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，根據(jù)二次函數(shù)的解析式得出圖象的

開口向上，對稱軸是直線x=2,根據(jù)久>2時，y隨X的增大而增大，以及二次函數(shù)對稱性

得/（0,%）關(guān)于直線x=2的對稱點是（4,必）是解決問題的關(guān)鍵.

【詳解】解：vy=x2-4x+c,

，圖象的開口向上，對稱軸是直線x=-==2，

/（0,必）關(guān)于直線x=2的對稱點是（4,弘），

當(dāng)x>2時，歹隨x的增大而增大，

2<4<5,

y1<y2,

故答案為：必<%.

13.x（60-x）=864

【分析】本題考查古代數(shù)學(xué)問題，涉及列一元一次方程，讀懂題意，設(shè)矩形的長為x步，找

到等量關(guān)系列方程即可得到答案.

【詳解】解：設(shè)矩形的長為x步，則寬為（60-切步，

x（60-無）=864,

故答案為：x（60-x）=864.

14.AB^41AD

【分析】根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)即可求出答案.

【詳解】解：由于AB>AD,,E,F分別是AB,DC的中點，

矩形AEFD之矩形BEFC,

答案第5頁，共19頁

:兩個小矩形都和矩形ABCD相似,

矩形AEFDs矩形ABCD,

.ABAD

,?萬一罰’

-AB2=AD2,

2

AB=y/2AD，

故答案為AB=41AD.

【點睛】本題考查相似多邊形，解題的關(guān)鍵是正確理解相似多邊形的性質(zhì).

15.-6

【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)解析式求得對稱軸是解題的關(guān)鍵.先求得拋物線

的對稱軸，根據(jù)二次函數(shù)的圖象的對稱性以及已知條件可得久=-1時，y=o,當(dāng)無=3和

》=0時夕值相等，都是0,進(jìn)而求得加的值.

【詳解】解：拋物線y=2x?-4x+〃?=2(尤-#-2+加的對稱軸為直線x=1,

拋物線在2<x<3時，它的圖象位于x軸的下方，當(dāng)-2<x<-l時，它的圖象位于x軸的上

方，當(dāng)-24<-1時，它的圖象位于x軸的上方，

：3和-1到對稱軸直線％=1的距離相等，

...當(dāng)x=—1和x=3時>值相等，都是0,則2x(-l『-4x(-l)+加=0,

m=-6.

故答案為：-6.

16.1+——

2

【分析】過點。作G〃_LNb于G,交,BC于點、H,將N歹轉(zhuǎn)化為NG+FG,通過AAS可證

AHDE^ACFD,得出HD=FG,所以分別求出/G和加的長度即可.

【詳解】解：過點。作G"，//于G,交BC于點、H,

：.NADG=90°-60°=30°,ZCDH=90°-60°=30°,

答案第6頁，共19頁

'：AD=2CD,AB=3,

.\AD=2fCD=1,

111

.\AG=—AD=1,CH=—CD=—,

222

，DH=4CD1-CH1=—,

2

???線段DE繞D逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段DF,

:?DE=DF,/EDF=90。,

：.ZHDE+ZGDF=90°,ZGDF+ZF=90°,

ZHDE=ZF,

4DHE=/DGF

■:在XHDE和△GF。中,/HDE=/F,

DE=DF

:?△HDE"AFGD(AAS),

2

故答案為：1H------

2

【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，通過作

輔助線，構(gòu)造全等三角形得到是解題的關(guān)鍵.

17.1

【分析】此題主要考查了特殊角三角函數(shù)的混合運(yùn)算，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵.直接利用

特殊角的三角函數(shù)值分別代入得出答案.

【詳解】解：sin60°-cos30°+tan45°,

=1

18.(I)%]=-2,x2=2

(2)尤1=3-廂，x2=3+Vi0

【分析】本題考查了解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是掌握直接開方法和配方法，并正確計算.

(1)利用直接開方法求解即可；

答案第7頁，共19頁

(2)利用配方法求解即可.

