滬科版七年級數(shù)學(xué)上冊期末復(fù)習(xí)考點(diǎn)清單 專題04 二元一次方程組（3個(gè)考點(diǎn)清單+7種題型解讀）

專題3二元一次方程組（3個(gè)考點(diǎn)清單+7種題型解讀）目錄TOC\o"1-3"\h\u【考點(diǎn)題型一】二元一次方程（組）的概念 2【考點(diǎn)題型二】二元一次方程（組）的解 4【考點(diǎn)題型三】解二元一次方程組 6【考點(diǎn)題型四】二元一次方程組-同解問題 13【考點(diǎn)題型五】二元一次方程組-錯(cuò)解復(fù)原問題 17【考點(diǎn)題型六】二元一次方程組應(yīng)用古代問題 22【考點(diǎn)題型七】二元一次方程組應(yīng)用幾何問題 26【知識點(diǎn)01】二元一次方程（組）定義1.二元一次方程組定義含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程，叫做二元一次方程．2.二元一次方程組定義方程組中含有兩個(gè)未知數(shù)，含有每個(gè)未知數(shù)的項(xiàng)得次數(shù)都是1，并且一共有兩個(gè)方程，像這樣的方程組叫做二元一次方程組．如：把x+y=2和x-y=0合在一起寫成，3.二元一次方程（組）的解（1）使二元一次方程兩邊的值相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解．（2）二元一次方程組中兩個(gè)方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.【知識點(diǎn)02】解二元一次方程組（1）消元思想二元一次方程組中有兩個(gè)未知數(shù)，如果消去其中一個(gè)未知數(shù)，那么就把二元一次方程組轉(zhuǎn)化為我們熟悉的一元一次方程，我們可以先求出一個(gè)未知數(shù)，然后再求另一個(gè)未知數(shù)．像這種將未知數(shù)的個(gè)數(shù)由多化少、逐一解決的思想，叫做消元思想．（2）代入消元法把二元一次方程組中一個(gè)方程的一個(gè)未知數(shù)用含另一個(gè)未知數(shù)的式子表示出來，再代入另一個(gè)方程，實(shí)現(xiàn)消元，進(jìn)而求得這個(gè)二元一次方程組的解．這種方法叫做代入消元法，簡稱代入法．（3）加減消元法當(dāng)二元一次方程組的兩個(gè)方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時(shí)，把這兩個(gè)方程的兩邊分別相加或相減，就能消去這個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程．這種方法叫做加減消元法，簡稱加減法.【知識點(diǎn)03】二元一次方程（組）應(yīng)用的一．解題步驟步驟1．審題：透徹理解題意，弄清問題中的已知量和未知量，找出問題給出和涉及的相等關(guān)系；2．設(shè)元（未知數(shù)）：根據(jù)題意，可以直接設(shè)未知數(shù)，也可以間接設(shè)未知數(shù)；3．列代數(shù)式和方程組：用含所設(shè)未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知數(shù)，根據(jù)題中給出的等量關(guān)系列出方程組，一般情況下，未知數(shù)個(gè)數(shù)與方程個(gè)數(shù)是相同的；4．解方程組；5．檢驗(yàn)：檢驗(yàn)方程的根是否符合題意；6．作答：檢驗(yàn)后作出符合題目要求的答案．二、基本公式單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)利潤=實(shí)際售價(jià)-成本實(shí)際售價(jià)=標(biāo)價(jià)（原價(jià)）×折扣利潤率=×100【考點(diǎn)題型一】二元一次方程（組）的概念【例1】（23-24七年級下·黑龍江哈爾濱·期末）下列方程中是二元一次方程的為（

）A． B． C． D．【變式1-1】（23-24八年級上·寧夏銀川·期末）下列各式中屬于二元一次方程的有（

）①；②；③；④；⑤；⑥．A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【變式1-2】（23-24七年級下·云南德宏·期末）下列方程組中是二元一次方程組的是（

）A．B．C．D．【變式1-3】（23-24七年級下·河南鄭州·期末）下列方程組中，二元一次方程組有（

）①；②；③；④．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【考點(diǎn)題型二】二元一次方程（組）的解【例2】（23-24七年級下·河南周口·期末）解為的方程組可以是（

