2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末復(fù)習(xí)【第四章 數(shù)列】十二大題型歸納（拔尖篇）（含答案）

2024-2025高二上學(xué)期期末復(fù)習(xí)第四章十二大題型歸納（拔尖篇）【人教A版（2019）】題型1題型1根據(jù)數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的項(xiàng)、通項(xiàng)公式1．（2023下·河南鄭州·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列an，滿足an-an-1=2，A．18 B．36 C．72 D．1442．（2023下·河南南陽(yáng)·高二?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列an的項(xiàng)滿足an+1=nn+2anA．2n+12 B．2nn+1 C．3．（2023下·遼寧朝陽(yáng)·高二校聯(lián)考期末）已知數(shù)列an中，a1=2，a(1)求a3，a(2)求an的前2023項(xiàng)和S4．（2023上·江蘇鹽城·高二校聯(lián)考期末）已知數(shù)列an滿足a1=2(1)求數(shù)列an(2)設(shè)bn=nan2n，且數(shù)列bn的前題型2題型2數(shù)列的周期性的應(yīng)用1．（2023下·甘肅慶陽(yáng)·高二?？计谀┮阎獢?shù)列an滿足a1=3,an+1A．3 B．12 C．-132．（2023下·四川涼山·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,anA．1012 B．-1012 C．2023 D．-20233．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）數(shù)列an中，a1=3，a2=64．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在數(shù)列{an}中，a1=1，a2=3題型3題型3求數(shù)列的最大項(xiàng)、最小項(xiàng)1．（2023下·山東濰坊·高二統(tǒng)考期末）若數(shù)列an的前n項(xiàng)積Tn=1-215A．-3 B．-1 C．2 D．32．（2023上·河北唐山·高二唐山一中?？计谀╆P(guān)于“函數(shù)fx=2x-2A．函數(shù)fx無(wú)最大、最小值，數(shù)列aB．函數(shù)fx無(wú)最大、最小值，數(shù)列aC．函數(shù)fx有最大、最小值，數(shù)列aD．函數(shù)fx有最大、最小值，數(shù)列a3．（2023上·江蘇·高二海安市曲塘中學(xué)?？计谥校┮阎獢?shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式a(2)若數(shù)列bn滿足：bn=4．（2023·吉林長(zhǎng)春·長(zhǎng)春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）數(shù)列{an}，{bn}滿足(1)求證：{a(2)設(shè)a1=4，b1題型4題型4等差數(shù)列的判定與證明1．（2023上·江蘇·高三統(tǒng)考期末）“a3+a9=2A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件2．（2023上·上海閔行·高三閔行中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列an滿足an+A．a(chǎn)n B．a(chǎn)2n-1 C．a(chǎn)2n3．（2023上·山東威海·高二統(tǒng)考期末）設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，Tn為數(shù)列Sn的前(1)求S1，S(2)求證：數(shù)列1S(3)求數(shù)列an4．（2023上·廣東東莞·高二?？计谀┮阎獢?shù)列an中，a1=2(1)證明數(shù)列1an-1(2)若對(duì)任意n∈N*，都有a1題型5題型5利用等差數(shù)列的性質(zhì)解題1．（2023下·北京順義·高二統(tǒng)考期末）數(shù)列an是等差數(shù)列，若a3=3,1aA．52 B．5 C．9 2．（2023上·河南許昌·高三?？计谀┮阎炔顢?shù)列an滿足a3+a6A．－3 B．3 C．－12 D．123．（2023下·江西上饒·高二?？茧A段練習(xí)）在等差數(shù)列an(1)若a2+a(2)已知a1+2a4．（2023下·甘肅白銀·高二?？计谀┮阎诘炔顢?shù)列an中，a1+(1)求an(2)求數(shù)列12n+1an的前n題型6題型6求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和及其最值1．（2023下·遼寧·高二校聯(lián)考期末）等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a1+aA．63 B．45 C．49 D．562．（2023上·湖南株洲·高三校聯(lián)考期末）等差數(shù)列an是遞增數(shù)列，公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，滿足a7A．