備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)真題題源解密專題11反比例函數(shù)（7類重點考向）含答案及解析

專題11反比例函數(shù)目錄一覽知識目標(biāo)（新課程標(biāo)準(zhǔn)提煉）中考命題趨勢（分析考察方向，精準(zhǔn)把握重難點）重點考向（以真題為例，探究中考命題方向）?考向一反比例函數(shù)的性質(zhì)?考向二反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義?考向三反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征?考向四待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式?考向五反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題?考向六反比例函數(shù)的應(yīng)用?考向七反比例函數(shù)綜合題最新真題薈萃（精選最新典型真題，強(qiáng)化知識運用，優(yōu)化解題技巧）1.結(jié)合具體情境體會反比例函數(shù)的意義，能根據(jù)已知條件確定反比例函數(shù)的表達(dá)式；2.能畫出反比例函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象和表達(dá)式探索并理解k>0和k<0時，圖象的變化情況；3.能用反比例函數(shù)解決簡單的實際問題．反比例函數(shù)也是非常重要的函數(shù)，年年都會考，總分值為15分左右，預(yù)計2024年各地中考一定還會考，反比例函數(shù)與一次函數(shù)結(jié)合出現(xiàn)在解答題中是各地中考必考的一個解答題，反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)和平面幾何的知識結(jié)合、反比例函數(shù)中|k|的幾何意義等也會是小題考察的重點。反比例函數(shù)的概念一般地，函數(shù)（k是常數(shù)，k≠0）叫做反比例函數(shù)．反比例函數(shù)的解析式也可以寫成的形式．自變量x的取值范圍是x≠0的一切實數(shù)，函數(shù)的取值范圍也是一切非零實數(shù)．反比例函數(shù)（k是常數(shù)，k0）中x，y的取值范圍反比例函數(shù)（k是常數(shù)，k≠0）的自變量x的取值范圍是不等于0的任意實數(shù)，函數(shù)值y的取值范圍也是非零實數(shù)．反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.圖象：反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函數(shù)中自變量x≠0，函數(shù)y≠0，所以，它的圖象與x軸、y軸都沒有交點，即雙曲線的兩個分支無限接近坐標(biāo)軸，但永遠(yuǎn)達(dá)不到坐標(biāo)軸．2.性質(zhì)：當(dāng)k>0時，函數(shù)圖象的兩個分支分別在第一、三象限，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減?。?dāng)k<0時，函數(shù)圖象的兩個分支分別在第二、四象限，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大．表達(dá)式（k是常數(shù)，k≠0）kk>0k<0大致圖象所在象限第一、三象限第二、四象限增減性在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大注意反比例函數(shù)的圖象不是連續(xù)的，因此在談到反比例函數(shù)的增減性時，都是在各自象限內(nèi)的增減情況．當(dāng)k>0時，在每一象限（第一、三象限）內(nèi)y隨x的增大而減小，但不能籠統(tǒng)地說當(dāng)k>0時，y隨x的增大而減?。瑯?，當(dāng)k<0時，也不能籠統(tǒng)地說y隨x的增大而增大．反比例函數(shù)解析式的確定1.待定系數(shù)法：確定解析式的方法仍是待定系數(shù)法，由于在反比例函數(shù)中，只有一個待定系數(shù)，因此只需要一對對應(yīng)值或圖象上的一個點的坐標(biāo)，即可求出k的值，從而確定其解析式．2.待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式的一般步驟（1）設(shè)反比例函數(shù)解析式為（k≠0）；（2）把已知一對x，y的值代入解析式，得到一個關(guān)于待定系數(shù)k的方程；（3）解這個方程求出待定系數(shù)k；（4）將所求得的待定系數(shù)k的值代回所設(shè)的函數(shù)解析式．反比例函數(shù)圖象中有關(guān)圖形的面積涉及三角形的面積型當(dāng)一次函數(shù)與反比例函數(shù)結(jié)合時，可通過面積作和或作差的形式來求解．1.正比例函數(shù)與一次函數(shù)所圍成的三角形面積.如圖①，S△ABC=2S△ACO=|k|；2.如圖②，已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)交于A、B兩點，且一次函數(shù)與x軸交于點C，則S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=；3.如圖③，已知反比例函數(shù)的圖象上的兩點，其坐標(biāo)分別為，，C為AB延長線與x軸的交點，則S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=．同一象限內(nèi)運用k的幾何意義S矩形PAOB＝|k|S△AOP＝eq\f(|k|,2)S△ACP＝eq\f(|k|,2)兩個象限內(nèi)運用k的幾何意義S△ABC＝|k|S△APP1＝2|k|雙反比例函數(shù)中運用k的幾何意義S矩形ABCD＝|k1|－|k2|S△ABO＝eq\f(|k1|－|k2|,2)S△ABC＝S△ABO＝eq\f(|k1|＋|k2|,2)反比例函數(shù)的實際應(yīng)用解決反比例函數(shù)的實際問題時，先確定函數(shù)解析式，再利用圖象找出解決問題的方案，特別注意自變量的取值范圍．反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合1.涉及自變量取值范圍型：當(dāng)一次函數(shù)與反比例函數(shù)相交時，聯(lián)立兩個解析式，構(gòu)造方程組，然后求出交點坐標(biāo)。針對時自變量x的取值范圍，只需觀察一次函數(shù)的圖象高于反比例函數(shù)圖象的部分所對應(yīng)的x的范圍.例如，如下圖，當(dāng)時，x的取值范圍為或；同理，當(dāng)時，x的取值范圍為或．2.求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點坐標(biāo)（1）從圖象上看，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點由k值的符號來決定.①k值同號，兩個函數(shù)必有兩個交點；②k值異號，兩個函數(shù)可無交點，可有一個交點，可有兩個交點；（2）從計算上看，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點主要取決于兩函數(shù)所組成的方程組的解的情況．?考向一反比例函數(shù)的性質(zhì)解題技巧/易錯易混確定點是否在反比例函數(shù)圖象上的方法：（1）把點的橫坐標(biāo)代入解析式，求出y的值，若所求值等于點的縱坐標(biāo)，則點在圖象上；若所求值不等于點的縱坐標(biāo)，則點不在圖象上．（2）把點的橫、縱坐標(biāo)相乘，若乘積等于k，則點在圖象上，若乘積不等于k，則點不在圖象上．1．（2023?安徽）已知反比例函數(shù)y＝（k≠0）在第一象限內(nèi)的圖象與一次函數(shù)y＝﹣x+b的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝x2﹣bx+k﹣1的圖象可能為（）A． B． C． D．2．（2023?廣西）如圖，過的圖象上點A，分別作x軸，y軸的平行線交的圖象于B，D兩點，以AB，AD為鄰邊的矩形ABCD被坐標(biāo)軸分割成四個小矩形，面積分別記為S1，S2，S3，S4，若，則k的值為（）A．4 B．3 C．2 D．13．（2023?鎮(zhèn)江）點A（2，y1）、B（3，y2）在反比例函數(shù)y＝的圖象上，則y1＞y2（用“＜”、“＞”或“＝”填空）．?考向二反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義解題技巧/易錯易混反比例函數(shù)的解析式（k≠0）中，只有一個待定系數(shù)k，確定了k值，也就確定了反比例函數(shù)，因要確定反比例函數(shù)的解析式，只需給出一對x，y的對應(yīng)值或圖象上一個點的坐標(biāo)，代入中即可．4．（2023?湘西州）如圖，點A在函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，點B在函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，且AB∥x軸，BC⊥x軸于點C，則四邊形ABCO的面積為（）A．1 B．2 C．3 D．45．（2023?黑龍江）如圖，△ABC是等腰三角形，AB過原點O，底邊BC∥x軸，雙曲線y＝過A，B兩點，過點C作CD∥y軸交雙曲線于點D．若S△BCD＝12，則k的值是（）A．﹣6 B．﹣12 C．﹣ D．﹣96．（2023?衢州）如圖，點A，B在x軸上，分別以O(shè)A，AB為邊，在x軸上方作正方形OACD，ABEF，反比例函數(shù)y＝（k＞0）的圖象分別交邊CD，BE于點P，Q．作PM⊥x軸于點M，QN⊥y軸于點N．若OA＝2AB，Q為BE的中點，且陰影部分面積等于6，則k的值為24．?考向三反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征解題技巧/易錯易混確定點是否在反比例函數(shù)圖象上的方法：（1）把點的橫坐標(biāo)代入解析式，求出y的值，若所求值等于點的縱坐標(biāo)，則點在圖象上；若所求值不等于點的縱坐標(biāo)，則點不在圖象上．（2）把點的橫、縱坐標(biāo)相乘，若乘積等于k，則點在圖象上，若乘積不等于k，則點不在圖象上．7．（2023?