）A． B． C． D．【變式2-1】（23-24七年級下·全國·期末）寫出二元一次方程的一個(gè)正整數(shù)解．【變式2-2】（23-24七年級下·全國·期末）已知是方程的一個(gè)解，那么k的值是．【變式2-3】（23-24七年級上·云南紅河·期末）若是關(guān)于，的二元一次方程的解，則的值為．【變式2-4】（23-24七年級下·全國·期末）已知是關(guān)于，的方程的一組解，則．【考點(diǎn)題型三】解二元一次方程組【例3】（24-25八年級上·全國·期末）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠探M：(1)；(2)．【變式3-1】（23-24七年級下·全國·期末）解方程組：(1)；(2)．【變式3-2】（23-24七年級下·全國·期末）解方程組：(1)；(2)．【變式3-3】（23-24七年級下·全國·期末）解下列方程組：(1)(2)【變式3-4】（23-24七年級下·全國·期末）（1）用代入法解方程組；（2）用加減法解方程組．【變式3-5】（23-24七年級下·全國·期末）解下列方程組：(1)(2)【變式3-6】（23-24七年級下·山東濟(jì)寧·期末）（1）解方程組：（2）解方程組：【考點(diǎn)題型四】二元一次方程組-同解問題【例4】（23-24七年級下·新疆喀什·期末）已知方程組和的解相同，則．【變式4-1】（23-24七年級下·重慶萬州·期末）若關(guān)于x，y的方程組和的解相同，則．【變式4-2】（23-24七年級下·全國·期末）已知關(guān)于x，y的二元一次方程組和的解相同，則．【變式4-3】（23-24七年級下·河南許昌·期末）若關(guān)于的二元一次方程組和的解相同，則．【變式4-4】（23-24七年級下·江蘇南通·期中）已知關(guān)于x，y的方程組和的解相同，則的值為．【考點(diǎn)題型五】二元一次方程組-錯(cuò)解復(fù)原問題【例5】（23-24七年級下·山西臨汾·期末）下面是小華同學(xué)解方程組的過程，請你觀察計(jì)算過程，回答下面問題．解得：得：③……（1）得：……（2）將代入②得：……（3）所以該方程的解是……（4）(1)以上過程有兩處關(guān)鍵性錯(cuò)誤，第一次出錯(cuò)在______步（填序號），第二次出錯(cuò)在______步（填序號）；(2)請你幫小華同學(xué)寫出正確的解題過程．【變式5-1】（23-24七年級下·廣西南寧·期末）下面是數(shù)學(xué)課上小穎同學(xué)上黑板解課本第96頁練習(xí)1（2）方程組的過程，老師為了方便與同學(xué)們一起講評在旁邊標(biāo)注了步驟，請認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．解：由①×3得③

第一步由②×5得④

第二步③-④得

第三步

第四步把代入①得，

第五步∴原方程組的解為

第六步(1)小穎用______消元法解方程組；（填“代入”或“加減”）；(2)小穎的解題從第______步出現(xiàn)了錯(cuò)誤；(3)請直接寫出該方程組的解．【變式5-2】（23-24八年級上·山西忻州·期末）下面是淇淇同學(xué)解二元一次方程組的過程，請認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．解方程組:解：由①，得③…..第一步③-②，得，……第二步將代入①，解得，…...第三步所以，原方程組的解為，……第四步(1)這種求解二元一次方程組的方法叫做_________法；以上求解步驟中，第一步的依據(jù)是__________．(2)第_______步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，具體錯(cuò)誤是___________．(3)直接寫出該方程組的正確解：____________．【變式5-3】（22-23七年級下·浙江臺州·期末）小明解二元一次方程組的過程如下：解：第1步：①兩邊同乘以2，得，③（______）第2步：③－②，得，（______）第3步：．第4步：把代入①，得，．第5步：所以原方程組的解是(1)請?jiān)谛∶鹘夥ǖ那皟刹胶竺娴睦ㄌ杻?nèi)填上方程變形的依據(jù)．(2)小明解方程組的結(jié)果正確嗎？如果你認(rèn)為正確，請代入原方程組檢驗(yàn)；如果你認(rèn)為不正確，請指出他解題過程中最早在哪一步出現(xiàn)錯(cuò)誤，并求出該方程組的正確解．【變式5-4】（23-24八年級上·寧夏銀川·期末）下面是小馬同學(xué)解二元一次方程組的過程，請認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．解方程組：解：①得③………………第一步②③得……………第二步……………第三步將代入①得………………第四步所以，原方程組的解為……………第五步(1)上述材料中小馬同學(xué)解二元一次方程組的數(shù)學(xué)方法是（填序號即可）；A．公式法

B．換元法

C．代入消元法

D．加減消元法(2)上述材料中第二步和第四步的基本思想是“消元”，即把“二元”變?yōu)椤耙辉?，在此過程中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是（填序號即可）；A．轉(zhuǎn)化思想

B．類比思想

C．分類討論

D．?dāng)?shù)形結(jié)合(3)第步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，請你直接寫出原方程組的解．【考點(diǎn)題型六】二元一次方程組應(yīng)用古代問題【例6】（23-24八年級上·山西運(yùn)城·期末）程大位是我國明朝商人，珠算發(fā)明家，他60歲時(shí)完成的《直指算法統(tǒng)宗》是東方古代數(shù)學(xué)名著，詳述了傳統(tǒng)的珠算規(guī)則，確立了算盤用法，書中有如下問題：一百饅頭一百僧，大僧三個(gè)更無爭，小僧三人分一個(gè)，大小和尚得幾丁，意思是：有100個(gè)和尚分100個(gè)饅頭，如果大和尚1人分3個(gè)，小和尚3人分1個(gè)，正好分完，大、小和尚各有多少人？請你解決這個(gè)問題．

