2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)綜合測(cè)試卷二

綜合測(cè)試卷(二)時(shí)間:120分鐘分值:150分一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.(2024湖北黃岡中學(xué)三模,3)已知復(fù)數(shù)z滿意z2+4i=0,則|z|=()A.4B.2C.2D.1答案B設(shè)z=a+bi(a,b∈R),則z2+4i=(a+bi)2+4i=a2-b2+(2ab+4)i=0,所以a2-b2=0且2ab+4=0,解得a=2,b=-2或a=-2,b=2,則|z|=a2+b22.(2024海淀一模,1)已知集合A={1},B={x|x≥a}.若A∪B=B,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(-∞,1)B.(-∞,1]C.(1,+∞)D.[1,+∞)答案B由A∪B=B,得A?B,從而有a≤1,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,1],故選B.3.(2024湖南衡陽(yáng)一模)我國(guó)古代有著輝煌的數(shù)學(xué)探討成果,《周髀算經(jīng)》《九章算術(shù)》《海島算經(jīng)》《孫子算經(jīng)》《緝古算經(jīng)》等10部專著是了解我國(guó)古代數(shù)學(xué)的重要文獻(xiàn),這10部專著中5部產(chǎn)生于魏晉南北朝時(shí)期,某中學(xué)擬從這10部專著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”課外閱讀教材,則所選2部專著中至少有一部是魏晉南北朝時(shí)期專著的概率為()A.79B.29C.49答案A設(shè)所選2部專著中至少有一部是魏晉南北朝時(shí)期的專著為事務(wù)A,所以P(A)=C52C102=29,因此P(A)=1-P(A)=1-24.(2024屆廣州10月調(diào)研,5)雙曲線C:x2a2-y2b2=1的一條漸近線方程為x+2y=0,A.52B.3C.2D.答案A由題意得12=ba,即a=2b,又∵b2=c2-a2,∴5a2=4c2,∴e=ca=525.(2024廣州模擬,5)某學(xué)校組織學(xué)生參與數(shù)學(xué)測(cè)試,某班成果的頻率分布直方圖如圖,數(shù)據(jù)的分組依次為[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].若不低于60分的人數(shù)是35,則該班的學(xué)生人數(shù)是()A.45B.50C.55D.60答案B由頻率分布直方圖得不低于60分的頻率為(0.02+0.015)×20=0.70,∵不低于60分的人數(shù)是35,∴該班的學(xué)生人數(shù)是350.70=50.故選B6.(2024百校大聯(lián)考(六),9)已知向量a=(3,100),若λa=(3λ,2μ)(λ,μ∈R),則λμ=(A.50B.3C.150D.答案C依據(jù)題意得λa=(3λ,100λ)=(3λ,2μ),所以2μ=100λ,所以λμ=150,故選7.(2024屆江蘇省天一中學(xué)月考,6)若函數(shù)f(x)=sin(4x-φ)0≤φ≤π2在區(qū)間0,π6上單調(diào)遞增,A.π6,πC.π3,π答案D當(dāng)x∈0,π6時(shí),-φ≤4x-φ≤因?yàn)楹瘮?shù)y=sinx在-π2,π2上單調(diào)遞增,且函數(shù)f(x)=sin(4x-φ)所以得-φ≥-π2,2π3-φ≤π2,8.(2024屆重慶巴蜀中學(xué)11月月考,8)在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E,F,G,H分別為棱AB,BC,C1D1,A1D1的中點(diǎn),若平面α∥平面EFGH,且平面α與棱A1B1,B1C1,B1B分別交于點(diǎn)P,Q,S,其中點(diǎn)Q是棱B1C1的中點(diǎn),則三棱錐B1-PQS的體積為()A.1B.12C.13答案D如圖所示,取AA1,CC1的中點(diǎn)N,M,連接NH,NE,MG,MF,由正方體的性質(zhì)可知,NE∥GM,HG∥EF,HN∥MF,所以H,G,M,F,E,N六點(diǎn)共面,又因?yàn)槠矫姒痢纹矫鍱FGH,所以平面PQS∥平面HGMFEN,又平面BB1C1C∩平面PQS=QS,平面BB1C1C∩平面HGMFEN=MF,所以QS∥MF,由M,F,Q為所在棱中點(diǎn)可知S為BB1的中點(diǎn),同理可知,P為A1B1的中點(diǎn),所以B1P=B1Q=B1S=1,且B1P,B1Q,B1S兩兩垂直,所以三棱錐B1-PQS的體積為V=13×1×12×1×1=16,9.