濟(jì)南）已知點A（﹣4，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）都在反比例函數(shù)y＝（k＜0）的圖象上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系為（）A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y18．（2023?攀枝花）如圖，在直角△ABO中，AO＝，AB＝1，將△ABO繞點O順時針旋轉(zhuǎn)105°至△A′B′O的位置，點E是OB′的中點，且點E在反比例函數(shù)y＝的圖象上，則k的值為．9．（2023?安徽）如圖，O是坐標(biāo)原點，Rt△OAB的直角頂點A在x軸的正半軸上，AB＝2，∠AOB＝30°，反比例函數(shù)y＝（k＞0）的圖象經(jīng)過斜邊OB的中點C．（1）k＝；（2）D為該反比例函數(shù)圖象上的一點，若DB∥AC，則OB2﹣BD2的值為．?考向四待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式10．（2023?青島）反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過點A（m，），則反比例函數(shù)的表達(dá)式為．11．（2023?陜西）如圖，在矩形OABC和正方形CDEF中，點A在y軸正半軸上，點C，F(xiàn)均在x軸正半軸上，點D在邊BC上，BC＝2CD，AB＝3．若點B，E在同一個反比例函數(shù)的圖象上，則這個反比例函數(shù)的表達(dá)式是．12．（2023?綿陽）如圖，過原點O的直線與反比例函數(shù)（k≠0）的圖象交于A（1，2），B兩點，一次函數(shù)y2＝mx+b（m≠0）的圖象過點A與反比例函數(shù)交于另一點C（2，n）．（1）求反比例函數(shù)的解析式；當(dāng)y1＞y2時，根據(jù)圖象直接寫出x的取值范圍；（2）在y軸上是否存在點M，使得△COM為等腰三角形？若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．?考向五反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題解題技巧/易錯易混反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合的主要題型：（1）利用k值與圖象的位置的關(guān)系，綜合確定系數(shù)符號或圖象位置；（2）已知直線與雙曲線表達(dá)式求交點坐標(biāo)；（3）用待定系數(shù)法確定直線與雙曲線的表達(dá)式；（4）應(yīng)用函數(shù)圖象性質(zhì)比較一次函數(shù)值與反比例函數(shù)值的大小等．解題時，一定要靈活運用一次函數(shù)與反比例函數(shù)的知識，并結(jié)合圖象分析、解答問題．13．（2023?內(nèi)蒙古）如圖，直線y＝ax+b（a≠0）與雙曲線y＝（k≠0）交于點A（﹣2，4）和點B（m，﹣2），則不等式0＜ax+b＜的解集是（）A．﹣2＜x＜4 B．﹣2＜x＜0 C．x＜﹣2或0＜x＜4 D．﹣2＜x＜0或x＞414．（2023?荊州）如圖，點A（2，2）在雙曲線y＝（x＞0）上，將直線OA向上平移若干個單位長度交y軸于點B，交雙曲線于點C．若BC＝2，則點C的坐標(biāo)是．15．（2023?濱州）如圖，直線y＝kx+b（k，b為常數(shù)）與雙曲線為常數(shù)）相交于A（2，a），B（﹣1，2）兩點．（1）求直線y＝kx+b的解析式；（2）在雙曲線上任取兩點M（x1，y1）和N（x2，y2），若x1＜x2，試確定y1和y2的大小關(guān)系，并寫出判斷過程；（3）請直接寫出關(guān)于x的不等式的解集．?考向六反比例函數(shù)的應(yīng)用解題技巧/易錯易混用反比例函數(shù)解決實際問題的步驟（1）審：審清題意，找出題目中的常量、變量，并理清常量與變量之間的關(guān)系；（2）設(shè)：根據(jù)常量與變量之間的關(guān)系，設(shè)出函數(shù)解析式，待定的系數(shù)用字母表示；（3）列：由題目中的已知條件列出方程，求出待定系數(shù)；（4）寫：寫出函數(shù)解析式，并注意解析式中變量的取值范圍；（5）解：用函數(shù)解析式去解決實際問題．16．（2023?懷化）已知壓力F（N）、壓強(qiáng)P（Pa）與受力面積S（m2）之間有如下關(guān)系式：F＝PS．當(dāng)F為定值時，如圖中大致表示壓強(qiáng)P與受力面積S之間函數(shù)關(guān)系的是（）A． B． C． D．17．（2023?南充）小偉用撬棍撬動一塊大石頭，已知阻力和阻力臂分別為1000N和0.6m，當(dāng)動力臂由1.5m增加到2m時，撬動這塊石頭可以節(jié)省N的力．（杠桿原理：阻力×阻力臂＝動力×動力臂）18．（2023?溫州）在溫度不變的條件下，通過一次又一次地對汽缸頂部的活塞加壓，加壓后氣體對汽缸壁所產(chǎn)生的壓強(qiáng)p（kPa）與汽缸內(nèi)氣體的體積V（mL）成反比例，p關(guān)于V的函數(shù)圖象如圖所示．若壓強(qiáng)由75kPa加壓到100kPa，則氣體體積壓縮了mL．?考向七反比例函數(shù)綜合題19．（2023?成都）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)圖象y＝﹣x+5與y軸交于點A，與反比例函數(shù)y＝的圖象的一個交點為B（a，4），過點B作AB的垂線l．（1）求點A的坐標(biāo)及反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）若點C在直線l上，且△ABC的面積為5，求點C的坐標(biāo)；（3）P是直線l上一點，連接PA，以P為位似中心畫△PDE，使它與△PAB位似，相似比為m．若點D，E恰好都落在反比例函數(shù)圖象上，求點P的坐標(biāo)及m的值．20．（2023?淄博）如圖，直線y＝kx+b與雙曲線y＝相交于點A（2，3），B（n，1）．（1）求雙曲線及直線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）將直線AB向下平移至CD處，其中點C（﹣2，0），點D在y軸上．連接AD，BD，求△ABD的面積；（3）請直接寫出關(guān)于x的不等式kx+b＞的解集．1．（2023?廣州）已知正比例函數(shù)y1＝ax的圖象經(jīng)過點（1，﹣1），反比例函數(shù)y2＝的圖象位于第一、第三象限，則一次函數(shù)y＝ax+b的圖象一定不經(jīng)過（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（2023?張家界）如圖，矩形OABC的頂點A，C分別在y軸、x軸的正半軸上，點D在AB上，且AD＝AB，反比例函數(shù)y＝（k＞0）的圖象經(jīng)過點D及矩形OABC的對稱中心M，連接OD，OM，DM．若△ODM的面積為3，則k的值為（）A．2 B．3 C．4 D．53．（2023?無錫）已知曲線C1、C2分別是函數(shù)y＝﹣（x＜0），y＝（k＞0，x＞0）的圖象，邊長為6的正△ABC的頂點A在y軸正半軸上，頂點B、C在x軸上（B在C的左側(cè)），現(xiàn)將△ABC繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點B在曲線C1上時，點A恰好在曲線C2上，則k的值為．4．（2023?丹東）如圖，點A是反比例函數(shù)的圖象上一點，過點A作AC⊥x軸，垂足為點C，延長AC至點B，使BC＝2AC，點D是y軸上任意一點，連接AD，BD，若△ABD的面積是6，則k＝．5．（2023?寧波）如圖，點A，B分別在函數(shù)y＝（a＞0）圖象的兩支上（A在第一象限），連結(jié)AB交x軸于點C．點D，E在函數(shù)y＝（b＜0，x＜0）圖象上，AE∥x軸，BD∥y軸，連結(jié)DE，BE．若AC＝2BC，△ABE的面積為9，四邊形ABDE的面積為14，則a﹣b的值為，a的值為．6．（2023?長沙）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A在反比例函數(shù)y＝（k為常數(shù)，k＞0，x＞0）的圖象上，過點A作x軸的垂線，垂足為B，連接OA．若△OAB的面積為，則k＝．7．（2023?通遼）已知點A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函數(shù)的圖象上，且x1＜0＜x2，則下列結(jié)論一定正確的是（）A．y1+y2＜0 B．y1+y2＞0 C．y1﹣y2＜0 D．y1﹣y2＞08．（2023?威海）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A，B在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上．點A的坐標(biāo)為（m，2）．連接OA，OB，AB．若OA＝AB，∠OAB＝90°，則k的值為9．（2023?株洲）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，四邊形OABC為正方形，其中點A、C分別在x軸負(fù)半軸，y軸負(fù)半軸上，點B在第三象限內(nèi)，點A（t，0），點P（1，2）在函數(shù)的圖象上．（1）求k的值；（2）連接BP、CP，記△BCP的面積為S，設(shè)T＝2S﹣2t2，求T的最大值．10．（2023?湘潭）如圖，點A的坐標(biāo)是（﹣3，0），點B的坐標(biāo)是（0，4），點C為OB中點．將△ABC繞著點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△A′BC′．（1）反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過點C′，求該反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）一次函數(shù)圖象經(jīng)過A、A′兩點，求該一次函數(shù)的表達(dá)式．11．（2023?鄂州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y1＝k1x+b與雙曲線y2＝（其中k1?k2≠0）相交于A（﹣2，3），B（m，﹣2）兩點，過點B作BP∥x軸，交y軸于點P，則△ABP的面積是．12．（2023?常德）如圖所示，一次函數(shù)y1＝﹣x+m圖象與反比例函數(shù)圖象相交于點A和點B（3，﹣1）．（1）求m的值和反比例函數(shù)解析式；（2）當(dāng)y1＞y2時，求x的取值范圍．