福建省廈門松柏中學2025屆高考臨考沖刺數(shù)學試卷含解析

福建省廈門松柏中學2025屆高考臨考沖刺數(shù)學試卷注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．橢圓是日常生活中常見的圖形，在圓柱形的玻璃杯中盛半杯水，將杯體傾斜一個角度，水面的邊界即是橢圓.現(xiàn)有一高度為12厘米，底面半徑為3厘米的圓柱形玻璃杯，且杯中所盛水的體積恰為該玻璃杯容積的一半（玻璃厚度忽略不計），在玻璃杯傾斜的過程中（杯中的水不能溢出），杯中水面邊界所形成的橢圓的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．2．如果，那么下列不等式成立的是（）A． B．C． D．3．已知六棱錐各頂點都在同一個球（記為球）的球面上，且底面為正六邊形，頂點在底面上的射影是正六邊形的中心，若，，則球的表面積為（）A． B． C． D．4．函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點橫坐標的和為（）A． B． C． D．5．正方形的邊長為，是正方形內(nèi)部（不包括正方形的邊）一點，且，則的最小值為（）A． B． C． D．6．已知，是兩條不重合的直線，，是兩個不重合的平面，則下列命題中錯誤的是（）A．若，，則或B．若，，，則C．若，，，則D．若，，則7．某幾何體的三視圖如圖所示，若側(cè)視圖和俯視圖均是邊長為的等邊三角形，則該幾何體的體積為A． B． C． D．8．若復數(shù)滿足，復數(shù)的共軛復數(shù)是，則（）A．1 B．0 C． D．9．已知雙曲線的一個焦點為，且與雙曲線的漸近線相同，則雙曲線的標準方程為()A． B． C． D．10．設(shè)全集，集合，，則（）A． B． C． D．11．已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，且當時，函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù)，則，，的大小關(guān)系是（）A． B．C． D．12．已知為非零向量，“”為“”的（）A．充分不必要條件 B．充分必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)的圖象在處的切線斜率為，則______．14．如圖，在復平面內(nèi)，復數(shù)，對應(yīng)的向量分別是，，則_______.15．在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且，，，則_______.16．函數(shù)的值域為_________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）記數(shù)列的前項和為，已知成等差數(shù)列.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項公式；（2）記數(shù)列的前項和為，求.18．（12分）已知橢圓，上頂點為，離心率為，直線交軸于點，交橢圓于，兩點，直線，分別交軸于點，．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）求證：為定值．19．（12分）設(shè)（1）證明:當時，；（2）當時，求整數(shù)的最大值.（參考數(shù)據(jù)：，）20．（12分）底面為菱形的直四棱柱，被一平面截取后得到如圖所示的幾何體.若，.（1）求證：；（2）求二面角的正弦值.21．（12分）在創(chuàng)建“全國文明衛(wèi)生城”過程中，運城市“創(chuàng)城辦”為了調(diào)查市民對創(chuàng)城工作的了解情況，進行了一次創(chuàng)城知識問卷調(diào)查(一位市民只能參加一次)，通過隨機抽樣，得到參加問卷調(diào)查的人的得分統(tǒng)計結(jié)果如表所示：.組別頻數(shù)（1）由頻數(shù)分布表可以大致認為，此次問卷調(diào)查的得分似為這人得分的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)，利用該正態(tài)分布，求；（2）在（1）的條件下，“創(chuàng)城辦”為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎勵方案：①得分不低于的可以獲贈次隨機話費，得分低于的可以獲贈次隨機話費；②每次獲贈的隨機話費和對應(yīng)的概率為：贈送話費的金額(單位：元)概率現(xiàn)有市民甲參加此次問卷調(diào)查，記(單位：元)為該市民參加問卷調(diào)查獲贈的話費，求的分布列與數(shù)學期望.附：參考數(shù)據(jù)與公式：，若，則，，22．（10分）已知橢圓的左頂點為，左、右焦點分別為，離心率為，是橢圓上的一個動點（不與左、右頂點重合），且的周長為6，點關(guān)于原點的對稱點為，直線交于點.（1）求橢圓方程；（2）若直線與橢圓交于另一點，且，求點的坐標.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

根據(jù)題意可知當玻璃杯傾斜至杯中水剛好不溢出時，水面邊界所形成橢圓的離心率最大，由橢圓的幾何性質(zhì)即可確定此時橢圓的離心率，進而確定離心率的取值范圍.【詳解】當玻璃杯傾斜至杯中水剛好不溢出時，水面邊界所形成橢圓的離心率最大.此時橢圓長軸長為，短軸長為6，所以橢圓離心率，所以.故選：C【點睛】本題考查了橢圓的定義及其性質(zhì)的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】