d<0 B．a(chǎn)C．當(dāng)n=5時(shí)Sn最小 D．Sn>0時(shí)3．（2022上·黑龍江雞西·高二?？计谀┮阎炔顢?shù)列an中，(1)求數(shù)列an(2)求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn4．（2023下·上海徐匯·高一統(tǒng)考期末）已知等差數(shù)列an，Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且S(1)求數(shù)列an(2)求Sn的最大值，并求Sn取最大值時(shí)題型7題型7等比數(shù)列的判定與證明1．（2023上·河南開(kāi)封·高三統(tǒng)考期末）在數(shù)列an中,a1=14,aA．a(chǎn)n2n+3是等比數(shù)列C．a(chǎn)n2n+32．（2023上·廣東·高二校聯(lián)考期末）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,Sn+1=①an+1是等差數(shù)列

②an+1是等比數(shù)列

③aA．①③ B．②③ C．①④ D．②④3．（2023下·湖南湘潭·高二校聯(lián)考期末）在數(shù)列an中，a1=1(1)證明an(2)若bn=log2an+14．（2023下·河南鄭州·高二統(tǒng)考期末）設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1(1)設(shè)bn=a(2)求數(shù)列an2n的前n題型8題型8等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用1．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)積為Mn，且M2024=3M2019，若A．15 B．25 C．352．（2022·四川樂(lè)山·統(tǒng)考一模）在等比數(shù)列an中，如果a1+a2=16，A．40 B．36 C．54 D．813．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知等比數(shù)列an的公比q=2，且a1a4．（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）已知an是一個(gè)無(wú)窮等比數(shù)列，公比為q（1）將數(shù)列an中的前k（2）取出數(shù)列an（3）在數(shù)列an題型9題型9求等比數(shù)列的前n項(xiàng)和及其最值1．（2023下·江西贛州·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a3=2，A．?dāng)?shù)列an為等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列SC．S100=322．（2023下·北京豐臺(tái)·高二統(tǒng)考期中）已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若A．{an}為遞減數(shù)列 C．?dāng)?shù)列{Sn}有最小項(xiàng) 3．（2023下·陜西漢中·高二校聯(lián)考期末）已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a4(1)求數(shù)列an(2)若數(shù)列bn滿足bn=2an-34．（2023下·貴州六盤(pán)水·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S(1)求數(shù)列an(2)設(shè)bn=n-1n+1an，求數(shù)列題型10題型10等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用1．（2023·重慶云陽(yáng)·重慶市?？寄M預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列an的公差不為0，設(shè)bi=anii∈N*，若n2=2A．a(chǎn)81 B．a(chǎn)121 C．a(chǎn)1222．（2022下·浙江麗水·高一統(tǒng)考期末）已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，公差d≠0，a1A．136 B．2 C．10-1 3．（2023上·江蘇蘇州·高二統(tǒng)考期中）已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，公差d≠0，且S3+S5=50(1)求數(shù)列an(2)設(shè)bn①求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和T②若不等式λTn-Sn4．（2023上·寧夏銀川·高二銀川二中校考階段練習(xí)）已知數(shù)列an是等差數(shù)列，a(1)求an的通項(xiàng)公式和i=(2)已知bn是等比數(shù)列，對(duì)于任意正整數(shù)k，若2k-1≤n≤①當(dāng)k≥2時(shí)，求證：2k②求bn的通項(xiàng)公式及其前n題型11題型11數(shù)列的求和1．