立體幾何中的?？冀?jīng)典小題全歸類(lèi)-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專(zhuān)練（新高考專(zhuān)用）

重難點(diǎn)21立體幾何中的?？冀?jīng)典小題全歸類(lèi)【十大題型】

【新高考專(zhuān)用】

?題型歸納

【題型1求幾何體的體積與表面積】............................................................4

【題型2幾何體與球的切、接問(wèn)題】............................................................7

【題型3體積、面積、周長(zhǎng)、距離的最值與范圍問(wèn)題】...........................................12

【題型4空間線段以及線段之和最值問(wèn)題】.....................................................16

【題型5空間角問(wèn)題】........................................................................20

【題型6空間中的距離問(wèn)題】..................................................................25

【題型7翻折問(wèn)題】..........................................................................28

【題型8立體幾何中的截面、交線問(wèn)題】.......................................................32

【題型9立體幾何中的軌跡問(wèn)題】..............................................................35

【題型10以立體幾何為載體的新定義、新情景題】..............................................39

?命題規(guī)律

1、立體幾何中的?？冀?jīng)典小題全歸類(lèi)

立體幾何是高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)內(nèi)容，屬于高考的必考內(nèi)容之一.從近幾年的高考情況來(lái)看，高考對(duì)該部

分的考查，小題主要體現(xiàn)在三個(gè)方面：一是有關(guān)空間線面位置關(guān)系的判斷；二是空間幾何體的體積和表面

積的計(jì)算，難度較易；三是常見(jiàn)的一些經(jīng)典常考?jí)狠S小題，涉及到空間角、空間距離與軌跡問(wèn)題等，難度

中等或偏上，需要靈活求解.

?方法技巧總結(jié)

【知識(shí)點(diǎn)1空間幾何體表面積與體積的常見(jiàn)求法】

1.求幾何體體積的常用方法

(1)公式法：直接代入公式求解.

(2)等體積法：四面體的任何一個(gè)面都可以作為底面，只需選用底面面積和高都易求出的形式即可.

(3)補(bǔ)體法：將幾何體補(bǔ)成易求解的幾何體，如棱錐補(bǔ)成棱柱，三棱柱補(bǔ)成四棱柱等.

(4)分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積.

2.求組合體的表面積與體積的一般方法

求組合體的表面積的問(wèn)題，首先應(yīng)弄清它的組成部分，其表面有哪些底面和側(cè)面，各個(gè)面的面積應(yīng)該

怎樣求，然后根據(jù)公式求出各個(gè)面的面積，最后相加或相減.求體積時(shí)也要先弄清各組成部分，求出各簡(jiǎn)單

幾何體的體積，再相加或相減.

【知識(shí)點(diǎn)2幾何體與球的切、接問(wèn)題的解題策略】

1.常見(jiàn)的幾何體與球的切、接問(wèn)題的解決方案：

常見(jiàn)的與球有關(guān)的組合體問(wèn)題有兩種：一種是內(nèi)切球，另一種是外接球.

常見(jiàn)的幾何體與球的切、接問(wèn)題的解決方案：

2.空間幾何體外接球問(wèn)題的求解方法：

空間幾何體外接球問(wèn)題的處理關(guān)鍵是確定球心的位置，常見(jiàn)的求解方法有如下幾種：

(1)定義法：利用平面幾何體知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫(huà)內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，

確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程(組)求解.

⑵補(bǔ)形法：若球面上四點(diǎn)尸〃,8,C構(gòu)成的三條線段PC兩兩垂直，且必=a,PB=b,PC=c,一般

把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個(gè)球內(nèi)接長(zhǎng)方體，根據(jù)4尺2=°2+〃+02求解.

⑶截面法：涉及球與棱柱、棱錐的切、接問(wèn)題時(shí)，一般過(guò)球心及多面體的特殊點(diǎn)(一般為接、切點(diǎn))或線

作截面，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題求解.

3.內(nèi)切球問(wèn)題的求解策略：

(1)找準(zhǔn)切點(diǎn)，通過(guò)作過(guò)球心的截面來(lái)解決.

(2)體積分割是求內(nèi)切球半徑的通用方法.

【知識(shí)點(diǎn)3幾何法與向量法求空間角】

1.幾何法求異面直線所成的角

(1)求異面直線所成角一般步驟：

①平移：選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，線段的中點(diǎn)或端點(diǎn)，平移異面直線中的一條或兩條成為相交直線；

②證明：證明所作的角是異面直線所成的角；

③尋找：在立體圖形中，尋找或作出含有此角的三角形，并解之；

④取舍：因?yàn)楫惷嬷本€所成角0的取值范圍是(0,三，所以所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為異面

直線所成的角.

2.用向量法求異面直線所成角的一般步驟：

(1)建立空間直角坐標(biāo)系；

(2)用坐標(biāo)表示兩異面直線的方向向量；

(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值；

(4)注意兩異面直線所成角的范圍是(0,y],即兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角的余弦值的

絕對(duì)值.

3.幾何法求線面角

(1)垂線法求線面角(也稱(chēng)直接法)；

(2)公式法求線面角(也稱(chēng)等體積法)：

用等體積法，求出斜線現(xiàn)在面外的一點(diǎn)P到面的距離，利用三角形的正弦公式進(jìn)行求解.

公式為：sind=4,其中。是斜線與平面所成的角，〃是垂線段的長(zhǎng)，/是斜線段的長(zhǎng).

4.向量法求直線與平面所成角的主要方法：

(1)分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，將題目轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)

角)；

(2)通過(guò)平面的法向量來(lái)求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角或鈍角的補(bǔ)角，取其余

角就是斜線和平面所成的角.

5.幾何法求二面角

作二面角的平面角的方法：

作二面角的平面角可以用定義法，也可以用垂面法，即在一個(gè)半平面內(nèi)找一點(diǎn)作另一個(gè)半平面的垂線,

再過(guò)垂足作二面角的棱的垂線，兩條垂線確定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.

