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第02講等式與不等式

（6類核心考點(diǎn)精講精練）

IN.考情探究?

1.5年真題考點(diǎn)分布

5年考情

考題示例考點(diǎn)分析

2019年天津卷，第10題,5分解不含參數(shù)的一元一次不等式

2017年天津卷，第2題,5分必要條件的判定及性質(zhì)解不含參數(shù)的一元一次不等式

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度為低難度與中檔難度，分值為5分

【備考策略】1.理解、掌握不等式的性質(zhì)，能夠運(yùn)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行比較大小

2.能掌握一元二次不等式的性質(zhì)

3.掌握一元二次不等式根與系數(shù)的關(guān)系

4.會(huì)解一元二次不等式、能夠解決一元二不等式的恒成立與存在成立等問題

【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，一般考查不等式的性質(zhì)，一元二次不等式的性質(zhì)等。

IT）.考點(diǎn)梳理?

I1.兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的方法I考點(diǎn)一、等式與不等式的性質(zhì)

「知識(shí)點(diǎn)一.等式與不等式的性質(zhì)Y2.等式的性質(zhì)<考點(diǎn)二、比較大小

3.不等式的性質(zhì)考點(diǎn)三、最值與取值范圍問題

等式與不等式

1.一元二次不等式的概念「

2.二次函數(shù)與一元二次方程的根、一元二次不考點(diǎn)四、一元二次不等式

1知識(shí)點(diǎn)二.一元二次不等式<等式的解集的對(duì)應(yīng)關(guān)系<考點(diǎn)五、一元二次方程跟的分布

3.一元二次不等式的解法考點(diǎn)六、一元二次不等式恒成立

4三.個(gè)“二次”間的關(guān)系

知識(shí)講解

知識(shí)點(diǎn)一.等式與不等式的性質(zhì)：

1.兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的方法

1

(1)作差法

a-b>0<=>a>b,

a-b=0Qa-b,

a-b<0<=>a<b.

(2)作商法

>l(aeR,b>0)Qa>b(aER,b>0),

￡=l(a,bH0)=a=b(a,bW0),

<l(aER,b>0)QaVb(aER,b>0),

2.等式的性質(zhì)

(1)對(duì)稱性:若a=b,則b=a.

⑵傳遞性:若b=c,則a=c.

⑶可加性：若a=b,貝！Ja+c=b+c.

(4)可乘性：若a=b,則ac=bc;若a-b,c=d,則ac=bd

3.不等式的性質(zhì)

⑴對(duì)稱性：a>b=>b<a;

(2)傳遞性：a>b,b>c=a>c\

(3)可加性a>b=>a+c>b+c;a>b,c>d<=>a+c>b+d

(4)可乘性：a〉b,c>0<=?ac>bc;a>b,c<0<=>ac<cb',a>b>0,c>d>0oac>bd\

⑸可乘方：a>b>0<=^>an>(nGN,n>l);

(6)可開方a>b>0=\[a>\[b(nGN,n>2).

知識(shí)點(diǎn)二.一元二次不等式

1.一元二次不等式的概念

只含有一個(gè)未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，叫做一元二次不

定義

等式

ax-\~bx-\-c>0,ax-\~bx~\-c<0,axbx~\~,ax~\~bx-\-c^O,其中aWO,

一般形式

a,b,。均為常數(shù)

2.二次函數(shù)與一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的對(duì)應(yīng)關(guān)系

判別式A=6—4ac4>0A=0/〈0

二二王

二次函數(shù)y=ax+bx

+c(a>0)的圖象

有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)

一元二次方程a/+有兩個(gè)不相等的實(shí)

沒有實(shí)數(shù)根

8x+c=0(a>0)的根數(shù)根耳，x(x<x)根％=入2=~~~

2l22a

2

ax-\~bx~\-c>0(a>0)

{xx〈蒞，或x>&}R

的解集L2a.

ax+bx~\~c<0(a>0)

{x〈王}0叁

的解集

3.一元二次不等式的解法

1.將不等式的右邊化為零，左邊化為二次項(xiàng)系數(shù)大于零的不等式ax12+bx+c>0(a>0)或ax2+bx+c<0(a

>0).

2.求出相應(yīng)的一元二次方程的根.