利用函數(shù)的單調(diào)性、不等式的基本性質(zhì)即可得出.【詳解】∵，∴，，，.故選：D.【點睛】本小題主要考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，考查不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】

由題意，得出六棱錐為正六棱錐，求得，再結(jié)合球的性質(zhì)，求得球的半徑，利用表面積公式，即可求解.【詳解】由題意，六棱錐底面為正六邊形，頂點在底面上的射影是正六邊形的中心，可得此六棱錐為正六棱錐，又由，所以，在直角中，因為，所以，設(shè)外接球的半徑為，在中，可得，即，解得，所以外接球的表面積為.故選:D.【點睛】本題主要考查了正棱錐的幾何結(jié)構(gòu)特征，以及外接球的表面積的計算，其中解答中熟記幾何體的結(jié)構(gòu)特征，熟練應(yīng)用球的性質(zhì)求得球的半徑是解答的關(guān)鍵，著重考查了空間想象能力，以及推理與計算能力，屬于中檔試題.4、B【解析】

根據(jù)兩個函數(shù)相等，求出所有交點的橫坐標，然后求和即可.【詳解】令，有，所以或.又，所以或或或，所以函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交點的橫坐標的和，故選B.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象及給值求角，側(cè)重考查數(shù)學建模和數(shù)學運算的核心素養(yǎng).5、C【解析】

分別以直線為軸，直線為軸建立平面直角坐標系，設(shè)，根據(jù)，可求，而，化簡求解.【詳解】解：建立以為原點，以直線為軸，直線為軸的平面直角坐標系.設(shè)，，，則，，由，即，得.所以=，所以當時，的最小值為.故選：C.【點睛】本題考查向量的數(shù)量積的坐標表示，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】

根據(jù)線面平行和面面平行的性質(zhì)，可判定A；由線面平行的判定定理，可判斷B；C中可判斷，所成的二面角為；D中有可能，即得解.【詳解】選項A：若，，根據(jù)線面平行和面面平行的性質(zhì)，有或，故A正確；選項B：若，，，由線面平行的判定定理，有，故B正確；選項C：若，，，故，所成的二面角為，則，故C正確；選項D，若，，有可能，故D不正確.故選：D【點睛】本題考查了空間中的平行垂直關(guān)系判斷，考查了學生邏輯推理，空間想象能力，屬于中檔題.7、C【解析】

由三視圖可知，該幾何體是三棱錐，底面是邊長為的等邊三角形，三棱錐的高為，所以該幾何體的體積，故選C．8、C【解析】

根據(jù)復數(shù)代數(shù)形式的運算法則求出，再根據(jù)共軛復數(shù)的概念求解即可．【詳解】解：∵，∴，則，∴，故選：C．【點睛】本題主要考查復數(shù)代數(shù)形式的運算法則，考查共軛復數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題．9、B【解析】

根據(jù)焦點所在坐標軸和漸近線方程設(shè)出雙曲線的標準方程，結(jié)合焦點坐標求解.【詳解】∵雙曲線與的漸近線相同，且焦點在軸上，∴可設(shè)雙曲線的方程為，一個焦點為，∴，∴，故的標準方程為.故選：B【點睛】此題考查根據(jù)雙曲線的漸近線和焦點求解雙曲線的標準方程，易錯點在于漏掉考慮焦點所在坐標軸導致方程形式出錯.10、D【解析】

求解不等式，得到集合A，B，利用交集、補集運算即得解【詳解】由于故集合或故集合故選：D【點睛】本題考查了集合的交集和補集混合運算，考查了學生概念理解，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.11、D【解析】

利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得，再根據(jù)的單調(diào)性和奇偶性可得正確的選項.【詳解】因為，，故.又，故.因為當時，函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù)，所以.因為為偶函數(shù)，故，所以.故選：D.【點睛】本題考查抽象函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性在大小比較中的應(yīng)用，比較大小時注意選擇合適的中間數(shù)來傳遞不等關(guān)系，本題屬于中檔題.12、B【解析】

由數(shù)量積的定義可得,為實數(shù),則由可得,根據(jù)共線的性質(zhì),可判斷；再根據(jù)判斷,由等價法即可判斷兩命題的關(guān)系.【詳解】若成立,則,則向量與的方向相同,且,從而,所以；若,則向量與的方向相同,且,從而,所以.所以“”為“”的充分必要條件.故選:B【點睛】本題考查充分條件和必要條件的判定,考查相等向量的判定,考查向量的模、數(shù)量積的應(yīng)用.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