【變式6-1】（23-24七年級上·陜西西安·期末）《孫子算經(jīng)》中有一道題，原文是：今有四人共車，一車空；三人共車，九人步，問人與車各幾何？譯文為：今有若干人乘車，每4人共乘一車，最終剩余1輛車；若每3人共乘一車，最終剩余9個(gè)人無車可乘，問共有多少人，多少輛車？【變式6-2】（22-23七年級上·云南昆明·期末）中國16至17世紀(jì)數(shù)學(xué)領(lǐng)域集大成的著作《算法統(tǒng)宗》，詳述了傳統(tǒng)的珠算規(guī)則，確立了算盤用法，完善了珠算口訣，搜集了古代流傳的595道應(yīng)用題的數(shù)字計(jì)算．其中有這樣一道題：“一百饅頭一百僧，大僧三個(gè)更無爭，小僧三人分一個(gè)，大小和尚各幾??？”意思是：有100個(gè)和尚分100個(gè)饅頭，如果大和尚1人分3個(gè)，小和尚3人分1個(gè)，正好分完．試問大、小和尚各多少人？【變式6-3】（23-24八年級上·山東青島·期末）解方程(1)(2)“方程”二字最早見于我國《九章算術(shù)》這部經(jīng)典著作中，該書的第八章名為“方程”．如：，從左到右列出的算籌數(shù)分別表示方程中未知數(shù)的系數(shù)與相應(yīng)的常數(shù)項(xiàng)，即可表示方程，以此方式，表示的方程是______；請將這兩個(gè)方程聯(lián)立成方程組，并求出這個(gè)方程組的解．【變式6-4】（23-24七年級下·吉林松原·期中）我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》記載：“今有牛五、羊二，直金十九兩；牛二、羊五，直金十六兩．問牛、羊各直金幾何？”譯文：“假設(shè)有5頭牛、2只羊，值19兩銀子；2頭牛、5只羊，值16兩銀子，問每頭牛、每只羊分別值銀子多少兩？”根據(jù)以上譯文，提出以下兩個(gè)問題：(1)求每頭牛、每只羊各值多少兩銀子？(2)若某商人準(zhǔn)備用11兩銀子買牛和羊（要求既有牛也有羊，且銀兩須全部用完），請你為商人列出所有可能的購買方法．【考點(diǎn)題型七】二元一次方程組應(yīng)用幾何問題【例7】（23-24七年級上·遼寧沈陽·期末）在長方形中，放入5個(gè)形狀大小相同的小長方形（空白部分），其中，求陰影部分圖形的總面積．【變式7-1】（23-24七年級下·甘肅隴南·期末）某學(xué)校開發(fā)一塊試驗(yàn)田作為勞動教育實(shí)踐基地，通過初步設(shè)計(jì)，由大小形狀完全相同的8塊小長方形試驗(yàn)田組成，如圖所示，經(jīng)測量，該實(shí)踐基地的寬為60米．(1)求小長方形的長和寬；(2)求該實(shí)踐基地的面積．【變式7-2】（23-24七年級下·吉林白山·期末）如圖，在長為，寬為的長方形展廳劃出三個(gè)形狀、大小完全相同的小長方形擺放水仙花，其示意圖如圖所示．求小長方形的長和寬．【變式7-3】（23-24六年級下·上?！て谀?塊相同的小長方形放入一個(gè)大長方形中（無重疊），僅形成兩塊空隙（用陰影表示的部分），數(shù)據(jù)如圖所示，且左邊陰影部分的周長比右邊陰影部分的周長大4，求：小長方形的長和寬各是多少？【變式7-4】（23-24七年級下·廣西貴港·期末）用如圖（1）中的長方形和正方形紙板做側(cè)面和底面，做成如圖（2）的橫式和豎式兩種無蓋紙盒．(1)做一個(gè)橫式無蓋紙盒需要______張長方形紙板和_____張正方形紙板．(2)若倉庫里有300張長方形紙板和100張正方形紙板，若兩種紙板恰好用完，問兩種紙盒各做幾個(gè)？(3)若倉庫里有張長方形紙板和張正方形紙板，要使兩種紙板恰好用完，則應(yīng)滿足什么條件，請說明理由．

