導數(shù)及其應用（解答題）-2020-2024年高考數(shù)學試題分類匯編 （原卷版）

4<04導敷融盛用(解答盤J

五年考情?探規(guī)律

考點五年考情(2020-2024)命題趨勢

2024全國甲卷I卷

考點1利用導2023II卷乙甲

2022甲卷I卷II卷乙卷

數(shù)求函數(shù)單調(diào)

2021甲卷［卷含參的函數(shù)利用導數(shù)求參數(shù)問題

性，求參數(shù)

2020I卷II［卷是高考中的一個高頻考點，也是必

考點，通過函數(shù)單調(diào)性轉化成為恒

成立問題或者存在使成立問題以

2023甲卷

及其他問題，可直接求導或者是利

考點2恒成立2022甲卷I卷II卷

用分離參數(shù)去轉化。

問題2021乙卷II卷

2020IIHII卷

2023II卷甲卷

考點3與三角2022天津卷與三角函數(shù)相關問題隨著新高考

函數(shù)相關導數(shù)2021I卷新結構的出現(xiàn)，這類題目一壓軸題

問題2020II卷甲卷出現(xiàn)的頻率會變大。

2024北京天津導數(shù)綜合類問題一直是高考數(shù)學

2023乙卷北京I卷天津的壓軸題一般牽扯到不等式的證

考點04導數(shù)

2022甲卷III卷明問題，極值點偏移問題，拐點偏

綜合類問題

2021乙卷I卷移問題，隱零點問題，函數(shù)放縮問

2020IIIII卷題。未來也是高考重難點

考點05新定隨著高考數(shù)學新結構的形式出現(xiàn)。

2024上海卷

義問題導數(shù)新定義問題將成為高頻考點

分考點?精準練

考點01利用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)性，求參數(shù)

一、解答題

1.(2024?全國?高考I卷)已知函數(shù)/(x)=ln上+ax+伙x-l)3

2-x

(1)若6=0,且f(x)W0,求〃的最小值；

(2)證明：曲線y=/(x)是中心對稱圖形；

⑶若/(x)>-2當且僅當l<x<2,求6的取值范圍.

2.(2024.全國.高考H卷)已知函數(shù)/(x)=e'-ax-/.

(1)當。=1時，求曲線>=/(尤)在點(1J(D)處的切線方程;

(2)若f(x)有極小值，且極小值小于0,求a的取值范圍.

3.(2024?全國?高考甲卷理)已知函數(shù)〃x)=(l-ox)ln(l+x)-x.

⑴當a=—2時，求的極值；

(2)當xNO時，/(x)>0,求。的取值范圍.

4.(2023?年全國新高考I卷數(shù)學試題)已知函數(shù)/(x)=a(e，+a)-x.

⑴討論“力的單調(diào)性；

3

(2)證明：當。>0時,/(x)>21na+-.

5.(2023年全國高考乙卷數(shù)學(文)試題)已知函數(shù)/(x)=］：+ajln(l+x).

⑴當a=-l時，求曲線y=在點(lj(x))處的切線方程.

(2)若函數(shù)〃尤)在(0,+8)單調(diào)遞增，求。的取值范圍.

6.(2022年全國高考乙卷數(shù)學(文)試題)已知函數(shù)/(無)=ax-L-(a+l)lnx.

x

(1)當。=0時，求“X)的最大值;

(2)若Ax)恰有一個零點，求a的取值范圍.

7.(2022年全國高考甲卷數(shù)學(文)試題)已知函數(shù)=V-x,g(x)=/+。，曲線y=/(%)在點(%,"%))

處的切線也是曲線y=g(x)的切線.

(1)若玉=-1,求生

(2)求。的取值范圍.

8.(2021年全國高考甲卷數(shù)學(文)試題)設函數(shù)/(均=4/+at-31nx+1,其中a>0.

(1)討論的單調(diào)性；

(2)若y=的圖象與無軸沒有公共點，求。的取值范圍.

9.(2020年全國高考I卷(文)數(shù)學試題)已知函數(shù)/(尤)=/-。(》+2).

(1)當。=1時，討論f(x)的單調(diào)性;

(2)若f(x)有兩個零點，求。的取值范圍.

10.(2020年全國新高考I卷數(shù)學試題)已知函數(shù)，(x)=aei-lnx+lna.

(1)當a=e時，求曲線y=/(x)在點(1,/。))處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積;

(2)若不等式/(尤)21恒成立，求a的取值范圍.

11.(2023?全國乙卷)已知函數(shù)/(x)=[g+a]ln(l+x).

(1)當a=-l時，求曲線y=在點。"⑴)處的切線方程；

(2)是否存在a,b,使得曲線y=關于直線x=b對稱，若存在，求a,b的值，若不存在，說明理由.

(3)若在(0,+動存在極值，求。的取值范圍.