【詳解】⑴解：2X2=8

x2=4

X]——2,=2；

(2)解：x2-6x—1=0

x2-6x+9=10

(x-3)2=10

x-3=+A/TO

%)=3—Vw,x2=3+VTo.

19.-2

【分析】本題考查的是整式的混合運(yùn)算一化簡求值，掌握整式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)

鍵.根據(jù)完全平方公式、單項式乘多項式、合并同類項把原式化簡，整體代入計算得到答案.

【詳解】解：(2a-l)2+a(2tz-5)

=4礦—4。+1+2a之一5。

—6a2—9。+1,

是關(guān)于'的一元二次方程2—=3x-1的根，

2a?=3a—1,

2a2—3。=—19

貝IJ原式=3(2/—3。)+1=—2.

20.6

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，牢記相似三角形對應(yīng)邊的比相等是解題的關(guān)

鍵.由N4=/C,乙408=/。。?？傻贸隼孟嗨迫切蔚男再|(zhì)可得出

ADAO

—,代入/。=4,CO=2,CZ)=3即可求出45的長.

【詳解】解：?.?/%=/C,ZAOB=/COD,

:AAOBS^COD,

.ABAO

''~CD~~cd'

答案第8頁，共19頁

AB=6.

21.⑴見解析;

（2）m>3.

【分析】（1）根據(jù)一元二次方程根與判別式的關(guān)系，求證即可；

（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得，3-m<0,即可求解.

【詳解】（1）證：由題意可得，

判另U式△=（4—-4（3-加）=〃/—8m+16-12+4m=（〃？一2）一>0,

該方程總有兩個實數(shù)根；

（2）解：設(shè)不，赴為一元二次方程的兩個實數(shù)根，

由該方程恰有一個實數(shù)根為非負(fù)數(shù)可得XRWO,BP3-m<0,解得加23,

故答案為：m>3.

【點睛】此題考查了一元二次方程根與判別式的關(guān)系，根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練

掌握相關(guān)基礎(chǔ)知識.

22.（1）證明見解析

（2）70°

【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，解決

本題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用以上知識.

（1）根據(jù)￡點繞N點逆時針旋轉(zhuǎn)90。到AD,可得AD=/E,/D/E=90。，進(jìn)而可以證明

△ABE部△ZCD；

（2）結(jié)合（1）AABE學(xué)AACD,和等腰三角形的性質(zhì)，可得N/CD=/4BC=45。，進(jìn)而

得到=45°+45°=90°,再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可求出NCED的度數(shù).

【詳解】（1）解：???RtZ\/8C中，NBAC=90。,AB=AC,

ZABC=NACB=45°,

由旋轉(zhuǎn)可知：AD=AE,NDAE=90°,

ZBAE+ZCAE=ZCAD+NCAE=90°,

NBAE=ACAD,

在ABAE與AC4D中，

答案第9頁，共19頁

AB=AC

</BAE=ACAD,

AE=AD

,△ZB%"CZ)(SAS)；

(2)解：?；AABE注AACD

:.ZACD=ZABC=45°,

「./EC。=45。+45。=90。；

ZCED=90°-ZCDE=90°-20°=70°.

23.(1)y=-x2-2x+3；(-3,0)

⑵-5<”4

(3)%<-3或％〉2

【分析】(1)把2(2,-5)代入y=f2-2x+c,從而可得答案;

(2)先畫函數(shù)的簡易圖象，由圖象可得函數(shù)的最大值為歹=4,再結(jié)合x=-2與久=2時的

函數(shù)值可得答案；

(3冼畫出直線N3,再根據(jù)二次函數(shù)的圖象在直線的下方可得不等式6+6-2x+c的

解集.

【詳解】(1)解：；二次函數(shù)y=-，-2x+c,它的圖象過點/(2,-5),

A-22-2x2+c=-5,

解得：c=3,

拋物線為：y=—x1—lx+3；

當(dāng)>=0時，-/-2》+3=0,

解得：占=1,%=-3,

(0,-3)；

(2)解：如圖，畫函數(shù)圖象如下：

答案第10頁，共19頁

咻

-2X+3=-(X+1)2+4,且-1<0,

...當(dāng)x=—1時，函數(shù)最大值為>=4,

當(dāng)x=2時，函數(shù)值>=-5,當(dāng)x=-2時，函數(shù)值了=3,

...當(dāng)-2<x<2時，>的取值范圍為：-5<”4.