（2022上·廣東廣州·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)fx滿足fx+f1-x=2(1)求數(shù)列an(2)若數(shù)列bn滿足b1=23，bn=1an?an+1（n≥22．（2023上·河北石家莊·高二石家莊實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┮阎炔顢?shù)列an滿足：a1=1，d=2，數(shù)列bn滿足b1(1)證明：數(shù)列bn(2)若數(shù)列cn滿足cn=an4n-13．（2022上·黑龍江大興安嶺地·高二校考期末）已知數(shù)列an滿足a1=3(1)證明數(shù)列an-n是等比數(shù)列，并求出數(shù)列(2)設(shè)bn=1log2an-n，數(shù)列bnbn+14．（2023上·重慶·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列an滿足a1=1，an+1=an(1)寫(xiě)出b1，b(2)證明bn為等比數(shù)列，并求數(shù)列b(3)求數(shù)列an的前2n項(xiàng)和S題型12題型12數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用1．（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明以下恒等式n∈N(1)-1+3-5+?+-1(2)n+1n+22．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）是否存在正整數(shù)m使得fn=2n+7?3n+93．（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）證明：凸n邊形的內(nèi)角和等于n-2π4．（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列：11×2，12×3，13×4，…，1n?n+1，…，設(shè)Sn為該數(shù)列的前n項(xiàng)和.計(jì)算S1，S2，

高二上學(xué)期期末復(fù)習(xí)第四章十二大題型歸納（拔尖篇）【人教A版（2019）】題型1題型1根據(jù)數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的項(xiàng)、通項(xiàng)公式1．（2023下·河南鄭州·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列an，滿足an-an-1=2，A．18 B．36 C．72 D．144【解題思路】利用累加法計(jì)算即可.【解答過(guò)程】由題意可知：a10故選：A.2．（2023下·河南南陽(yáng)·高二校考階段練習(xí)）已知數(shù)列an的項(xiàng)滿足an+1=nn+2anA．2n+12 B．2nn+1 C．【解題思路】由an+1=n【解答過(guò)程】由an+1=n所以a2a1=13，a3a2所以a2所以an因?yàn)閍1=1，所以因?yàn)閍1=1滿足上式，所以故選：B.3．（2023下·遼寧朝陽(yáng)·高二校聯(lián)考期末）已知數(shù)列an中，a1=2，a(1)求a3，a(2)求an的前2023項(xiàng)和S【解題思路】（1）由遞推公式令n=1和n=3代入即可得出答案；（2）由遞推公式可證明數(shù)列an【解答過(guò)程】（1）當(dāng)n=1時(shí)，a1a3=1，所以a3=1（2）當(dāng)n=2時(shí)，a2a4由anan+2=1知an+2即a4n=a4=2，a所以S20234．（2023上·江蘇鹽城·高二校聯(lián)考期末）已知數(shù)列an滿足a1=2(1)求數(shù)列an(2)設(shè)bn=nan2n，且數(shù)列bn的前【解題思路】（1）寫(xiě)出當(dāng)n≥2時(shí)的等式，再與原式兩式相除求解即可；（2）由（1）bn=n+12n，再根據(jù)錯(cuò)位相減求解可得Sn=3-【解答過(guò)程】（1）a1當(dāng)n≥2時(shí)，a1兩式相除得；an又a1=2符合上式，故（2）bnSn12錯(cuò)位相減得：12=1+1即Sn=3-n+32n設(shè)f(n)=(n+1)(n+3)2n故f(n+1)-f(n)=(n+2)(n+4)由f(n+1)-f(n)=-由n∈N*可知，-n故-n故f(n+1)-f(n)<0恒成立，知f(n)單調(diào)遞減，故f(n)的最大值為f(1)=4，則λ≥4.題型2題型2數(shù)列的周期性的應(yīng)用1．（2023下·甘肅慶陽(yáng)·高二?？计谀┮阎獢?shù)列an滿足a1=3,an+1A．3 B．12 C．-13【解題思路】根據(jù)遞推形式求數(shù)列的前幾項(xiàng)，判斷數(shù)列是周期數(shù)列，再求值.【解答過(guò)程】a1=3，a2=12，所以an又2023=4×505+3，所以a2023故選：C.2．（2023下·四川涼山·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,anA．1012 B．-1012 C．2023 D．-2023【解題思路】根據(jù)數(shù)列的遞推公式得到a1【解答過(guò)程】因?yàn)閿?shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且則a1=cosπa3=5cos所以a1+a依次類(lèi)推，a5+a6=2，所以S=(=1011×2-4045=-2023.