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文檔簡介
第02講等式與不等式
(6類核心考點精講精練)
12.考情探究
1.5年真題考點分布
5年考情
考題示例考點分析
2019年天津卷,第10題,5分解不含參數(shù)的一元一次不等式
2017年天津卷,第2題,5分必要條件的判定及性質(zhì)解不含參數(shù)的一元一次不等式
2.命題規(guī)律及備考策略
【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容,設(shè)題穩(wěn)定,難度為低難度與中檔難度,分值為5分
【備考策略】L理解、掌握不等式的性質(zhì),能夠運用不等式的性質(zhì)進行比較大小
2.能掌握一元二次不等式的性質(zhì)
3.掌握一元二次不等式根與系數(shù)的關(guān)系
4.會解一元二次不等式、能夠解決一元二不等式的恒成立與存在成立等問題
【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容,一般考查不等式的性質(zhì),一元二次不等式的性質(zhì)等。
?考點梳理
1.兩個實數(shù)比較大小的方法考點一、等式與不等式的性質(zhì)
r知識點一.等式與不等式的性質(zhì)2.等式的性質(zhì)考點二、比較大小
3.不等式的性質(zhì)考點三、最值與取值范圍問題
等式與不等式
1.一元二次不等式的概念
2.二次函數(shù)與一元二次方程的根、一元二次不考點四、一元二次不等式
知識點二.一元二次不等式等式的解集的對應(yīng)關(guān)系考點五、一元二次方程跟的分布
3.一元二次不等式的解法考點六、一元二次不等式恒成立
4三.個“二次”間的關(guān)系
知識講解
知識點一.等式與不等式的性質(zhì):
1.兩個實數(shù)比較大小的方法
(1)作差法
a-b>00d>b,
a-b=00a=b,
a-b〈00a<b.
(2)作商法
7>l(aeR,b>0)=a>b(aER,b>0),
£=l(a,bH0)oa=b(a,bW0),
三<l(a£R,b>0)=a<b(aER,b>0),
2.等式的性質(zhì)
⑴對稱性?.若a二b,則
(2)傳遞性:若a=b,b=c,則a=c.
⑶可加性:若a=b,貝b+c=b+c.
(4)可乘性:若Q=b,則ac=be;若a-b,c=d,則ac=bd
3.不等式的性質(zhì)
⑴對稱性:cOb=b<a;
(2)傳遞性:a>b,b〉cQa>c;
⑶可加性a>b=a+c>b+c;a>b,c>d=a+c>b+d
(4)可乘性:a>bfc>0<=>ac>bc\a>b,c<0<=^ac<cb;a>b>0,c>d>0=ac>bd;
(5)可乘方:a>b>0<=>an>Z?n(neN,n>l);
⑹可開方Q>b>0=>Vb(nGN,n>2).
知識點二.一元二次不等式
1.一元二次不等式的概念
只含有一個未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式,叫做一元二次不
定義
等式
ax+bx+c>0,ax-Ybx+c<.Q,ax+bx+ax+bx+c^O,其中aWO,
一般形式
a,b,c均為常數(shù)
2.二次函數(shù)與一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的對應(yīng)關(guān)系
判別式A=]j—\acAyQA=Q/〈0
二次函數(shù)y=ax+bx\j/1/
+c(a>0)的圖象x
O\xi=x2x
有兩個相等的實數(shù)
一元二次方程.3?+有兩個不相等的實
b沒有實數(shù)根
bx+c=0(a>0)的根數(shù)根矛1,生(矛1〈生)根:矛1=加=一丁
ax+bx+c>0(a>0)b'
{x或*>旬*X手FR
的解集
ax+6x+c<0(a>0)
{xXl〈水用}00
的解集
3.一元二次不等式的解法
1.將不等式的右邊化為零,左邊化為二次項系數(shù)大于零的不等式ax'+bx+cXKa>。)或ax2+bx+c<0(a
>0).
2.求出相應(yīng)的一元二次方程的根.
