等邊三角形壓軸必考題型歸納-2024-2025學年浙教版八年級數(shù)學上冊

等邊三角形壓軸必考題型歸納

國1壟其■邕雪史眄

【題型01:等邊三角形中動點與全等三角形綜合問題】

【題型02：平行法法構造全等三角形】

【題型03：“截長補短法”構造全等三角形】

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【方法點撥】

類型一、平行線法構造全等三角形：通過作平行線來構造全等三角形，這種方法在證明與等腰或等邊三角形

相關的性質時非常有用。

類型三、截長補短法：在證明與三角形邊長相關的性質時，可以通過截取或延長某一邊，使得其長度等于另

一邊，從而構造出全等三角形。這種方法在處理三角形的邊長關系時非常有用。

【題型01:等邊三角形中動點與全等三角形綜合問題】

【典例1】如圖1,點P、。分別是等邊△48C邊8c上的動點(端點除外)，點尸從頂點/、點。

從頂點8同時出發(fā)，且它們的運動速度相同，連接/0、W交于點

(1)求證：AAB。空ACAP；

(2)當點尸、。分別在AB、3c邊上運動時，N0MC變化嗎？若變化，請說明理由；若不變，求出它

的度數(shù).

(3)如圖2,若點尸、0在運動到終點后繼續(xù)在射線AB、3c上運動，直線/0、CP交點為則NQMC

變化嗎？若變化，請說明理由；若不變，則求出它的度數(shù).

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【變式1-1】如圖，△/AD和△CAD都是邊長為6c加的等邊三角形，點E是邊D4上的動點，點F是邊DC

上的動點.

(1)如果點E從點。出發(fā)，以lc%/s的速度沿邊。4向點/方向運動；點廠從點C出發(fā)，以lcm/s的

速度沿邊向點。方向運動.當點E到達點/時，兩動點均停止運動.試判斷運動過程中/￡5廠的大

小是否會發(fā)生變化？如果不變，請求出其大小？如果改變，請說明理由.

(2)如果點E從點。出發(fā)，以low/s的速度沿邊。/向點N方向運動；點尸從點。出發(fā)，以2c%/s的

速度沿邊DC向點C方向運動，到達點C后立即以原速度沿原路返回.當點E到達點/時，兩動點均停

止運動.問當點￡運動多少秒時/即尸=60°?

【變式1-2］如圖(1),等邊△48C中，。是N3邊上的動點,以CD為一邊,向上作等邊△EDC,連接

AE.

(1)△O8C和△￡1/(?會全等嗎？請說明理由.

(2)試說明N￡〃8C的理由.

(3)如圖(2),將(1)中的點。運動到邊A4的延長線上，所作仍為等邊三角形.請問是否仍有NE

//BC1請說明理由.

(4)將(1)中的點。運動到邊N2的延長線上，仍向上作等邊△成)C,連接/￡請按要求畫出圖形,

請問是否仍有/￡〃3C?請說明理由.

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【題型02：平行法法構造全等三角形】

【典例2】如圖，在等邊三角形4BC中，點E在4B上，點。在CB的延長線上，且ED=EC.

⑴如圖1，當E為AB的中點時，則4EDB(填"><"或"=").

(2)如圖2,當E為4B邊上任意一點時，(1)中的結論是否仍然成立，請說明理由.

(3)如圖3,當點E在4B的延長線上時，若△ABC的邊長為2,AE=3,求CD的長.

【變式2-1］如圖，在等邊△ABC中，點M為48上任意一點，延長BC至點N,使4M=CN,連接MN交

AC于點P.

(1)求證：MP=NP；

(2)作MH14C于點X,設力B=a,請用含a的式子表示P”的長度.

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【變式2-2】如圖所示，在△4BC中，AB=AC,在4C的延長線上取點E,使得BD=CE,求證:

DG=GE.

【變式2-3］如圖，在△4BC中，D是邊BC的中點,

⑴提出問題：

①請用無刻度的直尺和圓規(guī)過點C畫直線CE,使CEII4B,交力D的延長線于點E.（保留作圖痕跡，不寫

作法，標明字母）

②試猜想ED與4D的數(shù)量關系，并證明你的猜想.

（2）解決問題：

@AB+AC2AD（填“或.

②若4B=3,AC=5,貝以。長度的取值范圍為.

⑶拓展應用：

如圖②，CE,CB分另!］是△ABC和△4DC的中線，AB=AC,直接寫出CD與CE的數(shù)量關系.

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【變式2-4】某學習小組遇到了如下的數(shù)學題目：

“在等邊△ABC中，點E在邊4B上，點。在CB的延長線上，且ED=EC,試確定線段4E與DB的大小關系,

并說明理由.”學習小組進行了如下探究：

⑴特殊情況，探索結論:

當點E為48的中點時，如圖1,確定線段4E與DB的大小關系.請你直接寫出結論：AE_DB（填

或"="）；

⑵特例啟發(fā)，解答題目：

當點E不是邊力B的中點時，如圖2,可過點E作EFIIBC,交AC于點尸，構造等邊三角形和全等三角形，通

過轉化思想解決問題.請你判斷4E與DB的大小關系，并完成解答過程；

⑶總結方法，解決新題：

在等邊△ABC中，點E在直線48上，點。在直線BC上，且ED=EC,若△力8C的邊長為1,AE=2,直

接寫出CD的長.