6.向量法求二面角的解題思路：

用法向量求兩平面的夾角：分別求出兩個(gè)法向量，然后通過(guò)兩個(gè)平面的法向量的夾角得到兩平面夾角

的大小.

【知識(shí)點(diǎn)4立體幾何中的最值問(wèn)題及其解題策略】

1.立體幾何中的幾類(lèi)最值問(wèn)題

立體幾何中的最值問(wèn)題有三類(lèi)：

一是空間幾何體中相關(guān)的點(diǎn)、線和面在運(yùn)動(dòng)，求線段長(zhǎng)度、截面的面積和體積的最值；

二是空間幾何體中相關(guān)點(diǎn)和線段在運(yùn)動(dòng)，求有關(guān)角度和距離的最值；

三是在空間幾何體中，已知某些量的最值，確定點(diǎn)、線和面之間的位置關(guān)系.

2.立體幾何中的最值問(wèn)題的求解方法

解決立體幾何中的最值問(wèn)題主要有兩種解題方法：

一是幾何法，利用幾何體的性質(zhì)，探求圖形中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系；

二是代數(shù)法，通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示所求量的目標(biāo)函數(shù)，借助函數(shù)思想方法求

最值；通過(guò)降維的思想，將空間某些量的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面三角形、四邊形或圓中的最值問(wèn)題.

【知識(shí)點(diǎn)5立體幾何中的截面、交線問(wèn)題的解題策略】

1.立體幾何截面問(wèn)題的求解方法

(1)坐標(biāo)法：所謂坐標(biāo)法就是通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算問(wèn)題，進(jìn)行求解.

(2)幾何法：從幾何視角人手，借助立體幾何中的線面平行及面面平行的性質(zhì)定理，找到該截面與相關(guān)

線、面的交點(diǎn)位置、依次連接這些點(diǎn)，從而得到過(guò)三點(diǎn)的完整截面，再進(jìn)行求解.

2.截面、交線問(wèn)題的解題策略

(1)作截面應(yīng)遵循的三個(gè)原則：

①在同一平面上的兩點(diǎn)可引直線；

②凡是相交的直線都要畫(huà)出它們的交點(diǎn)；

③凡是相交的平面都要畫(huà)出它們的交線.

(2)作交線的方法有如下兩種：

①利用基本事實(shí)3作交線；

②利用線面平行及面面平行的性質(zhì)定理去尋找線面平行及面面平行，然后根據(jù)性質(zhì)作出交線.

【知識(shí)點(diǎn)6立體幾何中的軌跡問(wèn)題及其解題策略】

1.動(dòng)點(diǎn)軌跡的判斷方法

動(dòng)點(diǎn)軌跡的判斷一般根據(jù)線面平行、線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合圓或圓錐曲線的定義推斷

出動(dòng)點(diǎn)的軌跡，有時(shí)也可以利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.

2.立體幾何中的軌跡問(wèn)題的常見(jiàn)解法

(1)定義法：根據(jù)圓或圓錐曲線的定義推斷出動(dòng)點(diǎn)的軌跡，進(jìn)而求解軌跡問(wèn)題.

(2)交軌法：若動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件是兩動(dòng)曲線(曲線方程中含有參數(shù))的交點(diǎn)，此時(shí)，要首先分析兩動(dòng)曲

線的變化，依賴(lài)于哪一個(gè)變量?設(shè)出這個(gè)變量為K求出兩動(dòng)曲線的方程，然后由這兩動(dòng)曲線方程著力消去

參數(shù)/,化簡(jiǎn)整理即得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法我們稱(chēng)為交軌法.

(3)幾何法：從幾何視角人手，結(jié)合立體幾何中的線面平行、線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，找到動(dòng)

點(diǎn)的軌跡，再進(jìn)行求解.

(4)坐標(biāo)法：坐標(biāo)法就是通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，將立體幾何中的軌跡問(wèn)題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算問(wèn)題，進(jìn)

行求解.

(5)向量法：不通過(guò)建系，而是利用空間向量的運(yùn)算、空間向量基本定理等來(lái)研究立體幾何中的軌跡問(wèn)

題，進(jìn)行求解.

【知識(shí)點(diǎn)7以立體幾何為載體的情景題的求解策略】

1.以立體幾何為載體的幾類(lèi)情景題

以立體幾何為載體的情景題大致有三類(lèi)：

(1)以數(shù)學(xué)名著為背景設(shè)置問(wèn)題，涉及中外名著中的數(shù)學(xué)名題名人等；

(2)以數(shù)學(xué)文化為背景設(shè)置問(wèn)題，包括中國(guó)傳統(tǒng)文化，中外古建筑等；

(3)以生活實(shí)際為背景設(shè)置問(wèn)題，涵蓋生產(chǎn)生活、勞動(dòng)實(shí)踐、文化精神等.

2.以立體幾何為載體的情景題的求解思路

以立體幾何為載體的情景題都跟圖形有關(guān)，涉及在具體情景下的圖形閱讀，需要通過(guò)數(shù)形結(jié)合來(lái)解決

問(wèn)題.

此類(lèi)問(wèn)題的求解過(guò)程主要分四步：一是要讀特征，即從圖形中讀出圖形的基本特征；二是要讀本質(zhì)，

即要善于將所讀出的信息進(jìn)行提升，實(shí)現(xiàn)“圖形一文字一符號(hào)”的轉(zhuǎn)化；三是要有問(wèn)題意識(shí)，帶著問(wèn)題閱讀圖

形，將研究圖形的本身特征和關(guān)注題目要解決的問(wèn)題有機(jī)地融合在一起；四是要有運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)，要“動(dòng)手”去操

作，動(dòng)態(tài)地去閱讀圖形.

