廣東省廣州市三校2023-2024學年高一上學期期末聯(lián)考數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1廣東省廣州市三校2023-2024學年高一上學期期末聯(lián)考數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題５分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知為實數(shù)集，集合或，，則圖中陰影部分表示的集合為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由Ven圖可知，陰影部分表示為，因為，或，所以，所以，故選：C.2.設是第二象限角，為其終邊上一點，且，則（）A B. C. D.【答案】C【解析】依題意有，且，故，.故選：C.3.計算×－＋lne2－2lg2－lg25＝（）A.20 B.21 C.9 D.11【答案】B【解析】原式.故選：B.4.將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的，再將所得的函數(shù)圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的得到：，將的圖象向右平移個單位長度得到：，所以.故選：B.5.已知函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A. B.C D.【答案】D【解析】由，得，解得，所以的定義域為，由復合函數(shù)的單調(diào)性可知，的單調(diào)遞增區(qū)間即為：函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)遞減區(qū)間，令，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為．故選：D．6.已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，，又，所以，，因此：.故選：C.7.已知奇函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，當時，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為為奇函數(shù)，且當時，，所以，解得：，即當時，，又因為的圖象關(guān)于直線對稱，所以，且，則，即函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，故.故選：B.8.已知函數(shù)，在下列結(jié)論中：①是的一個周期；②的圖象關(guān)于直線對稱；③在區(qū)間上無最大值.正確結(jié)論的個數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】因為，所以不是的一個周期，故①錯誤；，所以的圖象不關(guān)于直線對稱，故②錯；，，令，則，，，在上單調(diào)遞增，所以無最大值，即函數(shù)在上無最大值，故③正確.故選：B.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.下列說法正確的是()A.命題“，”的否定是“，”B.已知，則“”是“”的必要不充分條件C.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是D.，【答案】AB【解析】對于，命題“，”的否定是“，”，故A正確；對于，由得，∴“”是“”的必要不充分條件，故B正確；對于C，由得函數(shù)的定義域為，由在時單調(diào)遞增及在時單調(diào)遞增可知，的增區(qū)間為，故C錯誤；對于，作出函數(shù)和的圖象，∵，故在上，恒成立，∴，不成立，不正確.故選：AB．10.已知，，則下列結(jié)論正確的是（）A.為第二象限角 B.C. D.【答案】ABD【解析】由同角三角函數(shù)平分關(guān)系可得，，因為，所以，解得，，因為，所以是第二象限角，故選項，正確，有同角三角函數(shù)商數(shù)關(guān)系可得，，故選項錯誤，因為，故選項正確.故選：.11.已知函數(shù)，其圖象的兩個相鄰的對稱中心間的距離為，且，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)的定義域C.函數(shù)的圖象的對稱中心為D.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為【答案】CD【解析】由正切函數(shù)的性質(zhì)可知，相鄰對稱中心的距離是半個周期，所以，得，，由，所以，則，函數(shù)的最小正周期為，故A錯誤；，，得，，所以函數(shù)的定義域為，故B錯誤；令，得，，所以函數(shù)的對稱中心為，故C正確；令，，解得：，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，故D正確.故選：CD.12.關(guān)于函數(shù)下列說法正確的有（）A.B.不等式的解集是C.若方程有3個實數(shù)根，則D.