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第05講函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性與對稱性

（13類核心考點(diǎn)精講精練）

IN.考情探究?

1.5年真題考點(diǎn)分布

5年考情

考題示例考點(diǎn)分析

2024年天津卷，第4題,5分函數(shù)奇偶性的定義與判斷求含COSX的函數(shù)的奇偶性

函數(shù)奇偶性的定義與判斷判斷指數(shù)型函數(shù)的圖象形狀識別三角函數(shù)的

2023年天津卷，第4題,5分

圖象（含正、余弦，正切）根據(jù)函數(shù)圖象選擇解析式

2022年天津卷，第3題,5分函數(shù)奇偶性的應(yīng)用函數(shù)圖像的識別根據(jù)解析式直接判斷函數(shù)的單調(diào)性

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度從低到高，分值為5分

【備考策略】L理解、掌握函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性與對稱性，能夠靈活運(yùn)用函數(shù)的各種性質(zhì)。

2.能掌握函數(shù)的性質(zhì)

3.具備數(shù)形結(jié)合的思想意識，根據(jù)不同函數(shù)的性質(zhì)解決問題

4.會(huì)解周期性與對稱性的運(yùn)算.

【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，一般給需要靈活結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，求解含參，不等式,

解析式，求和等各種問題。

IN?考點(diǎn)梳理?

1

1.單調(diào)函數(shù)的定義c笑q畫她的斗、國時(shí)

2.單調(diào)區(qū)間的定義J翌二、鬻鬻鱉門

c知識點(diǎn)一.函數(shù)的單調(diào)性Y3.函數(shù)單調(diào)性的等價(jià)結(jié)論《蓼二'那鬻鬻黑出出經(jīng).現(xiàn)值法國

4.判斷函數(shù)單調(diào)性的四種方法［考點(diǎn)二、利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍

r，防知.倬枇心中”考點(diǎn)四、函數(shù)的奇偶性

鴛鬻您吃蹙七才考點(diǎn)五、利用函數(shù)奇偶性求參數(shù)

知識點(diǎn)二.函數(shù)的奇偶性':蠹器器翦嘉I考點(diǎn)六、利用函數(shù)奇偶性求解析式

函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性與對稱性色圖敵司塔莊打吊用為化考點(diǎn)七、利用單調(diào)性奇偶性解不等式

r

考點(diǎn)八、函數(shù)的對稱性

r考點(diǎn)九、利用函數(shù)對稱性求解析式

饕:小考點(diǎn)十'函數(shù)的周期性

知識點(diǎn)三.周期性與對稱性

瑞鬻對觸的常用結(jié)論盟匚'鬻卻噓L

考浸十三:奇偶性與周期性解不等式

知識講解

知識點(diǎn)一.函數(shù)的單調(diào)性

1.單調(diào)函數(shù)的定義

增函數(shù)減函數(shù)

一般地，設(shè)函數(shù)外)的定義域?yàn)?,如果對于定義域/內(nèi)某個(gè)區(qū)間。上的任

意兩個(gè)自變量的值Xl，X2

定

當(dāng)X1VX2時(shí)，都有/fa)>

義當(dāng)時(shí)，都有那么就說函數(shù)

/to),那么就說函數(shù)人X)在區(qū)

兀0在區(qū)間。上是增函數(shù)

間D上是減函數(shù)

y

圖卜,/內(nèi)㈤

象加

--/1)加2)

0%1%2x

描0X\X2X

述

自左向右一看圖象是上升的自左向彳了看圖象是下降的

2.單調(diào)區(qū)間的定義

如果函數(shù)y=Xx)在區(qū)間。上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)了=於)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)

間D叫做y=/(x)的單調(diào)區(qū)間.

注意：(1)函數(shù)單調(diào)性關(guān)注的是整個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，單獨(dú)一點(diǎn)不存在單調(diào)性問題，所以單調(diào)區(qū)間的端點(diǎn)若屬

于定義域，則該點(diǎn)處區(qū)間可開可閉，若區(qū)間端點(diǎn)不屬于定義域則只能開.

⑵單調(diào)區(qū)間。g定義域/.

(3)遵循最簡原則，單調(diào)區(qū)間應(yīng)盡可能大.

3.函數(shù)單調(diào)性的等價(jià)結(jié)論

(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上是增函數(shù)：

Q任取xi,x26[a,b],S.xi<X2,都有f(xi)-f(x2)<0;

2

。任取xi,X2C[a,b],且X1?X2,都有"犯)?3)>0.

0任取Xl,X2E[a,b],且X1#X2,都有(Xl-X2)[f(Xl)-f(X2)]>0；

0任取xi,X2E[a,b],且X1WX2,都有,、>0.

