高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)專練：導(dǎo)數(shù)常考經(jīng)典壓軸小題全歸類【十大題型】

重難點(diǎn)05導(dǎo)數(shù)?？冀?jīng)典壓軸小題全歸類【十大題型】

【新高考專用】

?題型梳理

【題型1函數(shù)切線問題】.......................................................................3

【題型2導(dǎo)數(shù)中函數(shù)的單調(diào)性問題】............................................................3

【題型3導(dǎo)數(shù)中函數(shù)的極值問題】..............................................................4

【題型4導(dǎo)數(shù)中函數(shù)的最值問題】..............................................................4

【題型5函數(shù)零點(diǎn)(方程根)個(gè)數(shù)問題】.........................................................5

【題型6利用導(dǎo)數(shù)解不等式】...................................................................6

【題型7導(dǎo)數(shù)中的不等式恒成立問題】...........................................................6

【題型8任意存在性問題】.....................................................................6

【題型9函數(shù)零點(diǎn)嵌套問題】...................................................................7

【題型10雙變量問題】........................................................................8

?命題規(guī)律

導(dǎo)數(shù)是高考數(shù)學(xué)的必考內(nèi)容，是高考?？嫉臒狳c(diǎn)內(nèi)容，主要涉及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研

究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的極值和最值問題等，考查分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等思想.

從近三年的高考情況來看，導(dǎo)數(shù)的計(jì)算和幾何意義是高考命題的熱點(diǎn)，多以選擇題、填空題形式考查,

難度較小；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值多在選擇題、填空題靠后的位置考查，難度中等偏上,

屬綜合性問題，解題時(shí)要靈活求解.

?知識(shí)梳理

【知識(shí)點(diǎn)1切線方程的求法】

1.求曲線“在”某點(diǎn)的切線方程的解題策略：

①求出函數(shù)產(chǎn)/㈤在X=X0處的導(dǎo)數(shù)，即曲線產(chǎn)/(無)在點(diǎn)(無尤0))處切線的斜率;

②在已知切點(diǎn)坐標(biāo)和切線斜率的條件下，求得切線方程為y=yo+f(xoXx-xo).

2.求曲線“過”某點(diǎn)的切線方程的解題通法：

①設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)不出現(xiàn)加)；

②利用切點(diǎn)坐標(biāo)寫出切線方程：y=J[xo)+f(xo)(x-xo)；

③將已知條件代入②中的切線方程求解.

【知識(shí)點(diǎn)2導(dǎo)數(shù)中函數(shù)單調(diào)性問題的解題策略】

L確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟；

(1)確定函數(shù)兀r)的定義域；

⑵求/(尤)；

(3)解不等式/(x)>0,解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞增區(qū)間；

(4)解不等式/(x)<0,解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞減區(qū)間.

2.含參函數(shù)的單調(diào)性的解題策略：

(1)研究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，要依據(jù)參數(shù)對(duì)不等式解集的影響進(jìn)行分類討論.

(2)若導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù)式，首先看能否因式分解，再討論二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)及兩根的大??；若不能因

式分解，則需討論判別式△的正負(fù)，二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)，兩根的大小及根是否在定義域內(nèi).

3.根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的一般思路：

(1)利用集合間的包含關(guān)系處理：y=/(x)在(。,加上單調(diào)，則區(qū)間(。力)是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集.

(2加功為增(減)函數(shù)的充要條件是對(duì)任意的尤都有/(%)>0(/(%)<0),且在(。力)內(nèi)的任一非空子區(qū)間

上，/(無)不恒為零，應(yīng)注意此時(shí)式子中的等號(hào)不能省略，否則會(huì)漏解.

(3)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間可轉(zhuǎn)化為不等式有解問題.

【知識(shí)點(diǎn)3函數(shù)的極值與最值問題的解題思路】

1.運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)八X)極值的一般步驟：

(1)確定函數(shù)八元)的定義域；

⑵求導(dǎo)數(shù)了(勸；

(3)解方程/(x)=0,求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；

(4)列表檢驗(yàn)/(無)在/(尤)=0的根xo左右兩側(cè)值的符號(hào)；

(5)求出極值.