若存在實數(shù)滿足，則的最小值為8【答案】ABD【解析】函數(shù)，作出圖像如圖所示：，故選項A正確；當時，若，則，即，解得或，當時，若，則，即，解得，結(jié)合的圖像可得，不等式的解集是，故選項正確；由函數(shù)可知，與的圖像有三個不同的交點時，，故選項錯誤；設存在實數(shù)滿足，則函數(shù)與的圖像有三個不同的交點，其中和關(guān)于的對稱軸對稱，故，當時，，故c的取值范圍是，所以，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為8，故選項正確.故選：.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.函數(shù)的對稱軸方程是_______________.【答案】【解析】因為的對稱軸為，對于函數(shù)，由，可得，因此，函數(shù)的對稱軸方程是.故答案為：.14.已知函數(shù)在上為奇函數(shù)，且當時，，當時______________.【答案】【解析】當時，，因為是奇函數(shù)，所以，所以．故答案為：.15.函數(shù)的定義域為__________．【答案】【解析】函數(shù)有意義，則需，由，，則，所以函數(shù)定義域為.故答案為：.16.已知函數(shù)，若____________；若，則實數(shù)的取值范圍是__________________.【答案】【解析】∵，∴；因為，所以或，即或，所以或或或，解以上四個不等式組得解集分別：，，，，所以，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知.（1）化簡，并求；（2）若，求的值.解：（1），則（2）由（1）知，，則18.已知，函數(shù)的最小正周期為.（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若，，求的值.解：（1），因為的最小正周期為，所以，即，所以，由，，可得，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，.（2）由（1）知，所以，所以，又，所以，所以，所以.19.已知函數(shù)（，且）過定點A，且點A在函數(shù)，的圖象上．（1）求函數(shù)的解析式；（2）若定義在上的函數(shù)恰有一個零點，求實數(shù)k的取值范圍．解：（1）函數(shù)（，且）過定點，函數(shù)的圖象過點，即，解得，函數(shù)的解析式為.（2）函數(shù)定義在上，在上恒成立，可得，令，得，設，函數(shù)在上恰有一個零點，等價于在上恰有一個零點，函數(shù)圖像拋物線開口向上，對稱軸，若，無解，不成立；若，解得，滿足題意；若，無解，不成立；若，解得，滿足題意，所以實數(shù)k的取值范圍為.20.塑料袋給我們生活帶來了方便，但塑料在自然界可停留長達年之久，給環(huán)境帶來了很大的危害，國家發(fā)改委?生態(tài)環(huán)境部等9部門聯(lián)合印發(fā)《關(guān)于扎實推進塑料污染治理工作的通知》明確指出，2021年1月1日起，將禁用不可降解的塑料袋?塑料餐具及一次性塑料吸管等.某品牌塑料袋經(jīng)自然降解后殘留量與時間年之間的關(guān)系為為初始量，為光解系數(shù)（與光照強度?濕度及氧氣濃度有關(guān)），為塑料分子聚態(tài)結(jié)構(gòu)系數(shù)，已知分子聚態(tài)結(jié)構(gòu)系數(shù)是光解系數(shù)的90倍.（參考數(shù)據(jù)：）（1）塑料自然降解，殘留量為初始量的，大約需要多久？（2）為了縮短降解時間，該塑料改進工藝，改變了塑料分子聚態(tài)結(jié)構(gòu)，其他條件不變，已知2年就可降解初始量的，則殘留量不足初始量的，至少需要多久？（精確到年）解：（1）由題可知，所以，所以，所以殘留量為初始量的，大約需要207年.（2）根據(jù)題意當時，，，解得，所以，若殘留量不足初始量的，則，，兩邊取常用對數(shù)，，所以至少需要21年.21.如圖，在海岸線EF一側(cè)有一休閑游樂場，游樂場的前一部分邊界為曲線段FGBC，該曲線段是函數(shù)，的圖像，圖象的最高點為.邊界的中間部分為長1千米的直線段CD，且.游樂場的后一部分邊界是以O為圓心的一段圓弧.（1）求曲線段FGBC的函數(shù)表達式和半徑OD的長度；（2）如圖，在扇形ODE區(qū)域內(nèi)建一個平行四邊形休閑區(qū)OMPQ，平行四邊形的一邊在海岸線EF上，一邊在半徑OD上，另外一個頂點P在圓弧上，且，求平行四邊形休閑區(qū)OMPQ面積的最大值及此時的值.解：（1）由已知條件，得，又∵，，∴，又∵當時，有，且，∴，∴曲線段FGBC的解析式為，，，，∴.（2）如圖：，，，∴，作軸于點，在中，，在中，，，，；當時，即時，，所以平行四邊形面積有最大值為（平方千米）.22.設，函數(shù)，.（1）若函數(shù)的值域是，求的取值范圍；（2）當時，記函數(shù)，討論在區(qū)間內(nèi)零點的個數(shù).解：（1），因為函數(shù)的值域是，所以是函數(shù)的值域的子集，所以，解得，所以的取值范圍為.（2）在區(qū)間內(nèi)零點的個數(shù)，即方程在區(qū)間內(nèi)實數(shù)根的個數(shù)，當時，令，則，則，因為，所以，即，又，所以，即，所以；當時，，對稱軸為，而，當，即時，函數(shù)在上無零點，，當，即時，此時，則可取，故方程在上有個實數(shù)根，所以當時，函數(shù)在有個零點；當，即時，此時，則可取，故方程在上有個實數(shù)根，所以當時，函數(shù)在有個零點；當，即