13．（2023?恩施州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為坐標(biāo)原點，直線y＝x+2交y軸于點A，交x軸于點B，與雙曲線y＝（k≠0）在一，三象限分別交于C，D兩點，AB＝BC，連接CO，DO．（1）求k的值；（2）求△CDO的面積．14．（2023?湖北）如圖，一次函數(shù)y1＝kx+b（k≠0）與函數(shù)為的圖象交于兩點．（1）求這兩個函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)圖象，直接寫出滿足y1﹣y2＞0時x的取值范圍；（3）點P在線段AB上，過點P作x軸的垂線，垂足為M，交函數(shù)y2的圖象于點Q，若△POQ的面積為3，求點P的坐標(biāo)．15．（2023?河南）小軍借助反比例函數(shù)圖象設(shè)計“魚形”圖案，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以反比例函數(shù)圖象上的點和點B為頂點，分別作菱形AOCD和菱形OBEF，點D，E在x軸上，以點O為圓心，OA長為半徑作，連接BF．（1）求k的值；（2）求扇形AOC的半徑及圓心角的度數(shù)；（3）請直接寫出圖中陰影部分面積之和．16．（2023?盤錦）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（1，0），B（0，3），反比例函數(shù)y＝（k≠0）在第一象限的圖象經(jīng)過點C，BC＝AC，∠ACB＝90°，過點C作直線CE∥x軸，交y軸于點E．（1）求反比例函數(shù)的解析式．（2）若點D是x軸上一點（不與點A重合），∠DAC的平分線交直線EC于點F，請直接寫出點F的坐標(biāo)．

主題三函數(shù)專題11反比例函數(shù)反比例函數(shù)的概念一般地，函數(shù)（k是常數(shù)，k≠0）叫做反比例函數(shù)．反比例函數(shù)的解析式也可以寫成的形式．自變量x的取值范圍是x≠0的一切實數(shù)，函數(shù)的取值范圍也是一切非零實數(shù)．反比例函數(shù)（k是常數(shù)，k0）中x，y的取值范圍反比例函數(shù)（k是常數(shù)，k≠0）的自變量x的取值范圍是不等于0的任意實數(shù)，函數(shù)值y的取值范圍也是非零實數(shù)．反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.圖象：反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函數(shù)中自變量x≠0，函數(shù)y≠0，所以，它的圖象與x軸、y軸都沒有交點，即雙曲線的兩個分支無限接近坐標(biāo)軸，但永遠(yuǎn)達(dá)不到坐標(biāo)軸．2.性質(zhì)：當(dāng)k>0時，函數(shù)圖象的兩個分支分別在第一、三象限，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減?。?dāng)k<0時，函數(shù)圖象的兩個分支分別在第二、四象限，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大．表達(dá)式（k是常數(shù)，k≠0）kk>0k<0大致圖象所在象限第一、三象限第二、四象限增減性在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大注意反比例函數(shù)的圖象不是連續(xù)的，因此在談到反比例函數(shù)的增減性時，都是在各自象限內(nèi)的增減情況．當(dāng)k>0時，在每一象限（第一、三象限）內(nèi)y隨x的增大而減小，但不能籠統(tǒng)地說當(dāng)k>0時，y隨x的增大而減?。瑯?，當(dāng)k<0時，也不能籠統(tǒng)地說y隨x的增大而增大．反比例函數(shù)解析式的確定1.待定系數(shù)法：確定解析式的方法仍是待定系數(shù)法，由于在反比例函數(shù)中，只有一個待定系數(shù)，因此只需要一對對應(yīng)值或圖象上的一個點的坐標(biāo)，即可求出k的值，從而確定其解析式．2.待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式的一般步驟（1）設(shè)反比例函數(shù)解析式為（k≠0）；（2）把已知一對x，y的值代入解析式，得到一個關(guān)于待定系數(shù)k的方程；（3）解這個方程求出待定系數(shù)k；（4）將所求得的待定系數(shù)k的值代回所設(shè)的函數(shù)解析式．反比例函數(shù)圖象中有關(guān)圖形的面積涉及三角形的面積型當(dāng)一次函數(shù)與反比例函數(shù)結(jié)合時，可通過面積作和或作差的形式來求解．1.正比例函數(shù)與一次函數(shù)所圍成的三角形面積.如圖①，S△ABC=2S△ACO=|k|；2.如圖②，已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)交于A、B兩點，且一次函數(shù)與x軸交于點C，則S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=；3.如圖③，已知反比例函數(shù)的圖象上的兩點，其坐標(biāo)分別為，，C為AB延長線與x軸的交點，則S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=．同一象限內(nèi)運用k的幾何意義S矩形PAOB＝|k|S△AOP＝eq\f(|k|,2)S△ACP＝eq\f(|k|,2)兩個象限內(nèi)運用k的幾何意義S△ABC＝|k|S△APP1＝2|k|雙反比例函數(shù)中運用k的幾何意義S矩形ABCD＝|k1|－|k2|S△ABO＝eq\f(|k1|－|k2|,2)S△ABC＝S△ABO＝eq\f(|k1|＋|k2|,2)反比例函數(shù)的實際應(yīng)用解決反比例函數(shù)的實際問題時，先確定函數(shù)解析式，再利用圖象找出解決問題的方案，特別注意自變量的取值范圍．反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合1.涉及自變量取值范圍型：當(dāng)一次函數(shù)與反比例函數(shù)相交時，聯(lián)立兩個解析式，構(gòu)造方程組，然后求出交點坐標(biāo)。針對時自變量x的取值范圍，只需觀察一次函數(shù)的圖象高于反比例函數(shù)圖象的部分所對應(yīng)的x的范圍.例如，如下圖，當(dāng)時，x的取值范圍為或；同理，當(dāng)時，x的取值范圍為或．2.求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點坐標(biāo)（1）從圖象上看，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點由k值的符號來決定.①k值同號，兩個函數(shù)必有兩個交點；②k值異號，兩個函數(shù)可無交點，可有一個交點，可有兩個交點；（2）從計算上看，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點主要取決于兩函數(shù)所組成的方程組的解的情況．

專題11反比例函數(shù)目錄一覽知識目標(biāo)（新課程標(biāo)準(zhǔn)提煉）中考命題趨勢（分析考察方向，精準(zhǔn)把握重難點）重點考向（以真題為例，探究中考命題方向）?考向一反比例函數(shù)的性質(zhì)?考向二反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義?考向三反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征?考向四待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式?考向五反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題?考向六反比例函數(shù)的應(yīng)用?考向七反比例函數(shù)綜合題最新真題薈萃（精選最新典型真題，強(qiáng)化知識運用，優(yōu)化解題技巧）1.結(jié)合具體情境體會反比例函數(shù)的意義，能根據(jù)已知條件確定反比例函數(shù)的表達(dá)式；2.能畫出反比例函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象和表達(dá)式探索并理解k>0和k<0時，圖象的變化情況；3.能用反比例函數(shù)解決簡單的實際問題．反比例函數(shù)也是非常重要的函數(shù)，年年都會考，總分值為15分左右，預(yù)計2024年各地中考一定還會考，反比例函數(shù)與一次函數(shù)結(jié)合出現(xiàn)在解答題中是各地中考必考的一個解答題，反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)和平面幾何的知識結(jié)合、反比例函數(shù)中|k|的幾何意義等也會是小題考察的重點。反比例函數(shù)的概念一般地，函數(shù)（k是常數(shù)，k≠0）叫做反比例函數(shù)．反比例函數(shù)的解析式也可以寫成的形式．自變量x的取值范圍是x≠0的一切實數(shù)，函數(shù)的取值范圍也是一切非零實數(shù)．反比例函數(shù)（k是常數(shù)，k0）中x，y的取值范圍反比例函數(shù)（k是常數(shù)，k≠0）的自變量x的取值范圍是不等于0的任意實數(shù)，函數(shù)值y的取值范圍也是非零實數(shù)．反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.圖象：反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函數(shù)中自變量x≠0，函數(shù)y≠0，所以，它的圖象與x軸、y軸都沒有交點，即雙曲線的兩個分支無限接近坐標(biāo)軸，但永遠(yuǎn)達(dá)不到坐標(biāo)軸．2.性質(zhì)：當(dāng)k>0時，函數(shù)圖象的兩個分支分別在第一、三象限，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減?。?dāng)k<0時，函數(shù)圖象的兩個分支分別在第二、四象限，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大．