專題3二元一次方程組（3個(gè)考點(diǎn)清單+7種題型解讀）目錄TOC\o"1-3"\h\u【考點(diǎn)題型一】二元一次方程（組）的概念 2【考點(diǎn)題型二】二元一次方程（組）的解 4【考點(diǎn)題型三】解二元一次方程組 6【考點(diǎn)題型四】二元一次方程組-同解問題 13【考點(diǎn)題型五】二元一次方程組-錯(cuò)解復(fù)原問題 17【考點(diǎn)題型六】二元一次方程組應(yīng)用古代問題 22【考點(diǎn)題型七】二元一次方程組應(yīng)用幾何問題 26【知識點(diǎn)01】二元一次方程（組）定義1.二元一次方程組定義含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程，叫做二元一次方程．2.二元一次方程組定義方程組中含有兩個(gè)未知數(shù)，含有每個(gè)未知數(shù)的項(xiàng)得次數(shù)都是1，并且一共有兩個(gè)方程，像這樣的方程組叫做二元一次方程組．如：把x+y=2和x-y=0合在一起寫成，3.二元一次方程（組）的解（1）使二元一次方程兩邊的值相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解．（2）二元一次方程組中兩個(gè)方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.【知識點(diǎn)02】解二元一次方程組（1）消元思想二元一次方程組中有兩個(gè)未知數(shù)，如果消去其中一個(gè)未知數(shù)，那么就把二元一次方程組轉(zhuǎn)化為我們熟悉的一元一次方程，我們可以先求出一個(gè)未知數(shù)，然后再求另一個(gè)未知數(shù)．像這種將未知數(shù)的個(gè)數(shù)由多化少、逐一解決的思想，叫做消元思想．（2）代入消元法把二元一次方程組中一個(gè)方程的一個(gè)未知數(shù)用含另一個(gè)未知數(shù)的式子表示出來，再代入另一個(gè)方程，實(shí)現(xiàn)消元，進(jìn)而求得這個(gè)二元一次方程組的解．這種方法叫做代入消元法，簡稱代入法．（3）加減消元法當(dāng)二元一次方程組的兩個(gè)方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時(shí)，把這兩個(gè)方程的兩邊分別相加或相減，就能消去這個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程．這種方法叫做加減消元法，簡稱加減法.【知識點(diǎn)03】二元一次方程（組）應(yīng)用的一．解題步驟步驟1．審題：透徹理解題意，弄清問題中的已知量和未知量，找出問題給出和涉及的相等關(guān)系；2．設(shè)元（未知數(shù)）：根據(jù)題意，可以直接設(shè)未知數(shù)，也可以間接設(shè)未知數(shù)；3．列代數(shù)式和方程組：用含所設(shè)未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知數(shù)，根據(jù)題中給出的等量關(guān)系列出方程組，一般情況下，未知數(shù)個(gè)數(shù)與方程個(gè)數(shù)是相同的；4．解方程組；5．檢驗(yàn)：檢驗(yàn)方程的根是否符合題意；6．作答：檢驗(yàn)后作出符合題目要求的答案．二、基本公式單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)利潤=實(shí)際售價(jià)-成本實(shí)際售價(jià)=標(biāo)價(jià)（原價(jià)）×折扣利潤率=×100【考點(diǎn)題型一】二元一次方程（組）的概念【例1】（23-24七年級下·黑龍江哈爾濱·期末）下列方程中是二元一次方程的為（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點(diǎn)】二元一次方程的定義【分析】本題考查了二元一次方程的定義，方程的兩邊都是整式，含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1次的方程叫做二元一次方程．根據(jù)二元一次方程的定義逐項(xiàng)分析判斷，即可解題．【詳解】解：A、只有一個(gè)未知數(shù)，不是二元一次方程，不符合題意；B、，有兩個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)次數(shù)為，是二元一次方程，符合題意；C、，分母含未知數(shù)，不是二元一次方程，不符合題意；D、，只有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)次數(shù)為，不是二元一次方程，不符合題意；故選：B．【變式1-1】（23-24八年級上·寧夏銀川·期末）下列各式中屬于二元一次方程的有（

）①；②；③；④；⑤；⑥．A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】A【知識點(diǎn)】二元一次方程的定義【分析】本題考查了二元一次方程的概念：含有兩個(gè)未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程叫做二元一次方程．根據(jù)此概念進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：根據(jù)二元一次方程的概念知，①③兩個(gè)方程是二元一次方程；②是一元一次方程；④中項(xiàng)的次數(shù)是二次，不是一次，不是二元一次方程；⑤中左邊不是整式，故不是二元一次方程；綜上所述，是二元一次方程的有兩個(gè)；故選：A．【變式1-2】（23-24七年級下·云南德宏·期末）下列方程組中是二元一次方程組的是（

）A．B．C．D．【答案】C【知識點(diǎn)】判斷是否是二元一次方程組【分析】此題考查的是二元一次方程組的判斷，掌握二元一次方程組的定義是解決此題的關(guān)鍵．根據(jù)二元一次方程組的定義逐一判斷即可．【詳解】解：A．是三元一次方程組，故A不符合題意；B．是二元二次方程組，故B不符合題意；C．是二元一次方程組，故C符合題意；D．是分式方程組，故D不符合題意．故選：C．【變式1-3】（23-24七年級下·河南鄭州·期末）下列方程組中，二元一次方程組有（

