北京市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題含解析

Page13北京市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題考生須知1.本試卷分為試題、答題卡兩部分.滿分150分.考試時間120分鐘.2.仔細(xì)填寫所在班級、姓名、學(xué)號.3.請用2B鉛筆填涂機讀卡，用黑色簽字筆在二卷上按要求作答.一、選擇題.（每題5分，共50分）1.若，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用補集的定義可求得結(jié)果.【詳解】因為，，則.故選：C.2.命題的否定是：，使得.則命題為（）A.，使得 B.，使得C.，使得 D.，使得【答案】D【解析】【分析】依據(jù)全稱命題的否定是特稱命題干脆得結(jié)果.【詳解】依據(jù)全稱命題的否定是特稱命題得命題為，使得.故選：D.3.下列四個圖象中，是函數(shù)圖象的是A.① B.①③④ C.①②③ D.③④【答案】B【解析】【詳解】由函數(shù)的定義知，對于定義域中的每一個自變量，只能有唯一的與之對應(yīng)，故②不是函數(shù)，①③④是函數(shù).故選B.點睛：函數(shù)定義中要求：1.兩個函數(shù)都是非空集合；2.A中的每個元素在B中都有與之對應(yīng)的元素；3.對應(yīng)形式為“一對一”或“多對一”，但不能是“一對多”（一個對應(yīng)多個；只有滿意了這幾個特點的對應(yīng)關(guān)系才是函數(shù)關(guān)系.本題解題的關(guān)鍵是視察：圖象對應(yīng)的是否是函數(shù)；定義域與值域是否是對的.4.已知函數(shù)，則（）A.8 B.16 C. D.8或【答案】A【解析】【分析】先計算，再計算的值.【詳解】,.故選：A5.若函數(shù)為偶函數(shù)，則a=A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】因為函數(shù)y＝(x＋1)(x－a)為偶函數(shù)，則f(x)=f(-x),那么可知a=1,則a等于1,選C6.函數(shù)，的值域（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】解：，則，所以函數(shù)的值域為.故選：D.7.若時，不等式恒成立，則實數(shù)的最小值為（）A.2 B.3 C.6 D.不存在最小值【答案】C【解析】【分析】時，不等式恒成立，即，令，求出函數(shù)的最大值即可得解.【詳解】解：時，不等式恒成立，即，令，故，所以，即實數(shù)的最小值為.故選：C.8.“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增”一個必要不充分條件是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可構(gòu)造不等式求得，依據(jù)推出關(guān)系依次推斷各個選項即可.【詳解】若在上單調(diào)遞增，則，解得：；對于A，是原命題的充要條件，A錯誤；對于B，，，是原命題的充分不必要條件，B錯誤；對于C，，，是原命題必要不充分條件，C正確；對于D，，，是原命題的充分不必要條件，D錯誤.故選：C.9.下列函數(shù)中，為偶函數(shù)且有最小值的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)奇偶性定義可推斷出ABC錯誤；依據(jù)奇偶性定義和基本不等式可知D正確.【詳解】對于A，定義域為，，為奇函數(shù)，A錯誤；對于B，；當(dāng)時，，，為奇函數(shù)，B錯誤；對于C，的定義域為，為非奇非偶函數(shù)，C錯誤；對于D，定義域為，，為偶函數(shù)；令，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），的最小值為，D正確.故選：D.10.已知函數(shù)是上的增函數(shù)，函數(shù)是上的減函數(shù)，則下列函數(shù)肯定是增函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)逐一推斷即可.【詳解】解：因為函數(shù)是上的增函數(shù)，函數(shù)是上的減函數(shù)，所以函數(shù)是上的增函數(shù)，函數(shù)是上的減函數(shù)，函數(shù)，的單調(diào)性無法推斷.

故選：B.二、填空題（每題5分，共30分）11.函數(shù)的定義域為__________．【答案】【解析】【分析】干脆解不等式即可.【詳解】，所以定義域為

故答案為：12.若集合滿意，則集合______.（寫出一個集合即可）【答案】（答案不唯一）.【解析】【分析】依據(jù)題意可知集合中至少含元素1和2，且為集合的子集，從而可求出集合.【詳解】因為集合滿意，所以，或，或，或，故答案為：（答案不唯一）.13.已知冪函數(shù)的圖象過點，則冪函數(shù)的解析式_______．【答案】【解析】【詳解】試題分析：設(shè)考點：冪函數(shù)14.已知實數(shù)滿意不等式，則的取值范圍為______【答案】【解析】【分析】依據(jù)一元二次不等式的解法，即可求解.【詳解】不等式等價于，即，對應(yīng)方程的根是和，所以不等式的解集是.故答案為：15.某公司購買一批機器投入生產(chǎn)，依據(jù)市場分析每臺機器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的年平均利潤（萬元）與機器運轉(zhuǎn)時間（年數(shù)）的關(guān)系為.則每臺機器的年平均利潤的最大值為______萬元.【答案】【解析】【分析】利用基本不等式可干脆求得結(jié)果.【詳解】時，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），當(dāng)時，.故答案為：.16.已知函數(shù),則（ⅰ）=；（ⅱ）給出下列三個命題：①函數(shù)是偶函數(shù)；②存在，使得以點為頂點的三角形是等腰直角三角形；③存在，使得以點為頂點的四邊形為菱形.其中，全部真命題的序號是.【答案】【答題空1】【答題空2】①③【解析】【分析】利用分段函數(shù)求值即得；對于①，依據(jù)奇偶性的定義可推斷，對于②，可以分類判定三角形的形態(tài)進(jìn)行推斷，而命題③，可以構(gòu)造成立的例子．【詳解】（?。┮驗?，所以是的真子集，所以；（ⅱ）對于①：當(dāng)時，，；