3.利用二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)確定一元二次不等式的解集.

方程的根一函數(shù)草圖一觀察得解，對(duì)于a<0的情況可以化為a>0的情況解決

注：對(duì)于二次型一元二次不等式應(yīng)首先考慮二次項(xiàng)系數(shù)的情況，當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為0時(shí)，按照一次不等式來

解決，對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)的情況一般將二次項(xiàng)系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)之后再解。

注：對(duì)于含參一元二次不等式內(nèi)容首先考慮能不能因式分解，然后就二次方程根進(jìn)行分類討論，同時(shí)注意

判別式韋達(dá)定理的應(yīng)用。

4.三個(gè)“二次”間的關(guān)系

判別式A=b2—4acA>0A=0A<0

1/

二次函數(shù)y=ax?+bxV

x\]plxX

+c(a>0)的圖象2。陸%27

有兩相等實(shí)根Xi=X

一元二次方程ax2+bx有兩相異實(shí)根X1,2

__b_沒有實(shí)數(shù)根

+c=0(a〉0)的根X(Xi<X)=

222a

ax2+bx+c>0(a>0){xx>x?(1zb'

<xIxW——.R

的解集或XVxJ2a]

ax2+bx+c<0(a>0)

{xXjVxVx?}00

的解集

考點(diǎn)一、等式與不等式的性質(zhì)

典例引領(lǐng)

1.(2024?遼寧?模擬預(yù)測(cè))若a>b,則下列說法正確的是()

A.a2>b2B.lg(a—ft)>0C.a5>b5D.|a3|*>|b3|

【答案】C

【分析】利用特殊值判斷A、B、D,根據(jù)嘉函數(shù)的性質(zhì)判斷C.

【詳解】對(duì)于A：當(dāng)a=0、b=-1,滿足a>b,但是a2Vb2,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：當(dāng)a=0、b=—1,滿足a>b,但是lg(a—b)=Igl=0,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：因?yàn)閥=必在定義域R上單調(diào)遞增，若a>b,則。5>臚，故c正確

對(duì)于D：當(dāng)a=l、b=-1,滿足a>b,但是爐|=也3],故口錯(cuò)誤.

故選：C

2.(2024,山東濱州?二模)下列命題中，真命題的是()

A.若a>b,則ac>beB.若a>b,則小>接

C.若tie?之be2,則a之bD.若a+2b=2,則加十#24

【答案】D

【分析】由不等式的性質(zhì)可判斷A,B,C,利用基本不等式。+力22傾，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立，即可

判斷D.

【詳解】對(duì)于A,由a>b,c=?？傻胊c=bc,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,由a>0,h<0,|a|<|b|,可得a2Vb2,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若以22be?,且當(dāng)c=0時(shí)，可得a,b為任意值，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,因?yàn)?a+4匕=2。+22b之272a?22b=272。+2b=4,當(dāng)且僅當(dāng)a=2b=1時(shí)，等號(hào)成立，

即2a+4匕24,故D正確.

故選：D.

也即咪機(jī)

1.(22-23高三上?甘肅定西?階段練習(xí))已知a>b>0,c<0,則下列正確的是()

A.ac>beB.ac>bcC.D.ab-be>0

cLcL

【答案】D

【分析】對(duì)于ACD,利用作差法判斷，對(duì)于B,利用幕函數(shù)的性質(zhì)比較.

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)閍>b>0,cV0,所以ac-be=(a-b)cV0,所以acVbc,所以A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,因?yàn)閥="(c<0)在(0,+8)上遞減，且a>b>0,所以a。V〃，所以B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,因?yàn)閍>b>0,eV。，所以g—-2=~2~<0,所以芻<弓，所以C錯(cuò)誤；

ccccC

對(duì)于D,因?yàn)閍>b>0,cV0,所以ab—be=b(a—c)>0,所以D正確.

故選：D

2.(2024?安徽淮北?二模)已知見beR,下列命題正確的是()

A.若ab=1,則a+bN2

B.若工<工，則a>b

ab

C.若a>b,則ln(a—b)>0

4

,,-1-1

D.右a>b>0,則H—>bH—

CLba

【答案】D

【分析】舉反例即可推出A,B,C錯(cuò)誤，D利用反比例函數(shù)單調(diào)性和不等式可加性即可證得.

