河南九師聯(lián)盟2025屆高三11月質(zhì)量檢測(cè)鞏固數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南九師聯(lián)盟2025屆高三11月質(zhì)量檢測(cè)鞏固數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若復(fù)數(shù)z滿足，則（）A.1 B. C.2 D.【答案】D【解析】由，得，所以.故選：D2.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，得，則；由，得，則，所以.故選：C3.已知向量，滿足，在上的投影向量為，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)樵谏系耐队跋蛄繛?，所?故選：A.4.記等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（）A. B. C.32 D.64【答案】D【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得，則，即，而，因此，所以.故選：D5.已知正方體，E為棱的中點(diǎn)，則異面直線，所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】在正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，令，則，，因此，所以異面直線，所成角的余弦值為.故選：A6.如圖為一塊三角形鐵片，已知，，，現(xiàn)在這塊鐵片中間發(fā)現(xiàn)一個(gè)小洞，記為點(diǎn)，，.過點(diǎn)作一條直線分別交的邊，于點(diǎn)，，并沿直線裁掉，則裁掉的面積的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)，，因?yàn)椋?，所以，由，得，則，平方整理得，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，所以.故選：B.7.設(shè)定義在上的函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，為奇函數(shù)，若，則（）A.0 B.2 C.4 D.2025【答案】B【解析】在上的函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，則，由為奇函數(shù)，得，于是，，因此函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，由，得，由，得，而，則，所以.故選：B8.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，得，令，求導(dǎo)得，令，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，即，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，即，，因此；令，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，即，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，即，，因此，所以.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列命題正確的是（）A.若為純虛數(shù)，，則B.若，，則，C.若在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則D.若是關(guān)于x的方程的根，則【答案】BD【解析】對(duì)于A，因?yàn)闉榧兲摂?shù)，，所以，解得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，，所以，解得，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)樵趶?fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，所以，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)槭顷P(guān)于x的方程的根，所以，所以，整理得，所以，解得，故D正確.故選：BD.10.記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，則（）A. B.若的公差不為，，則C.，，成等差數(shù)列 D.是等差數(shù)列【答案】ACD【解析】的首項(xiàng)為，公差為，對(duì)于A：，所以，故正確；對(duì)于B：，，又因?yàn)?，所以，解得，故錯(cuò)誤；對(duì)于C：，，，所以，，所以，所以，，成等差數(shù)列，故正確；對(duì)于D：因?yàn)椋裕允枪顬榈牡炔顢?shù)列，故正確；故選：ACD.11.如圖，在直三棱柱中，，，P，Q分別為，的中點(diǎn)，則（）A.平面 B.平面C.到平面距離為 D.到直線的距離為【答案】ABD【解析】對(duì)于A，在直三棱柱中，平面，平面，則，由，為的中點(diǎn)，得，而平面，因此平面，A正確；取中點(diǎn)，連接，由矩形，得，則直線兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，而，則，，對(duì)于B，，則，即，，由平面，平面，得，而，平面，因此平面，B正確；對(duì)于C，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，又，所以到平面的距離，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，到直線的距離，D正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.某大型商場(chǎng)計(jì)劃設(shè)計(jì)一個(gè)停車場(chǎng)，根據(jù)地形，設(shè)計(jì)6排停車位，靠近商場(chǎng)第1排設(shè)計(jì)7個(gè)停車位，從第2排開始，每排設(shè)計(jì)的停車位個(gè)數(shù)是上一排的2倍加1，則設(shè)計(jì)的停車位的總數(shù)是______.【答案】498【解析】依題意，每排停車位的個(gè)數(shù)排成一列構(gòu)成數(shù)列，于是，即，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則，即，所以設(shè)計(jì)的停車位總數(shù)為.故答案為：49813.已知四面體中，，，，則該四面體外接球的表面積為______.【答案】18【解析】在四面體中，，，，則該四面體的相對(duì)棱可為某個(gè)長(zhǎng)方體三組相對(duì)面的面對(duì)角線，長(zhǎng)方體的外接球即為四面體的外接球，設(shè)長(zhǎng)方體的共點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)依次為，外接球半徑為，則，于是，所以該四面體外接球的表面積為故答案為：1814.已知，，，，則的取值范圍是______.【答案】【解析】在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出方程的曲線，由，得或表示的是雙曲線與所夾含原點(diǎn)的區(qū)域，因此滿足，，的圖形是圖中的曲線段，而與中互換位置，方程、不等式都不變，則曲線與表示的區(qū)域關(guān)于直線對(duì)稱，只需求出圖中曲線段對(duì)應(yīng)的的范圍即可，由，得，由，得，由，即，，解得，令，求導(dǎo)得，而，則，即，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此，即，所以的取值范圍是.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知等比數(shù)列滿足，其前n項(xiàng)和為.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記，求.解:（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得，解得，所以的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）得，所以16.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，其中，，.（1）求A；（2）求的面積.解:（1）由，由正弦定理得，，因?yàn)?，所以，，則，即，則.（2）由（1）知，，因?yàn)?，所以，則，即，即，因?yàn)?，則或，即或，若，，由，則，則，所以的面積為.17.如圖，在三棱柱中，，，，，二面角的余弦值為.（1）證明：四邊形為菱形；（2）側(cè)棱上是否存在點(diǎn)D，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，確定點(diǎn)D的位置；若不存在，說明理由.解:（1）在三棱柱中，取的中點(diǎn)，連接，由，得，而，，平面，則平面，又平面，于是，則是二面角的平面角，即，在中，，，則，在中，，，則，在中，由余弦定理得：，即，整理得，即，于，在中，，所以四邊形為菱形.（2）由（1）得平面，而平面，則平面平面，平面平面，在平面內(nèi)過作，則平面，于是直線兩兩垂直，以為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，在平面內(nèi)過作于，則平面，由，，得，，則，則，，，，則，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，，設(shè)，，由與平面所成角的正弦值為，得，整理得，解得，即處，所以在側(cè)棱上存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為，點(diǎn)在處.18.已知函數(shù).（1）若，求最大值；（2）若，證明：；（3）若，時(shí)，恒成立，求c的取值范圍.解:（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以.（2）由，得，即，由（1）知，，要證，只證，即證，即證，令，，則證，設(shè)函數(shù)，則，函數(shù)是0,1上的增函數(shù)，于是，即成立，所以.（3）當(dāng)，時(shí)，，令，依題意，當(dāng)時(shí)，恒成立，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，則存在，使得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，，由，解得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，即，因此，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此，則恒有，于是，解得，所以c的取值范圍是.19.對(duì)于給定的數(shù)列以及正整數(shù)m，若，使得成立，則稱為“m階可分拆數(shù)列”.（1）設(shè)，證明：為“3階可分拆數(shù)列”；（2）設(shè)的前n項(xiàng)和為，若為“1階可分拆數(shù)列”，求實(shí)數(shù)a的值；（3）設(shè)，是否存在m，使得為“m階可分拆數(shù)列”？若存在，請(qǐng)求出所有m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.解:（1），，，若，使得成立，則成立，顯然，當(dāng)時(shí)等式成立，所以，使得成立，得證.（2）因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和為當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)榇嬖谡麛?shù)使得成立，則①當(dāng)時(shí)，，即，因?yàn)椋?/p>