⑵函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上是減函數(shù)：

0任取Xl,X2E[a,b],且X1VX2,都有f(Xl)-f(X2)>0；

Q任取xi,X2C[a,b],且X]?X2渚B有八犯)?(肛)<0;

Q任取Xl,X2C[a,b],且X1?X2,都有(Xl-X2)[f(Xl)-f(X2)]<0；

Q任取xi,xe[a,b],Mx內(nèi)2,都有TTW<0

2八汽1)一一(%2)

(3)在區(qū)間。上，兩個(gè)增函數(shù)的和仍是增函數(shù)，兩個(gè)減函數(shù)的和仍是減函數(shù).

(4)復(fù)合函數(shù)義g(x))的單調(diào)性與函數(shù)y=/5)和w=g(x)的單調(diào)性的關(guān)系是“同增異減”.

(5)對勾函數(shù)(耐克函數(shù))

形如>=x+"(p〉0,且夕為常數(shù))

x

在(-oo,-y[p卜口[j方,+oo)上為增函數(shù)，在(-和(°，)上為減函數(shù).

對勾函數(shù)有兩條漸近線：一條是歹軸(xwO,圖象無限接近于歹軸，但不相交)，

另一條是直線>=x(當(dāng)x趨近于無窮大時(shí)，K趨近于0,>趨近于X,因?yàn)椤癢O,所以

XX

4.判斷函數(shù)單調(diào)性的四種方法：

(1)定義法：取值、作差、變形因式分解、配方、有理化、通分、定號、下結(jié)論.

(2)復(fù)合法：同增異減，即內(nèi)外函數(shù)的單調(diào)性相同時(shí)為增函數(shù)，不同時(shí)為減函數(shù).

(3)圖象法：如果外)是以圖象形式給出的，或者小)的圖象易作出，可由圖象的直觀性判斷函數(shù)單調(diào)性.

(4)導(dǎo)數(shù)法：利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)單調(diào)性.(選修中會(huì)學(xué)到)

(5)證明函數(shù)的單調(diào)性有定義法、導(dǎo)數(shù)法.但在高考中，見到有解析式，盡量用導(dǎo)數(shù)法.

3

易錯(cuò)警示：①求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，應(yīng)先求定義域，在定義域內(nèi)求單調(diào)區(qū)間.

②如有多個(gè)單調(diào)增減區(qū)間應(yīng)分別寫，不能用“U”聯(lián)結(jié).

知識點(diǎn)二.函數(shù)的奇偶性

1,函數(shù)奇偶性的定義：

奇偶性偶函數(shù)奇函數(shù)

條件設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镮,如果Vxei,都有一xel

結(jié)論f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)

圖象特點(diǎn)關(guān)于Y軸對稱關(guān)于原點(diǎn)對稱

注意：判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括兩個(gè)必備條件：

1.定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域；

2.判斷外）與人㈤是否具有等量關(guān)系.在判斷奇偶性的運(yùn)算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價(jià)關(guān)系式加）+人.）

=0（奇函數(shù)）或人X）T/（-X）=O（偶函數(shù)）是否成立.

3.若加）知，則奇（偶）函數(shù)定義的等價(jià)形式如下：

①Ax）為奇函數(shù)=穴-x）=小）=/（-x）+外）=0Q管=-1.

②/（X）為偶函數(shù)導(dǎo)/（-X）=/）=?.）加）=0=與1.

2.判斷函數(shù)奇偶性的方法

1.定義法：利用奇、偶函數(shù)的定義或定義的等價(jià)形式：?二之=±1&）邦）判斷函數(shù)的奇偶性.

於）

2.圖象法：利用函數(shù)圖象的對稱性判斷函數(shù)的奇偶性.

3.驗(yàn)證法：即判斷墳一功是否為0.

4.性質(zhì)法：設(shè)外），g（x）的定義域分別是Di,D2,那么在它們的公共定義域上，有下面結(jié)論:

f(x)9（嗎f(x)+g(x)f(x)-g(x)f(x)-g(x)71。（瀏

偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)

偶函數(shù)奇函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)偶函數(shù)

奇函數(shù)偶函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)偶函數(shù)

奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)

總結(jié)：奇士奇=奇偶土偶=偶奇*奇=偶偶、偶=偶奇"禺=奇

3.函數(shù)奇偶性的常用結(jié)論

1.如果一個(gè)奇函數(shù)段）在x=0處有定義，那么一定有貝0）=0.

2.如果函數(shù)兀E）是偶函數(shù)，那么,

3奇函數(shù)在兩個(gè)對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在兩個(gè)對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.

4在公共定乂域內(nèi)有：奇土奇=奇，偶土偶=偶，奇、奇=偶,偶x偶=偶,奇乂偶=奇.

5.若y=/（x+a）是奇函數(shù)，則八一x+a）=一加+a）；若y=/（x+a）是偶函數(shù)，則｛一x+a）=/（x+a）.

4

知識點(diǎn)三.周期性與對稱性

1.周期性

(1)周期函數(shù)：對于函數(shù)y=f(x),如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有f(x+T)

=f(x),那么就稱函數(shù)y=f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個(gè)函數(shù)的周期.

(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最

小正周期.