3.利用二次函數(shù)的圖象與x軸的交點確定一元二次不等式的解集.
方程的根一函數(shù)草圖一觀察得解,對于a<0的情況可以化為。〉0的情況解決
注:對于二次型一元二次不等式應(yīng)首先考慮二次項系數(shù)的情況,當二次項系數(shù)為0時,按照一次不等式來
解決,對于二次項系數(shù)為負數(shù)的情況一般將二次項系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)之后再解。
注:對于含參一元二次不等式內(nèi)容首先考慮能不能因式分解,然后就二次方程根進行分類討論,同時注意
判別式韋達定理的應(yīng)用。
4.三個“二次”間的關(guān)系
判別式A=b2—4acA>0A=0A<0
二次函數(shù)y=ax2+bx
+c(a>0)的圖象
有兩相等實根X1=X2
一元二次方程ax2+bx有兩相異實根Xi,
___b_沒有實數(shù)根
+c=0(a>0)的根X2(X1<X2)
2a
2
ax+bx+c>0(a>0){xX>X2
R
的解集或xVxJ
ax2+bx+c<0(a>0)
{xX1VXVX2}00
的解集
考點一、等式與不等式的性質(zhì)
典例引領(lǐng)
1.(2024?遼寧?模擬預(yù)測)若a>b,則下列說法正確的是()
A.a2>b2B.lg(a—h)>0C.a5>bsD.\a3\>\b3\
2.(2024?山東濱州?二模)下列命題中,真命題的是(
A.若a>b,則ac>beB.若a>b,則小>
C.若Ge?之旅2,則aNbD.若a+2b=2,則2°+4b24
即時檢測
1.(22-23高三上?甘肅定西?階段練習(xí))已知a>6>0,c<0,則下列正確的是()
A.ac>beB.ac>bcC.芻>三D.ab—be>0
c2c2
2.(2024?安徽淮北?二模)已知a"ER,下列命題正確的是()
A.若ab=1,則a+Z)>2
B.若工<則a>b
ab
C.若a>b,則ln(a—b)>0
D.若a>b>0,則ad——
ba
3.(2024?天津?一模)已知a,6eR,則“b>|a|"是“a2<爐”的()
A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件
4.(2023?山西臨汾?模擬預(yù)測)若a,beR,則“a<b”是“。3_。2b<0”的()
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分又不必要條件
考點二、比較大小
典例引領(lǐng)
1.(22-23高三上?天津河?xùn)|?期中)若a=巴2b=11121n3,c="則a,b,c的大小關(guān)系是()
44
A.a>b>cB.c>b>aC.c>a>bD.b>a>c
2.(2024?四川成都?模擬預(yù)測)已知a,b為實數(shù),則使得((a>b>0”成立的一個必要不充分條件為
()
11
A.->mB.ln(a+1)>ln(b+1)
C.a3>b3>0D.Va—1>y/b—1
1.(22-23高三上?天津河西?期末)若a,b,ceR,a>b,則下列不等式成立的是(
A.—<C-B.a2<b?C.——>—D.ct\c\>b\c\
abc2+lc2+l1111
2.(2023?天津?一模)設(shè)a>0,h>0,則“a>b”是“工<的()
ab
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
3.(232高三上?天津和平?開學(xué)考試)已知a是實數(shù),貝La>l”是“0+"2”的().
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
4.(2024?北京西城?一模)設(shè)a—t--,b—tc=t(2+t),其中一lVtVO,貝1J()
A.b<a<cB.c<a<b
C.b<c<aD.c<b<a
考點三、最值與取值范圍問題
1.(2024高三?全國?專題練習(xí))已知12<a<60,15<6<36,則a-b的取值范圍是,藍的取
值范圍是.
2.(2024?全國?模擬預(yù)測)已知實數(shù)%,y滿足一lV%<yVl,貝!J%+y的取值范圍是.
即時檢測
I_________L__________
1.(2024高三?全國?專題練習(xí))若實數(shù)x,y滿足lWxy2W4,3Wx2y《5,則xy5的取值范圍是.