(3)解:如圖，直線43為了=丘+6,^(2,-5),5(—3,0),

c的解集為：x<-3或久>2.

【點睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，利用圖象與直線的交點求解

不等式的解集，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練的利用數(shù)形結(jié)合的方法解題是關(guān)鍵.

24.⑴見解析

⑵如

【分析】本題考查了平行四邊形的判定及性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，勾股定理，掌握判定方法及性

質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)菱形得性質(zhì)得出AD=BE,再由平行四邊形的判定即可得證；

(2)根據(jù)菱形得性質(zhì)得出/C_LAD,AE//BD,AO=CO=\,再由平行四邊形的性質(zhì)確

定/C_L4E,NAEB=/DBC,得出03=2,由勾股定理求解即可.

【詳解】(1)證明：???四邊形是菱形，

答案第11頁，共19頁

/.AD//BC,AD=BC,

AD//BE,

??,BE=BC,

，AD=BE,

，四邊形4助。是平行四邊形.

（2）???菱形四邊形4EAD是平行四邊形，AC=2,

：.ACLBD,AE//BD,AO=CO=1,

：.ACLAE,NAEB=NDBC,

tanZAEB=—,

2

OC1

AtanZOBC=—=一，

OB2

：.OB=2,

：.BD=AE=4,

在必△ZE。中，OE7ACP+AE?=々+42=后.

25.（1）3.84,2.52

（2）y=-0.01（x-4/+4

⑶dl=d2,理由見解析

【分析】（1）根據(jù)直發(fā)式”模式下，表1數(shù)據(jù)，可知對稱軸為直線x=4,根據(jù)對稱性即可求

得機(jī)的值，根據(jù)在“間發(fā)式”模式下，球從發(fā)球器出口到第一次接觸臺面的運(yùn)動軌跡近似為一

條直線，待定系數(shù)法求直線解析式，進(jìn)而將代入即可求解；

（2）根據(jù)題意設(shè)拋物線解析式為y=“x-4y+4,將點（0,3.84）代入，待定系數(shù)法求二次

函數(shù)解析式即可求解；

（3）令〉=0,即0=-0.01（了-4）2+4,得出4=24,設(shè)拋物線解析式為3/=_0.05（X-16）2+3.2,

將點（8,0）代入，得出機(jī)=-0.05,令y=0,即0=-0.05（X-16）2+3.2,得出"2=24dm,即

可求解.