2.中心對稱

定義：如果一個(gè)函數(shù)的圖像沿一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度，所得的圖像能與原函數(shù)圖像完全重合，則稱該函數(shù)具備

對稱性中的中心對稱，該點(diǎn)稱為該函數(shù)的對稱中心

3.周期性與對稱性的常用結(jié)論

(1)函數(shù)周期的常見結(jié)論設(shè)函數(shù)、=危)，xGR,a>0.

①若義a),則函數(shù)的周期為2a；

②若｛x+a)=一危)，則函數(shù)的周期為2a；

③若"+a)=-L,則函數(shù)的周期為2a；

氏)

④若"+.)=一」—，則函數(shù)的周期為2a；

於)

(2)對稱軸常見類型

①/(%+a)=/(-％+b)0y=f(x)圖像關(guān)于直線x=對稱

②f(x+a)=/(—%+a)<=>y=/(%)的圖象關(guān)于直線％=a對稱

③/(%)=+2a)=y=/(%)的圖象關(guān)于直線x=。對稱

④/(一%)=/(%+2a)=y=/(%)的圖象關(guān)于直線x-a對稱

(3)對稱中心常見類型

Qf(x+a)+f(b-x)=2c0y=f(x)圖像關(guān)于直線K%c)對稱

②f(a+x)+f(a-x)=2bu>y=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,b)對稱

③/(x)+f(2a-x)=2by=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,b)對稱

④f(-x)+fQa+x)=2b=y=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,b)對稱

(4)周期與對稱性的區(qū)分

①若/(%+a)=±f(x+b),則f(x)具有周期性；

②若+a)=±/(-x+b),則f(x)具有對稱性:

口訣：“內(nèi)同表示周期性，內(nèi)反表示對稱性”。

考點(diǎn)一、函數(shù)的單調(diào)性

5

典例引領(lǐng)

1.(2023?北京?高考真題)下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增的是()

1

A./(%)=-lnxB./(x)=-

C.f(x)=-|D./(X)=

【答案】C

【分析】利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷ABC,舉反例排除D即可.

【詳解】對于A,因?yàn)閥=Inx在(0,+8)上單調(diào)遞增，y=-%在(0,+8)上單調(diào)遞減，

所以/(久)=-Inx在(0,+8)上單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；

對于B,因?yàn)閥=2才在(0,+8)上單調(diào)遞增，丫=：在(0,+8)上單調(diào)遞減，

所以=?在(。，+8)上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；

對于C,因?yàn)閥=：在(0,+8)上單調(diào)遞減，y=-x在(0,+oo)上單調(diào)遞減，

所以/0)=-(在+8)上單調(diào)遞增，故C正確；

對于D,因?yàn)閒0=3卜4=39=遙，/(I)=3|1-11=3°=l,f(2)=3|2-11=3,

顯然f(x)=3忱-11在(0,+8)上不單調(diào)，D錯(cuò)誤.

故選：C.

2.(2020?山東?高考真題)已知函數(shù)f(x)的定義域是R,若對于任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)必，血，總有

售等>0成立，則函數(shù)f(x)一定是()

A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.增函數(shù)D.減函數(shù)

【答案】C

【分析】利用函數(shù)單調(diào)性定義即可得到答案.

【詳解】對于任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)叼，犯，總有與巖生>。成立，

等價(jià)于對于任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)/<電，總有/G1)<

所以函數(shù)/(%)一定是增函數(shù).

故選：C

即0唧(

1.(2021?全國?高考真題)下列函數(shù)中是增函數(shù)的為()

A./(x)=-%B./(%)=(?)C./(x)=x2D.—\[x

【答案】D

【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷后可得正確的選項(xiàng).

6

【詳解】對于A,/(%)=-x為R上的減函數(shù)，不合題意，舍.

對于B,/(%)=(§”為R上的減函數(shù)，不合題意，舍.

對于C,/■(%)=/在(—8,0)為減函數(shù)，不合題意，舍.

對于D,f(x)=設(shè)為7?上的增函數(shù)，符合題意，

故選：D.

2.(2024高三?全國?專題練習(xí))已知/0)是定義在R上的偶函數(shù)，函數(shù)g(x)滿足gO)+g(-x)=0,且/'(%)、

gO)在(-8,0］單調(diào)遞減，則()

A./(。(久))在［0,+8)單調(diào)遞減

B.g(g(x))在(一8,0］單調(diào)遞減

C.g(/(x))在［0,+8)單調(diào)遞7或

D./(/Q))在(—8,0］單調(diào)遞減

【答案】C

【分析】利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性一一判定選項(xiàng)即可.

【詳解】由題意知/(x)在［0,+8)單調(diào)遞增，g(x)為奇函數(shù)，在R上單調(diào)遞減.

設(shè)ow<冷，則g(*2)<gOi)<o，f(g(x2))>/(gOi))，

所以/(g(x))在［o,+s)單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤，

設(shè)久1<x2<o,則gCq)>。(町)，g(g(M))<9(。(冷))，

所以g(g(x))在(-8,0］單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；

設(shè)。WX1<%2，貝療(向)</(右)，9(/(打))>g(f(X2))，

所以在［。,+8)單調(diào)遞減，故c正確；

取/(%)=/—1,貝次(/(X))=(%2—1)2—1,/(/(0))=0,1,

此時(shí)在(-8,0］不單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤.