故選：D.3．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）數(shù)列an中，a1=3，a2=6【解題思路】利用遞推公式可驗(yàn)證出數(shù)列an為周期為6的周期數(shù)列，從而可得a【解答過(guò)程】數(shù)列an中，a1=3，a令n=1，則a令n=2，則a令n=3，則a令n=4，則a令n=5，則a令n=6，則a∴數(shù)列an為周期為6∴.a20244．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在數(shù)列{an}中，a1=1，a2=3【解題思路】根據(jù)遞推式依次計(jì)算出數(shù)列的前幾項(xiàng)，歸納出數(shù)列是周期數(shù)列，且周期為6，用6項(xiàng)的和為0．由此易計(jì)算出和S2021【解答過(guò)程】由a1=1，a2=3，a3=2，an+2a7=1，a8=3，a9=2，a10且a1+a題型3題型3求數(shù)列的最大項(xiàng)、最小項(xiàng)1．（2023下·山東濰坊·高二統(tǒng)考期末）若數(shù)列an的前n項(xiàng)積Tn=1-215A．-3 B．-1 C．2 D．3【解題思路】由題可得an【解答過(guò)程】∵數(shù)列an的前n項(xiàng)積T當(dāng)n=1時(shí)，a1當(dāng)n≥2時(shí)，Tn-1ann=1時(shí)也適合上式，∴an∴當(dāng)n≤8時(shí)，數(shù)列an單調(diào)遞減，且an當(dāng)n≥9時(shí)，數(shù)列an單調(diào)遞減，且an故an的最大值為a9=3∴an故選：C.2．（2023上·河北唐山·高二唐山一中校考期末）關(guān)于“函數(shù)fx=2x-2A．函數(shù)fx無(wú)最大、最小值，數(shù)列aB．函數(shù)fx無(wú)最大、最小值，數(shù)列aC．函數(shù)fx有最大、最小值，數(shù)列aD．函數(shù)fx有最大、最小值，數(shù)列a【解題思路】依題意可得fx=1【解答過(guò)程】解：函數(shù)fx令gx=1+1122x-因?yàn)?x-152>-則1122x-15又y=1x在-∞,0，所以fx在-∞,log2152因?yàn)?<對(duì)于數(shù)列an則a1=0>a2=-27所以數(shù)列an有最小項(xiàng)a2=-故選：A.3．（2023上·江蘇·高二海安市曲塘中學(xué)?？计谥校┮阎獢?shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式a(2)若數(shù)列bn滿足：bn=【解題思路】（1）根據(jù)an（2）求出b1=15，當(dāng)n≥2時(shí)，計(jì)算出bn+1bn=1【解答過(guò)程】（1）Sn=2n+3當(dāng)n≥2時(shí)，an其中21-1故a（2）當(dāng)n=1時(shí)，b1當(dāng)n≥2時(shí)，bn則bn+1當(dāng)n=2時(shí)，b3當(dāng)n≥3時(shí)，1n+1≤43，故n≥2時(shí)，bn的最大項(xiàng)為b又b3>b1，故數(shù)列4．（2023·吉林長(zhǎng)春·長(zhǎng)春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）數(shù)列{an}，{bn}滿足(1)求證：{a(2)設(shè)a1=4，b1【解題思路】（1）將所給等式化簡(jiǎn)可得2an+1=（2）由（1）可得an+1=12an+【解答過(guò)程】（1）∵an+1=12an∴bn+1=2a（2）由（1）anbn=a1b∵a1=4∴a當(dāng)n≥2時(shí)，an+1-2=1∴a∵an>2，∴an+1-an<0題型4題型4等差數(shù)列的判定與證明1．（2023上·江蘇·高三統(tǒng)考期末）“a3+a9=2A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【解題思路】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合充分條件與必要條件的證明即可得出答案.【解答過(guò)程】如果數(shù)列an是等差數(shù)列，根據(jù)等差中項(xiàng)的擴(kuò)展可得一定有a反之a(chǎn)3+a故選：B.2．（2023上·上海閔行·高三閔行中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列an滿足an+A．a(chǎn)n B．a(chǎn)2n-1 C．a(chǎn)2n【解題思路】根據(jù)已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而求得正確答案.【解答過(guò)程】由an+a∴an+5-a故an+6-a故數(shù)列a3n故選：D.3．（2023上·山東威?！