2.根據(jù)函數(shù)極值求參數(shù)的一般思路：

已知函數(shù)極值，確定函數(shù)解析式中的參數(shù)時(shí)，要注意：根據(jù)極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個(gè)條件列方

程組，利用待定系數(shù)法求解.

3.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的解題策略：

(1)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)/(x)在句上的最值的一般步驟：

①求函數(shù)在(a,b)內(nèi)的極值；

②求函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值式a),他)；

③將函數(shù)7U)的各極值與八。)，五。)比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值.

(2)求函數(shù)在無窮區(qū)間(或開區(qū)間)上的最值的一般步驟：

求函數(shù)在無窮區(qū)間(或開區(qū)間)上的最值，不僅要研究其極值情況，還要研究其單調(diào)性，并通過單調(diào)性和

極值情況，畫出函數(shù)的大致圖象，然后借助圖象觀察得到函數(shù)的最值.

【知識(shí)點(diǎn)4導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用】

L導(dǎo)數(shù)中函數(shù)的零點(diǎn)(方程的根)的求解策略

(1)利用導(dǎo)數(shù)研究方程根(函數(shù)零點(diǎn))的技巧

①研究方程根的情況，可以通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢(shì)等.

②根據(jù)題目要求，畫出函數(shù)圖象的走勢(shì)規(guī)律，標(biāo)明函數(shù)極(最)值的位置.

③利用數(shù)形結(jié)合的思想去分析問題，可以使問題的求解有一個(gè)清晰、直觀的整體展現(xiàn).

(2)已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的常用方法

①分離參數(shù)法：首先分離出參數(shù)，然后利用求導(dǎo)的方法求出構(gòu)造的新函數(shù)的最值，根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建

關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍.

②分類討論法：結(jié)合單調(diào)性，先確定參數(shù)分類的標(biāo)準(zhǔn)，在每個(gè)小范圍內(nèi)研究零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是否符合題意,

將滿足題意的參數(shù)的各小范圍并在一起，即為所求參數(shù)范圍.

2.導(dǎo)數(shù)中恒成立、存在性問題的求解策略

恒成立（或存在性）問題常常運(yùn)用分離參數(shù)法，轉(zhuǎn)化為求具體函數(shù)的最值問題.

如果無法分離參數(shù)，可以考慮對(duì)參數(shù)或自變量進(jìn)行分類討論，利用函數(shù)性質(zhì)求解，常見的是利用函數(shù)

單調(diào)性求解函數(shù)的最大、最小值；當(dāng)不能用分離參數(shù)法或借助于分類討論解決問題時(shí)，還可以考慮利用函

數(shù)圖象來求解，即利用數(shù)形結(jié)合思想解決恒成立（或存在性）問題，此時(shí)應(yīng)先構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)圖象,

利用導(dǎo)數(shù)來求解.

?舉一反三

【題型1函數(shù)切線問題】

【例1】（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）若曲線y=（1-燈眇有兩條過點(diǎn)430）的切線，貝ija的取值范圍是（）

A.(-CO,-1)u(3,+OO)B.(-3,1)

C.(—8,—3)D.(-co,-3)U(1,+oo)

【變式1-1]（2023?陜西咸陽??？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)f（x）=2-1,則曲線y=/（久）在點(diǎn)（一1,/（一1））處

的切線方程為（）

A.ex+y+1=0B.ex—y+1=0

C.ex+y-1=0D.ex—y—1=0

【變式1-2]（2023?四川雅安?統(tǒng)考一模）若直線y=kx與曲線y=Inx相切，貝!=（

A.4B.4D.-

ezezc.-ee

【變式1-3】（2023?四川涼山?統(tǒng)考一模）函數(shù)/(x)=|x2+alnx在區(qū)間（1,2）的圖象上存在兩條相互垂直的

切線，則a的取值范圍為（）

A.(-2,1)B.C.(-2,0)D.(—3,—2)