表達(dá)式（k是常數(shù)，k≠0）kk>0k<0大致圖象所在象限第一、三象限第二、四象限增減性在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大注意反比例函數(shù)的圖象不是連續(xù)的，因此在談到反比例函數(shù)的增減性時，都是在各自象限內(nèi)的增減情況．當(dāng)k>0時，在每一象限（第一、三象限）內(nèi)y隨x的增大而減小，但不能籠統(tǒng)地說當(dāng)k>0時，y隨x的增大而減?。瑯樱?dāng)k<0時，也不能籠統(tǒng)地說y隨x的增大而增大．反比例函數(shù)解析式的確定1.待定系數(shù)法：確定解析式的方法仍是待定系數(shù)法，由于在反比例函數(shù)中，只有一個待定系數(shù)，因此只需要一對對應(yīng)值或圖象上的一個點的坐標(biāo)，即可求出k的值，從而確定其解析式．2.待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式的一般步驟（1）設(shè)反比例函數(shù)解析式為（k≠0）；（2）把已知一對x，y的值代入解析式，得到一個關(guān)于待定系數(shù)k的方程；（3）解這個方程求出待定系數(shù)k；（4）將所求得的待定系數(shù)k的值代回所設(shè)的函數(shù)解析式．反比例函數(shù)圖象中有關(guān)圖形的面積涉及三角形的面積型當(dāng)一次函數(shù)與反比例函數(shù)結(jié)合時，可通過面積作和或作差的形式來求解．1.正比例函數(shù)與一次函數(shù)所圍成的三角形面積.如圖①，S△ABC=2S△ACO=|k|；2.如圖②，已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)交于A、B兩點，且一次函數(shù)與x軸交于點C，則S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=；3.如圖③，已知反比例函數(shù)的圖象上的兩點，其坐標(biāo)分別為，，C為AB延長線與x軸的交點，則S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=．同一象限內(nèi)運用k的幾何意義S矩形PAOB＝|k|S△AOP＝eq\f(|k|,2)S△ACP＝eq\f(|k|,2)兩個象限內(nèi)運用k的幾何意義S△ABC＝|k|S△APP1＝2|k|雙反比例函數(shù)中運用k的幾何意義S矩形ABCD＝|k1|－|k2|S△ABO＝eq\f(|k1|－|k2|,2)S△ABC＝S△ABO＝eq\f(|k1|＋|k2|,2)反比例函數(shù)的實際應(yīng)用解決反比例函數(shù)的實際問題時，先確定函數(shù)解析式，再利用圖象找出解決問題的方案，特別注意自變量的取值范圍．反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合1.涉及自變量取值范圍型：當(dāng)一次函數(shù)與反比例函數(shù)相交時，聯(lián)立兩個解析式，構(gòu)造方程組，然后求出交點坐標(biāo)。針對時自變量x的取值范圍，只需觀察一次函數(shù)的圖象高于反比例函數(shù)圖象的部分所對應(yīng)的x的范圍.例如，如下圖，當(dāng)時，x的取值范圍為或；同理，當(dāng)時，x的取值范圍為或．2.求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點坐標(biāo)（1）從圖象上看，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點由k值的符號來決定.①k值同號，兩個函數(shù)必有兩個交點；②k值異號，兩個函數(shù)可無交點，可有一個交點，可有兩個交點；（2）從計算上看，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點主要取決于兩函數(shù)所組成的方程組的解的情況．?考向一反比例函數(shù)的性質(zhì)解題技巧/易錯易混確定點是否在反比例函數(shù)圖象上的方法：（1）把點的橫坐標(biāo)代入解析式，求出y的值，若所求值等于點的縱坐標(biāo)，則點在圖象上；若所求值不等于點的縱坐標(biāo)，則點不在圖象上．（2）把點的橫、縱坐標(biāo)相乘，若乘積等于k，則點在圖象上，若乘積不等于k，則點不在圖象上．1．（2023?安徽）已知反比例函數(shù)y＝（k≠0）在第一象限內(nèi)的圖象與一次函數(shù)y＝﹣x+b的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝x2﹣bx+k﹣1的圖象可能為（）A． B． C． D．【思路點撥】根據(jù)反比例函數(shù)y＝與一次函數(shù)y＝﹣x+b的圖象，可知k＞0，b＞0，所以函數(shù)y＝x2﹣bx+k﹣1的圖象開口向上，對稱軸為直線x＝＞0，根據(jù)兩個交點為（1，k）和（k，1），可得k﹣b＝﹣1，b＝k+1，可得函數(shù)y＝x2﹣bx+k﹣1的圖象過點（1，﹣1），不過原點，即可判斷函數(shù)y＝x2﹣bx+k﹣1的大致圖象．【規(guī)范解答】解：∵一次函數(shù)y＝﹣x+b的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，且與y軸交于正半軸，則b＞0，反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過第一、三象限，則k＞0，∴函數(shù)y＝x2﹣bx+k﹣1的圖象開口向上，對稱軸為直線x＝＞0，由圖象可知，反比例函數(shù)y＝與一次函數(shù)y＝﹣x+b的圖象有兩個交點（1，k）和（k，1），∴﹣1+b＝k，∴k﹣b＝﹣1，∴b＝k+1，∴對于函數(shù)y＝x2﹣bx+k﹣1，當(dāng)x＝1時，y＝1﹣b+k﹣1＝﹣1，∴函數(shù)y＝x2﹣bx+k﹣1的圖象過點（1，﹣1），∵反比例函數(shù)y＝與一次函數(shù)y＝﹣x+b的圖象有兩個交點，∴方程＝﹣x+b有兩個不相等的實數(shù)根，∴Δ＝b2﹣4k＝（k+1）2﹣4k＝（k﹣1）2＞0，∴k﹣1≠0，∴當(dāng)x＝0時，y＝k﹣1≠0，∴函數(shù)y＝x2﹣bx+k﹣1的圖象不過原點，∴符合以上條件的只有A選項．故選：A．【真題點撥】本題考查的是一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)的圖象，應(yīng)該熟記一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)在不同情況下所在的象限．2．（2023?廣西）如圖，過的圖象上點A，分別作x軸，y軸的平行線交的圖象于B，D兩點，以AB，AD為鄰邊的矩形ABCD被坐標(biāo)軸分割成四個小矩形，面積分別記為S1，S2，S3，S4，若，則k的值為（）A．4 B．3 C．2 D．1【思路點撥】設(shè)A（m，），在y＝﹣中，令y＝得x＝﹣，令x＝m得y＝﹣，可得B（﹣，），D（m，﹣），即得C（﹣，﹣），故S2＝S4＝1，S3＝，根據(jù)，得1++1＝，解方程并檢驗可得答案．【規(guī)范解答】解：設(shè)A（m，），在y＝﹣中，令y＝得x＝﹣，令x＝m得y＝﹣，∴B（﹣，），D（m，﹣），∴C（﹣，﹣），∴S2＝S4＝1，S3＝，∵，∴1++1＝，解得k＝2，經(jīng)檢驗，k＝2是方程的解，符合題意，故選：C．【真題點撥】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，矩形的面積公式等，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023?鎮(zhèn)江）點A（2，y1）、B（3，y2）在反比例函數(shù)y＝的圖象上，則y1＞y2（用“＜”、“＞”或“＝”填空）．【思路點撥】根據(jù)反比例函數(shù)的比例系數(shù)的符號可得在同一象限內(nèi)函數(shù)的增減性，進(jìn)而可得y1與y2的大小．【規(guī)范解答】解：反比例函數(shù)y＝中，k＝5＞0，∴函數(shù)圖象在第一、三象限，且在每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，∵2＜3，∴y1＞y2，故答案為＞．【真題點撥】考查反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征；用到的知識點為：反比例函數(shù)的比例系數(shù)大于0，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小．?考向二反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義解題技巧/易錯易混反比例函數(shù)的解析式（k≠0）中，只有一個待定系數(shù)k，確定了k值，也就確定了反比例函數(shù)，因要確定反比例函數(shù)的解析式，只需給出一對x，y的對應(yīng)值或圖象上一個點的坐標(biāo)，代入中即可．4．（2023?湘西州）如圖，點A在函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，點B在函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，且AB∥x軸，BC⊥x軸于點C，則四邊形ABCO的面積為（）A．1 B．2 C．3 D．4【思路點撥】延長BA交y軸于點D，根據(jù)反比例函數(shù)k值的幾何意義得到，S矩形OCBD＝3，根據(jù)四邊形ABCO的面積等于S矩形OCBD﹣S△ADO，即可得解．【規(guī)范解答】解：延長BA交y軸于點D，∵AB∥x軸，∴DA⊥y軸，∵點A在函數(shù)的圖象上，∴，∵BC⊥x軸于點C，DB⊥y軸，點B在函數(shù)的圖象上，∴S矩形OCBD＝3，∴四邊形ABCO的面積等于S矩形OCBD﹣S△ADO＝3﹣1＝2；故選：B．【真題點撥】本題考查反比例函數(shù)與幾何圖形的綜合應(yīng)用．熟練掌握反比例函數(shù)中k的幾何意義，是解題的關(guān)鍵．5．（2023?黑龍江）如圖，△ABC是等腰三角形，AB過原點O，底邊BC∥x軸，雙曲線y＝過A，B兩點，過點C作CD∥y軸交雙曲線于點D．若S△BCD＝12，則k的值是（）A．﹣6 B．﹣12 C．﹣ D．﹣9【思路點撥】設(shè)出B的坐標(biāo)，通過對稱性求出C點的坐標(biāo)，進(jìn)而求出D的坐標(biāo)，即可用k表示出線段BC和CD的長度，結(jié)合已知面積即可列出方程求出k．