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文檔簡介
2025屆吉林省延邊市第二中學高三適應(yīng)性調(diào)研考試數(shù)學試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚,將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.若函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖象,若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則的最大值為().A. B. C. D.2.半正多面體(semiregularsolid)亦稱“阿基米德多面體”,是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體,體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美.二十四等邊體就是一種半正多面體,是由正方體切截而成的,它由八個正三角形和六個正方形為面的半正多面體.如圖所示,圖中網(wǎng)格是邊長為1的正方形,粗線部分是某二十四等邊體的三視圖,則該幾何體的體積為()A. B. C. D.3.已知是雙曲線的左右焦點,過的直線與雙曲線的兩支分別交于兩點(A在右支,B在左支)若為等邊三角形,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.4.某學校組織學生參加英語測試,成績的頻率分布直方圖如圖,數(shù)據(jù)的分組依次為,若低于60分的人數(shù)是18人,則該班的學生人數(shù)是()A.45 B.50 C.55 D.605.在中,在邊上滿足,為的中點,則().A. B. C. D.6.已知平面向量,,,則實數(shù)x的值等于()A.6 B.1 C. D.7.已知雙曲線的漸近線方程為,且其右焦點為,則雙曲線的方程為()A. B. C. D.8.已知定義在上的奇函數(shù),其導函數(shù)為,當時,恒有.則不等式的解集為().A. B.C.或 D.或9.已知函數(shù)(表示不超過x的最大整數(shù)),若有且僅有3個零點,則實數(shù)a的取值范圍是()A. B. C. D.10.已知a>0,b>0,a+b=1,若α=,則的最小值是()A.3 B.4 C.5 D.611.設(shè)遞增的等比數(shù)列的前n項和為,已知,,則()A.9 B.27 C.81 D.12.一個正四棱錐形骨架的底邊邊長為,高為,有一個球的表面與這個正四棱錐的每個邊都相切,則該球的表面積為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖所示,在正三棱柱中,是的中點,,則異面直線與所成的角為____.14.如圖,半球內(nèi)有一內(nèi)接正四棱錐,該四棱錐的體積為,則該半球的體積為__________.15.展開式中,含項的系數(shù)為______.16.設(shè)等比數(shù)列的前項和為,若,,則__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓的離心率為,且以原點O為圓心,橢圓C的長半軸長為半徑的圓與直線相切.(1)求橢圓的標準方程;(2)已知動直線l過右焦點F,且與橢圓C交于A、B兩點,已知Q點坐標為,求的值.18.(12分)數(shù)列滿足,是與的等差中項.(1)證明:數(shù)列為等比數(shù)列,并求數(shù)列的通項公式;(2)求數(shù)列的前項和.19.(12分)已知函數(shù).(1)解不等式;(2)記函數(shù)的最小值為,正實數(shù)、滿足,求證:.20.(12分)已知分別是橢圓的左、右焦點,直線與交于兩點,,且.(1)求的方程;(2)已知點是上的任意一點,不經(jīng)過原點的直線與交于兩點,直線的斜率都存在,且,求的值.21.(12分)如圖,空間幾何體中,是邊長為2的等邊三角形,,,,平面平面,且平面平面,為中點.(1)證明:平面;(2)求二面角平面角的余弦值.22.(10分)等比數(shù)列中,.(Ⅰ)求的通項公式;(Ⅱ)記為的前項和.若,求.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】
由題意利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律,正弦函數(shù)的單調(diào)性,求出的最大值.【詳解】解:把函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖象,若函數(shù)在區(qū)間,上單調(diào)遞增,在區(qū)間,上,,,則當最大時,,求得,故選:C.【點睛】本題主要考查函數(shù)的圖象變換規(guī)律,正弦函數(shù)的單調(diào)性,屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】
根據(jù)三視圖作出該二十四等邊體如下圖所示,求出該幾何體的棱長,可以將該幾何體看作是相應(yīng)的正方體沿各棱的中點截去8個三棱錐所得到的,可求出其體積.【詳解】如下圖所示,將該二十四等邊體的直觀圖置于棱長為2的正方體中,由三視圖可知,該幾何體的棱長為,它是由棱長為2的正方體沿各棱中點截去8個三棱錐所得到的,該幾何體的體積為,故選:D.【點睛】本題考查三視圖,幾何體的體積,對于二十四等邊體比較好的處理方式是由正方體各棱的中點得到,屬于中檔題.3、D【解析】
