北京市海淀區(qū)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題含解析

Page18北京市海淀區(qū)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題（本試卷滿分120分，考試時(shí)間100分鐘）一?選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)題意，將直線方程化為斜截式，求出直線斜率，由斜率與傾斜角的關(guān)系，及可求解．【詳解】由，得，故斜率為，因，所以傾斜角．故選：D．2.圓關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出圓心關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，從而可求出所求圓的方程.【詳解】圓的圓心為，半徑為，因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)為，所以圓關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圓的方程為，故選：C.3.如圖，在平行六面體中，，則與向量相等的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)空間向量的線性運(yùn)算法則——三角形法，精確運(yùn)算，即可求解.【詳解】由題意，在平行六面體中，，可得.故選：A.4.已知直線，點(diǎn)和點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】求出直線的斜率，依據(jù)直線平行的斜率關(guān)系得出實(shí)數(shù)的值.【詳解】，由于，則直線的斜率為即，故選：B5.若點(diǎn)為圓的弦的中點(diǎn)，則直線的方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由垂徑定理可知，求出直線的斜率，利用點(diǎn)斜式可得出直線的方程.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程方程為，，即點(diǎn)在圓內(nèi)，圓心，，由垂徑定理可知，則，故直線的方程為，即.故選：C.6.如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，若E，F(xiàn)，G，H分別是棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中點(diǎn)，則必有（）A.BD1∥GHB.BD∥EFC.平面EFGH∥平面ABCDD.平面EFGH∥平面A1BCD1【答案】D【解析】【分析】依據(jù)題意，結(jié)合圖形，分別推斷選項(xiàng)中的命題是否正確即可．【詳解】易知GH∥D1C，因?yàn)檫^直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，所以BD1，GH不行能相互平行，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；易知EF∥A1B，與選項(xiàng)A同理，可推斷選項(xiàng)B錯(cuò)誤；因?yàn)镋F∥A1B，而直線A1B與平面ABCD相交，故直線EF與平面ABCD也相交，所以平面EFGH與平面ABCD相交，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于，平面平面，理由是：由，，，分別是棱，，，的中點(diǎn)，得出，，所以平面，平面，又，所以平面平面．故選：．7.已知直線平面，則“直線”是“”的()A.充分但不必要條件 B.必要但不充分條件 C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】B【解析】【詳解】當(dāng)且時(shí),我們可以得到或（因?yàn)橹本€與平面的位置關(guān)系不確定）,所以充分性不成立;當(dāng)時(shí),過直線可做平面與平面交于直線,則有.又有,則有,即.所以必要性成立,故選.8.已知正方體，給出下列四個(gè)結(jié)論：①直線與所成的角為；②直線與所成的角為；③直線與平面所成的角為；④直線與平面所成的角為.其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】由題意，作圖，利用線面垂直判定定理，以及線面角定義，結(jié)合三角函數(shù)的定義，可得答案.【詳解】由題意，作圖如下：在正方體中，平面，由平面，則，在正方形中，，因?yàn)椋移矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，，故①②正確；同理可得平面，垂足為，所以為直線與平面所成的角，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，，，則，即，故③錯(cuò)誤；易知為直線與平面所成的角，由，則，故④正確.故選：C.9.