【規(guī)范解答】解：設(shè)BC與y軸的交點為F，B（b，），則A（﹣b，﹣），b＞0，由題意知，AO＝BO，即O是線段AB的中點，過A作AE⊥BC于點E，∵AC＝AB，AE⊥BC，∴BE＝CE，AE∥y軸，∴CF＝3BF＝3b，∴C（﹣3b，），∴D（﹣3b，），∴CD＝，BC＝4b，∴S△BCD＝，∴k＝﹣．故選：C．【真題點撥】對于反比例函數(shù)中圖形的面積問題，常用一個未知數(shù)表示關(guān)鍵點的坐標(biāo)，通過推導(dǎo)求其面積．6．（2023?衢州）如圖，點A，B在x軸上，分別以O(shè)A，AB為邊，在x軸上方作正方形OACD，ABEF，反比例函數(shù)y＝（k＞0）的圖象分別交邊CD，BE于點P，Q．作PM⊥x軸于點M，QN⊥y軸于點N．若OA＝2AB，Q為BE的中點，且陰影部分面積等于6，則k的值為24．【思路點撥】設(shè)OA＝4a，因為OA＝2AB，所以AB＝2a，則A（4a，0），B（6a，0），由于正方形OACD，ABEF，則C（4a，4a），因為CD⊥y軸，P在CD上，所以P點縱坐標(biāo)為4a，則P點橫坐標(biāo)為：x＝k4a，由于Q為BE中點，切BE⊥x軸，所以BQ＝AB＝a，則Q（6a，a），由于Q在反比例函數(shù)y＝（k＞0）上，所以k＝6a2，根據(jù)已知陰影為矩形，長為，寬為：a，面積為6，所以可得12×k4a×a＝6，即可解決．【規(guī)范解答】解：設(shè)OA＝4a，∵AO＝2AB，∴AB＝2a，∴OB＝AB+OA＝6a，則B（6a，0），由于在正方形ABEF中，AB＝BE＝2a，∵Q為BE中點，∴BQ＝12AB＝a，∴Q（6a，a），∵Q在反比例函數(shù)y＝kx（k＞0）上，∴k＝6a×a＝6a2，∵四邊形OACD是正方形，∴C（6a，6a），∵P在CD上，∴P點縱坐標(biāo)為4a，∵P在反比例函數(shù)y＝（k＞0）上，∴P點橫坐標(biāo)為：x＝，∴P（，4a），∵作PM⊥x軸于點M，QN⊥y軸于點N，∴四邊形OMNH是矩形，∴NH＝，MH＝a，∴S矩形OMHN＝NH×MH＝×a＝6，則k＝24，故答案為：24．【真題點撥】本題考查反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)和長方形的面積公式，讀懂題意，靈活運用說學(xué)知識是解決問題的關(guān)鍵．?考向三反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征解題技巧/易錯易混確定點是否在反比例函數(shù)圖象上的方法：（1）把點的橫坐標(biāo)代入解析式，求出y的值，若所求值等于點的縱坐標(biāo)，則點在圖象上；若所求值不等于點的縱坐標(biāo)，則點不在圖象上．（2）把點的橫、縱坐標(biāo)相乘，若乘積等于k，則點在圖象上，若乘積不等于k，則點不在圖象上．7．（2023?濟(jì)南）已知點A（﹣4，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）都在反比例函數(shù)y＝（k＜0）的圖象上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系為（）A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1【思路點撥】首先根據(jù)k＜0得函數(shù)圖象的兩個分支分別在第二、四象限內(nèi)，且在每一個象限內(nèi)y隨x的增大而增大，然后根據(jù)點A，B，C的橫坐標(biāo)得，點A，B在第二象限內(nèi)，點C在第四象限內(nèi)，進(jìn)而可判定y1＞0，y2＞0，y3＜0，最后再根據(jù)﹣4＜﹣2得y1＜y2，據(jù)此即可得出答案．【規(guī)范解答】解：∵，k＜0，∴函數(shù)圖象的兩個分支分別在第二、四象限內(nèi)，且在每一個象限內(nèi)y隨x的增大而增大，又∵點A（﹣4，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3），∴點A，B在第二象限內(nèi)，點C在第四象限內(nèi)，∴y1＞0，y2＞0，y3＜0，又∵﹣4＜﹣2，∴y1＜y2，∴y3＜y1＜y2．故選：C．【真題點撥】此題主要考查了反比例函數(shù)（k≠0）的性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握：對于反比例函數(shù)y＝k/x（k≠0），當(dāng)k＞0時，圖象的兩個分支在第一、三象限內(nèi)變化，且在每一個象限內(nèi)y隨x的增大而減??；當(dāng)k＜0時，圖象的兩個分支在第二、四象限內(nèi)變化，且在每一個象限內(nèi)y隨x的增大而增大．8．（2023?攀枝花）如圖，在直角△ABO中，AO＝，AB＝1，將△ABO繞點O順時針旋轉(zhuǎn)105°至△A′B′O的位置，點E是OB′的中點，且點E在反比例函數(shù)y＝的圖象上，則k的值為．【思路點撥】依據(jù)題意，在Rt△BAO中，AO＝，AB＝1，從而BO＝＝2，可得∠AOB＝30°，又結(jié)合題意，∠BOB'＝105°，進(jìn)而∠BOX＝45°，故可得E點坐標(biāo)，代入解析式可以得解．【規(guī)范解答】解：如圖，作EH⊥x軸，垂足為H．由題意，在Rt△BAO中，AO＝，AB＝1，∴BO＝＝2．∴AB＝BO．∴∠AOB＝30°．又△ABO繞點O順時針旋轉(zhuǎn)105°至△A′B′O的位置，∴∠BOB'＝105°．∴∠B'OX＝45°．又點E是OB′的中點，∴OE＝BO＝1．在Rt△EOH中，∵∠B'OX＝45°，∴EH＝OH＝OE＝．∴E（，）．又E在y＝上，∴k＝＝．故答案為：．【真題點撥】本題主要考查了反比例函數(shù)圖象上的點的坐標(biāo)特征，解題時需要熟練掌握并靈活運用是關(guān)鍵．9．（2023?安徽）如圖，O是坐標(biāo)原點，Rt△OAB的直角頂點A在x軸的正半軸上，AB＝2，∠AOB＝30°，反比例函數(shù)y＝（k＞0）的圖象經(jīng)過斜邊OB的中點C．（1）k＝；（2）D為該反比例函數(shù)圖象上的一點，若DB∥AC，則OB2﹣BD2的值為4．【思路點撥】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，求出A、B兩點坐標(biāo)，作出輔助線，證得△OPC≌△APC（HL），利用勾股定理及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可解答．（2）求出AC、BD的解析式，再聯(lián)立方程組，求得點D的坐標(biāo)，分兩種情況討論即可求解．【規(guī)范解答】解：（1）在Rt△OAB中，AB＝2，∠AOB＝30°，∴，∴，∵C是OB的中點，∴OC＝BC＝AC＝2，如圖，過點C作CP⊥OA于P，∴△OPC≌△APC（HL），∴，在Rt△OPC中，PC＝，∴C（，1）．∵反比例函數(shù)y＝（k＞0）的圖象經(jīng)過斜邊OB的中點C，∴，解得k＝．故答案為：．（2）設(shè)直線AC的解析式為y＝k1x+b（k≠0），則，解得，∴AC的解析式為y＝﹣x+2，∵AC∥BD，∴直線BD的解析式為y＝﹣x+4，∵點D既在反比例函數(shù)圖象上，又在直線BD上，∴聯(lián)立得，解得，，當(dāng)D的坐標(biāo)為（2+3，）時，BD2＝＝9+3＝12，∴OB2﹣BD2＝16﹣12＝4；當(dāng)D的坐標(biāo)為（2﹣3，）時，BD2＝+＝9+3＝12，∴OB2﹣BD2＝16﹣12＝4；綜上，OB2﹣BD2＝4．故答案為：4．【真題點撥】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握直角三角形的性質(zhì)及勾股定理的應(yīng)用．?考向四待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式10．（2023?青島）反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過點A（m，），則反比例函數(shù)的表達(dá)式為y＝．【思路點撥】根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，列出關(guān)于m的方程解出即可．【規(guī)范解答】解：∵反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過點A（m，），∴＝m．∴m＝8，∴反比例函數(shù)解析式為：y＝．【真題點撥】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，點的坐標(biāo)之積是常數(shù)m是解題的關(guān)鍵．11．（2023?陜西）如圖，在矩形OABC和正方形CDEF中，點A在y軸正半軸上，點C，F(xiàn)均在x軸正半軸上，點D在邊BC上，BC＝2CD，AB＝3．若點B，E在同一個反比例函數(shù)的圖象上，則這個反比例函數(shù)的表達(dá)式是y＝．【思路點撥】根據(jù)矩形的性質(zhì)得到OC＝AB＝3，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到CD＝CF＝EF，設(shè)CD＝m，BC＝2m，得到B（3，2m），E（3+m，m），設(shè)反比例函數(shù)的表達(dá)式為y＝，列方程即可得到結(jié)論．【規(guī)范解答】解：∵四邊形OABC是矩形，∴OC＝AB＝3，∵四邊形CDEF是正方形，∴CD＝CF＝EF，∵BC＝2CD，∴設(shè)CD＝m，BC＝2m，∴B（3，2m），E（3+m，m），設(shè)反比例函數(shù)的表達(dá)式為y＝，∴3×2m＝（3+m）?m，解得m＝3或m＝0（不合題意舍去），∴B（3，6），∴k＝3×6＝18，∴這個反比例函數(shù)的表達(dá)式是y＝，故答案為：y＝．【真題點撥】本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征：反比例函數(shù)y＝（k為常數(shù)，k≠0）的圖象是雙曲線，圖象上的點（x，y）的橫縱坐標(biāo)的積是定值k，即xy＝k．12．（2023?綿陽）如圖，過原點O的直線與反比例函數(shù)（k≠0）的圖象交于A（1，2），B兩點，一次函數(shù)y2＝mx+b（m≠0）的圖象過點A與反比例函數(shù)交于另一點C（2，n）．（1）求反比例函數(shù)的解析式；當(dāng)y1＞y2時，根據(jù)圖象直接寫出x的取值范圍；（2）在y軸上是否存在點M，使得△COM為等腰三角形？