故選：C.

3.(2024?山西呂梁?二模)已知函數(shù)y=/(4%一久2)在區(qū)間。2)上單調(diào)遞減，則函數(shù)/(切的解析式可以為

()

A.f(x)=4x—X2B.f(x)—2團(tuán)

C./(%)=—sin%D./(%)=x

【答案】A

【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性分析可知/(%)在區(qū)間(3,4)上單調(diào)遞減，進(jìn)而逐項(xiàng)分析判斷即可.

【詳解】因?yàn)?=4%-/開口向下，對稱軸為t=2,

可知內(nèi)層函數(shù)t=4%-/在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，

當(dāng)％=Lt=3；當(dāng)％=2,t=4；

可知t=4%—%2G(3,4),

7

又因?yàn)楹瘮?shù)y=/(4x-/)在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞減，

所以f。)在區(qū)間(3,4)上單調(diào)遞減，即(0)在區(qū)間(3,4)上單調(diào)遞減.

對于選項(xiàng)A：因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=4x-/在區(qū)間(3,4)上單調(diào)遞減，故A正確；

對于選項(xiàng)B：因?yàn)閤G(3,4),則f(x)=2國=2"在區(qū)間(3,4)上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；

對于選項(xiàng)C：因?yàn)榫?(3,4)U(：,等)，則/■(%)=—sin久在區(qū)間(3,4)上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；

對于選項(xiàng)D：因?yàn)?(x)=x在區(qū)間(3,4)上單調(diào)遞增，故D錯(cuò)誤.

故選：A.

4.(23-24高三上?上海楊浦?期中)已知函數(shù)y=f(x),x&R.若f(l)<”2)成立，則下列論斷中正確的

是()

A.函數(shù)/0)在(-8,+8)上一?定是增函數(shù)；

B.函數(shù)f(x)在(一8,+8)上一定不是增函數(shù)；

C.函數(shù)f(x)在(-8,+8)上可能是減函數(shù)；

D.函數(shù)f0)在(一8,+8)上不可能是減函數(shù).

【答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義判斷即可.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)y=/(*),xeR且/"⑴</⑵成立,

則函數(shù)/(X)在(-8,+OO)上不可能是減函數(shù)，可能是增函數(shù)，也可能不是增函數(shù)，

如/(X)=%2,滿足/(I)<f⑵,但是/(X)在(―8,+8)上不具有單調(diào)性，

故D正確，A、B、C錯(cuò)誤.

故選：D

考點(diǎn)二、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

5典例引領(lǐng)

1.(2024高三?全國?專題練習(xí))函數(shù)y=工的單調(diào)遞減區(qū)間為()

X

A.(一8,+8)

B.(0,+8)

C.(—8,o)U(0,+°°)

D.(―°°,0),(0,+°0)

【答案】D

【分析】由反比例函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】由反比例函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)y=(的單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,o),(0,+8).

故選：D.

8

2.（23-24高三上?河南南陽?階段練習(xí)）函數(shù)y=x）在區(qū)間A上是減函數(shù)，那么區(qū)間A

是.

【答案】（—8,0）,6,+8）（答案不唯一）

【分析】化簡函數(shù)y=|x|（l—x）為人嗎=儼2一作出其圖象，數(shù)形結(jié)合，即可得答案.

lx—xz,x>0

【詳解】由題意得y=/（x）=|x|（l-久）=產(chǎn)一,

作出其圖像如圖：

由圖像可知函數(shù)在區(qū)間（-8,0）,（1,+8）上是減函數(shù)，

故區(qū)間A是（-oo,0）,（-,+oo）,或其子集

故答案為：（一8,0）,弓,+8）

即0^（

1.（23-24高三上?寧夏固原?階段練習(xí)）函數(shù)y=/+4%+5］的單調(diào)遞減區(qū)間為

【答案】（一8,-1）,（2,5）

【分析】作出y=|-X2+4%+5］的圖像，根據(jù)圖像即可求出結(jié)果.

【詳解】由一/+4%+5=0,得到%=-1或%=5,

函數(shù)y=|-%2+4%+5］的圖像如圖所示，

由圖知，函數(shù)y=|-/+4%+5|的單調(diào)遞減區(qū)間為（一8,-1）,（2,5）,

9

2.(20-21高三上?陜西漢中?階段練習(xí))函數(shù)/0)=五/-2尸8的單調(diào)遞增區(qū)間是.

【答案】(1,+8)/口,+8)

【分析】由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行求解.

【詳解】因?yàn)閥=n"在R上單調(diào)遞增，故y=/-2x-8的單調(diào)遞增區(qū)間即為/(x)=的單調(diào)遞增

區(qū)間，

y=/_2*—8的對稱軸為％=-彳=1,故(1,+8)或口+8)為y=%2-2x-8的單調(diào)遞增區(qū)間，

故f(x)=n小-2.8的單調(diào)遞增區(qū)間為J+g)或［1,+co).