?舉一反三

【題型1求幾何體的體積與表面積】

【例1】(2024?浙江?模擬預(yù)測(cè))清代的蘇州府被稱(chēng)為天下糧倉(cāng)，大批量的糧食要從蘇州府運(yùn)送到全國(guó)各地.為

了核準(zhǔn)糧食的數(shù)量，蘇州府制作了“小嘴大肚”的官斛用以計(jì)算糧食的多少，五斗為一斛，而一只官斛的容量

恰好為一斛，其形狀近似于正四棱臺(tái)，上口為正方形，內(nèi)邊長(zhǎng)為25cm,下底也為正方形，內(nèi)邊長(zhǎng)為50cm,

斛內(nèi)高36cm,那么一斗米的體積大約為立方厘米？()

A.10500B.12500C.31500D.52500

【解題思路】利用棱臺(tái)的體積公式，即可計(jì)算得出答案.

【解答過(guò)程】一斛米的體積為，=3(S上+S下+Js上S下)h=|x(252+502+25x50)x36=

52500(cm3),

因?yàn)槲宥窞橐货?，所以一斗米的體積為(=10500(5?),

故選：A.

【變式1-1](2024?江蘇連云港?二模)如圖是一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖，若兩個(gè)半圓的半徑分別是1和2,

【解題思路】先計(jì)算出上、下底面的半徑和面積，再求出圓臺(tái)的高，按照?qǐng)A臺(tái)體積公式計(jì)算即可.

【解答過(guò)程】

如圖，設(shè)上底面的半徑為丁，下底面的半徑為R,高為心母線長(zhǎng)為2,

則211T=7ix1,2KR=Kx2,解得丁=I，R=1,

又，=2-1=1,h=J/2一（R一r）2=J12_（1_；）=y,

設(shè)上底面面積為S'=nxG）=p下底面面積為S=nx"=R,

所以圓臺(tái)的體積V=1(s+s'+VsP)h=1^TT+^+JTTXXy=等^

故選：B.

【變式1-2]（2024?江蘇無(wú)錫?模擬預(yù)測(cè)）蒙古包是我國(guó)蒙古族牧民居住的房子，適于牧業(yè)生產(chǎn)和游牧生活.如

圖所示的蒙古包由圓柱和圓錐組合而成，其中圓柱的高為2m,底面半徑為4m,。是圓柱下底面的圓心.若

圓錐的側(cè)面與以。為球心，半徑為4m的球相切，則圓錐的側(cè)面積為（）

A.8V5TTm2B.16V5Trm2C.20Tlm2D.40Tim2

【解題思路】根據(jù)題意結(jié)合圓柱、圓錐以及球的結(jié)構(gòu)特征解得圓錐母線長(zhǎng)2=5,進(jìn)而可求圓錐的側(cè)面積.

【解答過(guò)程】設(shè)POi=h,P4=E（h為圓錐高，/為圓錐母線長(zhǎng)）

P

OM1P4???以。為球心，半徑為4的球與圓錐側(cè)面相切，則。M=4,

在△P04中，5足04="九+2）-4=，47,可得無(wú)+2=1,

且九2+16=巴則。一2）2+16=/2,解得1=5,

所以圓錐的側(cè)面積為5側(cè)=url=TTx4x5=20n（m2）.

故選：C.

【變式1-3]（2024?天津和平?二模）如圖，一塊邊長(zhǎng)為10cm的正方形鐵片上有四塊陰影部分，將這些陰

影部分裁下去，然后用余下的四個(gè)全等的等腰三角形加工成一個(gè)正四棱錐形容器，則這個(gè)正四棱錐的內(nèi)切

球（球與正四棱錐各面均有且只有一個(gè)公共點(diǎn)）的體積為（）

9Q32

A.-TiB.-TTC.9nD.—n

423

【解題思路】根據(jù)題意可得正四棱錐的斜高為5,底面正方形的邊長(zhǎng)為6,從而可得正四棱錐的高，設(shè)這個(gè)

正四棱錐的內(nèi)切球的半徑為丁，高線與斜高的夾角為仇則易得sin。=34=r+-4=fr,從而可得丁，再

5sm。3

代入球的體積公式，即可求解.

【解答過(guò)程】作出四棱錐P-力BCD如圖：

根據(jù)題意可得正四棱錐的斜高為PM=5,底面正方形力BCD的邊長(zhǎng)為6,

.?.正四棱錐的高為OP=V52-32=4,

設(shè)這個(gè)正四棱錐的內(nèi)切球的球心為Q,半徑為r,與側(cè)面相切于N,

則高線與斜高的夾角為仇則sin?=警=：,

PM5

則。P=0Q+器

sm0

A,r83

4=rH------=-r,???r=-,

sin。32

???這個(gè)正四棱錐的內(nèi)切球的體積為［TIN=X71X（|）3=

故選：B.

【例2】（2024?新疆烏魯木齊?三模）三棱錐A-BCD中，4D1平面ABC,ABAC=60°,AB=1,AC=2,

AD=4,則三棱錐Z-BC。外接球的表面積為（）

A.10nB.20TIC.25KD.3On

【解題思路】利用余弦定理先求出底面三角形ABC的外接圓半徑r,再利用朋="+6）2（八為三棱錐的高,

R為外接球半徑），即可求解.

【解答過(guò)程】在△4BC中，/.BAC=60°,AB=1,AC=2,

2

由余弦定理可得=力B2+AC-2AB-AC-cos^BAC,

即SC?=1+4-2X1X2XCOS600=3,所以BC=V3,

設(shè)44BC的外接圓半徑為r,

平面力BC,S.AD=4,

設(shè)三棱錐4-BCD外接球半徑為R,

2

則R2=「2+（IAD）,即朋=1+4=5,

所以三棱錐4-BCD外接球的表面積為4TTR2=20Tt.