【題型2導(dǎo)數(shù)中函數(shù)的單調(diào)性問題】

【例2】（2023?吉林長(zhǎng)春?長(zhǎng)春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考模擬預(yù)測(cè)）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間（0,+8）

上單調(diào)遞增的是（）

A1

A-、=我B.y=e~2xC.y=—x2+1D.y=lg|x|

【變式2-1]（2023?陜西商洛?統(tǒng)考一模）已知函數(shù)/（%）=2（%-1比%-％2—3；在/?上單調(diào)遞增，則a的最大

值是（）

A.0B.-C.eD.3

e

【變式2-2]（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知x=ln].=三定,z=—；,則（）

62556

A.y<x<zB.y<z<xC.z<x<yD.x<y<z

【變式2-3]（2023?河南?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/。）=《等在（0,+8）上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

（）

A.[0,+oo）B.（-co,-4]

C.（—8,-4]U[0,+co）D.[—4,0]

【題型3導(dǎo)數(shù)中函數(shù)的極值問題】

【例3】（2023?四川成都??？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（%）=%3_，232+。模+1在％=1處有極小值,則0的

值為（）

A.1B.3C.1或3D.-1或3

【變式3-1]（2023.全國(guó).模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)/0）=2%-121!%-豆在區(qū)間（一等）的極大值、極小值分別為（）

A.-+1,--+1B.--+1,--+1

2222

，互

C—.-31-1---?1,nY1CD.-------1Y,----3-T-l+,1"

2222

【變式3-2]（2023?甘肅蘭州??？家荒＃┮阎瘮?shù)/（久）=e，+?—lnx的極值點(diǎn)為與,函數(shù)h（x）=翳的最

大值為冷，則（）

A./>冷B.x2>%iC.xr>x2D.x2>%i

【變式3-3]（2023?廣東廣州?廣州?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)f（x）=sin（3Jc+§（3>0）,已知f（久）在[0,2g有

且僅有5個(gè)零點(diǎn)，下述四個(gè)結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.3的取值范圍是仁滯）

B./（%）在（0,引單調(diào)遞增

C.若X=翁是f（久）在（O,2ll）上的第一個(gè)極值點(diǎn)，則3=y;

D.若比=患是/O）在（0,211）上的第一個(gè)極值點(diǎn)，y=一六+?是/（%）的切線

【題型4導(dǎo)數(shù)中函數(shù)的最值問題】

[例4]（2023?陜西寶雞?統(tǒng)考二模）函數(shù)=/+（a—l）x-31nx在（1,2）內(nèi)有最小值，則實(shí)數(shù)a的取值

范圍為()

A.(-1,2)B,[-|,2]

C.(一右2)D.

【變式4-1](2023?廣西南寧?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))若函數(shù)f(x)=2x3-ax2+l(aGR)在(0,+8)內(nèi)有且僅有一

個(gè)零點(diǎn)，則f(x)在上的最大值與最小值的和為()

A.1B.-4C.-3D.5

【變式4-2](2023?廣東湛江??？寄M預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃>)=靖+/+9-3)%+1在區(qū)間(0,1)上有最

小值，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.(-e,2)B.(-e,1-e)C.(1,2)D.(-oo,1-e)

【變式4-3](2023?浙江嘉興?校考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(%)=xlnx,g(x)=xex,若存在t>0,使得=

g(%2)=七成立，則%1-2g的最小值為()

A.2—ln4B.2+ln4C.e-ln2D.e+ln2

【題型5函數(shù)零點(diǎn)(方程根)個(gè)數(shù)問題】

【例5】(2023?遼寧大連?大連二十四中校考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(久)=產(chǎn)+)產(chǎn)+線-°，若函數(shù)g(x)=

f(x)-|kx2-4%|,(keR)恰有4個(gè)零點(diǎn),則左的取值范圍()

A.(-OO.-1)u(2V5,+oo)B.(-oo,-V5)U(0,2)

C.(一8,0)U(0,2+2V2)D.(-8,0)U(2+2V^,+8)