(2024八省聯(lián)考,8)已知a<5且ae5=5ea,b<4且be4=4eb,c<3且ce3=3ec,則()A.c<b<aB.b<c<aC.a<c<bD.a<b<c答案D因?yàn)閍e5=5ea,a<5,所以a>0,同理b>0,c>0,令f(x)=exx,x>0,則f'(x)=當(dāng)0<x<1時(shí),f'(x)<0,當(dāng)x>1時(shí),f'(x)>0,故f(x)在(0,1)上為減函數(shù),在(1,+∞)上為增函數(shù),因?yàn)閍e5=5ea,故e55=eaa,故0<a<1,同理可得f(4)=f(b),f(3)=f(c),則0<b<1,0<c<1,因?yàn)閒(5)>f(4)>f(3),所以f(a)>f(b)>f(c),所以0<a<b<c<1.故選D.10.(2024屆寧夏期末,7)“a≥4”是“二次函數(shù)f(x)=x2-ax+a有零點(diǎn)”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件答案A若a≥4,則Δ=a2-4a=a(a-4)≥0,故方程x2-ax+a=0有解,即二次函數(shù)f(x)=x2-ax+a有零點(diǎn).若二次函數(shù)f(x)=x2-ax+a有零點(diǎn),則方程x2-ax+a=0有解,則Δ=a2-4a≥0,解得a≥4或a≤0.故“a≥4”是“二次函數(shù)f(x)=x2-ax+a有零點(diǎn)”的充分不必要條件,故選A.11.(2024屆黑龍江模擬,11)關(guān)于函數(shù)f(x)=cos2x-23sinxcosx,有下列命題:①對(duì)隨意x1,x2∈R,當(dāng)x1-x2=π時(shí),f(x1)=f(x2)成立;②f(x)在區(qū)間-π6,π3上單調(diào)遞增;③函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)π12,0對(duì)稱;④將函數(shù)f(x)的圖象向左平移5π12A.①②③B.②C.①③D.①②④答案Cf(x)=cos2x-23sinxcosx=cos2x-3sin2x=2cos2x+π3.因?yàn)閤1-x2=π,所以f(x1)=2cos2x1+π3=2cos2(x2+π)+π3=2cos2x2+π3=f(x2),故①正確;當(dāng)x∈-π6,π3時(shí),2x+π3∈[0,π],所以函數(shù)f(x)在區(qū)間-π6,π3上單調(diào)遞減,故②錯(cuò)誤;fπ12.(2024屆北京四中10月月考,10)對(duì)于函數(shù)y=f(x),若存在x0,使得f(x0)=-f(-x0),則稱點(diǎn)(x0,f(x0))與點(diǎn)(-x0,f(-x0))是函數(shù)f(x)的一對(duì)“隱對(duì)稱點(diǎn)”.若函數(shù)f(x)=x2+2x,x<0,mx+2,x≥0的圖象存在A.[2-22,0)B.(-∞,2-22]C.(-∞,2+22]D.(0,2+22]答案B由“隱對(duì)稱點(diǎn)”的定義可知,f(x)=x2+2x,x<0,mx+2,x≥0令x>0,則-x<0,f(-x)=(-x)2+2(-x)=x2-2x,所以g(x)=-x2+2x(x>0),故原問題等價(jià)于關(guān)于x的方程mx+2=-x2+2x有正根,故m=-x-2x而-x-2x+2=-x+2x+2≤-2當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí),取得等號(hào),所以m≤2-22,故實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-∞,2-22],故選B.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.(2024海淀一模,11)已知函數(shù)f(x)=x3+ax.若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線的斜率為2,則實(shí)數(shù)a的值是.

答案-1解析由題意得f'(x)=3x2+a,所以f'(1)=3+a=2,從而得a=-1.14.(2024屆廣西北海模擬,15)函數(shù)f(x)=(1+3tanx)cosx的最小值為.