若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【思路點撥】（1）將點A坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式即可求出k，利用數(shù)形結(jié)合的思想即可求出x的取值范圍．（2）先求出點C坐標(biāo)，再根據(jù)分類討論的數(shù)學(xué)思想即可解決問題．【規(guī)范解答】解：（1）由題知，將A點坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式得，k＝1×2＝2，所以反比例函數(shù)的解析式為．由函數(shù)圖象可知，在直線x＝0和x＝1之間的部分及直線x＝2右側(cè)的部分，反比例函數(shù)y1的圖象在一次函數(shù)y2的圖象的上方，即y1＞y2．所以x的取值范圍是：0＜x＜1或x＞2．（2）將x＝2代入反比例函數(shù)解析式得，y＝1，所以點C的坐標(biāo)為（2，1）．則OC＝．當(dāng)OC＝OM時，OM＝，所以點M坐標(biāo)為（0，）或（0，﹣）．當(dāng)CM＝CO時，點C在OM的垂直平分線上，又因為點C坐標(biāo)為（2，1），所以點M坐標(biāo)為（0，2）．當(dāng)MO＝MC時，點M在OC的垂直平分線上，過點C作CN⊥y軸于點N，令MO＝m，則MC＝m，MN＝m﹣1，在Rt△CMN中，CN2+MN2＝MC2，即22+（m﹣1）2＝m2，解得m＝．所以點M的坐標(biāo)為（0，）．綜上所述：點M的坐標(biāo)為（0，）或（0，）或（0，2）或（0，）．【真題點撥】本題考查待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式及等腰三角形，熟知待定系數(shù)法及巧妙利用分類討論的數(shù)學(xué)思想是解題的關(guān)鍵．?考向五反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題解題技巧/易錯易混反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合的主要題型：（1）利用k值與圖象的位置的關(guān)系，綜合確定系數(shù)符號或圖象位置；（2）已知直線與雙曲線表達(dá)式求交點坐標(biāo)；（3）用待定系數(shù)法確定直線與雙曲線的表達(dá)式；（4）應(yīng)用函數(shù)圖象性質(zhì)比較一次函數(shù)值與反比例函數(shù)值的大小等．解題時，一定要靈活運用一次函數(shù)與反比例函數(shù)的知識，并結(jié)合圖象分析、解答問題．13．（2023?內(nèi)蒙古）如圖，直線y＝ax+b（a≠0）與雙曲線y＝（k≠0）交于點A（﹣2，4）和點B（m，﹣2），則不等式0＜ax+b＜的解集是（）A．﹣2＜x＜4 B．﹣2＜x＜0 C．x＜﹣2或0＜x＜4 D．﹣2＜x＜0或x＞4【思路點撥】求出一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式，根據(jù)圖示直接得出不等式的解集．【規(guī)范解答】解：∵A（﹣2，4）在反比例函數(shù)圖象上，∴k＝xy＝﹣2×4＝﹣8，∴反比例函數(shù)解析式為：y＝﹣，又∵B（m，﹣2）在y＝﹣圖象上，∴m＝4，∴B（4，﹣2），∵點A（﹣2，4）、B（4，﹣2）在一次函數(shù)y＝ax+b的圖象上，∴，解得，一次函數(shù)解析式為：y＝﹣x+2．由圖象可知，不等式0＜ax+b＜的解集﹣2＜x＜0．故選：B．【真題點撥】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點的坐標(biāo)滿足兩個函數(shù)關(guān)系式．14．（2023?荊州）如圖，點A（2，2）在雙曲線y＝（x＞0）上，將直線OA向上平移若干個單位長度交y軸于點B，交雙曲線于點C．若BC＝2，則點C的坐標(biāo)是（，2）．【思路點撥】由題意，點A（2，2），則∠AOx＝45°，同時可得雙曲線解析式，再作CH⊥x軸，作BG⊥CH，可得∠CBG＝45°，又BC＝2，再結(jié)合雙曲線解析式可以得解．【規(guī)范解答】解：∵點A（2，2）在雙曲線y＝（x＞0）上，∴2＝．∴k＝4．∴雙曲線解析式為y＝．如圖，作AD⊥x軸，CH⊥x軸，作BG⊥CH，垂足分別為D、H、G．∵A（2，2），∴AD＝OD．∴∠AOD＝45°．∴∠AOB＝45°．∵OA∥BC，∴∠CBO＝180°﹣45°＝135°．∴∠CBG＝135°﹣90°＝45°．∴∠CBG＝∠BCG．∵BC＝2，∴BG＝CG＝．∴C點的橫坐標(biāo)為．又C在雙曲線y＝上，∴C（，2）．故答案為：（，2）．【真題點撥】本題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，需要熟練掌握并理解．15．（2023?濱州）如圖，直線y＝kx+b（k，b為常數(shù)）與雙曲線為常數(shù)）相交于A（2，a），B（﹣1，2）兩點．（1）求直線y＝kx+b的解析式；（2）在雙曲線上任取兩點M（x1，y1）和N（x2，y2），若x1＜x2，試確定y1和y2的大小關(guān)系，并寫出判斷過程；（3）請直接寫出關(guān)于x的不等式的解集．【思路點撥】（1）依據(jù)題意，將B點代入雙曲線解析式可求得m，再將A點代入求出a，最后由A、B兩點代入直線解析式可以得解；（2）由題意，分成兩種情形：一種是M、N在雙曲線的同一支上，一種是M、N在雙曲線的兩一支上，然后根據(jù)圖象可以得解；（3）依據(jù)圖象，由一次函數(shù)值大于反比例函數(shù)值可以得解．【規(guī)范解答】解：（1）由題意，將B點代入雙曲線解析式y(tǒng)＝，∴2＝．∴m＝﹣2．∴雙曲線為y＝﹣．又A（2，a）在雙曲線上，∴a＝﹣1．∴A（2，﹣1）．將A、B代入一次函數(shù)解析式得，∴．∴直線y＝kx+b的解析式為y＝﹣x+1．（2）由題意，可分成兩種情形．①M、N在雙曲線的同一支上，由雙曲線y＝﹣，在同一支上時函數(shù)值隨x的增大而增大，∴當(dāng)x1＜x2時，y1＜y2．②M、N在雙曲線的不同的一支上，∵x1＜x2，∴x1＜0＜x2．∴此時由圖象可得y1＞0＞y2，即此時當(dāng)x1＜x2時，y1＞y2．（3）依據(jù)圖象，即一次函數(shù)值大于反比例函數(shù)值，∵A（2，﹣1），B（﹣1，2），∴不等式的解集為：x＜﹣1或0＜x＜2．【真題點撥】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)的性質(zhì)，解不等式．利用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．?考向六反比例函數(shù)的應(yīng)用解題技巧/易錯易混用反比例函數(shù)解決實際問題的步驟（1）審：審清題意，找出題目中的常量、變量，并理清常量與變量之間的關(guān)系；（2）設(shè)：根據(jù)常量與變量之間的關(guān)系，設(shè)出函數(shù)解析式，待定的系數(shù)用字母表示；（3）列：由題目中的已知條件列出方程，求出待定系數(shù)；（4）寫：寫出函數(shù)解析式，并注意解析式中變量的取值范圍；（5）解：用函數(shù)解析式去解決實際問題．16．（2023?懷化）已知壓力F（N）、壓強(qiáng)P（Pa）與受力面積S（m2）之間有如下關(guān)系式：F＝PS．當(dāng)F為定值時，如圖中大致表示壓強(qiáng)P與受力面積S之間函數(shù)關(guān)系的是（）A． B． C． D．【思路點撥】根據(jù)函數(shù)的解析式判斷函數(shù)的圖形即可．【規(guī)范解答】解：∵壓力F（N）、壓強(qiáng)P（Pa）與受力面積S（m2）之間有如下關(guān)系式：F＝PS．∴當(dāng)F為定值時，壓強(qiáng)P與受力面積S之間函數(shù)關(guān)系是反比例函數(shù)，故選：D．【真題點撥】此題主要考查了反比例的應(yīng)用，關(guān)鍵是會判斷函數(shù)圖象．17．（2023?南充）小偉用撬棍撬動一塊大石頭，已知阻力和阻力臂分別為1000N和0.6m，當(dāng)動力臂由1.5m增加到2m時，撬動這塊石頭可以節(jié)省100N的力．（杠桿原理：阻力×阻力臂＝動力×動力臂）【思路點撥】根據(jù)杠桿定律求得函數(shù)的解析式后代入L＝1.5和L＝2求得力的大小即可．【規(guī)范解答】解：根據(jù)“杠桿定律”有FL＝1000×0.6，∴函數(shù)的解析式為F＝，當(dāng)L＝1.5時，F(xiàn)＝＝400，當(dāng)L＝2時，F(xiàn)＝＝300，因此，撬動這塊石頭可以節(jié)省400﹣300＝100N，故答案為：100．【真題點撥】本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從實際問題中抽象出反比例函數(shù)模型，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模的數(shù)學(xué)思想，難度不大．18．（2023?溫州）在溫度不變的條件下，通過一次又一次地對汽缸頂部的活塞加壓，加壓后氣體對汽缸壁所產(chǎn)生的壓強(qiáng)p（kPa）與汽缸內(nèi)氣體的體積V（mL）成反比例，p關(guān)于V的函數(shù)圖象如圖所示．若壓強(qiáng)由75kPa加壓到100kPa，則氣體體積壓縮了20mL．【思路點撥】設(shè)這個反比例函數(shù)的解析式為V＝，求得V＝，當(dāng)p＝75kPa時，求得V＝＝80，當(dāng)p＝100kPa時求得，V＝＝60于是得到結(jié)論．【規(guī)范解答】解：設(shè)這個反比例函數(shù)的解析式為V＝，∵V＝100ml時，p＝60kpa，∴k＝pV＝100ml×60kpa＝6000，∴V＝，當(dāng)p＝75kPa時，V＝＝80，當(dāng)p＝100kPa時，V＝＝60，∴80﹣60＝20（mL），∴氣體體積壓縮了20mL，故答案為：20．【真題點撥】本題考查了反比例函數(shù)的實際應(yīng)用，讀懂題意，得出反比例函數(shù)的解析式是解本題的關(guān)鍵．?考向七反比例函數(shù)綜合題19．（2023?成都）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)圖象y＝﹣x+5與y軸交于點A，與反比例函數(shù)y＝的圖象的一個交點為B（a，4），過點B作AB的垂線l．（1）求點A的坐標(biāo)及反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）若點C在直線l上，且△ABC的面積為5，求點C的坐標(biāo)；（3）P是直線l上一點，連接PA，以P為位似中心畫△PDE，使它與△PAB位似，相似比為m．