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【變式2-4】數(shù)學是一門充滿樂趣、奧妙、又極具探索的學科，對一個人的思維也是一種"挑戰(zhàn)"幾何圖形

更是變幻無窮，但只要我們借助圖形的直觀、特殊情形出發(fā)，逐步"從特殊到一般”進行探索，思路和方法

自然就會顯現(xiàn)出來.下面是一道探索幾何圖形中線段4E與。B數(shù)量關系的例子：

己知，在等邊三角形ABC中，點E在4B上，點。在CB的延長線上，且ED=EC.

圖1圖2圖3

小星的思路是：

（1）【特殊情況，探索結論】如圖1,當點K為4B的中點時，確定線段4E與DB的大小關系，請你直接寫

出結論：AE_DB（填“>",或"="）；

（2）【特例啟發(fā)，解答題目】如圖2,當點￡為力B邊上任意一點時，確定線段4E與DB的大小關系，請

你寫出結論：AE_DB（填“或"="）；理由如下：（請你將理由補充完整）

證明：過點E作EFIIBC交AC于點F.

⑶【拓展結論，設計新題】如圖3,在等邊三角形力BC中，點￡在直線48上，點。在線段C8的延長線

上，且ED=EC,若△ABC的邊長為2,AE=4,求CD的長.

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【變式2-5］（綜合與實踐）已知，在等邊三角形ABC中，點￡在4B上，點。在C8的延長線上，且

ED=EC.

⑴【特殊情況，探索結論】如圖1,當點￡為4B的中點時，確定線段4E與DB的大小關系，請你直接寫

出結論：AEDB（填">"、"<"或"="）；

（2）【特例啟發(fā)，解答題目】如圖2,當點￡為4B邊上任意一點時，確定線段與D8的大小關系，請你

直接寫出結論，AEDB（填">"、"<"或"="）；理由如下，過點E作EFIIBC,交2C于點

F.（請你完成以下解答過程）：

⑶【拓展結論，設計新題】如圖3,在等邊三角形2BC中，點E在直線ZB上，點。在線段CB的延長線

上，且ED=EC,若△4BC的邊長為1,AE=2,求CD的長（直接寫出結果）.

【變式2-6】已知：△ABC中，AB=AC點。是8c的中點.

圖1圖2圖3

（1）如圖LDE1AB,DFLAC.垂足分別為￡、F.求證:DE=DF；

⑵若BC=4C.點￡在力B的延長線上.=120°

①如圖2,若點尸（恰好在AC上），求證：DE=DF；

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②如圖3,若點尸在C4的延長線上，BC=5,BE=4,直接寫出4F的長.

【變式2-7】已知在等邊三角形ABC中，點￡在AB上，點。在CB的延長線上，ED=EC.

⑴如圖1,當點￡為4B的中點時，確定線段2E與D8的大小關系：AEDB(填">""("或"=")

(2)如圖2,當點E為力B邊上任意一點時，確定線段2E與DB的大小關系，并說明理由.

⑶如圖3,在等邊三角形ABC中，點￡在線段的延長線上，點。在線段C8的延長線上，且ED=EC,

若△ABC的邊長為1,AE=2,求CD的長.

【變式2-8】已知，在等邊△力BC中，點E在射線上，點。在邊CB的延長線上，且ED=EC.

DB

fflci圖②圖③

【特殊情況】

(1)如圖①，當點E為邊4B的中點時，線段4E與線段DB的數(shù)量關系是：AEDB(填

或"=")；

【特例引路】

(2)如圖②，當點E為4B邊上任意一點時，過點E作EFIIBC,交AC于點F,試確定線段4E與線段DB的

數(shù)量關系，并說明理由；

【拓展延伸】

(3)如圖③，當點E在邊的延長線上時，若△4BC的邊長為1,AE=2,求CD的長.

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【變式2-9］數(shù)學課上，李老師出示了如下框中的題目.

如圖1,邊長為6的等邊△ABC中，點。沿線段4B方向由/向8運動，點/同時從C出發(fā)，以相同的

速度沿射線BC方向運動，過點。作0E14C,連結OF交射線AC于點G.求線段力C與EG的數(shù)量關系，并

說明理由.

圖I圖2

小敏與同桌小聰討論后，進行了如下解答：

⑴特殊情況,探索結論

當點。恰好在點3處時，易知線段AC與EG的關系是：（直接寫出結論）

⑵特例啟發(fā)?解答題目

猜想：線段4c與EG是（1）中的關系，進行證明：

輔助線為"過點D作DHIIBC交2C于點H",請你利用全等三角形的相關知識完成解答；

⑶拓展結論?設計新題

如果點。運動到了線段48的延長線上（如圖2）,剛才的結論是否仍成立？請你說明理由.

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【題型03：“截長補短法”構造全等三角形】

【典例3】已知在△48C中，AB=AC,過點B引一條射線BM,。是上一點.

期1圖2圖3

【問題解決】

(1)如圖1,若乙4BC=60。，射線BM在N4BC內部，乙4D8=60。，求證：N8DC=60。.小明同學展示的

做法是：在BM上取一點E使得4E=4D.通過已知的條件，從而求得ABDC的度數(shù)，請你幫助小明寫出

證明過程.

【類比探究】

(2)如圖2,已知N&8C=N4DB=20。.

①當射線BM在內，求NBDC的度數(shù)；

②當射線在8c下方，如圖3所示，請問乙BDC的度數(shù)會變化嗎？若不變，請說明理由，若改變，請

求出NBDC的度數(shù).

【變式3-1］如圖，△ABC為等腰直角三角形，ZB4C=90°,AB=AC,。是AC上一點.CE1BD于點

E,連接4E.

⑴求4EB的度數(shù);

⑵若BE=10,CE=4,求△4EC的面積.

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【變式3-2]