）①；②；③；④．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【知識點(diǎn)】判斷是否是二元一次方程組【分析】本題考查了二元一次方程組的定義，組成二元一次方程組的兩個(gè)方程應(yīng)共含有兩個(gè)相同的未知數(shù)，且未知數(shù)的項(xiàng)最高次數(shù)都應(yīng)是一次的整式方程．【詳解】解：②中含有三個(gè)未知數(shù)，④未知數(shù)的最高次數(shù)是2，都不符合二元一次方程組定義，①③符合二元一次方程組的定義，屬于二元一次方程組，共兩個(gè)；故選B．【考點(diǎn)題型二】二元一次方程（組）的解【例2】（23-24七年級下·河南周口·期末）解為的方程組可以是（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點(diǎn)】判斷是否是二元一次方程組的解【分析】本題考查了二元一次方程組的解，將代入各選項(xiàng)進(jìn)行排除即可，正確理解二元一次方程組的解得定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：、將代入可知，，不符合題意；、將代入可知，，不符合題意；、將代入可知，，符合題意；、將代入可知，，不符合題意；故選：．【變式2-1】（23-24七年級下·全國·期末）寫出二元一次方程的一個(gè)正整數(shù)解．【答案】（答案不唯一）【知識點(diǎn)】二元一次方程的解【分析】本題考查了二元一次方程的解，采用“給一個(gè)，求一個(gè)”的方法進(jìn)行枚舉，利用枚舉法進(jìn)行求正整數(shù)解是解題的關(guān)鍵．由，可得出，再進(jìn)行枚舉即可．【詳解】解：∵，∴，當(dāng)時(shí)，，∴是方程的一組正整數(shù)解；故答案為：（答案不唯一）．【變式2-2】（23-24七年級下·全國·期末）已知是方程的一個(gè)解，那么k的值是．【答案】1【知識點(diǎn)】二元一次方程的解【分析】本題考查二元一次方程的解，把代入方程進(jìn)行求解即可．【詳解】解：把代入，得：，∴；故答案為：1．【變式2-3】（23-24七年級上·云南紅河·期末）若是關(guān)于，的二元一次方程的解，則的值為．【答案】5【知識點(diǎn)】二元一次方程的解、解一元一次方程（一）——合并同類項(xiàng)與移項(xiàng)【分析】本題考查二元一次方程的解，解一元一次方程，正確掌握代入法是解題的關(guān)鍵．把代入，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：把代入，得：解得：故答案為：5．【變式2-4】（23-24七年級下·全國·期末）已知是關(guān)于，的方程的一組解，則．【答案】【知識點(diǎn)】二元一次方程的解、已知式子的值，求代數(shù)式的值【分析】本題考查了二元一次方程的解以及代數(shù)式的求值．根據(jù)二元一次方程的解的定義得到，再整體代入求解即可．【詳解】解：∵是關(guān)于的方程的一個(gè)解，∴，∴．故答案為：．【考點(diǎn)題型三】解二元一次方程組【例3】（24-25八年級上·全國·期末）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠探M：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【知識點(diǎn)】加減消元法【分析】此題考查了二元一次方程組的解法．（1）利用①+②，得，解得，把代入①，得，解得，即可得到答案；（2）方程組可化為，利用再利用加減法解方程組即可．【詳解】（1）解：①+②，得，解得，把代入①，得，解得，所以方程組的解是；（2）方程組可化為，②×2，得③，①+③，得，解得，把代入②，得解得，所以原方程組的解是．【變式3-1】（23-24七年級下·全國·期末）解方程組：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【知識點(diǎn)】加減消元法、代入消元法【分析】本題考查解二元一次方程組，正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵：（1）利用加減消元法求解即可；（2）利用加減代入消元法求解即可．【詳解】（1）解：，得，解得將代入，得，解得故原方程組的解為（2）解：可得，將整體代入，可得，解得，將代入可得，解得，所以原方程組的解為【變式3-2】（23-24七年級下·全國·期末）解方程組：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【知識點(diǎn)】加減消元法【分析】本題主要考查了解二元一次方程組，熟練掌握解二元一次方程組的方法，是解題的關(guān)鍵．（1）用加減消元法解二元一次方程組即可；（2）先去分母，將原方程組變?yōu)?，然后用加減消元法解二元一次方程組即可．【詳解】（1）解：，得：，解得：，把代入①得：，解得：，∴原方程組的解為；（2）解：，原方程組可變?yōu)椋?，得：，解得：，把代入①得：，解得：，∴原方程組的解為：．【變式3-3】（23-24七年級下·全國·期末）解下列方程組：(1)(2)【答案】(1)(2)【知識點(diǎn)】加減消元法【分析】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，解題的關(guān)鍵是利用代入消元法或加減消元法消去一個(gè)未知數(shù)．（1）方程組利用加減消元法求解即可；（2）方程組利用加減消元法求解即可．