【詳解】當(dāng)a=—l,b=—1時(shí)，a+b=—2,所以A錯(cuò).

當(dāng)a<0,b>0時(shí)，a<b,所以B錯(cuò).

當(dāng)Q=2,b=l時(shí)，ln（a—h）=0,所以C錯(cuò).

若a>b>0,貝心〉工>0,則a+<>b+L成立，所以D正確.

baba

故選：D

3.（2024?天津?一模）已知a,6€R,則“b>|a|”是‘壯<廣”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義分析判斷即可.

【詳解】因?yàn)閍,beR,當(dāng)b>|a|時(shí)，有b>⑷20,則a?<按成立，即充分性成立；

022

當(dāng)｛/二r時(shí)，0<（-1）,即a2<62成立，而—即b>|a|不成立，進(jìn)而必要性不成立.

所以a,beR,"b>|a|"是“a?<房”的充分不必要條件.

故選：A.

4.（2023?山西臨汾?模擬預(yù)測(cè)）若a,bGR,則“a<b”是“a3—a2b<0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】B

【分析】

利用不等式的性質(zhì)，結(jié)合充分必要條件的定義即可得解.

【詳解】當(dāng)a<b時(shí)，取a=0,則a3—a2b=0,即充分性不成立；

當(dāng)a3—a2b<0時(shí)，有a2（a—b）<0,則aK0,故a2>0,

所以a—b<0,即a<b,即必要性成立；

綜上，“a<b”是“。3一02b<0"的必要不充分條件.

故選：B.

考點(diǎn)二、比較大小

典例引領(lǐng)

1.（22-23高三上.天津河?xùn)|?期中）若a=竽，&in21n3,。=中，則a”c的大小關(guān)系是（)

5

A.a>b>cB.c>b>aC.c>a>bD.b>a>c

【答案】c

【分析】根據(jù)a>boa-b>0,因此要比較a,b的大小，作差，通分，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，即可求得a,

b的大?。焕脤?duì)數(shù)函數(shù)y=lnx的單調(diào)性，可知ln2m>ln6>0,然后利用不等式的可乘性，即可得出a,

c的大小.

22

,七版、hj],ln6,?(In2+ln3)2-41n21n3(In2-ln3)n.,

【詳解】角牛：a—b=--4--In21n3=-------4------=----4---->0,..a>b,

而ln(2n)>ln6>0,即c>a,

因此c>a>b.

故選：C.

2.(2024?四川成都?模擬預(yù)測(cè))已知a,b為實(shí)數(shù)，則使得“a>b>0”成立的一個(gè)必要不充分條件為

()

11

A.-[B.ln(a+1)>ln(b+1)

C.a3>b3>0D.Va-1>>Jb-1

【答案】B

【分析】利用不等式的性質(zhì)、結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)單調(diào)性，充分條件、必要條件的定義判斷即得.

【詳解】對(duì)于A,工>:，不能推出a>6>0,如反之a(chǎn)>b>0,則有工<1,

ab—3—2ab

即1>3是a>b>。的既不充分也不必要條件，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,由ln(a+1)>ln(b+1),得a+l>h+l>0,即a>b>—1,

不能推出a>b>0,反之a(chǎn)>b>0,則

因此ln(a+1)>ln(6+1)是a>b>0的必要不充分條件，B正確；

對(duì)于C,a3>h3>0<=^a>Z)>0,a3>b3>0是a>b>0的充分必要條件，C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,由Va—1>7b-1,得。>6>1>0,反之Q>b>0不能推出。>b>1,

因此是a>b>0的充分不必要條件，D錯(cuò)誤.

故選：B.

即時(shí)校(

1.(22-23高三上?天津河西?期末)若a,b,c￡R,a>b,則下列不等式成立的是()

A.—<—B.a2<￡>2c.-j—>-z—D.u\c\>b\c\

abc2+lc2+l1111

【答案】c

【分析】舉反例排除ABD,利用不等式的性質(zhì)判斷C即可得解.

【詳解】對(duì)于A,取a=1,6=—1,滿足a>b,但工>：,故A錯(cuò)誤；

ab

對(duì)于B,取a=l,b=—l,滿足a>b,但次=52,故B錯(cuò)誤;

6

對(duì)于D,取c=0,則a|c|=b|c|,故D錯(cuò)誤;

對(duì)于C,因?yàn)镃2+121>0,則六>0,

又a>b,所以-2A■>29故C正確.

cz+lcz+l

故選：C.

