2022年新教材高中數(shù)學(xué)第八章立體幾何初步63平面與平面垂直（一）練習(xí)（含解析）

平面與平面垂直(一)【基礎(chǔ)全面練】(25分鐘50分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1．若一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面分別垂直于另一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面，那么這兩個(gè)二面角()A．相等 B．互補(bǔ)C．相等或互補(bǔ) D．關(guān)系無法確定【解析】選D.如圖所示，平面EFDG⊥平面ABC，當(dāng)平面HDG繞DG轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，平面HDG始終與平面BCD垂直，所以兩個(gè)二面角的大小關(guān)系不確定，因?yàn)槎娼荋－DG－F的大小不確定．2．對于直線m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一個(gè)條件是()A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β＝m，n?αC．m∥n，n⊥β，m?αD．m∥n，m⊥α，n⊥β【解析】選C.因?yàn)閚⊥β，m∥n，所以m⊥β.因?yàn)閙?α，由面面垂直的判定定理，所以α⊥β.3．空間四邊形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，則()A．平面ABC⊥平面ADCB．平面ABC⊥平面ADBC．平面ABC⊥平面DBCD．平面ADC⊥平面DBC【解析】選D.因?yàn)锽C⊥AD，AD⊥BD，BC∩BD＝B，所以AD⊥平面BCD.因?yàn)锳D?平面ADC，所以平面ADC⊥平面DBC.4．從空間一點(diǎn)P向二面角α-l-β的兩個(gè)面α，β分別作垂線PE，PF，E，F(xiàn)為垂足，若∠EPF＝60°，則二面角α-l-β的平面角的大小是()A．60° B．120°C．60°或120° D．不確定【解析】選C.因?yàn)镻E⊥α，PF⊥β，所以P，E，F(xiàn)三點(diǎn)確定的平面垂直于α和β.過點(diǎn)E作l的垂線，垂足為O，連接OF，易知l⊥OF且P，E，O，F(xiàn)四點(diǎn)共面，則∠FOE為二面角的平面角，如圖所示．此時(shí)，∠FOE＋∠EPF＝180°，所以二面角α－l－β的平面角為120°.當(dāng)點(diǎn)P的位置如圖所示時(shí)，此時(shí)∠FOE＝∠EPF，所以二面角α－l－β的平面角為60°.二、填空題(每小題5分，共10分)5．(2021·北京高一檢測)閱讀下面題目及其證明過程，在橫線處填寫上正確結(jié)論．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，O是正方形ABCD的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中點(diǎn)，求證：平面PAC⊥平面BDE.證明：因?yàn)镻O⊥底面ABCD，所以PO⊥BD.又因?yàn)锳C⊥BD，且AC∩PO＝O，所以________．又因?yàn)锽D?平面BDE，所以平面PAC⊥平面BDE.【解析】因?yàn)镻O⊥底面ABCD，所以PO⊥BD.又因?yàn)锳C⊥BD，且AC∩PO＝O，所以BD⊥平面PAC.又因?yàn)锽D?平面BDE，所以平面PAC⊥平面BDE.答案：BD⊥平面PAC6．在三棱錐P-ABC中，PA＝PB＝AC＝BC＝2，PC＝1，AB＝2eq\r(3)，則二面角P-AB-C的大小為________．【解析】取AB中點(diǎn)M，連接PM，MC，則PM⊥AB，CM⊥AB，所以∠PMC就是二面角P-AB-C的平面角．在△PAB中，PM＝eq\r(22－（\r(3)）2)＝1，同理MC＝1，則△PMC是等邊三角形，所以∠PMC＝60°.答案：60°三、解答題(每小題10分，共20分)7．如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝eq\f(1,2)AA1，D是棱AA1的中點(diǎn)．證明：平面BDC1⊥平面BDC.【證明】由題設(shè)知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，所以BC⊥平面ACC1A1又DC1?平面ACC1A1，所以DC1由題設(shè)知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，所以∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC.又DC∩BC＝C，所以DC1⊥平面BDC.又DC1?平面BDC1，故平面BDC1⊥平面BDC.【加固訓(xùn)練】如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝CC1＝6，M是棱CC1求證：平面AB1M⊥平面ABB1A【證明】連接A1B交AB1于O，連接MO，易得O為A1B，AB1的中點(diǎn)．因?yàn)镃C1⊥平面ABC，AC?平面ABC所以CC1⊥AC.又M為CC1中點(diǎn)，AC＝CC1＝6，所以AM＝eq\r(32＋62)＝3eq\r(5).同理可得B1M＝3eq\r(5)，所以MO⊥AB1.連接MB，同理可得A1M＝BM＝3eq\r(5)，所以MO⊥A1B.