當(dāng)時，，；所以恒成立，所以函數(shù)是偶函數(shù)，故①正確；對于②：當(dāng)都是有理數(shù)時，三點縱坐標(biāo)都是，三點共線，不構(gòu)成三角形；同理當(dāng)都是無理數(shù)時，也不合題意；所以只有可能兩個為有理數(shù)，一個為無理數(shù)，或兩個無理數(shù)，一個有理數(shù)，對于兩個為有理數(shù)，一個為無理數(shù)的狀況，設(shè)是有理數(shù)，是無理數(shù)，對應(yīng)三點，明顯都不行能為直角，

故要為等腰直角三角形，必需為直角，且,所以關(guān)于直線對稱，于是，此式等號左邊為有理數(shù)，右邊為無理數(shù)，不行能成立；對于兩個為無理數(shù)，一個為有理數(shù)的狀況，設(shè)是無理數(shù)，是有理數(shù)，對應(yīng)三點,同樣都不行能為直角，故要為等腰直角三角形，必需為直角，且,所以關(guān)于直線對稱，如圖所示：

于是，，但都是有理數(shù)，而是無理數(shù)，這也不行能成立；綜上，②錯誤；對于③：令,則對應(yīng)四點坐標(biāo)為,如圖所示：

，四邊形為菱形，故③正確.綜上，全部真命題的序號是①③.故答案為：；①③.三、解答題（共70分）17.設(shè)全集，集合，.（1）當(dāng)時，求，；（2）若，求的取值范圍.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由交集和并集定義可干脆求得結(jié)果；（2）由補集定義可得，由包含關(guān)系可構(gòu)造不等關(guān)系求得的范圍.【小問1詳解】當(dāng)時，，又，，.【小問2詳解】由題意知：；，，，即的取值范圍為.18.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),且當(dāng)時,（1）當(dāng)時,求函數(shù)的解析式;（2）用函數(shù)的單調(diào)性定義證明:函數(shù)在上是增函數(shù).【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】(1)設(shè),則,將代入,再依據(jù)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)即可求出結(jié)果.(2)設(shè)為區(qū)間上隨意實數(shù),且,利用作差法和分解因式法比較與的大小即可證明.【小問1詳解】設(shè),則,,函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),,即當(dāng)時,.【小問2詳解】設(shè)為區(qū)間上的隨意實數(shù),且,,,,,函數(shù)在上是增函數(shù).19.已知函數(shù)和，其中.若函數(shù)與的圖象的一個公共點恰好在軸上.（1）求證：；（2）求不等式的解集.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）先求出與軸的交點，然后依據(jù)題意可知此點在的圖象上，代入化簡可得結(jié)論；（2）由（1）可得，然后利用一元二次不等式的解法可求得結(jié)果.【小問1詳解】證明：令，得，所以與軸交于點，因為函數(shù)與的圖象的一個公共點恰好在軸上，所以點在圖象上，所以，因為，所以，所以；【小問2詳解】由（1）可得，因為，所以，，解得，所以不等式的解集為.20.有一張隧道橫截面的設(shè)計圖（如圖所示），上部為半圓形，下部為矩形，橫截面周長限定為10米，設(shè)半圓的半徑為米.（1）求取值范圍；（2）求此橫截面面積與的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)半圓半徑為多少米時，此橫截面面積最大？試求出此最大值.【答案】（1）（2），（3）半圓半徑為米時，橫截面面積最大值為平方米【解析】【分析】（1）（2）由題意列式求解，（3）由二次函數(shù)性質(zhì)求解，【小問1詳解】由題意得，且，得即的取值范圍是，【小問2詳解】半圓的半徑為米，則矩形的長為，寬為，，【小問3詳解】由二次函數(shù)性質(zhì)知當(dāng)時，有最大值即半圓半徑為米時，橫截面面積最大值為平方米21.已知函數(shù)，定義（1）寫出函數(shù)的解析式；（2）若，求實數(shù)的值；（3）已知函數(shù)，集合，集合，，若函數(shù)是偶函數(shù)，寫出全部滿意條件的的解析式.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由新定義，探討，解不等式即可得到所求函數(shù)；（2）探討，由求得，運用恒成立的思想，即可得到的值；（3）將問題轉(zhuǎn)化為不等式的解集關(guān)于原點對稱，即解集的形式為，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可.【小問1詳解】定義，當(dāng)，即時，；當(dāng)，即時，；當(dāng)，即時，；可得；【小問2詳解】當(dāng)時，，則，即有恒成立，即上恒成