【變式5-1](2023?海南省直轄縣級(jí)單位.校聯(lián)考二模)已知函數(shù)/(X)=D,若函數(shù)g。)=/(-*)-

f(x),則函數(shù)g(%)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.1B.3C.4D.5

【變式5-2](2023?陜西商洛.陜西校考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/⑴=[_穿<七，若關(guān)于％的方程產(chǎn)㈤-

LX十乙X,X>U

(2+t)/W+2t=0有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為()

A.(—8,—BB.(-j,0)C,D.(-e,2)

【變式5-3](2023?四川瀘州?瀘縣五中?？寄M預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(乃=(x2-2x)ex,若方程f(x)=a有3

個(gè)不同的實(shí)根%<%2V%3)，則的取值范圍為()

A.B.[-j,0)C.(-每％0)D.(一岳一四岳夜)

【題型6利用導(dǎo)數(shù)解不等式】

【例6】(2023?陜西榆林??？寄M預(yù)測(cè))已知定義在(0,+8)上的函數(shù)/(久)滿足廠(%)—竽—1>0,且/⑴=

1,則不等式f(e，)-(%+l)d>。的解集為()

A.(0,+oo)B.(1,+oo)C.(-oo,0)D.(-8,1)

【變式6-1](2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))若函數(shù)f(x)為偶函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)=爐+2/+3.若/(—9)>

/(a?—2a+1),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

A.[-2A/3,4]B.[-4,2]C.[-2,4]D.[-4,273]

【變式6-2X2023?陜西西安?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))設(shè)函數(shù)((x)是函數(shù)f(x)(xeR)的導(dǎo)函數(shù),f(3)=e3,且廣(久)-

f(x)>0恒成立，則不等式/O)-^>0的解集為()

A.(0,3)B.(1,3)C.(-00,3)D.(3,+oo)

【變式6-3](2023?四川達(dá)州?統(tǒng)考一模)已知/(久)=Inx-ax3,g(x)=xex—In%—x若不等式學(xué)之>0

4gw

的解集中只含有兩個(gè)正整數(shù)，貝b的取值范圍為()

A[四處)B(—―"Ic[—―>)D(—―"I

,1.27，8)'(27，8)'[.32'271'\32,277

【題型7導(dǎo)數(shù)中的不等式恒成立問題】

【例7】(2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/⑶=+久)+e*—eT—2x+3,若/'(ae*)+/(Ina-

Inx)>6對(duì)于久e(0,+8)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

【變式7-1](2023?陜西咸陽?咸陽?？寄M預(yù)測(cè))已知/(x),g(x)分別是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且

f(%)+g(x)=ex,若關(guān)于久的不等式2f(x)-ag2(x)>0在(0,ln2)上恒成立，則實(shí)數(shù)a的最大值是.

【變式7-2X2023?陜西咸陽?武功?？寄M預(yù)測(cè))已知/(久)是定義在(0,+8)上的可導(dǎo)函數(shù)，若x尸(久)-/(%)=

?/(I)=-|>且x>1時(shí)，f(xe')<f[x+Inx-a)恒成立，貝！|a的取值范圍是.

【變式7-3](2023?寧夏石嘴山?平羅中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(久)=e，+ax-2,其中a€R,若對(duì)于

任意的與,％2e[2,+8),且%1<%2,都有%2/(久1)一萬1/(乂2)<a(%i-％2)成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是-

【題型8任意存在性問題】

【例8】(2023?四川樂山?統(tǒng)考二模)若存在而6[-1,2],使不等式久0+伯2-1)111心得+62久0-2成立，

則a的取值范圍是()

A。[卷]]B.七田C.[^,e4]D-[|<e4]

【變式8-1](2023?四川南充?統(tǒng)考三模)已知函數(shù)人>)=：爐，=ex_lx2_x)3X1)久26[1,2]使

IgOJ—9(右)1/(叼)11為常數(shù))成立，則常數(shù)k的取值范圍為()

A.(―oo,e—2]B.(―co,e—2)C.(-8,^^]D.(-8,^^)