根據(jù)雙曲線的定義可得的邊長為,然后在中應(yīng)用余弦定理得的等式,從而求得離心率.【詳解】由題意,,又,∴,∴,在中,即,∴.故選:D.【點睛】本題考查求雙曲線的離心率,解題關(guān)鍵是應(yīng)用雙曲線的定義把到兩焦點距離用表示,然后用余弦定理建立關(guān)系式.4、D【解析】
根據(jù)頻率分布直方圖中頻率=小矩形的高×組距計算成績低于60分的頻率,再根據(jù)樣本容量求出班級人數(shù).【詳解】根據(jù)頻率分布直方圖,得:低于60分的頻率是(0.005+0.010)×20=0.30,∴樣本容量(即該班的學生人數(shù))是60(人).故選:D.【點睛】本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問題,也考查了頻率的應(yīng)用問題,屬于基礎(chǔ)題5、B【解析】
由,可得,,再將代入即可.【詳解】因為,所以,故.故選:B.【點睛】本題考查平面向量的線性運算性質(zhì)以及平面向量基本定理的應(yīng)用,是一道基礎(chǔ)題.6、A【解析】
根據(jù)向量平行的坐標表示即可求解.【詳解】,,,,即,故選:A【點睛】本題主要考查了向量平行的坐標運算,屬于容易題.7、B【解析】試題分析:由題意得,,所以,,所求雙曲線方程為.考點:雙曲線方程.8、D【解析】
先通過得到原函數(shù)為增函數(shù)且為偶函數(shù),再利用到軸距離求解不等式即可.【詳解】構(gòu)造函數(shù),則由題可知,所以在時為增函數(shù);由為奇函數(shù),為奇函數(shù),所以為偶函數(shù);又,即即又為開口向上的偶函數(shù)所以,解得或故選:D【點睛】此題考查根據(jù)導函數(shù)構(gòu)造原函數(shù),偶函數(shù)解不等式等知識點,屬于較難題目.9、A【解析】
根據(jù)[x]的定義先作出函數(shù)f(x)的圖象,利用函數(shù)與方程的關(guān)系轉(zhuǎn)化為f(x)與g(x)=ax有三個不同的交點,利用數(shù)形結(jié)合進行求解即可.【詳解】當時,,當時,,當時,,當時,,若有且僅有3個零點,則等價為有且僅有3個根,即與有三個不同的交點,作出函數(shù)和的圖象如圖,當a=1時,與有無數(shù)多個交點,當直線經(jīng)過點時,即,時,與有兩個交點,當直線經(jīng)過點時,即時,與有三個交點,要使與有三個不同的交點,則直線處在過和之間,即,故選:A.【點睛】利用函數(shù)零點的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法(1)直接法:直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式,再通過解不等式確定參數(shù)的范圍;(2)分離參數(shù)法:先將參數(shù)分離,轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域(最值)問題加以解決;(3)數(shù)形結(jié)合法:先對解析式變形,在同一平面直角坐標系中,畫出函數(shù)的圖象,然后數(shù)形結(jié)合求解.10、C【解析】
根據(jù)題意,將a、b代入,利用基本不等式求出最小值即可.【詳解】∵a>0,b>0,a+b=1,∴,當且僅當時取“=”號.
答案:C【點睛】本題考查基本不等式的應(yīng)用,“1”的應(yīng)用,利用基本不等式求最值時,一定要正確理解和掌握“一正,二定,三相等”的內(nèi)涵:一正是首先要判斷參數(shù)是否為正;二定是其次要看和或積是否為定值(和定積最大,積定和最?。?;三相等是最后一定要驗證等號能否成立,屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】
根據(jù)兩個已知條件求出數(shù)列的公比和首項,即得的值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q.由,得,解得或.因為.且數(shù)列遞增,所以.又,解得,故.故選:A【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的通項和求和公式,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.12、B【解析】
根據(jù)正四棱錐底邊邊長為,高為,得到底面的中心到各棱的距離都是1,從而底面的中心即為球心.【詳解】如圖所示:因為正四棱錐底邊邊長為,高為,所以,到的距離為,同理到的距離為1,所以為球的球心,所以球的半徑為:1,所以球的表面積為.故選:B【點睛】本題主要考查組合體的表面積,還考查了空間想象的能力,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
要求兩條異面直線所成的角,需要通過見中點找中點的方法,找出邊的中點,連接出中位線,得到平行,從而得到兩條異面直線所成的角,得到角以后,再在三角形中求出角.【詳解】取的中點E,連AE,,易證,∴為異面直線與所成角,設(shè)等邊三角形邊長為,易算得∴在∴故答案為【點睛】本題考查異面直線所成的角,本題是一個典型的異面直線所成的角的問題,解答時也是應(yīng)用典型的見中點找中點的方法,注意求角的三個環(huán)節(jié),一畫,二證,三求.14、【解析】
