柳州市2025屆高三第一次模擬考試（一模）數(shù)學(xué)試卷（含答案）

柳州市2025屆高三第一次模擬考試

數(shù)學(xué)

(考試時間120分鐘滿分150分)2024.11

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動,

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無

效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.已知復(fù)數(shù)z=l+i,則。的虛部為().

2.對于非零向量肩34+3=於"是"(1〃6"的().

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.已知雙曲線C:7—菅=1的一條漸近線方程為y=—/招則%().

A.1B.2C.8D.16

4.若過點(20)與圓.一+y2=4相切的兩條直線的夾角為明則COSOF().

V52V512

A.——B.-----C.-D.-

5533

5.在平面直角坐標(biāo)系中，點A,B的坐標(biāo)分別是(-5,0),(5,0),直線AM,BM相交于點M,

4

且它們的斜率之積是3則點M的軌跡方程為().

A.---=1(%+5)B,+5)

25100'25100'一’

C-土備=依?！?)口噂-除=1(久#±5)

6.設(shè)函數(shù)/(%)=COS(3%+9(3〉0),已知/(%!)=-1,/(%2)=1,且-乃|I的最小值為兀/4,貝!J

C0=().

A.1B.2C.3D.4

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7.已知正四棱臺ABCD-AiBiCQi的體積為浮AB=2,&Bi=1,則AA1與底面ABCD所成角的

正切值為（）.

A.—B.V3C.2V3D.4

2

8.設(shè)函數(shù)/（尤）=xb?x-（a+b）bu,若/（x）20,則5a+5b的最小值為（）.

A.1B.2C.V5D.2V5

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知隨機變量X服從正態(tài)分布，即*~?4（3,9）,則（）.

A.E（X）=27B.D（X）=9

C.P（X?8）>P（X〈T）D.P（X<1）+P（X<5）=1

10.過拋物線E-.y2=2P久（p）0）的焦點F作傾斜角為6的直線交E于A,B兩點，經(jīng)過點A和

原點O的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點D,則下列說法正確的是（）.

A.BD/7OFB.OA±OB

*

C.以AF為直徑的圓與y軸相切D.|力尸出尸|=扁

11.我們知道，函數(shù)y=/（x）的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)元/G）為奇函

數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)yy（x）的圖象關(guān)于點（。，6）成中心對稱圖形的充要條件是函

數(shù)yy（x+a）-6為奇函數(shù)。已知/（x）是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為g（x）,若函數(shù)yy（尤+1）-1

是奇函數(shù)，函數(shù)產(chǎn)g（x+2）為偶函數(shù)，則（）.

A.7?⑴=1B.g（l）=l

C.y?（x+2）T為奇函數(shù)D1=1012

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知X2+2X-1=0廁%2+4=

xz-~

13.在+的展開式中，常數(shù)項為一

14.如圖，在4義4的格子中，有一只螞蟻從A點爬到B點，每次只能向右或向上移動一格，則

從A點爬到B點的所有路徑總數(shù)為，若螞蟻只在下三角形（對角線AB及以下的部分所

圍成的三角形）行走，則從A點到B點的所有總路徑數(shù)為.

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四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)記.A4BC內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知V3sinX-cosA=2.

⑴求A;

(2)若a=2,V2bsinC=csE2B,求△ABC的周長.

16.(15分)如圖，在圓錐P0中，AC為圓錐底面的直徑，B為底面圓周上一點，點D在

線段BC上,.AC=2AB=4,CD=2DB.

⑴證明：AD_L平面BOP;

(2)若圓錐PO的側(cè)面積為8兀，求二面角?！狟P-A的正弦值.

第16題圖

_-1

17.(15分)已知函數(shù)/(%)=ax—Inx-

(1)當(dāng)a=1時，求曲線y=/(x)在(1J(D)處的切線方程;

⑵若/(%)有極小值，且極小值小于0,求。的取值范圍.

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22

18.（17分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，P為直線y=2上一動點，橢圓E嚎+k=l（a*>0）的左

右頂點分別為M（-V^0）,N（V^，0）,,上、下頂點分別為T（0,1）,S（0,T）.若直線PT交E于另一點

A，直線PS交E于另一點B.

（1）求證：直線AB過定點，并求出定點坐標(biāo)；

（2）求四邊形ASBT面積的最大值.

19.（17分）某購物平臺為了吸引更多的顧客在線購物，推出了A和B兩個套餐服務(wù)，并在購物

平臺上推出了優(yōu)惠券活動，顧客可自由選擇A和B兩個套餐之一，下圖是該購物平臺7天銷售優(yōu)惠

券的情況（單位：千張）的折線圖：

日期（天敷）

（1）由折線圖可看出，可用回歸模型擬合y與f的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明；

12

（2）假設(shè)每位顧客選擇A套餐的概率為？選擇B套餐的概率為3,其中A包含一張優(yōu)惠券,

B套餐包含兩張優(yōu)惠券，截止某一時刻，該平臺恰好銷售了“張優(yōu)惠券，設(shè)其概率為P”，求P?；

（3）記（2）中所得概率P”的值構(gòu)成數(shù)列｛%｝（九eN*）,,求數(shù)列｛P,,｝的最值.

參考數(shù)據(jù)：Xv=16.17,?取=68.35，岳?一IK-0.72,a=2.646

參考公式：相關(guān)系數(shù)r=

豆產(chǎn)為W一斤

N/=■1/??1

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柳州市2025屆數(shù)學(xué)高三第一次模擬考試

參考答案

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.）

題號12345678

答案AABcADcD

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得。分，部分選對的得部分分.