若點D，E恰好都落在反比例函數(shù)圖象上，求點P的坐標(biāo)及m的值．【思路點撥】（1）解方程得到點A的坐標(biāo)為（0，5），將B（a，4）代入y＝﹣x+5得，4＝﹣a+5，求得B（1，4），將B（1，4）代入y＝得，求得反比例函數(shù)的表達(dá)式為y＝；（2）設(shè)直線l與y軸交于M，直線y＝﹣x+5與x軸交于N，解方程得到N（S，0），求得OA＝ON＝5，根據(jù)兩點間的距離的結(jié)論公式得到＝，求得M（0，3），待定系數(shù)法求得直線l的解析式為y＝x+3，設(shè)點C的坐標(biāo)為（t，t+3），根據(jù)三角形的面積公式列方程得到t＝﹣4或t＝6，求得點C的坐標(biāo)為（6，9）或（﹣4，﹣1）；（3）解方程組求得E（﹣4，﹣1），根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到∠PAB＝∠PDE，根據(jù)平行線的判定定理得到AB∥DE，求得直線DE的解析式為y＝﹣x﹣5，解方程組得到D（﹣1，﹣4），則直線AD的解析式為y＝9x+5，于是得到P（﹣，），根據(jù)兩點間的距離距離公式即可得到結(jié)論．【規(guī)范解答】解：（1）令x＝0，則y＝﹣x+5＝5，∴點A的坐標(biāo)為（0，5），將B（a，4）代入y＝﹣x+5得，4＝﹣a+5，∴a＝1，∴B（1，4），將B（1，4）代入y＝得，4＝，解得k＝4，∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y＝；（2）設(shè)直線l與y軸交于M，直線y＝﹣x+5與x軸交于N，令y＝﹣x+5＝0得，x＝5，∴N（5，0），∴OA＝ON＝5，∵∠AON＝90°，∴∠OAN＝45°，∵A（0，5），B（1，4），∴＝，∵直線l是AB的垂線，即∠ABM＝90°，∠OAN＝45°，∴，∴M（0，3），設(shè)直線l的解析式為y＝k1x+b1，將M（0，3），B（1，4）代入y＝k1x+b1得，，解得，∴直線l的解析式為y＝x+3，設(shè)點C的坐標(biāo)為（t，t+3），∵?|xB﹣xC|＝，解得t＝﹣4或t＝6，當(dāng)t＝﹣4時，t+3＝﹣1，當(dāng)t＝6時，t+3＝9，∴點C的坐標(biāo)為（6，9）或（﹣4，﹣1）；（3）∵位似圖形的對應(yīng)點與位似中心三點共線，∴點B的對應(yīng)點也在直線l上，不妨設(shè)為E點，則點A的對應(yīng)點為D，將直線l與雙曲線的解析式聯(lián)立方程組，解得，或，∴E（﹣4，﹣1），畫出圖形如圖所示，∵△PAB∽△PDE，∴∠PAB＝∠PDE，∴AB∥DE，∴直線AB與直線DE的一次項系數(shù)相等，設(shè)直線DE的解析式為y＝﹣x+b2，∴﹣1＝﹣（﹣4）+b2，∴b2＝﹣5，∴直線DE的解析式為y＝﹣x﹣5，∵點D在直線DE與雙曲線的另一個交點，∴解方程組得，或，∴D（﹣1，﹣4），則直線AD的解析式為y＝9x+5，解方程組得，，∴P（﹣，），∴，，∴m＝．【真題點撥】本題考查了反比例函數(shù)的綜合題，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．20．（2023?淄博）如圖，直線y＝kx+b與雙曲線y＝相交于點A（2，3），B（n，1）．（1）求雙曲線及直線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）將直線AB向下平移至CD處，其中點C（﹣2，0），點D在y軸上．連接AD，BD，求△ABD的面積；（3）請直接寫出關(guān)于x的不等式kx+b＞的解集．【思路點撥】（1）將A（2，3）代入雙曲線y＝，求出m的值，從而確定雙曲線的解析式，再將點B（n，1）代入y＝，確定B點坐標(biāo)，最后用待定系數(shù)法求直線的解析式即可；（2）由平行求出直線CD的解析式為y＝﹣x﹣1，過點D作DG⊥AB交于G，設(shè)直線AB與y軸的交點為H，與x軸的交點為F，可推導(dǎo)出∠HDG＝∠HFO，再由cos∠HFO＝，求出DG＝DH＝2，則△ABD的面積＝2×2＝10；（3）數(shù)形結(jié)合求出x的范圍即可．【規(guī)范解答】解：（1）將A（2，3）代入雙曲線y＝，∴m＝6，∴雙曲線的解析式為y＝，將點B（n，1）代入y＝，∴n＝6，∴B（6，1），將A（2，3），B（6，1）代入y＝kx+b，∴，解得，∴直線解析式為y＝﹣x+4；（2）∵直線AB向下平移至CD，∴AB∥CD，設(shè)直線CD的解析式為y＝﹣x+n，將點C（﹣2，0）代入y＝﹣x+n，∴1+n＝0，解得n＝﹣1，∴直線CD的解析式為y＝﹣x﹣1，∴D（0，﹣1），過點D作DG⊥AB交于G，設(shè)直線AB與y軸的交點為H，與x軸的交點為F，∴H（0，4），F(xiàn)（8，0），∵∠HFO+∠OHF＝90°，∠OHG+∠HDG＝90°，∴∠HDG＝∠HFO，∵OH＝4，OF＝8，∴HF＝4，∴cos∠HFO＝，∵DH＝5，∴DG＝DH＝2，∵AB＝2，∴△ABD的面積＝2×2＝10；方法2：S△ABD＝S△HBD﹣S△HAD＝HD（xB﹣xA）＝5×4＝10；（3）由圖可知2＜x＜6或x＜0時，﹣x﹣1＞．【真題點撥】本題考查反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)，直線平移是性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．1．（2023?廣州）已知正比例函數(shù)y1＝ax的圖象經(jīng)過點（1，﹣1），反比例函數(shù)y2＝的圖象位于第一、第三象限，則一次函數(shù)y＝ax+b的圖象一定不經(jīng)過（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【思路點撥】根據(jù)正比例函數(shù)的性質(zhì)可以判斷a的正負(fù)，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可以判斷b的正負(fù)，然后即可得到一次函數(shù)y＝ax+b的圖象經(jīng)過哪幾個象限，不經(jīng)過哪個象限．【規(guī)范解答】解：∵正比例函數(shù)y1＝ax的圖象經(jīng)過點（1，﹣1），點（1，﹣1）位于第四象限，∴正比例函數(shù)y1＝ax的圖象經(jīng)過第二、四象限，∴a＜0；∵反比例函數(shù)y2＝的圖象位于第一、第三象限，∴b＞0；∴一次函數(shù)y＝ax+b的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，不經(jīng)過第三象限，故選：C．【真題點撥】本題考查反比例函數(shù)的性質(zhì)、正比例函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，判斷出a、b的正負(fù)情況．2．（2023?張家界）如圖，矩形OABC的頂點A，C分別在y軸、x軸的正半軸上，點D在AB上，且AD＝AB，反比例函數(shù)y＝（k＞0）的圖象經(jīng)過點D及矩形OABC的對稱中心M，連接OD，OM，DM．若△ODM的面積為3，則k的值為（）A．2 B．3 C．4 D．5【思路點撥】設(shè)B點的坐標(biāo)為（a，b），根據(jù)矩形對稱中心的性質(zhì)得出延長OM恰好經(jīng)過點B，M（，），確定D（，b），然后結(jié)合圖形及反比例函數(shù)的意義，得出S△ODM＝S△AOB﹣S△AOD﹣S△BDM＝3，代入求解即可．【規(guī)范解答】解：∵四邊形OCBA是矩形，∴AB＝OC，OA＝BC，設(shè)B點的坐標(biāo)為（a，b），∵矩形OABC的對稱中心M，∴延長OM恰好經(jīng)過點B，M（，），∵點D在AB上，且AD＝AB，∴D（，b），∴BD＝a，∴S△BDM＝BD?h＝×a×（b﹣）＝ab，∵D在反比例函數(shù)的圖象上，∴ab＝k，∵S△ODM＝S△AOB﹣S△AOD﹣S△BDM＝ab﹣k﹣ab＝3，∴ab＝16，∴k＝ab＝4，故選：C．【真題點撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，三角形的面積等知識，熟練掌握和靈活運用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．3．（2023?無錫）已知曲線C1、C2分別是函數(shù)y＝﹣（x＜0），y＝（k＞0，x＞0）的圖象，邊長為6的正△ABC的頂點A在y軸正半軸上，頂點B、C在x軸上（B在C的左側(cè)），現(xiàn)將△ABC繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點B在曲線C1上時，點A恰好在曲線C2上，則k的值為6．【思路點撥】作A′D⊥x軸于D，B′E⊥x軸于E，根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義求得S△OA′D＝k，S△OB′E＝×|﹣2|＝1，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出OB＝3，OA＝3，易證得△A′OD∽△OB′E，從而得出＝3，即，解得k＝6．【規(guī)范解答】解：作A′D⊥x軸于D，B′E⊥x軸于E，∵將△ABC繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)，點B在曲線C1上時，點A恰好在曲線C2上，∴S△OA′D＝k，S△OB′E＝×|﹣2|＝1，∵邊長為6的正△ABC的頂點A在y軸正半軸上，頂點B、C在x軸上（B在C的左側(cè)），OA⊥BC，∴OB＝3，OA＝3，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知OB′＝OB＝3，OA′＝OA＝3，∴＝，∵∠A′OB′＝∠AOB＝90°，∴∠B′OE+∠A′OD＝90°，∵∠A′OD+∠OA′D＝90°，∴∠B′OE＝∠OA′D，∵∠OEB′＝∠A′DO＝90°，∴△A′OD∽△OB′E，∴＝3，即，∴k＝6．故答案為：6．【真題點撥】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，作出輔助線構(gòu)建相似三角形是解題的關(guān)鍵．4．（2023?丹東）如圖，點A是反比例函數(shù)的圖象上一點，過點A作AC⊥x軸，垂足為點C，延長AC至點B，使BC＝2AC，點D是y軸上任意一點，連接AD，BD，若△ABD的面積是6，則k＝4．【思路點撥】過點D作DE交AB的延長線于E，設(shè)點A的坐標(biāo)為（m，n），則k＝mn，OC＝m，AC＝n，AB＝3n，證四邊形ODEC為矩形得DE＝OC＝m，然后根據(jù)△ABD的面積是6可得mn＝4，由此可得k的值．