2.（2023?天津?一模）設(shè)a>0,b>0,則“a>b”是“工〈工”的（）

ab

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】利用作差法結(jié)合得出工的等價(jià)條件，即可得出結(jié)論.

ab

【詳解】因?yàn)閍>0,b>0,由一<，可得|==4>0,則a—>0,即a>b,

abbaab

因此，若a>0,b>0,則“a>b"是△<<”的充要條件.

ab

故選：C.

3.（23-24高三上?天津和平?開學(xué)考試）已知a是實(shí)數(shù)，貝lj"a>1”是“a+工>2”的（）.

a

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】判斷“a>1”和“a+工〉2”之間的邏輯推理關(guān)系，即得答案.

a

【詳解】當(dāng)a>l時(shí)，a+工一2=正如口="史>0,

aaa

故a+1>2,即a>1成立，則a+工>2成立；

aa

當(dāng)。=決寸，a+}=；+2>2,但推不出a>1成立，

故“a>l”是“。+工>2”的充分不必要條件，

a

故選：A

4.（2024?北泉西城?一'模）設(shè)。=t—=t+=t（2+t）,其中—1VCV0,則（）

A.b<a<cB.c<a<b

C.Z）<c<aD.c<b<a

【答案】c

【分析】借助正負(fù)性、對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)及二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可得.

【詳解】由—1vtV0,故8,—1）,故a=t—3>0,

由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可得b=t+|<-（1+1）=-2,

c=t(2+t)<0,且c=t?(2+t)=曰+2t=(t+1)2—1之一1,

綜上所述，有b<cVa.

7

故選：C.

考點(diǎn)三、最值與取值范圍問題

典例引領(lǐng)

1.（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知12<a<60,15<b<36,貝ija-b的取值范圍是，押取

值范圍是.

【答案】（-24,45）&4）

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)即可求解.

【詳解】因?yàn)?5<b<36,所以一36<-b<-15.

又12<aV60,

所以12—36Va-bV60—15,

所以-24Va—b<45,

即a-b的取值范圍是（一24,45）.

11112a6O

為

所以

因<<<<

一

一------

b36b15

3615

艮畤<三<4,

3b

所以?的取值范圍是Q,4）

答案：（—24,45）,（g4）

2.（2024?全國?模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)比，y滿足一1<久<y<l,則％+y的取值范圍是

【答案】（一2,2）

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)即可求解.

【詳解】由一1<x<y<1可得一1<x<1,-1<y<1,所以一2<x+y<2,

故答案為：（-2,2）

即0睜（

1.（2024高三?全國?專題練習(xí)）若實(shí)數(shù)x,y滿足lWxy2W4,3Wx2yW5,則xy5的取值范圍是.

【答案】向y]

【詳解】

,111J-164

因?yàn)椋▁y2）3￡[l,64],—e3],所以xy5=（xy2）3?氏八氐?].

x2y5

2.（2024?河北石家莊?二模）若實(shí)數(shù)x,y,z20,且x+y+z=4,2%一y+z=5,則M=4x+3y+5z

的取值范圍是.

【答案】[15,19]

8

【分析】先得到汽=3-條y=1-1，并根據(jù)居y,z20得到0Wz43,從而求出聞=￡+15E[15,19].

【詳解】因?yàn)椋?y=4—z,2%—y=5—z,故％=3—日,y=1—導(dǎo)

f3-f-0

由％,y,z2。得Jj_￡>0,解得0WzW3,

Iz>0

故M=4x+3y+5z=4（3-1）+3（1-§+5z=3+15€[15,19].

故答案為：[15,19]

3.（23-24高三下?重慶渝北?階段練習(xí)）已知三個(gè)實(shí)數(shù)a、b、c,其中c>0,bW2a+3c且be=。2,則三至

b

的最大值為.

【答案】I

【分析】依題意可得2a+3c,進(jìn)而得a2—2ac—3c2wo,即可求出f的范圍，于是三名=竺孝=￡一

cabaa

25，令:=3f?=t—2t2,利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可求解最值.