【變式2-1］（2024?海南?模擬預(yù)測(cè)）已知正方體力BCD-&B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)N為側(cè)面四邊形CDD/i

的中心，則四面體NCBiCi的外接球的表面積為（）

A.2TCB.4TTC.6nD.8TT

【解題思路】畫(huà)出圖分析出球心為兩個(gè)面斜邊中點(diǎn)的垂線的交點(diǎn)，然后利用勾股定理求球的半徑即可求解.

【解答過(guò)程】如圖:

四面體NCBiCi的面C/Ci是直角三角形，

。,。1為面CBBjCi與4DD14的中心，所以。g1面CBiCi，

因?yàn)樾边匔Bi的中點(diǎn)。是三角形外心，所以球心在的直線。01上，

面NCCi也為直角三角形，0,E分別為CBi與CCi的中點(diǎn)，所以。EIIBiCi，

±WCC1；所以。El面NCCi，

因?yàn)樾边匔Ci的中點(diǎn)E是三角形外心，所以球心在的直線。E上，

故球心為直線。。1與直線0E的交點(diǎn)。，

正方體4BCD-&%的。1的棱長(zhǎng)為2,

所以球的半徑為0C=ifiiC=gx722+22=V2,

所以四面體NCBiQ的外接球的表面積為：4TT（V2）=8兀

故選：D.

【變式2-2］（2024?云南大理?模擬預(yù)測(cè)）六氟化硫，化學(xué)式為SF6,在常壓下是一種無(wú)色、無(wú)臭、無(wú)毒、不

燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途.六氟化硫分子結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)（正

八面體每個(gè)面都是正三角形，可以看作是將兩個(gè)棱長(zhǎng)均相等的正四棱錐將底面粘接在一起的幾何體）.如

圖所示，正八面體E-ABCD-F的棱長(zhǎng)為a,此八面體的外接球與內(nèi)切球的體積之比為（）

A.3V3B.2V3C.3V2D.2近

【解題思路】根據(jù)給定條件，確定八面體的外接球球心及半徑，利用體積法求出內(nèi)切球半徑，再利用球的

體積公式求解即得.

【解答過(guò)程】正八面體E—ABC?！狥的棱長(zhǎng)為a,連接4CcEF=。，

22

由四邊形ABCD為正方形，得AU=BC2+AB2=2a2=EC+AE,

則四邊形2ECF亦為正方形，即點(diǎn)。到各頂點(diǎn)距離相等，

于是此八面體的外接球球心為。，半徑為R=孚=苧，

2

此八面體的表面積為S=8SAABE=8xfa2=2V3a,設(shè)此八面體的內(nèi)切球半徑為r,

由VETBCD-尸=2%TBCD，#1Sr=2x|xa2x^,即2百a2r=?a3,解得「=與,

a5Zo

所以此八面體的外接球與內(nèi)切球的體積之比為（，3=（*）3=373.

r-n

故選：A.

F

【變式2-3]（2024?安徽安慶?三模）如圖，在一個(gè)有蓋的圓錐容器內(nèi)放入兩個(gè)球體，已知該圓錐容器的底

面圓直徑和母線長(zhǎng)都是百，則（）

A.這兩個(gè)球體的半徑之和的最大值為萼

B.這兩個(gè)球體的半徑之和的最大值為1

C.這兩個(gè)球體的表面積之和的最大值為（6+3b）n

D.這兩個(gè)球體的表面積之和的最大值為等

【解題思路】當(dāng)這兩個(gè)球體的半徑或者表面積之和取最大值時(shí)，有一個(gè)球體和圓錐的底面相切，過(guò)底面圓

的直徑作截面，設(shè)兩圓的半徑，則RG[ii],re[ii],其中R=1-^-><3r-2r2,表達(dá)出f（r）=1+烏一

LoZJLoZJJ33

|V3r-2r2,rG求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)性，得到最值，并求出產(chǎn)+72=一_|[伊+=）2-6（R+?。?3],

令％=R+r4|,函數(shù)y=-2互（第2一6%+3）在（0,1|上單調(diào)遞增，求出ymax=等，得到答案.

【解答過(guò)程】當(dāng)這兩個(gè)球體的半徑或者表面積之和取最大值時(shí)，上面的球與圓錐的底面相切,

過(guò)底面圓的直徑作截面，

如圖所示，過(guò)點(diǎn)。作。尸，垂足為P,過(guò)點(diǎn)。彳乍。垂足為￡,

過(guò)點(diǎn)。作。力，。尸，垂足為D

設(shè)圓。的半徑為心圓。'的半徑為，，當(dāng)下面的球與上底面相切時(shí)，R取得最大值，

此時(shí)R為該圓的內(nèi)切球半徑，等邊三角形的邊長(zhǎng)為百，內(nèi)切球半徑為當(dāng)tan3(T=T，

故。B=l,故R的最大值為最且取最大值時(shí)，

0,。；8三點(diǎn)共線，設(shè)?！瓻=r,則。'B=2r,

則2r+r+4=1,解得r=

26

所以Re[1,1],re[1,1],|0D|=R-r,[o。]=R+T,\O'D\=\EF\=\AB\-\AF\-\BE\=V3-V37?-V3r.

因?yàn)閨0D|2+=|oo『，所以(R-T)2+(百一百R一百?gòu)V=僅十丁尸①，

整理得3R2+(2r-6)/?+3(r2-2r+1)=0,解得R=1j<3r-2r2,

令函數(shù)f(r)=R+r=1-—|V3r—2r2+r=1+鄉(xiāng)—|V3r-2r2,re,

3333L62J

2

f7ry_2V3r-2r-3+4r

3J3r-2r2

z34r

令函數(shù)g(r)=2,3r—2/一3+針,^(r)=-+4>0,所以g(7)是增函數(shù).

