解三角形的圖形類問題和重要模型（學(xué)生版）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

重難點(diǎn)11解三角形的圖形類問題和重要模型【九大題型】

【新高考專用】

?題型歸納

【題型1兩次使用余弦定理】...................................................................3

【題型2等面積法】...........................................................................3

【題型3解三角形中的中線模型】...............................................................4

【題型4解三角形中的倍角模型】...............................................................5

【題型5解三角中的角平分線模型】............................................................6

【題型6解三角中的高模型】...................................................................8

【題型7解三角形中的等分點(diǎn)模型】............................................................9

【題型8三角形的重心問題】..................................................................10

【題型9三角形的外接圓、內(nèi)切圓問題】........................................................11

?命題規(guī)律

1、解三角形的圖形類問題和重要模型

解三角形是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，是每年高考必考內(nèi)容之一.從近幾年的高考情況來看，正、余弦定理解三

角形在選擇題、填空題中考查較多，難度較易；解答題中解三角形的圖形類問題和一些重要模型也是考查

的重要內(nèi)容，中等難度，有時(shí)也會(huì)與三角函數(shù)、平面向量等知識(shí)綜合考查，解題方法多種多樣，需要靈活

求解.

?方法技巧總結(jié)

【知識(shí)點(diǎn)1三角形圖形類問題的解題策略】

1.解決三角形圖形類問題的常用方法：

(1)兩次使用余弦定理：兩次使用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質(zhì)和正余弦定理

的性質(zhì)解題；

(2)等面積法：等面積法是一種常用的方法，很多數(shù)學(xué)問題利用等面積法使得問題轉(zhuǎn)化為更為簡單的問

題，相似是三角形中的常用思路；

(3)正、余弦定理結(jié)合：正弦定理和余弦定理相結(jié)合是解三角形問題的常用思路；

(4)相似三角形：構(gòu)造輔助線作出相似三角形，結(jié)合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長比例關(guān)系的

不錯(cuò)選擇；

(5)平面向量：平面向量是解決幾何問題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的運(yùn)算法

則可以將其與余弦定理充分結(jié)合到一起；

(6)建系：建立平面直角坐標(biāo)系是解析幾何的思路，利用此方法數(shù)形結(jié)合充分挖掘幾何性質(zhì)使得問題更

加直觀化.

【知識(shí)點(diǎn)2解三角形中的重要模型】

1.中線模型

⑴中線長定理：在△ABC中，角/,B,C的對邊分別為a,b,c,4D是8C邊上的中線，則

48?+小=2(3。2+心).

r-------------gc

(2)向量法：AD2=~(b2+c2+2bccosA).

2.倍角模型

B=2A=/=q(a+。)

C=2Boc2=b(b+a),這樣的三角形稱為“倍角三角形”.

A=2C=/=0(。+6)

-Uh'A［彳。力abC,Clc

sin25sin8sin352cos53-4sin2B

推論2：A=2B<^>—=1+2cosA<^>b+c=2acosB.

b

3.角平分線模型

iAnAn

角平分線張角定理：如圖，AD為NBAC平分線,則cosNA4Q=L(嗎+嗎)

2bc

斯庫頓定理：如圖，4。是的角平分線，則5。。。，可記憶：中方=上積-下積.

4.等分點(diǎn)模型

如圖，若尸在邊BC上，且滿足定=4而，|/P|=加，則延長/尸至。，使麗=4方，連接CO.

易知_&DC=Ze,\AD\=(1+A)\AP\,ZBAC+ZACD=180°.

A

D

?舉一反三

【題型1兩次使用余弦定理】

【例1】（2024?河南?三模）在△力BC中，AB=3V2,cos^BAC=-^,AD1AC,且4。交BC于點(diǎn)D,AD=3,

則sinC=（）

A.iB.遺C.漁D.延

3333

【變式1-1］（2024?黑龍江哈爾濱?三模）已知△ABC的內(nèi)角4B,C的對邊分別為a”,c,且a=V^,BC邊上中

線AD長為1,則be最大值為（）

A.-B.\C.V3D.2V3

42

【變式1-2］（2024?浙江臺(tái)州?二模）在△4BC中，角N,B,C所對的邊分別為a,b,c,若acosC=2ccosA,

則等的最大值為（）

A.V3B.-C.—D.3

22

【變式1-3］（2024?陜西咸陽?三模）在△ABC中，a、b、c分別為△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊，M為邊AC

上一點(diǎn)，滿足標(biāo)=3福，若a2+c2—b2+ac=。，c=2,a=4,則|前|=（）

A.包B.五C.三D.色

2772

【題型2等面積法】

【例2】（2024?海南?模擬預(yù)測）在△ABC中，NACB的平分線與對邊A8交于點(diǎn)D,若△CAD的面積為△

的2倍，且CD==120°,則BC=（）

A.3B.4C.6D.8

【變式2-1］（2024?遼寧丹東?二模）在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，力D平分NB力C,ABAC=120°,AB=2V3,

AD=?，貝!MC=（）

A.2B.V3C.3D.2V3

【變式2-2］（2024?湖南長沙?三模）記△力BC的內(nèi)角的對邊分別為a,b,c,已知a=2,6=4.