又AB1∩A1B＝O，AB1，A1B?平面ABB1A1所以MO⊥平面ABB1A1又MO?平面AB1M所以平面AB1M⊥平面ABB1A8．如圖所示，在△ABC中，AB⊥BC，SA⊥平面ABC，DE垂直平分SC，且分別交AC，SC于點(diǎn)D，E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角E-BD-C的大?。窘馕觥恳?yàn)镋為SC的中點(diǎn)，且SB＝BC，所以BE⊥SC.又DE⊥SC，BE∩DE＝E，所以SC⊥平面BDE，所以BD⊥SC.又SA⊥平面ABC，可得SA⊥BD，SC∩SA＝S，所以BD⊥平面SAC，從而BD⊥AC，BD⊥DE，所以∠EDC為二面角E-BD-C的平面角．設(shè)SA＝AB＝1，在△ABC中，因?yàn)锳B⊥BC，所以SB＝BC＝eq\r(2)，AC＝eq\r(3)，所以SC＝2.在Rt△SAC中，∠DCS＝30°，所以∠EDC＝60°，即二面角E-BD-C為60°.【綜合突破練】(20分鐘40分)一、選擇題(每小題5分，共10分)1．在二面角α-l-β中，A∈α，AB⊥平面β于B，BC⊥平面α于C，若AB＝6，BC＝3，則二面角α-l-β的平面角的大小為()A．30° B．60°C．30°或150° D．60°或120°【解析】選D.如圖因?yàn)锳B⊥β，所以AB⊥l，因?yàn)锽C⊥α，所以BC⊥l，所以l⊥平面ABC，設(shè)平面ABC∩l＝D，則∠ADB為二面角α-l-β的平面角或補(bǔ)角，因?yàn)锳B＝6，BC＝3所以∠BAC＝30°所以∠ADB＝60°，所以二面角大小為60°或120°.2．(多選題)在棱長都相等的四面體P-ABC中，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點(diǎn)，則下面四個(gè)結(jié)論中成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABCD．平面PAE⊥平面ABC【解析】選ABD.可畫出對應(yīng)圖形，如圖所示，則BC∥DF，又DF?平面PDF，BC?平面PDF，所以BC∥平面PDF，故A成立；由AE⊥BC，PE⊥BC，BC∥DF，知DF⊥AE，DF⊥PE，所以DF⊥平面PAE，故B成立；又DF?平面ABC，所以平面ABC⊥平面PAE，故D成立．二、填空題(每小題5分，共10分)3．如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為正方形，SA⊥平面ABCD，AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)P是側(cè)棱SC上一動(dòng)點(diǎn)，則圖中一定與平面PBD垂直的平面是________．【解析】因?yàn)樵谒睦忮FS-ABCD中，底面ABCD為正方形，所以BD⊥AC.因?yàn)镾A⊥平面ABCD，所以SA⊥BD.因?yàn)镾A∩AC＝A，所以BD⊥平面SAC.因?yàn)锽D?平面PBD，所以平面PBD⊥平面SAC.答案：平面SAC4．將銳角A為60°，邊長為a的菱形沿BD折成60°的二面角，則折疊后A與C之間的距離為________．【解析】設(shè)折疊后點(diǎn)A到A1的位置，取BD的中點(diǎn)E，連接A1E，CE.則BD⊥CE，BD⊥A1E.于是∠A1EC為二面角A1-BD-C的平面角．故∠A1EC＝60°.因?yàn)锳1E＝CE，所以△A1EC是等邊三角形．所以A1E＝CE＝A1C＝eq\f(\r(3),2)a.答案：eq\f(\r(3),2)a三、解答題(每小題10分，共20分)5．如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1的底面是邊長為2的正方形，AA1＝4，點(diǎn)E，F(xiàn)，M，N分別為棱CC1，BC，BB1，AA1(1)求三棱錐E-AFM的體積；(2)求證：平面B1D1E⊥平面C1MN.【解析】(1)因?yàn)锳B⊥側(cè)面BCC1B1，所以AB⊥平面EFM，又因?yàn)镸，E分別為BB1，CC1的中點(diǎn)，所以四邊形MBCE為正方形，所以△MEF的面積為S△MEF＝eq\f(1,2)ME·MB＝eq\f(1,2)×2×2＝2.所以三棱錐A-EFM的體積為V三棱錐A-EFM＝eq\f(1,3)S△MEF·AB＝eq\f(1,3)×2×2＝eq\f(4,3)，所以三棱錐E-AFM的體積為eq\f(4,3).(2)長方體ABCD-A1B1C1D1中，四邊形BCC1B1因?yàn)镋、M分別為棱CC1，BB1的中點(diǎn)，且BB1＝4，B1C1所以四邊形MEC1B1是正方形，所以C1M⊥B1又N，M分別為棱AA1，BB1的中點(diǎn)，所以NM⊥平面BCC1B1，又B1E?平面BCC1B1，所以NM⊥B1E，又因?yàn)镹M∩C1M＝M，NM，C1M?平面C所以B1E⊥平面C1MN，又B1E?平面B1D1E，所以平面B1D1E⊥平面C1MN.6．如圖，在三棱臺DEF-ABC中，AB＝2DE，G，H分別為AC，BC的中點(diǎn)．(1)求證：BD∥平面FGH；(2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求證：平面BCD⊥平面EGH.【證明】(1)如圖所示，連接DG，設(shè)CD∩GF＝M，連接MH.在三棱臺DEF-ABC中，AB＝2DE，所以AC＝2DF.因?yàn)镚是AC的中點(diǎn)，所以DF∥GC，且DF＝GC，所以四邊形CFDG是平行四邊形，所以DM＝MC.因?yàn)锽H＝HC