12.(2022?全國乙卷)已知函數(shù)〃x)=ln(l+尤)+◎△

⑴當°=1時，求曲線y=『(x)在點(o,F(o))處的切線方程；

⑵若/■")在區(qū)間(-1,0),(0,內(nèi))各恰有一個零點，求a的取值范圍.

13.(2021?全國甲卷)已知a>0且awl,函數(shù)/(x)=—(》>0).

a'

(1)當a=2時，求”力的單調(diào)區(qū)間；

(2)若曲線y=/(x)與直線y=i有且僅有兩個交點，求。的取值范圍.

14.(2021?天津?統(tǒng)考高考真題)已知a>0,函數(shù)/(x)=ax-xe,.

(I)求曲線y=/(x)在點(0J(0))處的切線方程：

(II)證明存在唯一的極值點

(III)若存在。，使得了(無)工。+》對任意xeR成立，求實數(shù)6的取值范圍.

15.(2020年全國高考I卷)已知函數(shù)/(%)=/+以2一元.

(1)當時，討論/(x)的單調(diào)性；

(2)當史0時,f(x)>-|-%5+1,求〃的取值范圍.

考點02恒成立問題

一、解答題

1.(2024.全國,局考甲卷文)已知函數(shù)/(x)=a(x—1)—lnx+1.

⑴求〃x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當時,證明：當x>l時,"x)<e*T恒成立.

2.(2023全國新高考I卷)已知函數(shù)/

⑴討論〃x)的單調(diào)性；

3

(2)證明：當a>0時，/(x)>21na+-.

3.(2022?北京?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)/(x)=e，ln(l+無).

⑴求曲線>=，(尤)在點(0"(。))處的切線方程；

(2)設g(x)=7'(x),討論函數(shù)g(x)在［0,+8)上的單調(diào)性；

(3)證明:對任意的s,欠(0,+8),有/(s+r)>/(s)+/Q).

4.(2021?全國乙卷)設函數(shù)〃x)=ln(a—x),已知x=0是函數(shù)y=^(x)的極值點.

(1)求a；

X+f(x^)

(2)設函數(shù)g(x)=":.證明:g(無)<1.

5.(2021?北京?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)/(力=12.

(1)若a=0,求曲線y=在點(1,〃功處的切線方程；

(2)若f(x)在x=-1處取得極值，求/(x)的單調(diào)區(qū)間，以及其最大值與最小值.

6.(2021?天津?統(tǒng)考高考真題)已知。>0,函數(shù)/(x)=ax-xe".

(D求曲線y=/(x)在點(0J(0))處的切線方程：

(ID證明存在唯一的極值點

(III)若存在。，使得/(x)Va+6對任意xeR成立，求實數(shù)6的取值范圍.

7.(2020年全國新高考I卷)設函數(shù)/(x)=x3+bx+c,曲線>=/(尤)在點弓，八會)處的切線與y軸垂直.

(1)求。.

(2)若/(幻有一個絕對值不大于1的零點，證明：/(%)所有零點的絕對值都不大于1.

8.(2023年全國新高考H卷(文))

(1)證明：當0v%vl時，x-x2<sinx<x;

(2)已知函數(shù)〃x)=cosax-ln(l-,若x=0是/(x)的極大值點，求〃的取值范圍.

9.（2020年全國高考H卷（文）數(shù)學試題）已知函數(shù)/（x）=ae'T-lnx+lna.

（1）當”=e時，求曲線y=〃x）在點處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積;

（2）若不等式/（x）N1恒成立，求a的取值范圍.

考點03三角函數(shù)相關導數(shù)問題

一、解答題

1.（2023年全國高考n卷）（1）證明：當0<x<l時，x-x2<sinx<x;

（2）已知函數(shù)〃x）=cos（2x-ln（l-x2）,若x=0是“X）的極大值點，求a的取值范圍.

2.（2023?全國甲卷）已知函數(shù)/（x）=ax-當上,

cosxv2）

⑴當a=8時，討論/（x）的單調(diào)性；

⑵若/（元）<sin2無恒成立，求。的取值范圍.

3.(2022.天津?統(tǒng)考高考真題)已知a,Z?eR,函數(shù)/(x)=e*-asinx,g(x)=ba

(1)求函數(shù)y=〃x)在(0,/(0))處的切線方程；

(2)若y=〃x)和y=g(x)有公共點，

(i)當a=0時，求6的取值范圍；

(ii)求證：a2+b2>e.

4.(2020年全國高考H卷)已知函數(shù)/(x)=sin2xsin2x.

(1)討論“r)在區(qū)間(0,九)的單調(diào)性；

(2)證明：|/(x)區(qū)半；

3"

(3)設幾￡N*,證明：sin2xsin22xsin24x...sin22nx<—.