2.(2024?河北石家莊?二模)若實數(shù)x,y,z>0,且x+y+z=4,2%—y+z=5,則M=4x+3y+5z的
取值范圍是.
3.(23-24高三下?重慶渝北?階段練習(xí))已知三個實數(shù)a、b、c,其中c>0,bW2a+3c且be=a2,則*
b
的最大值為.
4.(2024?浙江?模擬預(yù)測)已知正數(shù)a,b,c滿足a?+c?=16,b2+c2-2S,則k=a?+b?的取值范圍
為_____
5.(2024?廣東?三模)設(shè)實數(shù)x、y、z、t滿足不等式1W久WyWzWtW100,貝仁+三的最小值為.
yt--------
考點四、一元二次不等式
1.(2024?上海?高考真題)已知x6R,則不等式/-2x-3<0的解集為
2.(23-24高三上?河北石家莊?階段練習(xí))不等式然<0的解集是()
A.^x|—|<x<jjB.{x|一|<久<|}
C.{x|x<一|或x>|}D.{幻%<一[或%>|}
??口叫螂L
1.(23-24高三下?陜西安康?階段練習(xí))在區(qū)間[。,5]內(nèi)隨機取一個實數(shù)a,則關(guān)于x的不等式/+
(2-a)x-2a<0僅有2個整數(shù)解的概率為()
2311
A-sB-wC-sD-IF
2.(2024高三?全國?專題練習(xí))已知a,beR且ab*0,若(x—a)(x—6)(尤—2a—b')>0在;c>0上恒
成立,貝U()
A.a〈0B.a>0C.b<0D.b>0
3.(23-24高三下?上海?階段練習(xí))設(shè)。>0,若關(guān)于久的不等式/一a%<0的解集是區(qū)間(0,1)的真子集,
貝b的取值范圍是.
4.(2023?全國?模擬預(yù)測)定義:若集合4B滿足力CBH0,存在a€4且aWB,且存在6€B且6任4
則稱集合4B為嵌套集合.已知集合4=\x\2x-x2<0且xGR+},B={x\x2-(3a+l)x+2a2+2a<0},
若集合4B為嵌套集合,則實數(shù)a的取值范圍為()
A.(2,3)B.(-oo,1)C.(1,3)D.(1,2)
考點五、一元二次方程跟的分布
典蝸網(wǎng)
1.(23-24高三上?四川?階段練習(xí))若關(guān)于x的方程/一2a久+a+2=0在區(qū)間(一2,1)上有兩個不相等的
實數(shù)解,貝b的取值范圍是()
A(-?-1)B.
C.(一8,一q)U(—1,+8)D.(—8,一§U(1,+8)
2.(21-22高三上?江蘇南通,期中)已知關(guān)于x的不等式a/+2bx+4<0的解集為(zn,其中zn<0,
則9+:的最小值為()
4ab
A.-2B.1C.2D.8
1.(2024高三?全國?專題練習(xí))關(guān)于%的方程a/+(a+2)x+9a=0有兩個不相等的實數(shù)根且久1<
1V%2,那么。的取值范圍是()
222
A.—<a<—B.。>一
755
C.a<—2D.---2<a<0
711
2.(2023?北京海淀?模擬預(yù)測)已知關(guān)于x的不等式%2+ax+b>0(a>0)的解集是{用久Hd},,則下列
四個結(jié)論中錯誤的是()
A.a2=4b
B.a?-]—>4
b
C.若關(guān)于x的不等式%2+一6<o的解集為(久1,外),則%i%2>0
D.若關(guān)于x的不等式%2+a%+力<。的解集為(%],上),且|%1-%21=4,貝!Jc=4
3.(21-22高三上?上海浦東新?階段練習(xí))如果二次方程%2一。%一9=03?6")的正根小于3,那么這
樣的二次方程有一個.