設(shè)，若直線與圓相切，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用直線與圓相切的性質(zhì)可得，的關(guān)系式，再借助均值不等式求解能求出的取值范圍．【詳解】,直線與圓相切，圓的圓心，半徑，則，整理得，，，，解得或，的取值范圍是故選：D10.在空間中，過點(diǎn)A作平面的垂線，垂足為B，記，設(shè)、是兩個(gè)不同的平面，對(duì)空間隨意一點(diǎn)P，，恒有，則（）A.平面與平面垂直B.平面與平面所成的（銳）二面角為C.平面與平面平行D.平面與平面所成的（銳）二面角為【答案】A【解析】【分析】依據(jù)題意分析可得重合于同一點(diǎn)，且所成的角為直角，即可得出.【詳解】設(shè)，則依據(jù)題意得點(diǎn)是過點(diǎn)作平面垂線的垂足，，點(diǎn)是過點(diǎn)作平面垂線的垂足，同理，若，得點(diǎn)是過點(diǎn)作平面垂線的垂足，得點(diǎn)是過點(diǎn)作平面垂線的垂足，對(duì)隨意的點(diǎn)P，恒有，重合于同一點(diǎn)，由此可得，四邊形為矩形，且是所成的角，是直角，所以平面與平面垂直.故選：A.二?填空題共6小題，每小題5分，共30分.11.直線與直線之間的距離等于__________.【答案】【解析】【分析】利用平行線間的距離公式求解即可.【詳解】直線與直線之間的距離.故答案為：12.若點(diǎn)，，三點(diǎn)共線，則的值等于______.【答案】4【解析】【詳解】解：因?yàn)槿羧c(diǎn)13.如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為分別為棱的中點(diǎn)，則三棱錐的體積為__________.【答案】1【解析】【分析】由線面垂直，依據(jù)等體積法即可求解.【詳解】在正方體中，平面,所以平面,,故,故答案為：114.已知直線，若直線與圓在第一象限內(nèi)的部分有公共點(diǎn)，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)題意畫出圖像，視察圖像得到直線與圓在第一象限內(nèi)的部分有公共點(diǎn)時(shí)，其臨界直線分別為直線，求出對(duì)應(yīng)的斜率可寫出的取值范圍.【詳解】如圖所示，由直線得直線過點(diǎn)，由題意得圓，圓心為，半徑為，令得或，所以圓與軸的交點(diǎn)為，所以直線的斜率為，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，有，整理得，解得，其中切線的斜率為，若直線與圓在第一象限內(nèi)的部分有公共點(diǎn)，則直線斜率的取值范圍為.故答案為：.15.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上.則點(diǎn)到直線的距離的最小值為__________．【答案】##【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，由空間向量表示出點(diǎn)P到的距離，利用函數(shù)性質(zhì)即可求解.【詳解】如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，，則，設(shè)點(diǎn)P在平面ABCD上的投影為，則∥，則點(diǎn)到直線的距離，∴，當(dāng)時(shí)，，故答案為：16.在平面直角坐標(biāo)系中，假如與都是整數(shù)，則稱點(diǎn)是整點(diǎn).已知直線，下列命題中正確的是__________.（寫出全部正確命題的編號(hào)）.①存在這樣的直線，既不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過任何整點(diǎn)；②若和都是無理數(shù)，則直線不經(jīng)過任何整點(diǎn)；③存在只經(jīng)過一個(gè)整點(diǎn)的直線；④存在只經(jīng)過兩個(gè)不同整點(diǎn)的直線.【答案】①③【解析】【分析】舉例可推斷①②③，通過兩個(gè)整數(shù)點(diǎn)，和，在直線上，可得，在直線上，進(jìn)而可得更多的整數(shù)點(diǎn)在直線上，進(jìn)而推斷④錯(cuò)誤【詳解】對(duì)于①，令，則該直線既不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過任何整點(diǎn)，故①正確；對(duì)于②，取，，直線為，經(jīng)過整點(diǎn)，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，比如直線方程為，直線經(jīng)過整點(diǎn)，當(dāng)取不為0的整數(shù)時(shí)，都是無理數(shù)，故該直線只經(jīng)過整點(diǎn)，故③正確；對(duì)于④，設(shè)直線為，若此直線過不同的整點(diǎn)，和，，把兩點(diǎn)代入直線方程得：，，兩式相減得：，則，為整點(diǎn)且在直線上，依次可得直線經(jīng)過無窮多個(gè)整點(diǎn)，故④錯(cuò)誤．正確的命題是①③．故答案為：①③．三?