【詳解】當(dāng)c>0時(shí)滿足b<2a+3c且be=a2,

2d+3c,即4—2tie—3c24o,進(jìn)而(-)—2x——3W0,解得-1W*w3.

c\c/cc

所以*>|■或臼<—1,

a3a

令展=t,tE[w，+8)U(—8—1],

令用)=-2/+1=-2?-3+1,t￡[p+co)u(-oo-l],

所以f(t)在(-8,-1]上單調(diào)遞增，在*,+8)上單調(diào)遞減，

又，G）4—3,所以/⑴4，

即ajc的最大值為!.

b9

故答案為：，

4.（2024?浙江?模擬預(yù)測(cè)）已知正數(shù)a,b,c滿足/+。2=16,Z）24-c2=25,則/c=/+^的取值范圍

為.

【答案】9</c<41

【分析】

根據(jù)不等式的性質(zhì)即可求解.

【詳解】

???正數(shù)a、b、c滿足a?+c2=16,爐+/=25,

c2=16—a2,次>o所以o<c2V16

9

同理：有c2=25-/得到0<?2<25,所以0<c2<16

兩式相加：a2+b2+2c2=41

即a?+b2-41—2c2

又16<-c2<0,即一32C一2c2<0

???9<41-2c2<41

即9<k<41.

故答案為：9<fc<41

5.（2024?廣東?三模）設(shè)實(shí)數(shù)x、y、z、t滿足不等式1Wx<yWz<tW100,貝仁+三的最小值為_____.

yt

【答案】1/0.2

【分析】令x=Lt=10。，根據(jù)分母最大分子最小時(shí)分式的值最小可得工+三2工+高，結(jié)合基本不等式和

yty100

三21計(jì)算即可.

y

【詳解】因?yàn)閘WxWyWzWtWIOO,所以221,

當(dāng)且僅當(dāng)工=熱即yz=100時(shí)等號(hào)成立,

y100

即工+?的最小值為"

yt5

故答案為：

考點(diǎn)四、一元二次不等式

典例引領(lǐng)

1.（2024?上海?高考真題）已知xGR,則不等式/-2%-3<0的解集為

【答案】{x|-1<刀<3}

【分析】求出方程/-2x-3=0的解后可求不等式的解集.

【詳解】方程/一2萬一3=0的解為x=—l或x=3,

故不等式/-2x-3<0的解集為{久[-1<x<3},

故答案為：&|一1<》<3}.

2.（23-24高三上?河北石家莊?階段練習(xí)）不等式篝<0的解集是（）

2x4-3

A{x\-l<x<l}B.{十|<x<g}

C.{%|%<一:或久>曰}D.{x\x<—>|]

【答案】B

【分析】化分式不等式為一元二次不等式求解即得.

10

【詳解】不等式表|<0化為：(2x+3)(3x—2)<0,解得一|<久<|,

所以不等式黑<0的解集是{刈—|<x<芻.

故選：B

1.(23-24高三下?陜西安康?階段練習(xí))在區(qū)間[0,5]內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)a,則關(guān)于x的不等式d+(2-

a)x—2a<0僅有2個(gè)整數(shù)解的概率為()

A.-2B.—3C.-1D.—1

510510

【答案】C

【分析】利用一元二次不等式解得xe(-2,a),可得區(qū)間(-2,a)內(nèi)僅包含-1,。兩個(gè)整數(shù)，再利用幾何概型

概率公式可得結(jié)果.

【詳解】根據(jù)題意可得不等式/+(2-a)x-2a<0等價(jià)于(x+2)(x-a)<0；

因?yàn)閍e[0,5],所以不等式的解集為(—2,a)；

依題意可得區(qū)間(-2,a)內(nèi)僅有兩個(gè)整數(shù)，即包含-1,。兩個(gè)整數(shù)，可得0<aWl；

由幾何概型概率公式可得其概率為P=蕓=J

5—(J5

故選：C

2.(2024高三?全國?專題練習(xí))已知a,b6R且ab40,若Q-a)Q-切(久—2a—b)20在x20上恒

成立，貝U()

A.a<0B.a>0C.b<0D.b>0

【答案】c

【分析】對(duì)a,b的符號(hào)分正負(fù)兩種情況討論，結(jié)合穿根法及三次函數(shù)的性質(zhì)分析即可得到答案.