V3r-2r2

又因?yàn)間@<0,90>°，所以mroe[U],gQo)=0,

所以ret1。)，g(r)<0,g(r)>0,

即re[|<ro)>fG)<0,re?]，f'(T)>0,

所以f(r)在上打)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

因?yàn)閒(9=fG)=p所以"r)max號(hào)，即這兩個(gè)球體的半徑之和的最大值為右

由①可得爐+r2=—|[(/?+r)2—6(/?+r)+3],

這兩個(gè)球體的表面積之和為4TT(R2+r2)=-2n[(R+r)2—6(/?+r)+3].

令汽=/?+r<I，函數(shù)y=-2n(x2—6%+3)在(0,|]上單調(diào)遞增，

所以％nax=-2KX[(§2_$x■!+3]=與，即這兩個(gè)球體的表面積之和的最大值為手.

故選：D.

【題型3體積、面積、周長(zhǎng)、距離的最值與范圍問(wèn)題】

【例3】(2024?廣東佛山?模擬預(yù)測(cè))如圖，在△ZBC中，4C邊上的高為5”,且8”=4”=3,CH=6,

矩形。MG的頂點(diǎn)。，G分別在邊A4,5C上，E,尸都在邊4C上，以4c為軸將△旋轉(zhuǎn)一周，則矩

形。斯G旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的最大體積為()

.81C23入yrCYC

A.—TIB.—TIC.12KD.18TI

82

【解題思路】設(shè)DE=a(0<a<3),求出=+可得矩形。EFG旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的體積，利用

導(dǎo)數(shù)求出最值可得答案.

【解答過(guò)程】由已知得aCGF△力DE是等腰直角三角形，

設(shè)。E=a(0<a<3),貝ijAE=a,所以HE=3—a,

因?yàn)榫?§,所以”與，可得CF=2a,所以HF=6—2a,

DH.CH3o

可得EF=HE+HF=3-a+6-2a=9-3a,

所以矩形DEFG旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的體積為

V=TIDE2xEF=ita2(9-3a)=TT(9CI2-3a3),

V'=9na(2-a),當(dāng)0<a<2時(shí)，V'>0,V(a)單調(diào)遞增，

當(dāng)2<a<3時(shí)，V'<0,V(a)單調(diào)遞減，

所以，(a)<7(2)=ir(36-24)=12TT.

故選：C.

【變式3-1]（2024?重慶渝中?模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐「一48。中，力。=BC=PC=2,且力C1BC,PC，平面ABC,

過(guò)點(diǎn)P作截面分別交4C,BC于點(diǎn)E,F,且二面角P-EF-C的平面角為60。，則所得截面PEF的面積最小值為

（）

482

A.-B.-C.-D.1

333

【解題思路】由二面角的定義可得PGC=60。，從而PG=竽,CG=學(xué)，設(shè)CE=a,CF=b,由三角形的面

積相等和基本不等式得到防2?,再由三角形的面積公式即可求解.

【解答過(guò)程】過(guò)P作PG1EF,垂足為G,連接CG,則由三垂線定理可得EFlCG,

."PGC即為二面角P-EF-C的平面角，

C.PGC=60°,PC=2,所以PG=W，CG=言，

設(shè)CE=a,CF=b,貝!]￡T=y/a2+b2,

在三角形CEF中，ab=手夜2+板,

又+爐>72ab,所以ab>'（72ab=當(dāng)匹，

所以abN/a=b=乎時(shí)等號(hào)成立，

所以三角形PEF的面積為T(mén)X手X=ab2/

故截面PEF面積的最小值為*

故選：B.

【變式3?2】（2024?河南?一模）已知P為棱長(zhǎng)為述的正四面體Z-BCD各面所圍成的區(qū)域內(nèi)部（不在表面

上）一動(dòng)點(diǎn)，記尸至I」面ABC,面力CD,面BCD,面4BD的距離分別為心，h,h,儲(chǔ)，若九3+儲(chǔ)=1，則親+=

2一32九1九2

的最小值為（）

A.2B.—C.把叱D.12+4V2

22

【解題思路】由等體積法求得月+八2+八3+八4為定值2,則有九1+3=1，利用基本不等式求J+V的最

小直

【解答過(guò)程】正四面體力—BCD棱長(zhǎng)為迎，E為△BCD的中心，貝！MEI底面BCD,

F為CD邊中點(diǎn)，則E在BF上，如圖所示，

貝IJ有BF1CD,BFu平面BCD,AE1BF,

AF=BF=k^T，EF*BF=與

AE=yjAF2-EF2=J律J-=2,即正四面體力BCD的高九=2,

P為正四面體4-BCD各面所圍成的區(qū)域內(nèi)部，連接P4PB,PC,PD,

可得到4個(gè)小四面體，

設(shè)正四面體4-BCD各面的面積為S,則有g(shù)s（心+h2+h3+儲(chǔ)）=：Sh,

得hi+h2+h3+h4—h—2,

由壇+八4=1，則+3=1，

則++*=（2+9的+后）=98+祟+詈*+8+2號(hào)號(hào),

2/i|的12九1低，22%i的2y2/ii的2

當(dāng)且僅當(dāng)今=答，即比=：/2=g時(shí)等號(hào)成立，

2hi九255

!■的最小值為？

2/ii的2

故選：B.

【變式3-3］(2024?四川宜賓?三模)已知E,尸分別是棱長(zhǎng)為2的正四面體力BCD的對(duì)棱力D,BC的中點(diǎn).過(guò)EF

的平面a與正四面體4BCD相截，得到一個(gè)截面多邊形T,則下列說(shuō)法正確的是()

A.截面多邊形T不可能是平行四邊形B.截面多邊形T的周長(zhǎng)是定值

C.截面多邊形T的周長(zhǎng)的最小值是四+逐D.截面多邊形T的面積的取值范圍是［1,近］

【解題思路】將平面a從平面4DF開(kāi)始旋轉(zhuǎn)，結(jié)合對(duì)稱(chēng)性可判斷A；設(shè)4G=m(0<m<2),利用余弦定理

表示出GE+GF,利用幾何意義求最小值，利用二次函數(shù)單調(diào)性求最大值可判斷BC；先判斷EFJ.GH,然

后利用向量方法求出麗2=2(6-1)2+2,可得截面面積的范圍，可判斷D.