【詳解】（1）得：解得將代入①得：解得，∴方程組的解為：；（2）得：解得將代入①得：解得，∴方程組的解為：．【變式3-4】（23-24七年級下·全國·期末）（1）用代入法解方程組；（2）用加減法解方程組．【答案】（1）；（2）．【知識點(diǎn)】代入消元法、加減消元法【分析】本題主要考查了解二元一次方程組：（1）利用代入消元法解方程組即可；（2）利用加減消元法解方程組即可．【詳解】解：（1）由①，可得：，把③代入②得：，解得，把代入①得：，∴原方程組的解是．（2）由，可得：，解得，把代入①得：，解得，∴原方程組的解是．【變式3-5】（23-24七年級下·全國·期末）解下列方程組：(1)(2)【答案】(1)(2)【知識點(diǎn)】代入消元法、加減消元法【分析】本題考查了二元一次方程組的求解，掌握消元法是解題關(guān)鍵．（1）①+②解得；把代入①即可求解；（2）原方程組可化為，①+②解得，把代入①即可求解；【詳解】（1）解：①+②，得，解得把代入①，得，解得，所以原方程組的解為；（2）解：原方程組可化為①+②得，解得把代入①得則原方程組的解為【變式3-6】（23-24七年級下·山東濟(jì)寧·期末）（1）解方程組：（2）解方程組：【答案】（1）；（2）【知識點(diǎn)】加減消元法【分析】本題主要考查了解一元二次方程：（1）利用加減消元法解方程組即可；（2）先整理原方程組，再利用加減消元法解方程組即可．【詳解】解：（1）得：，解得，把代入①得：，解得，∴原方程組的解為；（2）整理得：，得：，解得，把代入①得：，解得，∴原方程組的解為．【考點(diǎn)題型四】二元一次方程組-同解問題【例4】（23-24七年級下·新疆喀什·期末）已知方程組和的解相同，則．【答案】3【知識點(diǎn)】方程組相同解問題【分析】根據(jù)題意，兩個(gè)方程組解相同，則可將和聯(lián)立，解出x和y的值，再將x和y的值代入求出m和n的值，隨后即可求出的值．【詳解】解：將和聯(lián)立得：，解得，∴，故答案為：3．【變式4-1】（23-24七年級下·重慶萬州·期末）若關(guān)于x，y的方程組和的解相同，則．【答案】16【知識點(diǎn)】方程組相同解問題【分析】本題主要考查了二元一次方程組的解，掌握二元一次方程組的解一定能使方程左右相等是解題的關(guān)鍵；首先把和組成方程組求得x、y的值，再把x、y的值代入，可得關(guān)于a、b的方程組，求值然后再次代入進(jìn)而完成解答．【詳解】解：解方程組，解得．將代入方程得，解得：，．故答案為：16．【變式4-2】（23-24七年級下·全國·期末）已知關(guān)于x，y的二元一次方程組和的解相同，則．【答案】【知識點(diǎn)】加減消元法【分析】本題主要考查了解二元一次方程組，先分別解兩個(gè)方程組得到，，再根據(jù)兩個(gè)方程組的解相同得到，解方程組求出m、n的值即可得到答案．【詳解】解：解方程組得，解方程組得，∵關(guān)于x，y的二元一次方程組和的解相同，∴，解得，∴，故答案為：．【變式4-3】（23-24七年級下·河南許昌·期末）若關(guān)于的二元一次方程組和的解相同，則．【答案】【知識點(diǎn)】方程組相同解問題、二元一次方程的解【分析】本題考查了二元一次方程組的解、解二元一次方程組等知識點(diǎn)，聯(lián)立兩個(gè)已知的方程求出x和y的值是解題的關(guān)鍵．先聯(lián)立，求出x和y的值，代入，求出a和b的值,最后代入計(jì)算即可．【詳解】解：∵關(guān)于的二元一次方程組和的解相同，∴聯(lián)立，解得：，將代入得，解得：，∴．故答案為．【變式4-4】（23-24七年級下·江蘇南通·期中）已知關(guān)于x，y的方程組和的解相同，則的值為．【答案】1【知識點(diǎn)】方程組相同解問題【分析】本題考查的是同解方程組，二元一次方程組的解法，利用同解的含義重組方程組是解題的關(guān)鍵．把方程組中的兩個(gè)已知方程組合可得，解方程組可得：，再代入另外兩個(gè)方程，求解從而可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意得：①②：把代入①：把代入得解得：；故答案為：【考點(diǎn)題型五】二元一次方程組-錯(cuò)解復(fù)原問題【例5】（23-24七年級下·山西臨汾·期末）下面是小華同學(xué)解方程組的過程，請你觀察計(jì)算過程，回答下面問題．解得：得：③……（1）得：……（2）將代入②得：……（3）所以該方程的解是……（4）(1)以上過程有兩處關(guān)鍵性錯(cuò)誤，第一次出錯(cuò)在______步（填序號），第二次出錯(cuò)在______步（填序號）；(2)請你幫小華同學(xué)寫出正確的解題過程．【答案】(1)（1），（2）(2)【知識點(diǎn)】加減消元法【分析】本題考查解二元一次方程組：（1）第（1）步未乘以2，第（2）步，等式右邊計(jì)算錯(cuò)誤；（2）加減消元法解方程組即可．【詳解】（1）解：第（1）步未乘以2，第（2）步，等式右邊計(jì)算錯(cuò)誤；故答案為：（1），（2）；（2）解：得：③得：，解得：；將代入②得：；所以該方程組的解是．【變式5-1】（23-24七年級下·廣西南寧·期末）下面是數(shù)學(xué)課上小穎同學(xué)上黑板解課本第96頁練習(xí)1（2）方程組的過程，老師為了方便與同學(xué)們一起講評在旁邊標(biāo)注了步驟，請認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．解：由①×3得③