じ叨y(tǒng)考期末）設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，Tn為數(shù)列Sn的前(1)求S1，S(2)求證：數(shù)列1S(3)求數(shù)列an【解題思路】（1）直接令1Tn=Sn（2）通過(guò)1Tn=Sn（3）當(dāng)n≥2時(shí)，通過(guò)an=Sn-【解答過(guò)程】（1）由1Tn=Sn當(dāng)n=1時(shí)，1T1=當(dāng)n=2時(shí)，1T2=（2）對(duì)于1T當(dāng)n≥2時(shí)，1T①÷②得Tn-1即Sn-1=S又1S∴數(shù)列1S（3）由（2）得1S∴S當(dāng)n≥2時(shí)，an又n=1時(shí)，a1=S∴a4．（2023上·廣東東莞·高二校考期末）已知數(shù)列an中，a1=2(1)證明數(shù)列1an-1(2)若對(duì)任意n∈N*，都有a1【解題思路】（1）根據(jù)已知可推出1an+1-1-1（2）經(jīng)化簡(jiǎn)可得，k≥n+122n.令bn=n+122【解答過(guò)程】（1）證明：由已知可得an≠1，1a又a1=2，所以1a所以1an-1=1+n-1（2）由（1）知，an所以a1a2則由a12?a2令bn=n+122n，假設(shè)數(shù)列當(dāng)r≥2時(shí)則，有br≥br-1b解得2≤r≤2+1因?yàn)閞∈N*，所以r=2，又b1=2，所以數(shù)列bn中第2項(xiàng)最大，即b所以由k≥n+122n對(duì)任意題型5題型5利用等差數(shù)列的性質(zhì)解題1．（2023下·北京順義·高二統(tǒng)考期末）數(shù)列an是等差數(shù)列，若a3=3,1aA．52 B．5 C．9 【解題思路】利用等差數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合已知條件求解【解答過(guò)程】因?yàn)閿?shù)列an為等差數(shù)列，且a3=3因?yàn)?a1+所以6a1a故選：B.2．（2023上·河南許昌·高三?？计谀┮阎炔顢?shù)列an滿足a3+a6A．－3 B．3 C．－12 D．12【解題思路】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)若m+n=p+q則am【解答過(guò)程】由等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得，a3+a∵a7+a故選：A.3．（2023下·江西上饒·高二校考階段練習(xí)）在等差數(shù)列an(1)若a2+a(2)已知a1+2a【解題思路】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)：若m+n=p+q，則am【解答過(guò)程】（1）在等差數(shù)列an中,∴a2∴a6∴a9-1（2）∵a1∴a8∴2a4．（2023下·甘肅白銀·高二?？计谀┮阎诘炔顢?shù)列an中，a1+(1)求an(2)求數(shù)列12n+1an的前n【解題思路】（1）根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)和通項(xiàng)公式可求得公差d，代入通項(xiàng)公式即可求得an（2）采用裂項(xiàng)相消法可求得Sn【解答過(guò)程】（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d∵a1+a5∴a（2）由（1）得：12n+1∴Sn=題型6題型6求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和及其最值1．（2023下·遼寧·高二校聯(lián)考期末）等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a1+aA．63 B．45 C．49 D．56【解題思路】先根據(jù)已知求出公差d，再利用求和公式得出結(jié)果.【解答過(guò)程】設(shè)公差為d，由a1+a解得a1=3d=2故選：A.2．（2023上·湖南株洲·高三校聯(lián)考期末）等差數(shù)列an是遞增數(shù)列，公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，滿足a7A．d<0 B．a(chǎn)C．當(dāng)n=5時(shí)Sn最小 D．Sn>0時(shí)【解題思路】根據(jù)等差數(shù)列基本量的計(jì)算可得a1=-3d，進(jìn)而根據(jù)遞增即可判斷AB,根據(jù)an【解答過(guò)程】由a7=3a由于an是遞增數(shù)列，所以d>0，aan=a故當(dāng)n>4,n∈N*時(shí)，an=n-4當(dāng)n<4,n∈N*時(shí)，an=n-4d<0，因此當(dāng)n=3或n=4時(shí)Sn最小，故C錯(cuò)誤，Sn=na1故選：D.3．（2022上·黑龍江雞西·高二校考期末）已知等差數(shù)列an中，(1)求數(shù)列an(2)求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn【解題思路】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列出關(guān)于a1（2）利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)公式即可得解.【解答過(guò)程】（1）依題意，設(shè)數(shù)列an的首項(xiàng)是a1，公差是因?yàn)閍3=2,a9=14所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式a（2）因?yàn)閍1所以Sn則S104．