【解答過(guò)程】對(duì)于A,當(dāng)平面a過(guò)4?；駼C時(shí)，截面為三角形.

易知正四面體關(guān)于平面力DF對(duì)稱(chēng)，將平面a從平面力DF開(kāi)始旋轉(zhuǎn)與4B交于點(diǎn)G時(shí)，

由對(duì)稱(chēng)性可知，此時(shí)平面a與CD交于點(diǎn)且4G=DH,

此時(shí)截面為四邊形EGFH,且注意到當(dāng)G,H分別為ZB,CD的中點(diǎn)時(shí)，止匕時(shí)滿足力G=DH,

旦GF"AC,AC"EH,GF=EH=即此時(shí)截面四邊形EGFH是平行四邊形，故A錯(cuò)誤;

對(duì)于BC,設(shè)ZG=7?1(0<zn<2),由余弦定理得GE=，八2+i一/二—g)+：,

GF=y/(2—tn)2+1—(2—m)=J(7n—|)+￡

由兩點(diǎn)間距離公式知，GE+GF表示動(dòng)點(diǎn)(碼0)到定點(diǎn)&與和G,一百的距離之和，

當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值+(/+1)=2，

由二次函數(shù)單調(diào)性可知，當(dāng)m=0或巾=2時(shí)，GE+GF取得最大值1+百，

所以截面多邊形T周長(zhǎng)的取值范圍是［4,2+2網(wǎng)，故BC錯(cuò)誤；

對(duì)于D,記GH與EF的交點(diǎn)為。，由對(duì)稱(chēng)性NEFG=ZEFH,FG=FH,

所以EF1GH,SEGFH=3EF.GH,

因?yàn)榱=7AB2-BF2=V3,

所以EF=VXF2-AE2=V2,所以SEGFH=^GH>

記力B=a.,AC=b,AD=c,

則麗=襦+而+而=_￡2+7+/@_司=_￡2+/了+(1_￡)3

因?yàn)榉?b=^.-~c=b-~c=2x2cos]=2,[a\=\b\=但|=2,

所以麗2=聲2+9京+（1一怎2/一冢不一?。?一§無(wú)下+?。?一骸刃.■2

22

—m2+m2+4(1—-m-2m(^1-y)+2加(1號(hào))

=2(m—I)2+2,

由二次函數(shù)性質(zhì)可知，2W麗234,即aWGHW2,

所以1WSEGFH-V2,故D正確;

故選：D.

【題型4空間線段以及線段之和最值問(wèn)題】

【例4】（2024?江西鷹潭?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在長(zhǎng)方形2BCD中，AB=2,BC=1,E為。C的中點(diǎn)，尸為線

段EC（端點(diǎn)除外）上的動(dòng)點(diǎn).現(xiàn)將△4FD沿工尸折起，使平面力BDJ_平面ABC,在平面力BD內(nèi)過(guò)點(diǎn)。

作DK14B,K為垂足.設(shè)BK=t,則/的取值范圍是（

D.侍1)

【解題思路】過(guò)點(diǎn)D作1AF,垂足為過(guò)點(diǎn)尸作FP〃BC,交A8于點(diǎn)P,設(shè)OF=%，用t,x表示PK,DK,FK,

在RtaDFK中，求出t,尤的函數(shù)關(guān)系，可求f的取值范圍.

【解答過(guò)程】如圖，在平面4DF內(nèi)過(guò)點(diǎn)。作DHL力尸，垂足為〃，連接//K.過(guò)點(diǎn)尸作FP〃BC,交于

點(diǎn)尸.

設(shè)Z_FAB=e,AE=近,AC=V5,所以cos。e(子,等).

設(shè)DF=x,則l<x<2.因?yàn)槠矫?BD1平面4BC,平面力BDC平面ABC=4B,

DKLAB,DKu平面力BD,所以DKJ■平面ABC,

又2Fu平面ABC,所以DKJ.4F.

又因?yàn)镈H14F,DKCtDH=D,DK,D”u平面DKH,所以4F1平面DKH,

HKu平面。KH,所以力FJ.HK,即AH_LHK.

在Rt△4D尸中，/1F=Vl+x2,。"="把

AF

因?yàn)椤髁F和△力PF都是直角三角形，PF^AD,AF=AF,

所以RtZkADFmRtzXFPA,則有ZP=DF=x.

p~I—

因?yàn)樗泽?器，羋=國(guó)，砥=占

ADDF1xYl+xz

所以cose="=",星=_^,得％=二-.

AKAF2-tVi+x22-t

o

因?yàn)?<久<2,所以1<t<泉

【變式4-1］（2024?北京?模擬預(yù)測(cè)）在棱長(zhǎng)為1的正方體力BCD-A/?小中，點(diǎn)F是棱CCi的中點(diǎn)，P是

正方體表面上的一點(diǎn)，若D1P1AF,則線段DR長(zhǎng)度的最大值是（）

C.|D.V3

【解題思路】通過(guò)線面垂直的性質(zhì)找到點(diǎn)P的軌跡，然后利用梯形的性質(zhì)求解即可.