5.(2021年全國高考I卷數(shù)學試題)已知函數(shù)/(X)=2sinx—xcosx-x,f(x)為于Qx)的導數(shù).

(1)證明：f(x)在區(qū)間(0,兀)存在唯一零點；

(2)若x￡[0,兀]時，/(x)>ax,求〃的取值范圍.

考點04導數(shù)類綜合問題

1(2024?北京?高考真題)設函數(shù)f(x)=x+曲i(l+x)(左羊0),直線/是曲線y=『(x)在點⑺)。>0)處的

切線.

⑴當左=—1時,求外力的單調(diào)區(qū)間.

⑵求證：/不經(jīng)過點(0,0).

(3)當％=1時，設點A?,〃r))(r>0),C(O,/(Z)),0(0,0),5為/與，軸的交點，S“c°與山B。分別表示

△ACO與AABO的面積.是否存在點A使得2s△.。=152鉆。成立？若存在，這樣的點A有幾個？

(參考數(shù)據(jù)：1.09<ln3<1.10,1.60<ln5<1.61,1.94<ln7<1.95)

2.(2024.天津?高考真題)設函數(shù)f(x)=xlnx.

⑴求圖象上點(L/⑴)處的切線方程；

⑵若〃尤)2。(尤-石)在xe(O,+w)時恒成立，求。的值;

⑶若%,當S(0,1),證明,(xj-/(工2)|<|Xj-X2|2.

3.(2023?全國乙卷)已知函數(shù)/(x)=(：+a]ln(l+x).

⑴當a=T時，求曲線y=〃x)在點(L/⑴)處的切線方程；

⑵是否存在a,b,使得曲線y=關于直線X=b對稱，若存在，求a,b的值，若不存在，說明理由.

(3)若在(。,+e)存在極值，求。的取值范圍.

4.(2022?全國甲卷)已知函數(shù)y(x)=9--\nx+x-a.

⑴若"x)Z0,求a的取值范圍；

(2)證明：若/(X)有兩個零點占,馬，貝也無2<L

5.(2022年全國新高考I卷)已知函數(shù)f(x)=e，-融和g(x)=6-lnx有相同的最小值.

(1)求a；

(2)證明：存在直線丫=匕，其與兩條曲線、=/(幻和>=8。)共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交

點的橫坐標成等差數(shù)列.

6.(2022年全國高考n卷)已知函數(shù)/(x)=xe"-e，.

⑴當。=1時,討論了(X)的單調(diào)性；

(2)當x>0時，求a的取值范圍；

111,,,、

⑶設“cN*，證明：言+>77+…

7.(2021?全國乙卷)設函數(shù)/(x)=ln(a—x),已知％=0是函數(shù)y=4(元)的極值點.

(1)求〃；

X+f(x)

(2)設函數(shù)g(x)=，證明:g(x)<l.

xj(制

8.(2022年全國新高考I卷)已知函數(shù)/(x)=x(l-Inx).

(1)討論"%)的單調(diào)性;

(2)設。，b為兩個不相等的正數(shù)，且Z?lna-alnb=a-〃，證明：2<—+y<e.

ab

9.(2022年全國新高考H卷)已知函數(shù)/(x)=(x-l)ex-ax1+b.

(1)討論〃幻的單調(diào)性;

(2)從下面兩個條件中選一個，證明：人九)只有一個零點

?—<a<—b>2a；

229

?0<a<—,b<2a.

2

10.(2020年全國高考III卷)設函數(shù)/。)=/+法+/曲線y=/(x)在點弓，加^))處的切線與y軸垂直.

(1)求6.

(2)若/(x)有一個絕對值不大于1的零點，證明：/(X)所有零點的絕對值都不大于1.

11.(2023?北京?統(tǒng)考高考真題)設函數(shù)/(x)=x-x3cax+b，曲線y=/(%)在點d,/(D)處的切線方程為y=-X+1.

⑴求a,b的值；

⑵設函數(shù)g(x)=/(x),求g(無)的單調(diào)區(qū)間；

(3)求了⑺的極值點個數(shù).

ln(x+l).

⑴求曲線y=在％=2處切線的斜率;

⑵當x>0時,證明：/(%)>1；

(3)證明：f<

H+—In(")+〃<1.

O

13.(2021?全國乙卷)已知函數(shù)/(x)=尤3+依+1.

(1)討論〃x)的單調(diào)性；

(2)求曲線y=/(x)過坐標原點的切線與曲線y=〃x)的公共點的坐標.

14.(2021年全國高考H卷(文))已知函數(shù)〃x)=(x-l)/-加+6.

(1)討論Ax)的單調(diào)性；

(2)從下面兩個條件中選一個，證明：Ax)只有一個零點

?—<a<-,b>2a；?0<a<—,b<2a.

22

15.(2020?全國高考H