故答案為：(L+8)

3.(2023?海南?？?二模)已知偶函數(shù)y=/(久+1)在區(qū)間［0,+8)上單調(diào)遞減，則函數(shù)y=f(久—1)的單

調(diào)增區(qū)間是.

【答案】(-8,2］

【分析】根據(jù)偶函數(shù)的對稱性結(jié)合圖象平移分析求解.

【詳解】因?yàn)榕己瘮?shù)y=/(X+1)在區(qū)間［0,+8)上單調(diào)遞減，

所以y=/(x+1)在區(qū)間(—8,0］上單調(diào)遞增，

又因?yàn)閒(x-1)=/((%-2)+1),則函數(shù)f(x-1)的圖象是由函數(shù)+1)的圖象向右平移2個(gè)單位長度得

到，

所以函數(shù)/(x—1)的單調(diào)增區(qū)間是(―*2］.

故答案為：(—8,2］.

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的性質(zhì)，要求學(xué)生了解函數(shù)圖象的平移與單調(diào)性和奇偶性的綜合關(guān)系.

4.(22-23高三上?北京?階段練習(xí))能夠說明“若g(x)在R上是增函數(shù)，貝ijxg(x)在R上也是增函數(shù)”是

假命題的一個(gè)g(x)的解析式g(x)=.

【答案】x(答案不唯一，符合題意即可)

【分析】根據(jù)單調(diào)性的概念分析理解.

【詳解】例如：9(的=%在R上是增函數(shù)，貝!|xg(x)=%2在(-8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增，所以%(%)

在R上不是增函數(shù)

故答案為：X(答案不唯一，符合題意即可).

5.(23-24高三上?海南僧州?階段練習(xí))若八%)=巖-1為奇函數(shù),則g(x)=ln［(x—3)(x—a)］的單調(diào)

遞減區(qū)間是.

【答案】(-8,2)

【分析】由奇函數(shù)得/(0)=0,解出a值，再由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得減區(qū)間.

【詳解】由/'(刀)=97—1，久6R為奇函數(shù)，

e"+l

則/(0)=]-1=。，解得a=2,

當(dāng)a=2時(shí)，==

10

則/'(一x)=常=—/(x),滿足題意一

當(dāng)@=2時(shí)，g(x)=ln[(x-3)(%-2)],

由—3)(%—2)>0解得％<2,或汽>3,

令t=(x—3)(%—2),

當(dāng)％V2時(shí)，t=(%-3)(%-2)單調(diào)遞減，y=lnt單調(diào)遞增,

則g(%)=In[(%-3)(%-2)]單調(diào)遞減；

當(dāng)%>3時(shí)，t=(%—3)(%—2)單調(diào)遞增，y=Int單調(diào)遞增,

則g(%)=ln[(x-3)(%-2)]單調(diào)遞增；

則9(%)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-8,2).

故答案為:(一8,2).

6.(22-23高三上?上海楊浦?階段練習(xí))若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間/上是嚴(yán)格增函數(shù)，而函數(shù)在區(qū)間/上

是嚴(yán)格減函數(shù)，那么稱函數(shù)y=/Q)是區(qū)間/上的“緩增函數(shù)”，區(qū)間/叫做“緩增區(qū)間”.已知函數(shù)

/(久)得/_%+|是區(qū)間/上的“緩增函數(shù)”，若定義b-a為[a,6]的區(qū)間長度，那么滿足條件的“緩增區(qū)間”/

的區(qū)間長度最大值為.

【答案】V3-1

【分析】分別求出函數(shù)/(%)的單增區(qū)間，再求出y=§的單減區(qū)間，即可求出函數(shù)f(x)的“緩增區(qū)間”，進(jìn)

而求出“緩增區(qū)間”/的區(qū)間長度最大值.

【詳解】二次函數(shù)f(X)Wx2_x+|的單增區(qū)間是口,+8).

而受等譯7

由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知：的單減區(qū)間為卜窩,0),(0,V3].

所以[1,網(wǎng)及其非空真子集均為函數(shù)外燈=去2-久+|的“緩增區(qū)間”，其中區(qū)間[1,甸的長度最長，為g7

所以滿足條件的“緩增區(qū)間”/的區(qū)間長度最大值為g-L

故答案為：V3-1.

考點(diǎn)三、利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍

典例引領(lǐng)

1.(2023?全國?高考真題)設(shè)函數(shù)人久)=2，(，-a)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，貝帽的取值范圍是()

A.(-00,-2]B.[-2,0)

C.(0,2]D.[2,+oo)

【答案】D

【分析】利用指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，判斷列式計(jì)算作答.

11

【詳解】函數(shù)y=2X在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)/(%)=2武廠。)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，

2

則有函數(shù)'=穴X-。)=0-^)2-9在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，因此解得a22,

所以a的取值范圍是［2,+oo).