(1)若cosB+2coSi4=ccosf,求C的值;

-1

(2)若。是邊AB上的一點(diǎn)，且CD平分乙4C8,COSNACB=一右求CD的長.

【變式2-3](2024?山東泰安?模擬預(yù)測)已知△ABC內(nèi)角的對邊分別為a,6,c,b(sinB+sinC)=(a—

c)(sin4+sinC).

(1)求/;

(2)A的平分線力。交BC于。點(diǎn)，9b+c=64,求力。的最大值.

【題型3解三角形中的中線模型】

[例3](2024?全國?模擬預(yù)測)記△4BC的內(nèi)角NBHC/B/C的對邊分別為a,b,c,己知2bcosBcos2C=a-

2ccosCcos2B.

⑴求NB力C.

(2)若b+c=8,且邊BC上的中線AD=?,求△ABC的面積.

【變式3-1](2024?湖南長沙?三模)如圖，在△ABC中，已知43=3,4。=6,4為銳角，BC,4C邊上的兩條

中線AM,BN相交于點(diǎn)P,△力BC的面積為蜉.

(1)求的長度；

(2)求NAPB的余弦值.

【變式3-2](2024?陜西西安三模)在△4BC中，角的對邊是a,b,c,已知b(l+cosA)=c(l-cos2B).

(1)證明力=c;

(2)若BC邊上的高為2/C邊上的中線BE為2歷,求&ABC的面積.

【變式3-3](2024?新疆烏魯木齊?二模)在△A8C中，點(diǎn)M,N分別為BC,AC的中點(diǎn)，4M與BN交于點(diǎn)G,AM-

3,^MAB=45°.

(1)若AC=5應(yīng)，求中線8N的長；

(2)若△4BC是銳角三角形，求四邊形GMCN面積的取值范圍.

【題型4解三角形中的倍角模型】

【例4】(2024?陜西安康?模擬預(yù)測)已知銳角△4BC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,其中a=8,

a_.sin27l—sin2C

且a豐c.

csin2F

⑴求證：B=2C；

(2)已知點(diǎn)M在線段力C上，=/.CBM,求BM的取值范圍.

【變式4-1]（2024-內(nèi)蒙古三模）在448。中，內(nèi)角43,。的對邊分別為￡1,6,<:,且6-7^）85。=c（V2cosB-

cosX）.

⑴求營的值；

（2）若B=2C,證明：△ABC為直角三角形.

【變式4-2]（2024?陜西商洛?模擬預(yù)測）在銳角△力BC中.內(nèi)角力，B,C所對的邊分別是a,b,c,已知a-

2ccosB=c.

⑴求證：B=2C；

⑵求sinB+2gcos2c的取值范圍.

【變式4-3]（2024?天津河北?二模）在△力BC中，角力，B,C的對邊分別為a,b,c,已知c=4,b=3.

⑴若cosC=-i,求a的值和△力BC的面積；

⑵在（1）的條件下，求cos（2C+§的值；

（3）若力=2B,求a的值.

【題型5解三角中的角平分線模型】

【例5】（2024?河北張家口?三模）在△A8C中，內(nèi)角/,B,C的對邊分別為a,b,c,點(diǎn)。為邊BC上一點(diǎn),

且滿足（而+萬）?就=0.

(1)證明：AD=b；

(2)若/W為內(nèi)角/的平分線，且而=土希+|覆求sinA.

【變式5-1](2024?四川攀枝花?三模)請?jiān)冖?。一b=2ccosB,②■回■=tanC+tanB,

ccosB

③V5sin(力+B)-3-2cos21三個(gè)條件中選擇一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，B,C所對的邊分別是a,hc,已知

(1)求角C；

(2)若b=4,點(diǎn)。在邊力B上，CD為NACB的平分線，求邊長a的值.