第一步由②×5得④

第二步③-④得

第三步

第四步把代入①得，

第五步∴原方程組的解為

第六步(1)小穎用______消元法解方程組；（填“代入”或“加減”）；(2)小穎的解題從第______步出現(xiàn)了錯(cuò)誤；(3)請直接寫出該方程組的解．【答案】(1)加減(2)二(3)【知識點(diǎn)】加減消元法【分析】本題主要考查了加減消元法解二元一次方程組．（1）根據(jù)解方程組的過程即可得出答案．（2）根據(jù)解方程組的過程即可得出答案．（3）按照加減消元法解二元一次方程組即可．【詳解】（1）解：由③④得可得出小穎用加減消元法解方程組，故答案為：加減．（2）解：∵第二步?jīng)]有做到每一項(xiàng)都乘以5，∴小穎的解題從第二步出現(xiàn)了錯(cuò)誤，故答案為：二．（3）解：解：由①×3得③由②得④③④得解得：把代入①得，，解得：．∴原方程組的解為【變式5-2】（23-24八年級上·山西忻州·期末）下面是淇淇同學(xué)解二元一次方程組的過程，請認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．解方程組:解：由①，得③…..第一步③-②，得，……第二步將代入①，解得，…...第三步所以，原方程組的解為，……第四步(1)這種求解二元一次方程組的方法叫做_________法；以上求解步驟中，第一步的依據(jù)是__________．(2)第_______步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，具體錯(cuò)誤是___________．(3)直接寫出該方程組的正確解：____________．【答案】(1)加減消元；等式的基本性質(zhì)(2)一，等式右邊沒有乘3(3)【知識點(diǎn)】加減消元法【分析】此題考查了解二元一次方程組，掌握代入消元法與加減消元法是關(guān)鍵．（1）根據(jù)加減消元法，解二元一次方程組的步驟進(jìn)行解答；（2）根據(jù)加減消元法判斷即可；（3）根據(jù)加減消元法，解二元一次方程組求解．【詳解】（1）這種求解二元一次方程組的方法叫做加減消元法；以上求解步驟中，第一步的依據(jù)是等式的基本性質(zhì)；故答案為：加減消元；等式的基本性質(zhì)（2）第一步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，具體錯(cuò)誤是等式右邊沒有乘3，故答案為：一，等式右邊沒有乘以3；（3）解方程組:解：由①，得③③②，得，將代入①，解得，所以，原方程組的解為，故答案為：．【變式5-3】（22-23七年級下·浙江臺州·期末）小明解二元一次方程組的過程如下：解：第1步：①兩邊同乘以2，得，③（______）第2步：③－②，得，（______）第3步：．第4步：把代入①，得，．第5步：所以原方程組的解是(1)請?jiān)谛∶鹘夥ǖ那皟刹胶竺娴睦ㄌ杻?nèi)填上方程變形的依據(jù)．(2)小明解方程組的結(jié)果正確嗎？如果你認(rèn)為正確，請代入原方程組檢驗(yàn)；如果你認(rèn)為不正確，請指出他解題過程中最早在哪一步出現(xiàn)錯(cuò)誤，并求出該方程組的正確解．【答案】(1)等式性質(zhì)2，等式性質(zhì)1(2)不正確，第②步錯(cuò)誤，見解析【知識點(diǎn)】加減消元法【分析】（1）根據(jù)等式性質(zhì)即可得出答案；（2）根據(jù)加減消元法解方程組的步驟進(jìn)行判斷即可．【詳解】（1）解：①兩邊同乘以2，得，③，該步驟利用的是等式性質(zhì)2；，得，該步驟利用的是等式性質(zhì)1；故答案為：等式性質(zhì)2；等式性質(zhì)1；（2）錯(cuò)誤，他解題過程中最早在第2步出現(xiàn)錯(cuò)誤，正確步驟如下：兩邊同乘以2，得：③，得：，解得：，將代入①得：，解得：，故原方程組的解為．【點(diǎn)睛】本題考查加減消元法解二元一次方程組，熟練掌握解方程組的方法是解題的關(guān)鍵．【變式5-4】（23-24八年級上·寧夏銀川·期末）下面是小馬同學(xué)解二元一次方程組的過程，請認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．解方程組：解：①得③………………第一步②③得……………第二步……………第三步將代入①得………………第四步所以，原方程組的解為……………第五步(1)上述材料中小馬同學(xué)解二元一次方程組的數(shù)學(xué)方法是（填序號即可）；A．公式法

B．換元法

C．代入消元法

D．加減消元法(2)上述材料中第二步和第四步的基本思想是“消元”，即把“二元”變?yōu)椤耙辉?，在此過程中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是（填序號即可）；A．轉(zhuǎn)化思想

B．類比思想

C．分類討論

D．?dāng)?shù)形結(jié)合(3)第步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，請你直接寫出原方程組的解．【答案】(1)D(2)A(3)二，【知識點(diǎn)】加減消元法【分析】本題考查了數(shù)學(xué)常識和解二元一次方程組，理解數(shù)學(xué)常識是解題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)解二元一次方程組的基本方法求解；（2）將“二元”轉(zhuǎn)化為“一元”是轉(zhuǎn)化思想；（3）利用加減消元法解方程．【詳解】（1）解：小馬同學(xué)解二元一次方程組的數(shù)學(xué)方法是加減消元法，故選：D；（2）解：第二步和第四步的基本思想是“消元”，即把“二元”變?yōu)椤耙辉保诖诉^程中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是：轉(zhuǎn)換思想，故選為：A；（3）解：從第二步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，解方程組：解：①得③②③得將代入①得所以，原方程組的解為故答案為：二，．【考點(diǎn)題型六】二元一次方程組應(yīng)用古代問題【例6】（23-24八年級上·山西運(yùn)城·期末）程大位是我國明朝商人，珠算發(fā)明家，他60歲時(shí)完成的《直指算法統(tǒng)宗》是東方古代數(shù)學(xué)名著，詳述了傳統(tǒng)的珠算規(guī)則，確立了算盤用法，書中有如下問題：一百饅頭一百僧，大僧三個(gè)更無爭，小僧三人分一個(gè)，大小和尚得幾丁，意思是：有100個(gè)和尚分100個(gè)饅頭，如果大和尚1人分3個(gè)，小和尚3人分1個(gè)，正好分完，大、小和尚各有多少人？請你解決這個(gè)問題．