【解答過(guò)程】連接AC,BD,&Ci，BiDi，在正方體48。。一4%的歷中，力4_L平面4道1的久,

四邊形4/1的小是正方形，因?yàn)楫?dāng)小u平面481的。1，所以

又力iCi1B1D1,AA1Cl41cl=4i，且u平面ZiACC],A1C1u平面ZiACCi，

所以BiDi1平面力IACCI，因?yàn)閆Fu平面力i4CCi，所以BiDilAF,

所以當(dāng)點(diǎn)尸在線段當(dāng)?。c(diǎn)Di除外）時(shí)，DiPlAF,取BC的中點(diǎn)E,連接

在正方形BiBCCi中，因?yàn)镋為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱CCi的中點(diǎn)，所以BF^JE,因?yàn)?81平面B/CC】，JEu

平面BiBCQ,所以4B_LBiE,因?yàn)榱dBF=B,

且力Bu平面力BF,BFu平面48F,所以1平面ABF,又AFu平面4BF,

所以BiE_L4F,因?yàn)锽]_EC/Di=B],且當(dāng)小u平面D/iE,B]_Eu平面ZBiE,

所以4F1平面DiBiE,設(shè)平面￡）i8iEn平面4BCD=GE,貝l|G￡7/￡）i8i，所以GE//08,

則G是棱CD的中點(diǎn)，

所以當(dāng)點(diǎn)P在正方體4BCD-418也10的表面線段。道1-B1E-EG-G以上時(shí)，DXP1AF,

由題意可知，在梯形DiGEBi中，D鳳=0,D1G=BiE=*EG=',

DiE=』D居+CF=Jl+j=|,

所以線段長(zhǎng)度的最大值是=|.

故選：C.

【變式4-2]（23-24高三下?陜西西安?階段練習(xí)）在棱長(zhǎng)為2的正方體2BCD-4/1的。1中，P,Q,R分

別為線段BD,BiC,的。上的動(dòng)點(diǎn)，貝!JPR+3QR的最小值為（）

A.2V6B.4V2C.3V5D.5

【解題思路】過(guò)R作RELCD于E,作RFJ.CC1于尸，設(shè)RE=%,把PR+3QR表示為》的函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求

出函數(shù)最小值即得.

【解答過(guò)程】在正方體4BCD-4/1的。1中，AB=2,在平面CDDi。內(nèi)過(guò)R作RE1CD于E,作RF1（?前

于F,

設(shè)RE=x(0WxW2),顯然RE_LDE,NRDE=工，則DE=RE=x,CE=2—x,

4

四邊形CERF為矩形，于是RF=CE=2-x,CF=RE=x,

由RE//CC1，得RE_L平面4BCD,由RF//CD,得RFJ_平面BCCiBi，

則PR='RE?+EP2=奴+EP2,當(dāng)x確定后，EP最小時(shí)，PR最小，當(dāng)EPlBD時(shí)，EP最小,

而EP=DEsin"當(dāng)，貝i]PR=&,

422

同理QR=JRF2+FQ2,當(dāng)RF=2—x確定后，F(xiàn)Q最小，QR最小,則當(dāng)FQ1B1C時(shí)，F(xiàn)Q最小,

而FQ=CF.sin]=jx,貝！JOR=J(2—x)2+(-y^)2=J|x2—4x+4,

因此PR+3QR=4+3-x2-4x+4,令f(x)=[x+3-x2-4x+4,0<x<2,

2,\l22,\l2

求導(dǎo)得/(*)=當(dāng)+9x-12由f'(%)=。，得％=1，

V6X2-16X+16,

當(dāng)04久<1時(shí)，f(x)<0,當(dāng)1V%W2時(shí)，f(x)>0,即函數(shù)/(%)在［0,1)上遞減，在(1,2］上遞增,

則/(%)min=f⑴=2V6,所以PR+3QR的最小值為2V6.

故選：A.

【變式4-3］(2024?陜西商洛?模擬預(yù)測(cè))如圖，ZC為圓錐S。的底面圓。的直徑，點(diǎn)B是圓。上異于4。的動(dòng)

A.圓錐S。的側(cè)面積為8魚(yú)口

B.三棱錐S-4BC的體積的最大值為葭

C.NS力B的取值范圍是

D.若AB=BC,E為線段4B上的動(dòng)點(diǎn)，貝IJSE+CE的最小值為2（8+1）

【解題思路】先求出圓錐的母線長(zhǎng)，利用圓錐的側(cè)面積公式判斷A；當(dāng)時(shí)，△48C的面積最大，此

時(shí)三棱錐S-力BC體積也最大，利用圓錐體積公式求解即可判斷B；先用取極限的思想求出N4SB的范圍，

再利用2NSAB+44SB=m求的范圍，即可判斷C；利用圖形展開(kāi)及兩點(diǎn)之間線段最短即可判斷選

項(xiàng)D.

【解答過(guò)程】在RtZkSOC中，SC=y/SO2+0C2=2V2,則圓錐的母線長(zhǎng)/=2/，半徑r=0C=2,

對(duì)于A,圓錐S。的側(cè)面積為：Tirl=4V2TT,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,當(dāng)。B14C時(shí)，△4BC的面積最大，此時(shí)SoBC=gx4x2=4,

則三棱錐S-4BC體積的最大值為gXSAABCxSO=gx4x2=g,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,因?yàn)椤鱏4B為等腰三角形，SA=SB,y.SA2+SC2=AC2,所以乙4SC=],

當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)4重合時(shí)，N4SB=0為最小角，當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)C重合時(shí)乙4SB=會(huì)達(dá)到最大值，

又因?yàn)锽與4c不重合，貝lUASBefof,又2NS4B+N力SB=m可得NS4Be故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,由4B=BGN4BC==4,得4B=BC=2應(yīng)，又SA=SB=2五,

則aSSB為等邊三角形，貝將aSAB以4B為軸旋轉(zhuǎn)到與△ABC共面，得到△SMB,

則為等邊三角形，=*如圖可知（SE+CE）min=SC

因?yàn)镾IB=BC=2V2,HBC=4B4+乙ABC=y,

222

SrC=SrB+BC-2xS]BxBCxcosy=8+8+8A/3=（2b+2『，

則（SE+CE）min=S1C=2（百+1）,故D正確；

故選：D.