答案-2解析f(x)=(1+3tanx)cosx=cosx+3sinx=2sinx+π6x≠π2+kπ,k∈Z,∵sin15.(2024北京文,14,5分)若△ABC的面積為34(a2+c2-b2),且∠C為鈍角,則∠B=;ca的取值范圍是答案π3解析依題意有12acsinB=34(a2+c2-b2)=34×2accosB,則tanB=3,∵0<∠B<π,∴∠ca=sinCsinA=sin2π3-AsinA=∵∠C為鈍角,∴2π3-∠A>π又∠A>0,∴0<∠A<π6,則0<tanA<3∴1tanA>3,故ca>12+故ca的取值范圍為16.(2024四川南充二模,16)設(shè)函數(shù)f(x)=x+e|x|e|x|的最大值為M,最小值為N,下述四個(gè)結(jié)論:①M(fèi)+N=4;②M-N=2e;③MN=1-1答案②③解析f(x)=1+xe|x|,設(shè)g(x)=xe|x當(dāng)x>0時(shí),g(x)=xex,g'(x)=當(dāng)0<x<1時(shí),g(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x>1時(shí),g(x)單調(diào)遞減,可知x=1時(shí),g(x)取得極大值1e,也為最大值,由g(x)為奇函數(shù)可知,當(dāng)x<0時(shí),g(x)的最小值為-1e,則M=1+1e,N=1-1e,則M-N=2e,M+N=2,MN=1-1e2三、解答題:共70分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.(一)必做題17.(2024湘豫名校聯(lián)盟4月聯(lián)考,17)在△ABC中,已知內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且bsinA=acosB-(1)求B;(2)若c=5,b=7,求△ABC的周長(zhǎng).解析(1)由bsinA=acosB-π6及正弦定理,得因?yàn)閟inA≠0,所以sinB=cosB-即sinB=32cosB+12sinB,即sin由于0<B<π,所以-π3<B-π3<2π3,所以B-π3=0,(2)在△ABC中,由余弦定理b2=a2+c2-2accosB及已知,得a2-5a-24=0,解得a=8或a=-3(舍),故△ABC的周長(zhǎng)為a+b+c=8+7+5=20.18.(2014北京文,17,14分)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1,E,F分別是A1C1,BC的中點(diǎn).(1)求證:平面ABE⊥平面B1BCC1;(2)求證:C1F∥平面ABE;(3)求三棱錐E-ABC的體積.解析(1)證明:在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥底面ABC.所以BB1⊥AB.又因?yàn)锳B⊥BC,BB1∩BC=B,所以AB⊥平面B1BCC1.又因?yàn)锳B?平面ABE,所以平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)證明:取AB的中點(diǎn)G,連接EG,FG.因?yàn)镚,F分別是AB,BC的中點(diǎn),所以FG∥AC,且FG=12因?yàn)锳C∥A1C1,AC=A1C1,且E為A1C1的中點(diǎn),所以FG∥EC1,且FG=EC1.所以四邊形FGEC1為平行四邊形.所以C1F∥EG.又因?yàn)镋G?平面ABE,C1F?平面ABE,所以C1F∥平面ABE.(3)因?yàn)锳A1=AC=2,BC=1,AB⊥BC,所以AB=AC2-所以三棱錐E-ABC的體積V=13S△ABC·AA1=13×12×319.(2024屆山東濟(jì)寧一中開學(xué)考,18)為提高教化教學(xué)質(zhì)量,越來越多的中學(xué)學(xué)校采納寄宿制的封閉管理模式.某校對(duì)高一新生是否適應(yīng)寄宿生活非常關(guān)注,從高一新生中隨機(jī)抽取了100人,其中男生占總?cè)藬?shù)的40%,且只有20%的男生表示自己不適應(yīng)寄宿生活,女生中不適應(yīng)寄宿生活的人數(shù)占高一新生抽取總?cè)藬?shù)的32%,學(xué)校為了調(diào)查學(xué)生對(duì)寄宿生活適應(yīng)與否是否與性別有關(guān),構(gòu)建了如下2×2列聯(lián)表:不適應(yīng)寄宿生活適應(yīng)寄宿生活合計(jì)男生女生合計(jì)(1)請(qǐng)將2×2列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并推斷能否有99%的把握認(rèn)為“適應(yīng)寄宿生活與否”與性別有關(guān);(2)從男生中以“是否適應(yīng)寄宿生活”為標(biāo)準(zhǔn)采納分層隨機(jī)抽樣的方法隨機(jī)抽取10人,再?gòu)倪@10人中隨機(jī)抽取2人.