先對函數(shù)f（x）求導，再根據(jù)圖象在（0，f（0））處切線的斜率為﹣4，得f′（0）＝﹣4，由此可求a的值.【詳解】由函數(shù)得，∵函數(shù)f（x）的圖象在（0，f（0））處切線的斜率為﹣4，，.故答案為4【點睛】本題考查了根據(jù)曲線上在某點切線方程的斜率求參數(shù)的問題，屬于基礎(chǔ)題．14、【解析】試題分析：由坐標系可知考點：復數(shù)運算15、9【解析】

已知由余弦定理即可求得,由可求得,即可求得,利用正弦定理即可求得結(jié)果.【詳解】由余弦定理和，可得，得，由，，，由正弦定理，得.故答案為:.【點睛】本題考查正余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,難度一般.16、【解析】

利用換元法，得到，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可得到函數(shù)的值域，得到答案．【詳解】由題意，可得，令，，即，則，當時，，當時，，即在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，又，，，故函數(shù)的值域為：．【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的最值，以及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，其中解答中合理利用換元法得到函數(shù)，再利用導數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性與最值是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與預算能力，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析，；（2）【解析】

（1）由成等差數(shù)列，可得到，再結(jié)合公式，消去，得到，再給等式兩邊同時加1，整理可證明結(jié)果；（2）將（1）得到的代入中化簡后再裂項，然后求其前項和.【詳解】（1）由成等差數(shù)列，則，即，①當時，，又，②由①②可得：，即，時，.所以是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，，所以.（2），所以.【點睛】此題考查了數(shù)列遞推式，等比數(shù)列的證明，裂列相消求和，考查了學生分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題.18、（Ⅰ）；（Ⅱ），證明見解析．【解析】

（Ⅰ）根據(jù)題意列出關(guān)于，，的方程組，解出，，的值，即可得到橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)點，，點，，易求直線的方程為：，令得，，同理可得，所以，聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達定理代入上式，化簡即可得到．【詳解】（Ⅰ）解：由題意可知：，解得，橢圓的方程為：；（Ⅱ）證：設(shè)點，，點，，聯(lián)立方程，消去得：，，①，點，，，直線的方程為：，令得，，，，同理可得，，，把①式代入上式得：，為定值．【點睛】本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系、定值問題的求解；關(guān)鍵是能夠通過直線與橢圓聯(lián)立得到韋達定理的形式，利用韋達定理化簡三角形面積得到定值；考查計算能力與推理能力，屬于中檔題．19、（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）將代入函數(shù)解析式可得，構(gòu)造函數(shù)，求得并令，由導函數(shù)符號判斷函數(shù)單調(diào)性并求得最大值，由即可證明恒成立，即不等式得證.（2）對函數(shù)求導，變形后討論當時的函數(shù)單調(diào)情況：當時，可知滿足題意；將不等式化簡后構(gòu)造函數(shù)，利用導函數(shù)求得極值點與函數(shù)的單調(diào)性，從而求得最小值為，分別依次代入檢驗的符號，即可確定整數(shù)的最大值；當時不滿足題意，因為求整數(shù)的最大值，所以時無需再討論.【詳解】（1）證明：當時代入可得，令，，則，令解得，當時，所以在單調(diào)遞增，當時，所以在單調(diào)遞減，所以，則，即成立.（2）函數(shù)則，若時，當時，，則在時單調(diào)遞減，所以，即當時成立；所以此時需滿足的整數(shù)解即可，將不等式化簡可得，令則令解得，當時，即在內(nèi)單調(diào)遞減，當時，即在內(nèi)單調(diào)遞增，所以當時取得最小值，則，，，所以此時滿足的整數(shù)的最大值為；當時，在時，此時，與題意矛盾，所以不成立.因為求整數(shù)的最大值，所以時無需再討論，綜上所述，當時，整數(shù)的最大值為.【點睛】本題考查了導數(shù)在證明不等式中的應(yīng)用，導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、極值、最值的關(guān)系和應(yīng)用，構(gòu)造函數(shù)法求最值，并判斷函數(shù)值法符號，綜合性強，屬于難題.20、（1）見解析；（2）【解析】

（1）先由線面垂直的判定定理證明平面，再證明線線垂直即可；（2）建立空間直角坐標系，求平面的一個法向量與平面的一個法向量，再利用向量數(shù)量積運算即可.【詳解】（1）證明：連接，由平行且相等，可知四邊形為平行四邊形，所以.由題意易知，，所以，，因為，所以平面，又平面，所以.（2）設(shè)，，由已知可得：平面平面，所以，同理可得：，所以四邊形為平行四邊形，所以為的中點，為的中點，所以平行且相等，從而平面，又，所以，，兩兩垂直，如圖，建立空間直角坐標系，，，由平面幾何知識，得.則，，，，所以，，.設(shè)平面的法向量為，由，可得，令，則，，所以.同理，平面的一個法