（2023下·上海徐匯·高一統(tǒng)考期末）已知等差數(shù)列an，Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且S(1)求數(shù)列an(2)求Sn的最大值，并求Sn取最大值時(shí)【解題思路】（1）由等差數(shù)列基本量的計(jì)算即可求解公差和首項(xiàng)，進(jìn)而可求通項(xiàng)，（2）根據(jù)等差數(shù)列求和公式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解最值.【解答過(guò)程】（1）由題意，Sa（2）∵∴當(dāng)n=4時(shí)，Sn題型7題型7等比數(shù)列的判定與證明1．（2023上·河南開(kāi)封·高三統(tǒng)考期末）在數(shù)列an中,a1=14,aA．a(chǎn)n2n+3是等比數(shù)列C．a(chǎn)n2n+3【解題思路】根據(jù)an+12n+1=a【解答過(guò)程】解:由題知an+1所以an+1又因?yàn)閍1所以an且首項(xiàng)為4,公比為2.故選:B.2．（2023上·廣東·高二校聯(lián)考期末）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,Sn+1=①an+1是等差數(shù)列

②an+1是等比數(shù)列

③aA．①③ B．②③ C．①④ D．②④【解題思路】由數(shù)列的遞推式可得an+1=Sn+1-【解答過(guò)程】由Sn+1=Sn+2由S1=a則an+1=2故②③正確，①錯(cuò)誤；又2nT則Tn-1=-1故選：B.3．（2023下·湖南湘潭·高二校聯(lián)考期末）在數(shù)列an中，a1=1(1)證明an(2)若bn=log2an+1【解題思路】（1）根據(jù)遞推關(guān)系結(jié)合等比數(shù)列的定義即得；（2）根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式結(jié)合條件可得bn【解答過(guò)程】（1）由已知可得an+1∴an+1+1n+1=2所以an（2）由（1）可得an+1n=2所以Sn4．（2023下·河南鄭州·高二統(tǒng)考期末）設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1(1)設(shè)bn=a(2)求數(shù)列an2n的前n【解題思路】（1）利用an與Sn間的關(guān)系，得到an+1（2）利用（1）中結(jié)果得到數(shù)列an2n【解答過(guò)程】（1）由a1=2及得a1+a2=又Sn+1由①－②，得an+1∴an+1∵bn=a故數(shù)列bn是首項(xiàng)b（2）由（1）知bn∴an+12n+1故數(shù)列an2nTn題型8題型8等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用1．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)積為Mn，且M2024=3M2019，若A．15 B．25 C．35【解題思路】根據(jù)題意可得a2020a2021【解答過(guò)程】∵M(jìn)2024=3M∴a2020a2021∴a20225=3∴b1023故選：B．2．（2022·四川樂(lè)山·統(tǒng)考一模）在等比數(shù)列an中，如果a1+a2=16，A．40 B．36 C．54 D．81【解題思路】根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)及等比數(shù)列通項(xiàng)公式進(jìn)行求解.【解答過(guò)程】由等比數(shù)列性質(zhì)知，a1+a2，a3+a4，a5故選：C.3．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知等比數(shù)列an的公比q=2，且a1a【解題思路】根據(jù)下標(biāo)和性質(zhì)得到a15?a【解答過(guò)程】解：由等比數(shù)列的性質(zhì)可知a1所以a1∴a∵公比q=2，又a3∴a4．（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）已知an是一個(gè)無(wú)窮等比數(shù)列，公比為q（1）將數(shù)列an中的前k（2）取出數(shù)列an（3）在數(shù)列an【解題思路】（1）這個(gè)新數(shù)列是等比數(shù)列.它的首項(xiàng)與公比分別是a1（2）這個(gè)新數(shù)列是等比數(shù)列.它的首項(xiàng)與公比分別是a1（3）這個(gè)新數(shù)列是等比數(shù)列.它的公比是q11，我們由此可以得到一個(gè)結(jié)論：在數(shù)列an中，每隔k項(xiàng)取出一項(xiàng)，組成一個(gè)新數(shù)列，這個(gè)新數(shù)列是等比數(shù)列，它的公比為【解答過(guò)程】（1）將數(shù)列an中的前k項(xiàng)去掉，剩余項(xiàng)組成一個(gè)新數(shù)列，這個(gè)新數(shù)列是等比數(shù)列.它的首項(xiàng)與公比分別是a（2）取出數(shù)列an中的所有奇數(shù)項(xiàng)，組成一個(gè)新數(shù)列，這個(gè)新數(shù)列是等比數(shù)列.