【變式8-2](2023?四川成都?石室中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))已知函數(shù)f(x)=>0.若存在實(shí)數(shù)a￡[0,1],使

得/(2—5)三口3一之小―2a+e-i成立，則正實(shí)數(shù)小的取值范圍為()

A.g.l]B.[|,1]C.(0,1)D.(0,1]

x

【變式8-3】式023?貴州?校聯(lián)考二模)已知函數(shù)/'(%)=xe+2a,g(x)=等，對(duì)任意/e[1,2],3x2G[1,3],

都有不等式f(與)>g(>2)成立，則a的取值范圍是()

A.[-e2,+oo)B.[號(hào)，+0°)

C.卜…)D.[|-e2,+co)

【題型9函數(shù)零點(diǎn)嵌套問題】

【例9】(2023?四川成都?石室中學(xué)校考一模)已知函數(shù)/(久)=(lnx)2—+有三個(gè)零點(diǎn)比1、冷、*3

且均<%2<%3,則3+3+3的取值范圍是()

%2*3

A-(一W，°)B.(-。0)C.(―微,0)D.(-|,0)

【變式9-1](2023?四川成都?四川?？寄M預(yù)測(cè))已知a>L與,乂2，修為函數(shù)/(久)=謨-久2的零點(diǎn)，久】<

%2<%3，若%1+%3=2%2，貝U()

A.—<21naB.—=21na

%2%2

C.—>21naD.坦與21na大小關(guān)系不確定

X2比2

%—1

【變式9-2](2023?河南鄭州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)f(x)==+手七+a,若f(x)=0有3個(gè)不同的

解%1，%2，%3且%1<%2V%3，則‘1-F--的取值范圍是()

X1x2X3

A.(e,+8)B.[2e,+8)

C.(-8e,+8)D.(e,2e)

【變式9-3](2023?江西南昌?統(tǒng)考二模)已知正實(shí)數(shù)〃使得函數(shù)/(%)=(ex-ax)(%-aln%)有且只有三個(gè)

不同零點(diǎn)久L%2，%3，若則下列久3的關(guān)系式中，正確的是()

A.+%3=2%2B.+%2=迎%3

C.%1%3=-y%2D.11%3=%2

【題型10雙變量問題】

【例101(2023下?福建福州?高二?？计谥?已知函數(shù)/(%)=(%-2)e\若/(%1)=/(%2)，且%i豐%2，%1，%2>

0,貝IJ()

13

A.>~B.冷V￡C.%i%2>1D./+久2V2

【變式10-1](2023?廣西河池?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))若實(shí)數(shù)x,y滿足41nx+21n(2y)+8y—4,則()

A.xy=—B.%+y=V2

C.%+2y=1+V2D.x2y=1

【變式10-2](2023下?河南信陽?高二淮濱高中校考階段練習(xí))設(shè)函數(shù)/(%)=ex(x-aex)(其中e為自然

對(duì)數(shù)的底數(shù))恰有兩個(gè)極值點(diǎn)%<&)，則下列說法中正確的是()

1

A.0<a<-B.0<x<1

3z2

c.-|</(0)<0D.f(X1)+f(x2)>0

【變式10-3】(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知a>6>0,blna=alnb,有如下四個(gè)結(jié)論：

?b<e；?b>e；③b滿足a?b<e2；@a-b>e2.

則正確結(jié)論的序號(hào)是()

A.①③B.②③C.①④D.②④

1.(2023?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)曲線y=持在點(diǎn)(1,；)處的切線方程為()

Ae「e八e,e「e,3e

A.zy=4-xB.yz=-2xC.yy=-4%+-4D.yz=-%24——4

2.(2023?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)/(%)=aex-In%在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，則a的最小值為().

A.e2B.eC.e-1D.e-2

3.(2023?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)函數(shù)/(%)=爐+。％+2存在3個(gè)零點(diǎn)，則Q的取值范圍是()

A.(—8,—2)B.(—8,—3)C.(—4,—1)D.(—3,0)

4.(2022.全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)當(dāng)％