廣東省東莞市七校2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省東莞市七校2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，，所以.故選：A.2.下列命題中，是全稱量詞命題且為真命題的是（）A.梯形四邊形 B.，C.， D.存在一個實數(shù)x，使【答案】A【解析】對于A，是全稱量詞命題且為真命題，A選項正確；對于B，是全稱量詞命題，當(dāng)時，，命題為假命題，B選項錯誤；CD選項都為存在量詞命題，不合題意.故選：A.3.“”成立的一個充分不必要條件是（）A.或 B. C. D.【答案】B【解析】解不等式可得，解得或，所以不等式的解集為或，因此不等式成立的一個充分不必要條件，對應(yīng)的范圍是解集的真子集，即是或的真子集.故選：B.4.函數(shù)的定義域是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，解得，所以函數(shù)定義域是.故選：C.5.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】對A，函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，A選項不合題意；對B，函數(shù)的定義域為，是非奇非偶函數(shù)，B選項不合題意；對C，設(shè)，定義域為，關(guān)于原點對稱，且，則函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，C選項正確；對D，設(shè)，其定義域為，關(guān)于原點對稱，且，則函數(shù)，是奇函數(shù)，D選項不合題意.故選：C.6.設(shè)，，，則a、b、c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】指數(shù)函數(shù)在R上單調(diào)遞減，對數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，則有，即，又，所以.故選：C.7.已知函數(shù)（且）在上具有單調(diào)性，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】（且）在上具有單調(diào)性，當(dāng)在上單調(diào)遞減時，，解得；當(dāng)在上單調(diào)遞增時，，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：B.8.已知是定義在R上的奇函數(shù)，是定義在R上的偶函數(shù)，且，在上單調(diào)遞減，則（）A.是偶函數(shù) B.是奇函數(shù)C. D.【答案】D【解析】由，得是奇函數(shù)，且定義域（全體實數(shù)）關(guān)于原點對稱，由，且定義域（全體實數(shù)）關(guān)于原點對稱，得為偶函數(shù)，故A，B選項均錯誤．由題易知函數(shù)在R上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞增，由，得，從而，即C選項錯誤；由，得，從而，即D選項正確．故選：D.二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多個選項符合題目要求，全部選對得6分，選錯或不選得0分，部分選對的得部分分．）9.下列各組函數(shù)中是同一函數(shù)的是（）A.與 B.與C.與 D.【答案】CD【解析】對于A，定義域為，定義域為，A錯；對于B，定義域為，定義域為，B錯；對于C，和定義域都是，，C正確；選項D，兩函數(shù)定義域、對應(yīng)關(guān)系、值域相同，正確.故選：CD.10.下列說法正確的是（）A.若，則B.若不等式的解集為，則C.當(dāng)時，的最小值是D.函數(shù)（，且）過定點【答案】BCD【解析】對于A，當(dāng)，時，有，但，故A錯誤；對于B，因為不等式的解集為，所以為方程的根，從而，即，故B正確；對于C，當(dāng)時，有；而當(dāng)時，有，所以的最小值是，故C正確；對于D，由于a>0，故恒有，所以函數(shù)過定點，故D正確.故選：BCD.11.下列說法正確的是（）A.若命題“，”為真命題，則實數(shù)a的取值范圍是B.已知，，則C.記表示x，y中最大的數(shù)，則的最小值為1D.函數(shù)，，其中表示不超過x的最大整數(shù)，則函數(shù)的最大值為1【答案】BC【解析】對于A，，，則有，解得，A選項錯誤；對于B，，，則，所以，B選項正確；對于C，時，有，則有，由一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，時，的最小值為1，C選項正確；對于D，，使得，從而恒成立，故D選項錯誤.故選：BC.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分，其中第14題第一空3分，第二空2分．把答案填在答題卡中的橫線上．）12.計算的結(jié)果是______．【答案】【解析】.13.已知函數(shù)在上是減函數(shù)，則的取值范圍是______.【答案】【解析】當(dāng)時，在R上遞減，符合題意；當(dāng)時，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，且對稱軸，解之得.綜上：的取值范圍是.14.若，且函數(shù)與的圖象若只有個交點，則寫出一個符合條件的集合______；若有兩個交點，則滿足條件的不同集合有______個．【答案】（答案不唯一）【解析】函數(shù)與的圖象分別有個，個，個交點；函數(shù)與的圖象都有個交點；函數(shù)與的圖象有個交點，所以函數(shù)與的圖象若只有個交點，則或；函數(shù)與的圖象若只有個交點，則或或或.四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.已知全集為R，集合（1）當(dāng)時，求；（2）若“”是“”的充分不必要條件，求a的取值范圍.解：（1）解不等式，即，得，則，當(dāng)時，，所以.（2）依題意，，，由存在實數(shù)使""是""的充分不必要條件，轉(zhuǎn)化為是A的真子集，因此，其中等號不能同時取到，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.16.已知函數(shù)是奇函數(shù)．（1）求實數(shù)a的值；（2）證明在區(qū)間上單調(diào)遞減；（3）解不等式.解：（1）∵是奇函數(shù)，∴，則，經(jīng)驗證此時為奇函數(shù).（2）∵，∴，設(shè)，則，，∵，∴，，則，則，則，即y=fx在區(qū)間1,+∞（3），∵y=fx在區(qū)間1,+∴不等式等價為，即，解得或，即不等式的解集為.17.某公司打算在2023年度建設(shè)某型手機芯片的生產(chǎn)線，建設(shè)該生產(chǎn)線的成本為300萬元，若該型芯片生產(chǎn)線在2024年產(chǎn)出x萬枚芯片，還需要投入物料及人工等成本V（x）（單位：萬元），已知當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，已知生產(chǎn)的該型芯片都能以每枚80元的價格售出．（1）設(shè)2024年該型芯片生產(chǎn)線的利潤為（單位：萬元），試求出的函數(shù)解析式；（2）請你為該型芯片的生產(chǎn)線的產(chǎn)量做一個計劃，要產(chǎn)出多少萬枚芯片才能使得2024年該型芯片的生產(chǎn)線所獲利潤最大，并預(yù)測最大利潤．解：（1）由題意可得，，所以，即.（2）當(dāng)時，；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，；當(dāng)時，由基本不等式有，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，此時.綜上，當(dāng)2024年該型芯片產(chǎn)量為40萬枚時利潤最大，最大利潤為220萬元.18.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，．（1）求函數(shù)的解析式；（2）在給定的直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出的圖象，并指出的單調(diào)區(qū)間（不必說明理由）；（3）求在上的最大值和最小值（不必說明理由）；（4）求不等式的解集．解：（1）函數(shù)是定義在的奇函數(shù)，當(dāng)時，，可得時，，即有，即有，綜上可得.（2）函數(shù)的圖象如圖，由圖可知，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（3）由圖可知，，.（4）當(dāng)時，，由，得，解得；當(dāng)時，，由，得，解得.綜上所述，不等式的解集為．19.我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于原點中心對稱的充要條件是為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于中心對稱的充要條件是為奇函數(shù).（1）類比上述推廣結(jié)論，寫出“函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱的充要條件是為偶函數(shù)”的一個推廣結(jié)論；（2）直接寫出函數(shù)的圖象的對稱中心，并證明你的結(jié)論；（3）已知函數(shù)，函數(shù)滿足為奇函數(shù)，若函數(shù)與的圖象的交點為其中為正整數(shù)，求(結(jié)果用表示)解：（1）推論：函數(shù)的圖象關(guān)于成軸對稱的充要條件是函數(shù)為偶函數(shù)；或函數(shù)的圖象關(guān)于成軸對稱的