若所選2名學(xué)生中的“不適應(yīng)寄宿生活”的人數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望.附:K2=n(P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.010.001k02.0722.7063.8415.0246.63510.828解析(1)依據(jù)題意填寫列聯(lián)表如下:不適應(yīng)寄宿生活適應(yīng)寄宿生活合計(jì)男生83240女生322860合計(jì)4060100K2=100×(8×28-32×32)2因?yàn)?1.11>6.635,所以有99%的把握認(rèn)為“適應(yīng)寄宿生活與否”與性別有關(guān).(2)用分層隨機(jī)抽樣的方法隨機(jī)抽取10人,有2人不適應(yīng)寄宿生活,8人適應(yīng)寄宿生活,所以隨機(jī)變量X的可能取值是0,1,2,P(X=0)=C82C102=2845,P(X=1)=C8所以隨機(jī)變量X的分布列為X012P28161數(shù)學(xué)期望E(X)=0×2845+1×1645+2×14520.(2024河南尖子生診斷性考試,21)已知函數(shù)f(x)=ex-ax2(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),a為常數(shù)).(1)若f(x)在(0,+∞)上有微小值0,求實(shí)數(shù)a的值;(2)若f(x)在(0,+∞)上有極大值M,求證:M<a.解析(1)f'(x)=ex-2ax.設(shè)f(x0)=0(x0∈(0,+∞)),則f'(x0)=0.由ex0-ax0經(jīng)檢驗(yàn),a=e24滿意f(x)在(0,+∞)上有微小值,且微小值為0.故a=(2)證明:設(shè)f(x)在(0,+∞)上的極大值點(diǎn)為x1,則f'(x1)=0,即ex1-2ax1=0,則有a=此時(shí)M=f(x1)=ex1-a故M-a=ex1-ax12-a=ex1-a(x12+1)=ex1-(x12+1)·e而當(dāng)x1=1時(shí),a=e2,f'(x)=ex-ex,f″(x)=ex-e,x∈(0,1)時(shí),f″(x)<0,x∈(1,+∞)時(shí)則f'(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增,且f'(1)=0.則f'(x)≥f'(1)=0,故f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,此時(shí)f(x)在(0,+∞)上無極值.與已知條件沖突,故x1≠1,則M-a<0,即M<a.21.(2024湖南六校4月聯(lián)考,21)已知A,B分別為橢圓E:x2a2+y23=1(a>3)的左,右頂點(diǎn),Q為橢圓E的上頂點(diǎn)(1)求橢圓E的方程;(2)已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在橢圓E上,定點(diǎn)M-1,32,N①求△PMN的面積的最大值;②若直線MP與NP分別與直線x=3交于C,D兩點(diǎn),問:是否存在點(diǎn)P,使得△PMN與△PCD的面積相等?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,說明理由.解析(1)由題意得A(-a,0),B(a,0),Q(0,3),則AQ=(a,3),QB=(a,-3),由AQ·QB=1,得a2-3=1,解得a=2,所以橢圓E的方程為x24+(2)①設(shè)P(2cosθ,3sinθ),易知直線MN:y=-32x,即3x+2y=0,點(diǎn)P到直線MN的距離d=|6cosθ+23sinθ|13=則S△PMN=12|MN|·d≤23,即(S△PMN)max=23②設(shè)P(x0,y0),由①知|MN|=13,點(diǎn)P到直線MN的距離d1=|3x0+2y0|13,則S△PMN=12|MN|·d1=12|3x0+2y0|.直線MP:y=y0-32x0+1(x+1)+32,令x=3,可得C3,4y0-6x0+1+32;直線PN:y=y0+32x0-1(x-1)-32,令x=3,可得D3,2y0+3x0-1-32,則|CD|=(3x0+2y0)(x0-3)x02-1,又P到直線CD的距離d2=|3-x0|,則S△PCD=12|CD|·d2=123x0+2y0(二)選做題(從下面兩道題中選一題做答)22.(2024鄭州一中周練(二),22)已知平面直角坐標(biāo)系xOy,以O(shè)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,P點(diǎn)的極坐標(biāo)為3,π3,曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cos(1)寫出點(diǎn)P的直角坐標(biāo)及曲線C的直角坐標(biāo)