解答題共4小題，共50分.解答應(yīng)寫出文字說明?演算步驟或證明過程.17.如圖所示，在五面體中，平面為的中點(diǎn)，.（1）求異面直線與所成角的大??；（2）求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用直線與的方向向量求異面直線與所成角即可.（2）求出平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，利用公式即可求出答案.【詳解】因?yàn)槠矫?，所以以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)，則，（1）所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以異面直線與所成角為.（2）因?yàn)?，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，取，則，所以，取平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面夾角為，則則，所以平面與平面夾角的余弦值為.18.已知直線經(jīng)過兩條直線和的交點(diǎn).（1）若直線與直線平行，求直線的方程；（2）若直線與圓相交所得弦長(zhǎng)為8，求直線的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）聯(lián)立方程組得到交點(diǎn)為，再利用平行的直線系求解即可.（2）首先得到圓心到直線距離，再分類探討結(jié)合圓的弦長(zhǎng)求解即可.【小問1詳解】，即交點(diǎn)為.設(shè)直線的方程為，把點(diǎn)代入方程得，所以直線的方程為.【小問2詳解】圓，圓心為，半徑為.設(shè)圓心到直線的距離為，則.若直線過點(diǎn)且斜率不存在，則，到圓心距離為，滿意條件；若直線過點(diǎn)且斜率存在，設(shè)，即，由題意，解得.所以，即.綜上所述，直線的方程為或.19.如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，，點(diǎn)在棱上.條件①：；條件②：平面平面.從條件①和②中選擇一個(gè)作為已知，解決下列問題：（1）推斷與是否垂直，并證明；（2）若點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且點(diǎn)到平面的距離為，求線段的長(zhǎng).（3）求直線與平面所成角的正弦值的取值范圍.注：若選擇①和②分別作答，按選擇①給分.【答案】（1），證明見解析（2）或（3）【解析】【分析】（1）選①由勾股定理證得，從而證得平面，進(jìn)而由證得結(jié)果；選②由面面垂直的性質(zhì)證得平面，從而證得結(jié)果.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，由點(diǎn)到面的距離公式解得點(diǎn)M的坐標(biāo)，進(jìn)而由兩點(diǎn)間距離公式可得BM的長(zhǎng).（3）由線面角公式得是關(guān)于的分式型函數(shù)，進(jìn)而用換元法求分式型函數(shù)的值域可得結(jié)果.【小問1詳解】選①：.證明：平行四邊形中，.∵，∴中，.∴，∴又∵，，平面，∴平面，平面，∴.又∵，∴.選②：.證明：∵平面平面，平面平面，，平面.∴平面，平面，∴.【小問2詳解】由（1）知：BA、BD、BP兩兩垂直，∴以為原點(diǎn)，以的方向分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，∴，設(shè)平面的法向量為，則令，則.此時(shí).∵在直線上，∴設(shè)，∴∴到平面的距離為∴，∴或，∴或，∴或.【小問3詳解】∵在棱上，∴設(shè)，∴，設(shè)平面的法向量為，則∴，取，由于，設(shè)直線與平面所成角，則∴，令，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；∵，∴，∴.∴綜上，20.對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的兩點(diǎn)，現(xiàn)定義由點(diǎn)到點(diǎn)的“折線距離”為.（1）已知，求；（2）已知點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最小值；（3）對(duì)平面上給定的兩個(gè)不同的點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，同時(shí)滿意①②.若存在，懇求出全部符合條件的點(diǎn)；若不存在，請(qǐng)予以證明.【答案】（1）4；（2）；（3）存在，答案見解析.【解析】【分析】（1）依據(jù)題中給定定義干脆求解;（2）依據(jù)定義列出式子，用不等式求解最值；（3）依據(jù)定義分類探討證明.【小問1詳解】.【小問2詳解】因?yàn)辄c(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，故可設(shè)點(diǎn)的坐