它的首項(xiàng)與公比分別是a（3）在數(shù)列an中，每隔10項(xiàng)取出一項(xiàng)，組成一個(gè)新數(shù)列，這個(gè)新數(shù)列是等比數(shù)列.它的公比是q11，我們由此可以得到一個(gè)結(jié)論：在數(shù)列an中，每隔k題型9題型9求等比數(shù)列的前n項(xiàng)和及其最值1．（2023下·江西贛州·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a3=2，A．?dāng)?shù)列an為等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列SC．S100=32【解題思路】由anan+1=2n，得an+1an+2【解答過(guò)程】由anan+1兩式相除得an+2所以數(shù)列an的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)都是以2又a3=2，則a2因?yàn)閍3a2由a3=2，anan+1則S2=a而等比數(shù)列中不能出現(xiàn)為0的項(xiàng)，所以數(shù)列Sn由AB選項(xiàng)可得，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an則a2024S====32故選：C.2．（2023下·北京豐臺(tái)·高二統(tǒng)考期中）已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若A．{an}為遞減數(shù)列 C．?dāng)?shù)列{Sn}有最小項(xiàng) 【解題思路】由已知-a1<a2<a1，分析等比數(shù)列的公比范圍，進(jìn)而可以判斷{an}的單調(diào)性，判斷A，B【解答過(guò)程】設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q由-a1<a1可得a1>0，又a2<a1故等比數(shù)列{an}首項(xiàng)a1>0，公比q當(dāng)-1<q<0時(shí)，等比數(shù)列{a當(dāng)0<q<1時(shí)，an+1-a又Sn=所以當(dāng)-1<q<0時(shí)，由于Sn+2則S1=a此時(shí)數(shù)列{Sn}的最小項(xiàng)為S當(dāng)0<q<1時(shí)，有Sn+1則數(shù)列{Sn}故選：C.3．（2023下·陜西漢中·高二校聯(lián)考期末）已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a4(1)求數(shù)列an(2)若數(shù)列bn滿足bn=2an-3【解題思路】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和為Sn求得首項(xiàng)a1與公差d即可得數(shù)列（2）由（1）得bn=2n，直接利用等比數(shù)列的前【解答過(guò)程】（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d則a1+3d=72a1∴an（2）∵bn=2∴bn∴數(shù)列bn∴Tn4．（2023下·貴州六盤(pán)水·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S(1)求數(shù)列an(2)設(shè)bn=n-1n+1an，求數(shù)列【解題思路】（1）利用an（2）由（1）可知bn=n22n-2n，設(shè)n22【解答過(guò)程】（1）當(dāng)n=1時(shí)，a1當(dāng)n≥2時(shí)an所以an又a1所以an所以an（2）由（1）可知bn設(shè)n22n的前nPn2P兩式相減得，-P-2P兩式相減得，Pn=2+2=-6+n又因?yàn)?n的前n項(xiàng)和是S所以Tn題型10題型10等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用1．（2023·重慶云陽(yáng)·重慶市?？寄M預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列an的公差不為0，設(shè)bi=anii∈N*，若n2=2A．a(chǎn)81 B．a(chǎn)121 C．a(chǎn)122【解題思路】根據(jù)題意計(jì)算得到d=2a1，an【解答過(guò)程】根據(jù)題意知：b2=a2，b3=a故a1+4d2故an=2aa81a121a122=243aa123故選：C.2．（2022下·浙江麗水·高一統(tǒng)考期末）已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，公差d≠0，a1A．136 B．2 C．10-1 【解題思路】由a1,a2,a5【解答過(guò)程】∵a1∴a22=∴Sn令t=n+1，令y=12(t+∵函數(shù)y在(0,10]遞減，在∴當(dāng)t=3時(shí)，y=136；當(dāng)t=4時(shí)，∴ymin故選：A.3．（2023上·江蘇蘇州·高二統(tǒng)考期中）已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，公差d≠0，且S3+S5=50(1)求數(shù)列an(2)設(shè)bn①求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和T②若不等式λTn-Sn【解題思路】（1）根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，結(jié)合等比中項(xiàng)進(jìn)行求解；（2）①先計(jì)算bn的通項(xiàng)公式，再用錯(cuò)位相減法求解T