【詳解】（1）由拋物線的對稱性及己知表1中的數(shù)據(jù)可知：“2=3.84；

在“間發(fā)式“模式下，球從發(fā)球器出口到第一次接觸臺面的運(yùn)動軌跡近似為一條直線，

設(shè)這條直線的解析式為了=丘+。（左片0）,把（0,3.36）、（8,0）代入，

答案第12頁，共19頁

，這條直線的解析式為y=-0.42X+3.36,

當(dāng)x=2時，y=—0.42x2+3.36=2.52,

表格2中，〃=2.52；

故答案為：3.84,2.52；

（2）由已知表1中的數(shù)據(jù)及拋物線的對稱性可知：

“直發(fā)式"模式下，拋物線的頂點為（4,40）,

設(shè)此拋物線的解析式為y=a（x-4）2+4（。＜0）,

把（0,3.84）代入,得3.84==40-4）2+4,

解得：a=-0.01,

???"直發(fā)式”模式下，球第一次接觸臺面前的運(yùn)動軌跡的解析式為y=-0.01（x-4『+4；

⑶當(dāng)＞=0時，0=-0.01（X-4）2+4,

解得：%=一16（舍去），x2=24,

???“直發(fā)式”模式下球第一次接觸臺面時距離出球點的水平距離為4=24；

“間發(fā)式”模式下，球第一次接觸臺面到第二次接觸臺面的運(yùn)動軌跡近似為一條拋物線，

由已知表2中的數(shù)據(jù)及拋物線的對稱性可知：“間發(fā)式”模式下，這條拋物線的頂點坐標(biāo)為

（16,3.20）,

，設(shè)這條拋物線的解析式為y=機(jī)（x-16『+3.2（m＜0）,

把（8,0）代入,得0=m（8-16『+3.2,

解得：m——0.05,

，這條拋物線的解析式為y=-0.05（X-16）2+3.2,

當(dāng)y=0時，0=-0.05（X-16）2+3.2,

解得：=8,%=24,

d2=24dm,

答案第13頁，共19頁

..4=d2.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)解

析式是解題的關(guān)鍵.

26.⑴①6=4z②m>n

3

⑵

【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是掌握二

次函數(shù)的性質(zhì).

(1)①利用對稱軸公式求得即可；②利用二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可；

(2)由題意可知點/(T,加)在對稱軸的左側(cè)，點B(3,〃),C(Xo，p)在對稱軸的右側(cè)，點A到

ft<3

對稱軸的距離大于點C到對稱軸的距離，據(jù)此即可得到-1+4,解得:</43.

t>--------2

I2

【詳解】(1)①-."=一2=2,

2a

b=-4a；

②:拋物線歹二"2+法+。中，a>0,

???拋物線開口向上，

:點“(T，M,點3(3,〃)在拋物線y=ax2+bx+c(a>0)上，對稱軸為直線x=2,

.?.點Z(T,m)到對稱軸的距離大于點6(3,〃)到對稱軸的距離，

m>n-

(2)由題意可知，點/(-L5))在對稱軸的左側(cè)，點8(3,〃),C(Xo，p)在對稱軸的右側(cè)，

3<x0<4,都有m>p>n,

點A到對稱軸的距離大于點C到對稱軸的距離，

(t<3

3

-1+4,解得~<t<3,

t>--------2

12

3

.."的取值范圍是-<?<3.

2

27.⑴AD=2AE,證明見解析

(2)①補(bǔ)全圖形見解析；②ADCF是等邊三角形，理由見解析

【分析】(1)根據(jù),N3NC=120。可知ZD以=90。，ZADE=ABAC-ZDEA=30°,

答案第14頁，共19頁

利用含30。角的直角三角形性質(zhì)：30。角所對直角邊等于斜邊的一半，可得3=2隹；

(2)①根據(jù)題意補(bǔ)全圖形即可；

②延長A4至點以使/”=連接CH,FH,根據(jù)48=/C可知,由

/7￡4C=180。-/A4C=60。，得“C7/是等邊三角形，HC=AC,ZAHC=ZACH=60°,根

據(jù)4H=4B,EF=BE,可知HF=2/￡,HF//AE,得NFH4=NHAC=60°,

AFHC=ZFHA+ZAHC=120°,ZFHC=ADAC,由3=2空，得HE=AD,由/￡4=/C,

可證明△FHC04D4C,可得"=DC,ZHCF=ZACD,ZFCD=ZACH=60°,從而可

證明ADCF是等邊三角形.

【詳解】(1)解：線段4D與/￡的數(shù)量關(guān)系：AD=1AE.

證明：VDE1AC,

ZDEA=90°.

?/ZBAC=120°,

NADE=ABAC-NDEA=30°

AD=2AE；

(2)解：①補(bǔ)全圖形，如圖.

②結(jié)論：AOCF是等邊三角形.

證明：延長加至點H使/〃=連接CH,FH,如圖.

AH=AC.

??.ZHAC=180?！狝BAC=60°,

"CH是等邊三角形.

答案第15頁，共19頁

HC=AC,ZAHC=ZACH=60°.

AH=AB,EF=BE,

HF=2AE,HF//AE.

：.ZFHA=ZHAC=60°.

ZFHC=ZFHA+ZAHC=120°.

ZFH