故選：D

x

2.(2024?湖北?二模)已知函數(shù)/'(X)=log5(a-2)在［1,+8)上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是()

A.(1,+8)B.［In2,+co)C.(2,+8)D.［2,+oo)

【答案】C

【分析】先由題設(shè)條件證明a>2,再驗(yàn)證a>2時(shí)條件滿足即可.

x

【詳解】若f(x)=log5(a-2)在［1,+8)上單調(diào)遞增，

則必然在％=1處有定義，所以涼一2>0,即a>2；

若a>2,則當(dāng)久21時(shí)談—22a—2>0,所以/(x)在［1,+8)上有定義，

再由a>1知謨-2在R上單調(diào)遞增，所以/(X)在［1,+8)上單調(diào)遞增.

故選：C.

即時(shí)檢測

I__________________

1.(2024?廣東揭陽?二模)已知函數(shù)/(久)=—d+ax+1在(2,6)上不單調(diào)，則a的取值范圍為()

A.(2,6)B.(-oo,2］U［6,+oo)

C.(4,12)D.(-oo,4］U［12,+oo)

【答案】C

【分析】根據(jù)給定條件，利用二次函數(shù)的單調(diào)性列出不等式求解即得.

【詳解】函數(shù)/'(%)=-/+ax+1的圖象對稱軸為比=*依題意，2<￡<6,得4<a<12,

所以a的取值范圍為(4,12).

故選：C

2.(2024?吉林?二模)若函數(shù)=ln(a%+1)在(1,2)上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

【答案】［一、0)

【分析】利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得90)=。久+1在(1,2)上單調(diào)遞減且恒大于0,可得［“八_葭?…「，

計(jì)算可求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【詳解】函數(shù)f(x)=ln(ax+1)在(1,2)上單調(diào)遞減，

由函數(shù)y=Inx在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，

所以函數(shù)g(x)=ax+l在(1,2)上單調(diào)遞減且恒大于0,

則有｛g(2)=2a+120，解得一l-a<0-

故實(shí)數(shù)a的取值范圍是

12

3.(2024?全國?模擬預(yù)測)命題p:0Va<1,命題q：函數(shù)/(%)=loga(6-a%)(a>0,aW1)在(一8,3)

上單調(diào)，則p是q的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】由命題q求出。的取值范圍，再判斷充分性和必要性即可.

【詳解】設(shè)1=6-ax,則/(%)=loga(6-ax)(a>0,a1)可化為y=logat.

充分性：當(dāng)OVaVl時(shí)，函數(shù)y=log/在(一8,3)上單調(diào)遞減，t=6-a%在(-8,3)上單調(diào)遞減，且t>0,

所以/(%)=loga(6-ax)(a>0,aW1)在(一8,3)上單調(diào)遞增，因此充分性成立.

必要性：當(dāng)0<Q<1時(shí)，y=log/在(—8,3)上單調(diào)遞減，t=6—a%在(—8,3)上單調(diào)遞減，且t>0,所

以/(%)=loga(6—ax)(a>0,aH1)在(—8,3)上單調(diào)遞增；

當(dāng)a>1時(shí)，y=log/在(—8,3)上單調(diào)遞增，t=6—ax在(—8,3)上單調(diào)遞減，且t=6—ax>0在(—8,3)

上恒成立，所以6-3a>0,貝！J1<aW2,此時(shí)函數(shù)/(%)=loga(6-ax)(a>0,aH1)在(一8,3)上單調(diào)遞

減.

綜上可知，當(dāng)函數(shù)/(%)=loga(6-ax)(a>0,aH1)在(一*3)上單調(diào)時(shí)，0Va<l或lVa<2,因此必

要性不成立.所以p是q的充分不必要條件.

故選：A.

【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛：本題以含有參數(shù)的對數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性為背景，考查充分條件與必要條件的判斷，

體會(huì)函數(shù)思想、分類討論思想的應(yīng)用.先考慮充分性，再考慮命題q為真命題時(shí)，參數(shù)a的取值范圍，對參

數(shù)a進(jìn)行分類討論，同時(shí)不要忘記考慮真數(shù)大于0這一情況，這是本題的易錯(cuò)點(diǎn).

考點(diǎn)四、函數(shù)的奇偶性

典例引領(lǐng)

1.(2024?天津?高考真題)下列函數(shù)是偶函數(shù)的是()

.ex—x2「cos%+%2ex—x「sinx+4x

A.y=F—B.y=—5----C.y=------D.y=-rn-

zx2+lJx2+lJx+1J陰

【答案】B

【分析】根據(jù)偶函數(shù)的判定方法一一判斷即可.

【詳解】對A,設(shè)/'(>)=宗，函數(shù)定義域?yàn)镽，但汽-1)寧，f(D=三，則八一1)4打1)，故A錯(cuò)

誤；

對B,設(shè)9(>)=署手，函數(shù)定義域?yàn)镽,

且g(_x)=8s二彳；)2=甯i=。(X),則為偶函數(shù)，故B正確;

對C,設(shè)八(久)=宅，函數(shù)定義域?yàn)閧x|x力-1},不關(guān)于原點(diǎn)對稱，則h(x)不是偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤;

13

對D,設(shè)火光)=等竺，函數(shù)定義域?yàn)镽,因?yàn)?(1)=*，卬(_1)=三尸，

則卬(1)7乎(一1),則9(x)不是偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤.