【變式5-2](2024廣東深圳?模擬預(yù)測)已知4力3。中內(nèi)角，,瓦(7的對邊分別為0,6心且滿足行。+慶也力=

V3acosjB.

(1)求角A的大?。?/p>

(2)若。是邊5c上一點(diǎn)，且是角力的角平分線，求器的最小值.

【變式5-3](2024?山東?模擬預(yù)測)從①￡譽(yù)=$0,②當(dāng)±當(dāng)=叱￡,③2asin2?=V^sim4這三個(gè)條

bcosBsinn+sinca2

件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中.

已知△力BC的內(nèi)角力，B,C的對邊分別為a,b,c且,

⑴求角B的大小；

(2)若力的角平分線交邊BC于點(diǎn)D,且4￡>=返，c=2,求邊小

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【題型6解三角中的高模型】

[例6](2024?四川?模擬預(yù)測)在△ABC中，內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,且百csinB+bcosQA+B)=b.

(1)求角。的大?。?/p>

(2)若a=8,△ABC的面積為4舊，求AB邊上的高.

【變式6-1](2024?福建泉州?模擬預(yù)測)設(shè)44BC的內(nèi)角，,8,C所對的邊分別為a,b,c,且有2bcos(力一§=

a+c,

⑴求角8：

(2)若/C邊上的高八=苧6,求cosAcosC.

【變式6-2](2024?河北秦皇島?三模)在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,C=^fia+b=7,

△ABC的外接圓半徑為竽.

(1)求△ABC的面積；

(2)求44BC邊4B上的高h(yuǎn).

【變式6-3](2024?全國?模擬預(yù)測)已知△4BC的內(nèi)角4B,C所對的邊分別為a,b,c,a=l,sinB+

V3bcosX=0.

⑴求角4

(2)設(shè)力M是△ABC的高，求力M的最大值.

【題型7解三角形中的等分點(diǎn)模型】

【例7】(23-24高二上?云南?期末)在△力BC中，點(diǎn)。為線段BC的四等分點(diǎn)且靠近點(diǎn)B/BAD與ABAC互補(bǔ).

⑴求隼的值；

(2)若NB4D=30°,AB=4,求力。的長.

【變式7-1](2023?湖北?模擬預(yù)測)在△力BC中，內(nèi)角/,B,C的對邊分別為a,b,c,己知。2(1+cosA)=

2bcsin2A.

⑴判斷△力BC的形狀；

(2)已知。為BC上一點(diǎn)，則當(dāng)力=g,a=3?AD=舊時(shí)，。為BC的幾等分點(diǎn)？

【變式7-2](2024?湖南衡陽?模擬預(yù)測)在△力BC中，角力，B,C的對邊分別為a,b,c,已知a=bcosC-

—csinS

3

(1)求角B

(2)過B作BD1BA,交線段力C于。，且4。=2DC,求角C.

【變式7-3](23-24高三上?湖南長沙?期中)設(shè)a,b,c分別為△ABC的內(nèi)角B,C的對邊，AD為BC

邊上的中線，c—1,Z-BAC――,2csirh4cos8=asinA—bsinB+^bsinC.

⑴求40的長度；

(2)若E為A8上靠近3的四等分點(diǎn)，G為aABC的重心，連接EG并延長與NC交于點(diǎn)尸，求Nb的長度.

【題型8三角形的重心問題】

【例8】(2024?江蘇蘇州?二模)記△力BC的內(nèi)角4,8,C的對邊分別為a,瓦c,已知也=華當(dāng).

csiiii4—sinn

⑴求角A；

(2)若a=6,點(diǎn)M為△ABC的重心，且4M=2b，求△4BC的面積.

【變式8-1](2023?四川內(nèi)江?一模)△ABC的內(nèi)角力、B、C所對的邊分別為a、b、c,a=6,bsin^=asmB.

(1)求角A的大小；

(2)M為△ABC的重心，力M的延長線交BC于點(diǎn)D,且AM=2b，求△4BC的面積.

【變式8-2](2023?江西景德鎮(zhèn)?一模)如圖，已知的重心為C,△/BC三內(nèi)角N、8、C的對邊分別

為a,b

(1)求N/C8的大小；

⑵若NC4B=工，求sinNCZM的大小.

6

【變式8-3](2023?廣東佛山?模擬預(yù)測)在△ZBC中，角4民C的對邊為見b,c,c?sinZ=a?cosC,設(shè)△ABC

的面積為S,S=當(dāng)be.