【答案】小和尚有75人，大和尚有25人【知識點(diǎn)】古代問題(二元一次方程組的應(yīng)用)【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．設(shè)小和尚有x人，大和尚有y人，由題意：有100個(gè)和尚分100個(gè)饅頭，如果大和尚1人分3個(gè)，小和尚3人分1個(gè)，正好分完，列出方程組，解方程組即可．【詳解】解：設(shè)小和尚有x人，大和尚有y人，依題意，得：，解得：，答：小和尚有75人，大和尚有25人．【變式6-1】（23-24七年級上·陜西西安·期末）《孫子算經(jīng)》中有一道題，原文是：今有四人共車，一車空；三人共車，九人步，問人與車各幾何？譯文為：今有若干人乘車，每4人共乘一車，最終剩余1輛車；若每3人共乘一車，最終剩余9個(gè)人無車可乘，問共有多少人，多少輛車？【答案】共有48人，13輛車【知識點(diǎn)】古代問題(二元一次方程組的應(yīng)用)【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵；設(shè)共有x人，y輛車，根據(jù)“每4人共乘一車，最終剩余1輛車；若每3人共乘一車，最終剩余9個(gè)人無車可乘”即可得到關(guān)于x、y二元一次方程組，解方程組即可．【詳解】解：設(shè)共有x人，y輛車，根據(jù)題意得：解得：共有48人，13輛車．【變式6-2】（22-23七年級上·云南昆明·期末）中國16至17世紀(jì)數(shù)學(xué)領(lǐng)域集大成的著作《算法統(tǒng)宗》，詳述了傳統(tǒng)的珠算規(guī)則，確立了算盤用法，完善了珠算口訣，搜集了古代流傳的595道應(yīng)用題的數(shù)字計(jì)算．其中有這樣一道題：“一百饅頭一百僧，大僧三個(gè)更無爭，小僧三人分一個(gè)，大小和尚各幾??？”意思是：有100個(gè)和尚分100個(gè)饅頭，如果大和尚1人分3個(gè)，小和尚3人分1個(gè)，正好分完．試問大、小和尚各多少人？【答案】大和尚人，小和尚人．【知識點(diǎn)】古代問題(二元一次方程組的應(yīng)用)【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，根據(jù)題意正確列方程組是解題關(guān)鍵．設(shè)大和尚人，小和尚人，根據(jù)“有100個(gè)和尚分100個(gè)饅頭，如果大和尚1人分3個(gè)，小和尚3人分1個(gè)，正好分完”列方程組求解即可．【詳解】解：設(shè)大和尚人，小和尚人，由題意得：，解得：，答：大和尚人，小和尚人．【變式6-3】（23-24八年級上·山東青島·期末）解方程(1)(2)“方程”二字最早見于我國《九章算術(shù)》這部經(jīng)典著作中，該書的第八章名為“方程”．如：，從左到右列出的算籌數(shù)分別表示方程中未知數(shù)的系數(shù)與相應(yīng)的常數(shù)項(xiàng)，即可表示方程，以此方式，表示的方程是______；請將這兩個(gè)方程聯(lián)立成方程組，并求出這個(gè)方程組的解．【答案】(1)(2)，【知識點(diǎn)】古代問題(二元一次方程組的應(yīng)用)、代入消元法【分析】本題考查了列二元一次方程組，解方程組，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)代入消元法求解即可；（2）根據(jù)橫著的算籌為10，豎放的算籌為1，依次表示x，y的系數(shù)與等式后面的數(shù)字，即可列方程，然后組成方程組，根據(jù)加減消元法求解即可．【詳解】（1）解：由①，可得：③，③代入②，可得：，解得，把代入③，可得：，原方程組的解是．；（2）解：，表示的方程是由，可得，解得把代入②，可得：，解得，原方程組的解是．【變式6-4】（23-24七年級下·吉林松原·期中）我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》記載：“今有牛五、羊二，直金十九兩；牛二、羊五，直金十六兩．問牛、羊各直金幾何？”譯文：“假設(shè)有5頭牛、2只羊，值19兩銀子；2頭牛、5只羊，值16兩銀子，問每頭牛、每只羊分別值銀子多少兩？”根據(jù)以上譯文，提出以下兩個(gè)問題：(1)求每頭牛、每只羊各值多少兩銀子？(2)若某商人準(zhǔn)備用11兩銀子買牛和羊（要求既有牛也有羊，且銀兩須全部用完），請你為商人列出所有可能的購買方法．【答案】(1)每頭牛3兩銀子，每只羊2兩銀子；(2)方案1：1頭牛，4只羊；方案2：3頭牛，1只羊．【知識點(diǎn)】古代問題(二元一次方程組的應(yīng)用)、二元一次方程的解【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及二元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）找準(zhǔn)數(shù)量關(guān)系，正確列出二元一次方程．（1）設(shè)每頭牛值x兩銀子，每只羊值y兩銀子，根據(jù)“5頭牛、2只羊，值19兩銀子；2頭牛、5只羊，值16兩銀子”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)購買m頭牛，n只羊，根據(jù)某商人準(zhǔn)備用11兩銀子買牛和羊，列出二元一次方程，然后求出滿足條件的正整數(shù)解即可．【詳解】（1）解：設(shè)每頭牛值x兩銀子，每只羊值y兩銀子，依題意得：，解得：，答：每頭牛值3兩銀子，每只羊值2兩銀子；（2）解：設(shè)購買m頭牛，n只羊，依題意得：，整理得：，∵m、n均為正整數(shù)，∴，∴商人有2種購買方法：方案1：1頭牛，4只羊；方案2：3頭牛，1只羊．．【考點(diǎn)題型七】二元一次方程組應(yīng)用幾何問題【例7】（23-24七年級上·遼寧沈陽·期末）在長方形中，放入5個(gè)形狀大小相同的小長方形（空白部分），其中，求陰影部分圖形的總面積．【答案】【知識點(diǎn)】幾何