【詳解】由abH0得aH0,bH0,/(%)=(x—a)(x—b)(x—2a—b)=0=>xr=a,x2=b,x3=2a+b

①若a>0,b>0,則2a+b>0,且2a+b>a,2a+b>b,

根據(jù)穿根法可知％e{a,2a+b)或％e(b,2a+b)時(shí)不符合題意，舍去；

②若a>0,bVO,要滿足題意則a=2a+b>b=a+b=0,符合題意，如圖所示；

③當(dāng)aV0,b>0時(shí)，同理要滿足題意需2a+b=b>a=a=0,與前提矛盾；

④當(dāng)aVO,bVO,止匕時(shí)2a+b<。，則f(%)=(%-a)(%—b)(久一2a—5)的三個(gè)零點(diǎn)都是負(fù)數(shù)，由穿根法

11

可知符合題意；

綜上可知滿足(x-a)(x-6)(x-2a-b)>0在x>0恒成立時(shí)，只有b<0滿足題意.

故選：C.

3.(23-24高三下?上海?階段練習(xí))設(shè)a>0,若關(guān)于x的不等式/—ax<0的解集是區(qū)間(0,1)的真子集,

貝b的取值范圍是.

【答案】(0,1)

【分析】

解一元二次不等式結(jié)合真子集的概念即可得解.

【詳解】

因?yàn)閍>0,所以/-ax<0=>0<x<a,

又不等式/一a久<0的解集是區(qū)間(0,1)的真子集，則a6(0,1).

故答案為：(0,1).

4.(2023?全國?模擬預(yù)測(cè))定義：若集合4,8滿足2C8片0,存在a64且a任8,且存在beB且6任力，

則稱集合4B為嵌套集合.已知集合A=[x\2x一/W0且久eR+},B={x|x2-(3a+l)x+2a2+2a<0},

若集合4B為嵌套集合，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

A.(2,3)B.(-oo,1)C.(1,3)D.(1,2)

【答案】A

【分析】作出函數(shù)丫=/,>,=2欠的圖象，結(jié)合函數(shù)圖象即可求出集合4分類討論求出集合B,再根據(jù)嵌套

集合的定義即可得解.

【詳解】因?yàn)樗?K0,B#0,

由2%一第24o,得2%<x2,

如圖，作出函數(shù)y=%2,y=2"的圖象，

由圖可知，不等式2%-/工0(久>0)的解集為[2,4],

所以4=[x\2x-%2<0且％ER+}=[2,4],

由%2—(3a+l)x+2G2+2a<0,得(％—2d)[x—(a+1)]<0,

當(dāng)2a=a+l,即a=l時(shí)，則8=0,不符題意；

12

當(dāng)2Q>Q+1,即Q>1時(shí)，則8=(a+1,2a),

由a>1,得a+1>2,

(a>1

根據(jù)嵌套集合得定義可得a+K4,解得2<aV3；

(2a>4

當(dāng)2aVa+l,即aVl時(shí)，則8=(2a,a+1),

由a<1,得2aV2,

(a<1

根據(jù)嵌套集合得定義可得a+K4,無解，

(a+1>2

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(2,3).

故選：A.

考點(diǎn)五、一元二次方程跟的分布

典例引領(lǐng)

1.(23-24高三上?四川?階段練習(xí))若關(guān)于%的方程/-2ax+a+2=0在區(qū)間(-2,1)上有兩個(gè)不相等的

實(shí)數(shù)解，貝!la的取值范圍是()

A-(-M

C.(一8,一§U(-1,+8)D.(-8,-g)U(1,+8)

【答案】A

【分析】

A>0

令g(%)=x2—2ax+a+2,依題意可得，解得即可?

9⑴>0

【詳解】

令9(%)=x2-2ax+a+2,因?yàn)榉匠?2-2ax+a+2=0在區(qū)間(一2,1)上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解,

A>0A=4a2-4(a+2)>0

—2<a<1,,;2<a<1，解得-?!<"-1,

所以g(-2)>0'即n

4+4a+a+2>05

。⑴>o1—2a+a+2>0

所以a的取值范圍是(—a―1).

故選：A.