4

(1)求角B的大?。?/p>

(2)若a=3,過△4BC的重心點(diǎn)G的直線/與邊a,c的交點(diǎn)分別為E,F,麗=ABE,BA=面,請計(jì)算2+〃的直

【題型9三角形的外接圓、內(nèi)切圓問題】

【例9】(2024?云南曲靖?二模)在△4BC中，角4B,C的對邊分別為a,hc,且acosC+百csinA=b+c.

(1)求角B的取值范圍；

(2)已知△4BC內(nèi)切圓的半徑等于日，求^力BC周長的取值范圍.

【變式9-1](2023?河南?模擬預(yù)測)已知△4BC的外心為。，點(diǎn)M,N分別在線段力B,AC上，且。恰為MN的

中點(diǎn).

(1)若8。=k,。4=1,求△ABC面積的最大值；

(2)證明：AM-MBAN-NC.

【變式9-2](2024?浙江?模擬預(yù)測)如圖，在平面內(nèi)的四個(gè)動(dòng)點(diǎn)力，B,C,D構(gòu)成的四邊形4BCD中，AB=1,

BC=2,CD=3,AD=4.

(1)求△力CD面積的取值范圍；

(2)若四邊形2BCD存在外接圓，求外接圓面積.

【變式9-3](2024?全國?模擬預(yù)測)已知△A8C中，角48,C的對邊分別是a,b,c,V3h-csinA=VSacosC.

(1)求角A的大小；

(2)若a=7,△ABC外接圓的半徑為R,內(nèi)切圓半徑為r,求:的最小值.

?過關(guān)測試

一、單選題

1.（2024?貴州六盤水?三模）在△ABC中，AB=2,AC=3,乙4=/則外接圓的半徑為（）

AV7c6C2小n2V2T

A.—D.C.\3.------

3333

2.（2024?新疆喀什?三模）在△ABC中，AB=2,BC=V7,^BAC=120°,D是BC邊一點(diǎn)、,AD^BAC

的角平分線，貝必。=（）

A.|B.1C.2D.V3

3.（2024?陜西?模擬預(yù)測）在△4BC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,c（sinA-sinC）=（a—b）（sinA+

sinB）,若△ABC的面積為周長為3b,則NC邊上的高為（）

A.yB.yC.V3D.2V3

4.（2024?福建福州?模擬預(yù)測）在△ABC中，角4B,C所對應(yīng)的邊分別為a,hc,點(diǎn)M為邊BC的中點(diǎn)，

若力M=4C,cos2B=cos（A+C）,則sinNBAC=（）

AV3?V6V21?2V7

A.—D.—C.U.

3377

5.（2024?山西?三模）在△ABC中，內(nèi)角4B,C所對的邊分別為a,瓦c.已知4=房+°2=24,△ABC的外

接圓半徑R=2次,￡?是邊AC的中點(diǎn)，貝UBD長為（）

A.V2+1B.2V3C.6V2D.^21

6.（2024?山東泰安?三模）在△ABC中，內(nèi)角4B,C所對的邊分別為a,b,c,且誓一。="粵￡,延長8c

sin/smA

至點(diǎn)、D,使得BC=C￡>,若4。=2舊,48=2,則。=（）

A.1B.V3C.2D.3

7.（2024?廣東廣州?模擬預(yù)測）在△ABC中，角4B、C的對邊分別為a、b、c,若c=3,b=2,ABAC

的平分線AD的長為W，則BC邊上的中線2"的長等于（）

V17?4V2「舊n4遮

AA.D.U.U.

2343

8.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知在△2BC中，角45C的對邊分別為a,hc,2sinA=acosC,c=2.若G為△ABC

的重心，貝IJG爐+GB2-GC2的最小值為（）

A12-4V2-8+4V2-4V2-2c44-2V2

A.--------B.-------C.-------D.-------

9933

二、多選題

9.(2024?廣西?二模)已知△力BC內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,6,c,。為△4BC的重心，cosA=，AO=2,則

()

A.AO^-AB+-ACB.AB-AC<3

44

C.△力BC的面積的最大值為3聲D.a的最小值為2遍

10.（2024?福建泉州?模擬預(yù)測）△力BC中，內(nèi)角/,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知a=2,AABC

的面積S=口說.萬，則以下說法正確的是（）

A.4=30°

B.△ABC的周長的最大值為6

C.若be=4,則△力BC為正三角形

D.若A8邊上的中線長等于誓，則S=K

11.（2024?云南曲靖?模擬預(yù)測）在△48C中，48=4,4C=6,4=%。為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，貝|（）

A.BC=2V7

B.當(dāng)4。為角A的角平分線時(shí)，A