考點六、一元二次不等式恒成立
典例引領(lǐng)
1.(2024高三?全國?專題練習(xí))若不等式(a-2)/+2(a-2)x-4<0對一切xGR恒成立,則實數(shù)a的
取值范圍是()
A.(-co,2]B.[-2,2]
C.(-2,2]D.(—8,—2)
2.(2024?陜西西安?模擬預(yù)測)當時,不等式%2一a%+1工o恒成立,則實數(shù)a的取值范圍
是.
即時檢測
1.(2024高三?全國?專題練習(xí))已知b>0,若對任意的%G(0,+oo),不等式4a%3+8/—尤%—2b<0
恒成立,則小+2a+4b+ab的最小值為.
2.(22-23高三上?河北衡水-階段練習(xí))已知對任意實數(shù)久>0,不等式(2--ax-10)ln->0恒成立,
a
則實數(shù)a的值為.
3.(2024?陜西榆林?三模)已知aE(0,2兀),若當久E[0,1]時,關(guān)于%的不等式($1,11/+。0$/+1)%2—
(2sina+1)%+sina>0恒成立,則a的取值范圍為()
A-心箸)B.(7-V)C-(看片)D.
4.(2024?湖北?二模)已知等差數(shù)列的前n項和為%,且%=n2+m,nEN*,若對于任意的aG[0,1],
不等式&<x2-(l+a)x-2a2-a+2恒成立,則實數(shù)x可能為()
n
A.—2B.0C.1D.2
IN.好題沖關(guān)
A基礎(chǔ)過關(guān)
1.(2021?天津和平?一模)設(shè)aeR,貝U"2<a<3”是“(a+l)(a—6)<0”的()
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
2.(2024?河北唐山?一模)已知x6R,p:“式2—%>0",q."%>1",則p是q的(
A.充分但不必要條件B.必要但不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
3.(23-24高三上?天津北辰?期中)設(shè)xeR,則>1”是,,工<J成立的()
X
A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件
C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件
4.(2022?天津?二模)設(shè)xeR,則“xW3”是“一<3久”的()
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
5.(2024?天津-一模)設(shè)則“x<0”是“久2—無>o”的()
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件
6.(2024高三下?全國?專題練習(xí))已知2<aV3,-2<6<-1,則Q+2b的取值范圍為
7.(2024高三下?全國?專題練習(xí))若關(guān)于x的不等式(加一3)%2一2血%—8>0的解集是一個開區(qū)間,且
區(qū)間的長度L滿足Le[L2],求實數(shù)m的取值范圍(注:開區(qū)間(a,b)的長度L=b-a).
B能力提升
1.(2024?福建寧德?三模)函數(shù)/(%)=已,若關(guān)于x的不等式?。ū龋2-af(x)<0(aGR)有且僅有三個整
數(shù)解,則a的取值范圍是()
A.B-(高哥
C.島,舟D.
2.(2022?河南南陽?模擬預(yù)測)己知命題p:Vx6/?,/+4x-m20恒成立;命題q:/(x)=-x2+
(根-1)%在[-3,+8)上單調(diào)遞減.若2八(/為假命題,pvq為真命題,則實數(shù)血的取值范圍是(
A.[-4,-3]B.(—5,—4]
C.(-00,-5)U(—4,4-oo)D.(-oo,-6)U(—4,+oo)
3.(2024?甘肅張掖?模擬預(yù)測)不等式|一一3%|<2-2%的解集是()
4.(2024高三?全國?專題練習(xí))已知函數(shù)/'(x)=/+a久+6(a,beR)的最小值為0,若關(guān)于久的不等式
/0)<?的解集為(>1,6+4),則實數(shù)(:的值為()
A.9B.8C.6D.4
5.(23-24高三下?山東荷澤?階段練習(xí))已知條件q:“不等式(a2-4)x2+(a+2)%-1>0的解集是空
集”,則條件p:“—2Wa<1”是條件q的()
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件
6.(2024?廣東?一模)已知a,b,cER且a豐0,貝?。荨癮/+bx
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