由題意可知半球的半徑與正四棱錐的高相等,可得正四棱錐的棱與半徑的關(guān)系,進而可寫出半球的半徑與四棱錐體積的關(guān)系,進而求得結(jié)果.【詳解】設(shè)所給半球的半徑為,則四棱錐的高,則,由四棱錐的體積,半球的體積為:.【方法點睛】涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時,一般過球心及多面體中的特殊點(一般為接、切點)或線作截面,把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題,再利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系,或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖,確定球心的位置,弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系,列方程(組)求解.15、2【解析】
變換得到,展開式的通項為,計算得到答案.【詳解】,的展開式的通項為:.含項的系數(shù)為:.故答案為:.【點睛】本題考查了二項式定理的應(yīng)用,意在考查學生的計算能力和應(yīng)用能力.16、【解析】
由題意,設(shè)等比數(shù)列的公比為,根據(jù)已知條件,列出方程組,求得的值,利用求和公式,即可求解.【詳解】由題意,設(shè)等比數(shù)列的公比為,因為,即,解得,,所以.【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式,及前n項和公式的應(yīng)用,其中解答中根據(jù)等比數(shù)列的通項公式,正確求解首項和公比是解答本題的關(guān)鍵,著重考查了推理與計算能力,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】
(1)根據(jù)橢圓的離心率為,得到,根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系,得到原心到直線的距離等于半徑,得到,從而求得,進而求得橢圓的方程;(2)分直線的斜率存在是否為0與不存在三種情況討論,寫出直線的方程,與橢圓方程聯(lián)立,利用韋達定理,向量的數(shù)量積,結(jié)合已知條件求得結(jié)果.【詳解】(1)由離心率為,可得,,且以原點O為圓心,橢圓C的長半軸長為半徑的圓的方程為,因與直線相切,則有,即,,,故而橢圓方程為.(2)①當直線l的斜率不存在時,,,由于;②當直線l的斜率為0時,,,則;③當直線l的斜率不為0時,設(shè)直線l的方程為,,,由及,得,有,∴,,,,∴,綜上所述:.【點睛】該題考查直線與圓錐曲線的綜合問題,橢圓的標準方程,考查直線與橢圓的位置關(guān)系,求向量數(shù)量積,在解題的過程中,注意對直線方程的分類討論,屬于中檔題目.18、(1)見解析,(2)【解析】
(1)根據(jù)等差中項的定義得,然后構(gòu)造新等比數(shù)列,寫出的通項即可求(2)根據(jù)(1)的結(jié)果,分組求和即可【詳解】解:(1)由已知可得,即,可化為,故數(shù)列是以為首項,2為公比的等比數(shù)列.即有,所以.(2)由(1)知,數(shù)列的通項為:,故.【點睛】考查等差中項的定義和分組求和的方法;中檔題.19、(1);(2)見解析.【解析】
(1)分、、三種情況解不等式,綜合可得出原不等式的的解集;(2)利用絕對值三角不等式可求得函數(shù)的最小值為,進而可得出,再將代數(shù)式與相乘,利用基本不等式求得的最小值,進而可證得結(jié)論成立.【詳解】(1)當時,由,得,即,解得,此時;當時,由,得,即,解得,此時;當時,由,得,即,解得,此時.綜上所述,不等式的解集為;(2),當且僅當時取等號,所以,.所以,當且僅當,即,時等號成立,所以.所以,即.【點睛】本題考查含絕對值不等式的求解,同時也考查了利用基本不等式證明不等式成立,涉及絕對值三角不等式的應(yīng)用,考查運算求解能力,屬于中等題.20、(1)(2)【解析】
(1)不妨設(shè),,計算得到,根據(jù)面積得到,計算得到答案.(2)設(shè),,,聯(lián)立方程利用韋達定理得到,,代入化簡計算得到答案.【詳解】(1)由題意不妨設(shè),,則,.∵,∴,∴.又,∴,∴,,故的方程為.(2)設(shè),,,則.∵,∴,設(shè)直線的方程為,聯(lián)立整理得.∵在上,∴,∴上式可化為.∴,,,∴,,∴.∴.【點睛】本題考查了橢圓方程,定值問題,意在考查學生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.21、(1)證明見解析(2)【解析】
(1)分別取,的中點,,連接,,,,,要證明平面,只需證明面∥面即可.(2)以點為原點,以為軸,以為軸,以為軸,建立空間直角坐標系,分別計算面的法向量,面的法向量可取,并判斷二面角為銳角,再利用計算即可.【詳解】(1)證明:分別取,的中點,,連接,,,,.由平面平面,且交于,平面,有平面,由平面平面,且交于,平面,有平面,所以∥,又平面,平面,所以∥平面,由,有,∥,又平面,平面,所以∥平面,由∥平面,∥平面,,所以平面∥平面,所以∥平面(2)以點為原點,以為軸,以
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