故選：B.

2.(2020?全國?高考真題)設(shè)函數(shù)/(久)=x3-則/(久)()

A.是奇函數(shù)，且在(0,+8)單調(diào)遞增B.是奇函數(shù)，且在(0,+8)單調(diào)遞減

C.是偶函數(shù)，且在(0,+8)單調(diào)遞增D.是偶函數(shù)，且在(0,+8)單調(diào)遞減

【答案】A

【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式可知函數(shù)的定義域?yàn)椋鹸|x40｝,利用定義可得出函數(shù)/(%)為奇函數(shù)，

再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性法則，即可解出.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/'(久)=爐-g定義域?yàn)椋鹸|x去0｝,其關(guān)于原點(diǎn)對稱，而/(一x)=-/(x),

所以函數(shù)/'(%)為奇函數(shù).

又因?yàn)楹瘮?shù)y=必在(0,+8)上單調(diào)遞增，在(-8,0)上單調(diào)遞增，

而y=g=%-3在(0,+00)上單調(diào)遞減，在(一00,0)上單調(diào)遞減，

所以函數(shù)/(X)=*3—白在(0,+8)上單調(diào)遞增，在(-8,0)上單調(diào)遞增.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查利用函數(shù)的解析式研究函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

即時(shí)檢測

I__________________

1.(2020?全國?高考真題)設(shè)函數(shù)f(久)=1川2久+1|—ln|2x-1|,則f(x)()

A.是偶函數(shù)，且在6,+8)單調(diào)遞增B.是奇函數(shù)，且在(-3，)單調(diào)遞減

C.是偶函數(shù)，且在(-8,-：)單調(diào)遞增D.是奇函數(shù)，且在(-8,-1)單調(diào)遞減

【答案】D

【分析】根據(jù)奇偶性的定義可判斷出了(%)為奇函數(shù)，排除AC；當(dāng)xe(-時(shí)，利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)可

判斷出f(x)單調(diào)遞增，排除B；當(dāng)8,-習(xí)時(shí)，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可判斷出f(x)單調(diào)遞減，從而得到

結(jié)果.

【詳解】由/'(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|得/'(x)定義域?yàn)椋鹸|x力±1關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，

又/(—%)=ln|l-2x|—ln|-2%—1|=ln|2x-1|—ln|2x+1|=—/(%),

???/(%)為定義域上的奇函數(shù)，可排除AC；

當(dāng)％G(―39)時(shí)，/(“)=1n(2%4-1)—ln(l—2x),

y=ln(2x+1)在(一上單調(diào)遞增，y=ln(l-2x)在(一■!，■!)上單調(diào)遞減，

在(-g鄉(xiāng)上單調(diào)遞增，排除B；

14

當(dāng)xe(-8,-時(shí)，/(x)=ln(—2x—1)—ln(l—2比)=ln|^|=In(1+

■■-11=1+在(一8,-g)上單調(diào)遞減，/(〃)=In”在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，

根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知：f(x)在(-8,-習(xí)上單調(diào)遞減，D正確.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷；判斷奇偶性的方法是在定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱的前提下，根

據(jù)/(一久)與/(x)的關(guān)系得到結(jié)論；判斷單調(diào)性的關(guān)鍵是能夠根據(jù)自變量的范圍化簡函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性的性質(zhì)

和復(fù)合函數(shù)“同增異減”性得到結(jié)論.

2.(2024?北京?三模)下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增的是()

A./(x)=-i-B./(%)=sin|x|

I久I

C./(%)=2久+2~xD./(x)=tanx

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性的定義，對選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果.

(1

【詳解x,則/(%)為偶函數(shù)，但在區(qū)間(。,+8)上單調(diào)遞減，

團(tuán)<0

I%

故A錯(cuò)誤；

/(%)=sin|%|=0為偶函數(shù)，但在區(qū)間(0,+8)上不具有單調(diào)性，

故B錯(cuò)誤；

/-(X)=2X+2r的定義域?yàn)镽,且/'(一久)=2T+2X=/(x),

則/'(%)為偶函數(shù)，令t=2,當(dāng)％e(0,+8)時(shí)，貝！Jte(1,+oo),

則丫=1+：,[>1,由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知，y=t+：在(1,+oo)單調(diào)遞增，

所以/(久)=2X+2r在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，故C正確；

f(x)=tanx為奇函數(shù)，故D錯(cuò)誤；

故選：C

3.(2024?湖北武漢?模擬預(yù)測)函數(shù)/(無)=ln(ex+1)-^()

A.是偶函數(shù)，且在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增B.是偶函數(shù)，且在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞緘

C.是奇函數(shù)，且在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增D.既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)

【答案】A

【分析】借助函數(shù)奇偶性的定義可判斷函數(shù)奇偶性，借助導(dǎo)數(shù)即可得函數(shù)單調(diào)性.