2.(21-22高三上?江蘇南通?期中)已知關(guān)于x的不等式a/+2b久+4<0的解集為其中m<0,

則卷+g的最小值為

A.-2B.1C.2D.8

【答案】C

13

【分析】由不等式的解集結(jié)合基本不等式得到a=1,b>2,從而利用基本不等式求出?+1的最小值.

4ab

【詳解】由題意可知，方程a/+2bx+4=0的兩個(gè)根為m,—,則zn解得：a=1,故血+±=-2b,

mmam

m<0,

所以2b=—TH—士22鼠m）丁==4,當(dāng)且僅當(dāng)一瓶二一￡,即血=一2時(shí)取等號(hào)，則b22,

m~\l\mJm

所以二+1=2+:22屋=2,當(dāng)且僅當(dāng)即b=4時(shí)取等號(hào)，

4a匕4匕74b4b

故：的最小值為2.

4ab

故選：C.

即時(shí)檢測(cè)

1.（2024高三?全國?專題練習(xí)）關(guān)于K的方程a/+（a+2）x+9a=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根久力冷，且%1<

1Vx2,那么Q的取值范圍是（）

A2.2n、2

A.—VaV-B.a>—

755

22

C.a<—D.----<a<0

711

【答案】D

【分析】說明a=0時(shí)，不合題意，從而將a/+（a+2）%+9a=0化為/+（1+：）冗+9=0,令y=/+

（1+勺％+9,結(jié)合其與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且分布在1的兩側(cè)，可列不等式即可求得答案.

【詳解】當(dāng)a=0時(shí)，a/+（a+2）%+9a=0即為2%=0,不符合題意；

故aW0,ax2+（a+2）x+9a=0即為％2+^l+|^x+9=0,

令y=/+（i+g%+9,

由于關(guān)于％的方程a/+（a+2）x+9a=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根%力冷，且％1<1<x2f

則y=ax2+（a+2）x+9a與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且分布在1的兩側(cè)，

故％=1時(shí)，y<0,即1+（1+，x1+9<0,解得白〈一11,故一Z〈QV0,

故選：D

2.（2023?北京海淀?模擬預(yù)測(cè)）已知關(guān)于x的不等式/+a%+匕>0（。>0）的解集是{第|%Wd},,則下列

四個(gè)結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

A.a2=4b

B.a2+7>4

b

C.若關(guān)于x的不等式%2+q%-bV0的解集為（勺，M），則％i第2>0

D.若關(guān)于x的不等式%2+口％+匕v。的解集為（％],冷），且吊一％21=4,貝！Jc=4

【答案】C

14

【分析】利用一元二次不等式的解法與一元二次方程之間的關(guān)系以及韋達(dá)定理，基本不等式進(jìn)行求解即可.

【詳解】由題意△=十一4匕=0,a2=4b,所以A正確；

對(duì)于B:/+：=4+芻22/a2-=4,當(dāng)且僅當(dāng)/=之即。=魚時(shí)成立，

ba'7aza”

所以B正確；

n2

對(duì)于C,由韋達(dá)定理，可知/久2=-卜=-1V。，所以C錯(cuò)誤；

2

對(duì)于由韋達(dá)定理，可知％汽。，n

D,1+2=-%1%2=b-C=-4-C,

則出一亞1=+%2)2-4/％2=Ja2_4住-c)=2&=4,解得c=4,

所以D正確，

故選：C.

3.(21-22高三上?上海浦東新?階段練習(xí))如果二次方程/—p%—4=。(「《62)的正根小于3,那么這

樣的二次方程有一個(gè).

【答案】7

【分析】令/⑶=/—2久―q(p,qeN*),則由題意可得勿累：，再結(jié)合p,q€N*可求出結(jié)果.

[詳解】設(shè)/'(X)-x2-px-q(p,qeN*),

因?yàn)閒(O)=-q<0,/(3)=9-3p—q>0，

所以3p+q<9,又p,qeN*,

當(dāng)p=l時(shí)，q=1,2,3,4,5,當(dāng)p=2時(shí)，q=1,2.

所以共7種可能.