9.BD10.ACD11.BCD

91011

選2個

選1個選1個選1個

選2個(AC或選3個選2個（BC選3個

（B或（A或C（B或C

(BD)CD或(ACD)或CD或BD）(BCD)

D）或D）或D）

AD)

3分6分2分4分6分2分4分6分

三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）

12.613.7014.7014

四、解答題（共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步躲.）

2乃(2)2+&+半

15.(13分)⑴4二3-

解:(1)由JisinZ-cos4=2得，——sinA——COSTI=1,即sin(4-2)=1,

226

兀冗,2〃

由于力€（0,7T）nA—G（—,—），.二A——=——=>/=—

666623

（2）由題設(shè)條件和正弦定理

V26sinC=csin2Bo痣sin8sinC=2sinCsinBcosB

又B,C￡(0,乃),則sinBsinC0,進(jìn)而cos5=,得至UB=

TT

于是。=/一4—8=2

V6-V2

sinC=sin(4+B)=sinAcosB+cosAsinB=

4

由正弦定理得——-=---=.=----=-----=------

sin”sin3smC金至sin衛(wèi)sin主

3412

解得6=迎,c=JI_立

33

故△ZBC的周長為2+尼+逅

3

16.（15分）（1）證明見解析；（2）半

解：（1）???尸。，平面48C,A4，BC,故以8為坐標(biāo)原點,曲為x軸正方向，就為y軸正

方向，與蘇同向的方向為z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)|。尸|=x,故8（0,0,0）,4（2,0,0）,0（L6,0）,P（L^,X）,O（O，￥，0

通=卜2,乎,0）,而=（1,后0）,而=（1,石/）,

?：ADBO=-2+2=0,ADBP=-2+2=0-

故HOJ.50,IBP,?.?8尸八8。=昆8尸,8。<=平面50/1,:.AD1^BOP

(2),??圓錐P0的側(cè)面積s=2兀xP4=87t,.\P4=4，,-,OP=x=y)42-22=2-^3,

(3)由(1〉麗用卜，苧,0為平面BOP的法向量，

設(shè)平面ZBP的法向量為歷=(a,b,c),而胡=(2,0,0),麗=(1,也,2省)，

故r_,令c=-l得所=(0,2,-1),

in-BA=2a=Q

<_,

fri-BP=a+y/3b+2\/3c=0

則COS陶而>=第=J一2x0+yx2+0x(J______立

時阿苧卜°晨次+22+(-1)25

所以二面角0-8尸-力的正弦值為延.

5

17.(15分)解：(1)當(dāng)a=l時，則/(x)=x-lnx-l,/'(x)=l-‘

X

可得/(1)=0,/'(1)=0,即切點坐標(biāo)為(1,0),切線斜率為"=0

所以切線方程為丁=0

(1)/(x)定義域為(0,內(nèi))，且，(x)=a

x

若。40,則f'(x)<0對任意xe(0,4-co)恒成立.

所以/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，無極值，不合題意

若。>0,令f'(x)>0,解得x>—,令f'(x)<0,解得x<—

aa

可知/(X)在(0,1)上單調(diào)遞減，(1,”)上單調(diào)遞增

aa

則/(X)有極小值l+無極大值

+

由題意可得：/(^)=llna-^<0,gpl+lna-i<0

令g(a)=l+lna-/(a>0)

，/、11八

g(a)=-+—>0

aa

g(a)在(0,+8)上單調(diào)遞增

又g(l)=l,不等式1+lna-等價于g(a)<g。)，解得a<l又a>0,

綜上4的取值范圍是°<a<L

18.(17分)解：由題意知。=痣,6=1,橢圓E:/+V=i設(shè)P(1,2),

(1).當(dāng)時，設(shè)直線E4:y=；x+l,代人必+2_/=2得

*+224—4Z“k?—2上人/—4ZZ?—2、

丁X+7=。，/=77r從而外=百'點"（不’7Tl）

3

設(shè)直線尸5:^二7》一1代人必+2爐=2得

與"丫2_2丫=0=0二獸一，從而點8d-,-受2）

I2tB〃+]8,B/+]8Y+18/2+18

由對稱性知，定點在V軸上，設(shè)為G（O,m）

t2-2/2-18

ni--2——--

由KC=偌G，即一年八+18,化簡得

12/

產(chǎn)+2一二+18

,,11

ffl(4/2+24)=2廣+12=a=萬所以直線過定點(0,-)

當(dāng)（=0時，直線4B也恒過定點

綜上，直線48也恒過定點

（2）可知四邊形的面積為

S=^\ST\\XA-XB\

..,4/12Z.

=區(qū)-/E+再通?

=16匕/+?—|

-+20/2+36

|/+yl

=16------r-------

|「+*20|

|(，+>+8|

令加qf+glNZ遙，當(dāng)且僅當(dāng)/=±V6時等號成立

?Vu---1-6-m-----1-6-

而y=x+§在（2亞',+8）上單調(diào)遞增，而膽W2遙，從而當(dāng)膽=2指時，四邊形4S3T面

X

16x2行

積有最大值S二=在

(2面>+8

19.（17分）解：由折線圖中數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)得

7=4與&才=28,料3-方=0.72

7__77

Z6一7)3/一用二乂=68.35-4x16.17=3.67