②代入Tn,Sn，得到λ≤2-n3n【解答過(guò)程】（1）依題意得3a1+∴an=（2）①bnanTn3T所以-2Tn=3+2?3+2?32∴T②由（1）易求得Sn=n(n+2)，所以不等式λT即轉(zhuǎn)化為λ≤2-n3n令fn=2-n又fn+1當(dāng)1≤n≤2時(shí)，fn+1-fn<0；所以f(1)>f(2)>f(3)，且f(3)<f(4)<?，則λ≤fn所以實(shí)數(shù)λ的最大值為-14．（2023上·寧夏銀川·高二銀川二中校考階段練習(xí)）已知數(shù)列an是等差數(shù)列，a(1)求an的通項(xiàng)公式和i=(2)已知bn是等比數(shù)列，對(duì)于任意正整數(shù)k，若2k-1≤n≤①當(dāng)k≥2時(shí)，求證：2k②求bn的通項(xiàng)公式及其前n【解題思路】（1）由題意得到關(guān)于首項(xiàng)、公差的方程，解方程可得a1=3d=2（2）①利用題中的結(jié)論分別考查不等式兩側(cè)的情況，即可得證題中的不等式；②結(jié)合①的結(jié)論，利用極限思想確定數(shù)列的公比，進(jìn)而求得數(shù)列得通項(xiàng)公式，最后由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式計(jì)算即可.【解答過(guò)程】（1）由題意可知a2+a5=2a1i==2=2×（2）①由題意可知，當(dāng)2k-1≤n≤2取n=2k-1，則bk當(dāng)2k-2≤n≤2取取n=2k-1-1，此時(shí)a綜上可得：2②由①可知2k-1<b則數(shù)列bn的公比q滿足2當(dāng)k∈N*，k→+∞時(shí)，2-32所以2k-1<b當(dāng)k∈N*，k→+∞時(shí)，2-12所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為bn其前n項(xiàng)和為：Sn題型11題型11數(shù)列的求和1．（2022上·廣東廣州·高三校考階段練習(xí)）已知函數(shù)fx滿足fx+f1-x=2(1)求數(shù)列an(2)若數(shù)列bn滿足b1=23，bn=1an?an+1（n≥2【解題思路】（1）由fx（2）由（1）可得bn的通項(xiàng)公式，由數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和可得S【解答過(guò)程】（1）因?yàn)閒(x)+f(1-x)=2,由an則an所以①+②可得：故an=n+1，（2）由（1）知，an=n+1，則n≥2時(shí)，所以S

=

=1-1又由Sn<λan+1對(duì)一切即有λ>1n+2-當(dāng)n=1時(shí),-1n+2-12故實(shí)數(shù)λ的取值范圍是292．（2023上·河北石家莊·高二石家莊實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┮阎炔顢?shù)列an滿足：a1=1，d=2，數(shù)列bn滿足b1(1)證明：數(shù)列bn(2)若數(shù)列cn滿足cn=an4n-1【解題思路】（1）依題意，對(duì)原式進(jìn)行化簡(jiǎn)，根據(jù)等比數(shù)列的定義證明即可；（2）依題意，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，寫(xiě)出數(shù)列an的通項(xiàng)，再結(jié)合（1）中的結(jié)論，得出數(shù)列bn的通項(xiàng)，從而得到數(shù)列cn的通項(xiàng)，然后利用數(shù)列的錯(cuò)位相減法求和，即可求出數(shù)列cn的前【解答過(guò)程】（1）證明：因?yàn)閎n≠2，且所以3bn+2=4bn+1又因?yàn)閎1所以數(shù)列bn-2是以首項(xiàng)為1，公比為（2）解：等差數(shù)列an滿足a1=1，d=2由（1）可知，bn-2=3因?yàn)門(mén)n所以Tn13①-②，得：23T=2-2n+1所以Tn3．（2022上·黑龍江大興安嶺地·高二校考期末）已知數(shù)列an滿足a1=3(1)證明數(shù)列an-n是等比數(shù)列，并求出數(shù)列(2)設(shè)bn=1log2an-n，數(shù)列bnbn+1【解題思路】（1）變換得到an+1-n+1（2）計(jì)算bn=1n，根據(jù)裂項(xiàng)求和得到【解答過(guò)程】（1）an+1=2an-n+1，故a故an-n是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，an（2）bn=1Tn=1所以由Tn<m2-m+14．（2023上·重慶·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列an滿足a1=1，an+1=an(1)寫(xiě)出b1，b(2)證明bn為等比數(shù)列，并求數(shù)列b(3)求數(shù)列an的前2n項(xiàng)和S【解題思路】