【規(guī)范解答】解：過點D作DE交AB的延長線于E，如圖：設(shè)點A的坐標(biāo)為（m，n），∵x＞0，點A在第一象限，∴m＞0，n＞0，k＝mn，∵AC⊥x軸于點C，∴OC＝m，AC＝n，∴BC＝2AC＝2n，∴AB＝BC+AC＝3n，∵AC⊥x軸，DE⊥AB，∠DOC＝90°，∴四邊形ODEC為矩形，∴DE＝OC＝m，∵△ABD的面積是6，∴S△ABD＝AB?DE＝6，即：?3n?m＝6，∴mn＝4，∴k＝mn＝4．故答案為：4．【真題點撥】此題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)，三角形的面積，熟練掌握三角形的面積公式，理解反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)滿足反比例函數(shù)的解析式，滿足反比例函數(shù)解析式的點都在函數(shù)的圖象上是解答此題的關(guān)鍵．5．（2023?寧波）如圖，點A，B分別在函數(shù)y＝（a＞0）圖象的兩支上（A在第一象限），連結(jié)AB交x軸于點C．點D，E在函數(shù)y＝（b＜0，x＜0）圖象上，AE∥x軸，BD∥y軸，連結(jié)DE，BE．若AC＝2BC，△ABE的面積為9，四邊形ABDE的面積為14，則a﹣b的值為12，a的值為9．【思路點撥】依據(jù)題意，設(shè)A（m，），再由AE∥x軸，BD∥y軸，AC＝2BC，可得B（﹣2m，﹣），D（﹣2m，﹣），E（，），再結(jié)合△ABE的面積為9，四邊形ABDE的面積為14，即可得解．【規(guī)范解答】解：設(shè)A（m，），∵AE∥x軸，且點E在函數(shù)y＝上，∴E（，）．∵AC＝2BC，且點B在函數(shù)y＝上，∴B（﹣2m，﹣）．∵BD∥y軸，點D在函數(shù)y＝上，∴D（﹣2m，﹣）．∵△ABE的面積為9，∴S△ABE＝AE×（+）＝（m﹣）（+）＝m??＝＝9．∴a﹣b＝12．∵△ABE的面積為9，四邊形ABDE的面積為14，∴S△BDE＝DB?（+2m）＝（﹣+）（）m＝（a﹣b）??（）?m＝3（）＝5．∴a＝﹣3b．又a﹣b＝12．∴a＝9．故答案為：12，9．【真題點撥】本題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題時需要熟練掌握并能靈活運用方程思想是關(guān)鍵．6．（2023?長沙）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A在反比例函數(shù)y＝（k為常數(shù)，k＞0，x＞0）的圖象上，過點A作x軸的垂線，垂足為B，連接OA．若△OAB的面積為，則k＝．【思路點撥】由k的幾何意義可得＝，從而可求出k的值．【規(guī)范解答】解：△AOB的面積為＝，所以k＝．故答案為：．【真題點撥】本題主要考查了k的幾何意義．用k表示三角形AOB的面積是本題的解題關(guān)鍵．7．（2023?通遼）已知點A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函數(shù)的圖象上，且x1＜0＜x2，則下列結(jié)論一定正確的是（）A．y1+y2＜0 B．y1+y2＞0 C．y1﹣y2＜0 D．y1﹣y2＞0【思路點撥】根據(jù)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，由x1＜0＜x2，可判斷y1＞0＞y2，進(jìn)而得出答案．【規(guī)范解答】解：∵反比例函數(shù)的圖象在二、四象限，而x1＜0＜x2，∴點A（x1，y1）在第二象限反比例函數(shù)的圖象上，B（x2，y2）在第四象限反比例函數(shù)的圖象上，∴y1＞0＞y2，∴y1﹣y2＞0，故選：D．【真題點撥】本題考查反比例函數(shù)的圖象上點的坐標(biāo)特征，掌握反比例函數(shù)的圖象上點的坐標(biāo)特征是正確解答的前提．8．（2023?威海）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A，B在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上．點A的坐標(biāo)為（m，2）．連接OA，OB，AB．若OA＝AB，∠OAB＝90°，則k的值為2﹣2．【思路點撥】構(gòu)造全等三角形推出點B的含有m的坐標(biāo)，利用同一反比例函數(shù)上點的坐標(biāo)之積相等列出關(guān)于m的方程，解出m即可求出A的坐標(biāo)，【規(guī)范解答】解：過點A作x軸的平行線交y軸于點M，過點B作y軸的平行線交MA的延長線于點N．∵∠MOA+∠MAO＝90°，∠NAB+∠MAO＝90°，∴∠MOA＝∠NAB，∵∠AMO＝∠ANB＝90°，AO＝AB．∴△AMO≌△BNA（AAS），∴AM＝NB＝m，MO＝AN＝2．∴A（m，2），B（m+2，2﹣m），∵點A、B都在反比例函數(shù)上，∴2m＝（m+2）（2﹣m），解得：m1＝﹣1+，m2＝﹣1﹣（舍去），∴點A的坐標(biāo)為（﹣1+，2），∴k＝xy＝2（﹣1）＝2﹣2．【真題點撥】本題考查了反比例函數(shù)上點的坐標(biāo)特征，構(gòu)造一線三垂直出現(xiàn)全等三角形是本題的突破口．9．（2023?株洲）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，四邊形OABC為正方形，其中點A、C分別在x軸負(fù)半軸，y軸負(fù)半軸上，點B在第三象限內(nèi)，點A（t，0），點P（1，2）在函數(shù)的圖象上．（1）求k的值；（2）連接BP、CP，記△BCP的面積為S，設(shè)T＝2S﹣2t2，求T的最大值．【思路點撥】（1）根據(jù)點P（1，2）在函數(shù)的圖象上，代入即可得到k的值；（2）根據(jù)點A（t，0）在x軸負(fù)半軸上得到OA＝﹣t，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到OC＝BC＝OA＝﹣t，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【規(guī)范解答】解：（1）∵點P（1，2）在函數(shù)的圖象上，∴2＝，∴k＝2，即k的值為2；（2）∵點A（t，0）在x軸負(fù)半軸上，∴OA＝﹣t，∵四邊形OABC為正方形，∴OC＝BC＝OA＝﹣t，BC∥x軸，∴△BCP的面積為S＝×（﹣t）×（2﹣t）＝t2﹣t，∴T＝2S﹣2t2＝2（t2﹣t）﹣2t2＝﹣t2﹣2t＝﹣（t+1）2+1，∵﹣1＜0，∴拋物線開口向下，∴當(dāng)t＝﹣1時，T有最大值，T的最大值是1．【真題點撥】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（2023?湘潭）如圖，點A的坐標(biāo)是（﹣3，0），點B的坐標(biāo)是（0，4），點C為OB中點．將△ABC繞著點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△A′BC′．（1）反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過點C′，求該反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）一次函數(shù)圖象經(jīng)過A、A′兩點，求該一次函數(shù)的表達(dá)式．【思路點撥】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出C′的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求得反比例函數(shù)的解析式；（2）作A′H⊥y軸于H．證明△AOB≌△BHA′（AAS），推出OA＝BH，OB＝A′H，求出點A′坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可求得一次函數(shù)的解析式．【規(guī)范解答】解：（1）∵點A的坐標(biāo)是（﹣3，0），點B的坐標(biāo)是（0，4），點C為OB中點，∴OA＝3，OB＝4，∴BC＝2，將△ABC繞著點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△A′BC′，∴C′（2，4），∵反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過點C′，∴k＝2×4＝8，∴該反比例函數(shù)的表達(dá)式為y＝；（2）作A′H⊥y軸于H．∵∠AOB＝∠A′HB＝∠ABA′＝90°，∴∠ABO+∠A′BH＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，∴∠BAO＝∠A′BH，∵BA＝BA′，∴△AOB≌△BHA′（AAS），∴OA＝BH，OB＝A′H，∵OA＝3，OB＝4，∴BH＝OA＝3，A′H＝OB＝4，∴OH＝1，∴A′（4，1），設(shè)一次函數(shù)的解析式為y＝ax+b，把A（﹣3，0），A′（4，1）代入得，，解得，∴該一次函數(shù)的表達(dá)式為y＝x+．【真題點撥】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)圖象上的點的坐標(biāo)特征，坐標(biāo)與圖形的變化﹣旋轉(zhuǎn)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．11．（2023?鄂州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y1＝k1x+b與雙曲線y2＝（其中k1?k2≠0）相交于A（﹣2，3），B（m，﹣2）兩點，過點B作BP∥x軸，交y軸于點P，則△ABP的面積是．【思路點撥】把A（﹣2，3），B（m，﹣2）代入雙曲線函數(shù)的表達(dá)式中，可求得m的值，然后利用三角形的面積公式進(jìn)行求解即可．【規(guī)范解答】解：∵直線y1＝k1x+b與雙曲線y2＝（其中k1?k2≠0）相交于A（﹣2，3），B（m，﹣2）兩點，∴k2＝﹣2×3＝﹣2m∴m＝3，∴B（3，﹣2），∵BP∥x軸，∴BP＝3，∴S△ABP＝＝．故答案為：．【真題點撥】本題是一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，考查了一次函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，三角形的面積，數(shù)形結(jié)合是解答此題