【詳解】；/(%)的定義域?yàn)镽,/(-%)=ln(e-x+1)+]=ln(ez+1)-%+1=ln(ex+1)-^=/(%),

f(x)為偶函數(shù);

當(dāng)久>0時(shí)，/'(%)=島^~\=2；二)>0,"/"(久)在區(qū)間(°，+8)上單調(diào)遞增.

15

故選：A.

4.(2024?北京朝陽?二模)下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在其定義域上是增函數(shù)的是()

A.f(%)=sinxB.f(x)=cosx

C.=y/xD.f(x)=x3

【答案】D

【分析】根據(jù)已知的各個(gè)函數(shù)的性質(zhì)，可以直接作出判斷.

【詳解】/(%)=sinx是奇函數(shù)，它在區(qū)間［-5+2/^(+2/^］/62上單調(diào)遞增，在定義域內(nèi)不是增函

數(shù)，所以選項(xiàng)A是錯(cuò)誤的；

f(X)=cosx是偶函數(shù)，所以選項(xiàng)B是錯(cuò)誤的；

/'(X)=怖既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)，所以選項(xiàng)C是錯(cuò)誤的；

f(x)=/滿足既是奇函數(shù)又在其定義域上是增函數(shù)，所以選項(xiàng)D是正確的；

故選：D.

考點(diǎn)五、利用函數(shù)奇偶性求參數(shù)

典例引領(lǐng)

1.(2023?全國?高考真題)已知f(x)=凌、是偶函數(shù)，則a=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義運(yùn)算求解.

【詳解】因?yàn)閒(x)=W為偶函數(shù)，則/⑺7(f)=3-瀉=一二，=0，

又因?yàn)閤不恒為0,可得eX—e(aT)x=0,即eX=e(aT)l

則%—(a-l)x,即1—a-1,解得a=2.

故選：D.

2.(2023?全國?高考真題)若/(無)=(x+a)ln關(guān)m為偶函數(shù)，則a=().

1

A.-1B.0C,-D.1

【答案】B

【分析】根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)，利用特殊值法求出a值，再檢驗(yàn)即可.

【詳解】因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，貝IJ/(I)=/(-1),(1+a)ln1=(-1+a)ln3,解得a=0,

當(dāng)a=0時(shí)，/(%)=(2支一1)(2久+1)＞0,解得無＞［或5

則其定義域?yàn)椋霉ぃ荆刍颉埃家环?，關(guān)于原點(diǎn)對稱.

f(r)=(f)ln|g號=Mln碧=(-枷(表獷=如署=/(x),

16

故此時(shí)/(%)為偶函數(shù).

故選：B.

即時(shí)檢測

［___________________________

1.(2024?黑龍江?三模)已知函數(shù)/(x)=3+e-x)sinx-2在［-2,2］上的最大值和最小值分別為M,N,

則M+N=()

A.-4B.0C.2D.4

【答案】A

【分析】構(gòu)造函數(shù)g(x)=/(%)+2,證明g(x)為奇函數(shù)，從而得到M+2+N+2=0,即可求出M+N的值.

【詳解】令g(x)=/(x)+2=(1+e-z)sinx,定義域?yàn)镽,

因?yàn)?(%)在［-2,2］上的最大值和最小值分別為M,N,

所以g(x)在［-2,2］上的最大值和最小值分別為M+2,N+2,

因?yàn)椤?一x)=(e-x+ex)sin(—%)=—(e-x+ex)sinx=—g(x),

所以g(x)為奇函數(shù)，g(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，

所以g(x)的最大值和最小值互為相反數(shù)，即"+2+N+2=0,

所以M+N=-4,

故選:A.

2.(23-24高三上?安徽安慶?階段練習(xí))已知函數(shù)/(久)=另+3在區(qū)間［-2023,2023］上的最大值為M,

最小值為6，則M+m=.

【答案】6

【分析】設(shè)g(x)=/，分析可知g(x)為奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的對稱性分析求解.

【詳解】設(shè)g(%)=段,

則g(x)的定義域?yàn)镽,且連續(xù)不斷，

由+g(-%)=另+，累2=0,可知9(%)為奇函數(shù)，

設(shè)g(x)在［-2023,2023］上的最大值為9(殉)，

由奇函數(shù)的對稱性可知9(久)在［-2023,2023］上的最小值為g(-x0)=-g(x0),

則函數(shù)/(*)=g(x)+3在區(qū)間［—2023,2023］上的最大值為M=g(x0)+3,最小值為m=—g(x0)+3,

所以M+m-gQo)+3-^(x0)+3=6.

故答案為：6.

3.(23-24高三上?福建莆田?期中)函數(shù)/(久)=(x2-6x)sin(x-3)+%+a(xG［0,6］)的最大值為M,最

小值為若M+m=10,則。=.

【答案】2