故答案為：7

考點(diǎn)六、一元二次不等式恒成立

典例引領(lǐng)

1.(2024高三?全國?專題練習(xí))若不等式(a—2)/+2(a—2)%—4<0對(duì)一切xeR恒成立，則實(shí)數(shù)a

的取值范圍是()

A.(-oo,2]B.[-2,2]

C.(-2,2]D.(-co,-2)

【答案】C

【分析】對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行分類討論可得a=2符合題意，當(dāng)a力2時(shí)利用判別式可求得結(jié)果.

【詳解】當(dāng)a-2=0,即a=2時(shí)，不等式為一4<0對(duì)一切xeR恒成立.

當(dāng)心2時(shí),需滿足人假”算著6；”2)<0,

15

即｛°n'解得一2<a<2.

I。-2+4>0

綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（一2,2］.

故選：C

2.（2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè)）當(dāng)時(shí)，不等式%2一口％+140恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍

是.

【答案】［|,+8）.

【分析】根據(jù)題意分離參數(shù)a,進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)求定區(qū)間的最值即可.

【詳解】當(dāng)時(shí)，不等式/一ax+1wo恒成立，

所以當(dāng)1<久<2時(shí)，a2二^=x+工恒成立，則a2（x+「），

XX\"max

令g（x）=比+［，則g（x）在［1,2］單調(diào)遞增，

所以g（x）max=g⑵=2+=也所以a21

故答案為：［|,+8）.

也即時(shí)檢測(cè)

1.（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知b>0,若對(duì)任意的xG（0,+oo）,不等式4a久3+8/—ab久—2b<0

恒成立，則/+2a+4b+ab的最小值為.

【答案】16-8V2

【分析】先把原不等式分解為二次不等式，分類討論后運(yùn)用整體代換和基本不等式即可.

【詳解】原不等式4ax3+8x2—abx—2b<0（4x2—6）（ax+2）<0,

由b>0,知OVxvj時(shí)，4x2—b<0,%>當(dāng)時(shí)，4%2-h>0,

故由原不等式知0V%VF時(shí)a%+2>0,x>彳時(shí)a%+2<0,

由怛成又知aV0且axf+2=0,即。=

故所求式小+2a+4b+ab=（牛+皿）-雋+4班），

設(shè)t=金+Vb,貝（Jt之2xy/b-2V2,

則所求式=4（產(chǎn)-_4）=4［卜一丁—司遞增,

故最小值在t=2四時(shí)取得：4X（8-2V2-4）=16-8/.

故答案為：16—8A/2.

2.（22-23高三上?河北衡水?階段練習(xí)）已知對(duì)任意實(shí)數(shù)％>0,不等式（2/一研一10）111；20恒成立,

則實(shí)數(shù)Q的值為.

16

【答案】Vlo

【分析】對(duì)id正負(fù)分情況討論，得出％=。是其唯一零點(diǎn).不等式（2%2一Q%一io）ln->0對(duì)任意的%>0

aa

恒成立.得到％=。也是2/-a%-10=0的根,求解即可.

【詳解】由題知,顯然a>0,當(dāng)%>。時(shí)In->0；當(dāng)％=。時(shí)In-=0；當(dāng)0V%V。時(shí)In-<0；

aaa

因?yàn)椴坏仁剑↖n%—lna）（2x2—ax—10）>0對(duì)任意的l>0恒成立.

當(dāng)%>a時(shí)，2/—ax—10>0；當(dāng)0V久Va時(shí)，2/—ax—10<0.

結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)，％=a是方程2/一一io=o的根，即2a2一十一1。=。，

因?yàn)镼>0,所以a=同.

故答案為：V10.

3.（2024?陜西榆林?三模）已知a6（0,2兀），若當(dāng)工€[0,1]時(shí)，關(guān)于％的不等式（sina+cosa+1）/一

（2sina+1）%+sina>0恒成立，則a的取值范圍為（)

A?后居）B.—）C,D.G，為

【答案】A

sina+i

【分析】令f(')=(sina+cosa+l)x2—(2sina+l)x+sina,易得/(x)的對(duì)稱軸為久=$也：二】6(0,1),

/(0)>0

/(1)>0

則《,進(jìn)而可得出答案.

sina+-\

>0

sina+cosa+1\

【詳解】令/(%)=(sina+cosa+l)x2—(2sina+l)x+sina,

/(0)>0啊(sina>0

由題意可得

/⑴>0'Icosa>0

又因?yàn)閍