【題型5空間角問(wèn)題】

【例5】（2024?遼寧沈陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）已知直三棱柱48C—4/佟1中，/.ABC=120°,AB=CCX=2,BC=1,

則異面直線4%與BCi所成角的余弦值為（）

【解題思路】根據(jù)空間向量法求線線角即可.

【解答過(guò)程】以B為原點(diǎn)，在平面ABC內(nèi)過(guò)B作BC的垂線交4C于D,

以為x軸，以8C為y軸，以BBi為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)橹比庵C—&B1C1中，/.ABC=120°,AB=CC1=2,BC=1,

所以4(遮，-1,0),Bi(0,0,2),B(0,0,0),g(0,1,2),

所以函=(-V3,1,2),BC[=(0,1,2),

設(shè)異面直線4%與BCi所成角為仇

所以?麗,的—5一同

所以cos0-I^HWI一而一丁.

故選：C.

【變式5-1］（2024?內(nèi)蒙古包頭?一模）如圖，底面A8CD是邊長(zhǎng)為2的正方形，半圓面力PD1底面4BCD,

點(diǎn)P為圓弧4。上的動(dòng)點(diǎn).當(dāng)三棱錐P-BCD的體積最大時(shí)，二面角P-BC-。的余弦值為（）

【解題思路】由題意當(dāng)三棱錐P-BCD的體積最大時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P處于半圓弧的正中間位置.此時(shí)建立適當(dāng)?shù)目臻g

直角坐標(biāo)系，求出平面BCP,平面BCD的法向量，由法向量夾角余弦的坐標(biāo)公式即可求解.

【解答過(guò)程】三棱錐P-BCD的體積與P到平面BCD的距離成正比，

故當(dāng)三棱錐P-BCD的體積最大時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P處于半圓弧的正中間位置.

點(diǎn)P處于半圓弧的正中間位置時(shí)，記力。的中點(diǎn)為。，以其為原點(diǎn)，前，而，亦分別作為x,y,z軸正方向，建立

空間直角坐標(biāo)系.

平面BCD顯然有法向量鉆=(0,0,1),

P(0,0,l),B(2,-l,0),C(2,l,0)，

設(shè)五=O,y,z)為平面PBC的法向量，

則該向量與而=(2,-1,-1)和玩=(2,1,-1)均垂直，

所以元■PB=n-PC=0,從而2久一'—z=2x+y—z=0.

令x=1,解得y-0,z-2,

故元=(x,y,z)=(1,0,2)符合條件，

顯然二面角P-BC-。為銳角，

因此所求余弦值為|cos值砌=鵲=/zz=4

V12+O2+22-VO2+O2+125

故選：D.

【變式5-2](2024?四川雅安?一模)如圖，在正方體力BCD-4/1的。1中，點(diǎn)P是線段力Bi上的動(dòng)點(diǎn)(含端

點(diǎn))，點(diǎn)Q是線段4c的中點(diǎn)，設(shè)PQ與平面AC%所成角為仇則cos。的最小值是()

【解題思路】以點(diǎn)。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)=[0,1],利用向量法求解即可.

【解答過(guò)程】如圖，以點(diǎn)D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

^AP=AABltAE[0,1],不妨設(shè)AB=2,

則力(2,0,0),C(0,2,0),Q(LLO),Di(0,0,2),Bi(2,2,2),

故前=(-2,2,0),珂=(-2,0,2),

PQ=AQ-AP=AQ-4福=(-1,1,0)-4(022)=(-1,1-24,-24),

設(shè)平面AC%的法向量為元=(x,y,z),

n-AC=—2x+2y=0

貝叼一一,',可取元=(1,1,1),

(n-ADX-2%+2z=0

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人」smd_|cos(PQ,n)|一西同一而石西亭河志一倨廊與Z7

所以cos?=7\_siMe=1—(—/41)=/1----->

、\V3-78A2-4A+2/\12A2-6A+3

當(dāng);I=0時(shí)，cos。=1,

當(dāng)4e(0,1]時(shí)，cos0=11-“=1------J-=11------------，

712M-6Z+3I]2一評(píng)J3(卜1)+9

當(dāng)：=1,即2=1時(shí)，(cos0)min=1,

綜上所述，cos。的最小值是g.

故選：A.

【變式5-3］（2024?山東臨沂?二模）已知正方體ABCD—A/iCiDi中,M,N分別為CJ,的。的中點(diǎn)，則

()

A.直線與&C所成角的余弦值為qB.平面BMN與平面8的。1夾角的余弦值為部

C.在BQ上存在點(diǎn)0,使得BiQLBDiD.在/D上存在點(diǎn)尸，使得P力〃平面BMN

【解題思路】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為1,由空間向量計(jì)算異

面直線所成角，二面角和線線垂直可判斷ABC；由N,MB,4四點(diǎn)共面，而46平面BMN可判斷D.

【解答過(guò)程】以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為1,

所以4(1,0,0),￡)(0,0,0),0)((0,1,0),&(1,0,1),%(0,0,1),8式1,1,1),J(0,1,1),

“(。，靖),N(0,肅,

對(duì)于A,MN=(0,-1,0),方=(一1,1,一1),

直線與&C所成角的余弦值為|cos(而布)|=需需=癮=圣故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,W=(0,-1,0),W=(-1,0,0,

fn-MN=--y=0

2

設(shè)平面BMN的法向量為元=(x,y,z),貝,1,

In-BM=—x+-z=0

?。?1,可得y=0,z=2,所以五=(1,0,2),

=(0,-1,0),=(-1,0,1),

設(shè)平面BC/i的法向量為沅=(x1)yi)Z1),則1元且必=一%=°,

取工i=1,可得yi=0,Zi=l,所以記=(1,0,1),

平面BMN與平面8的。1