河南省三門(mén)峽市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省三門(mén)峽市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1，答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將考生號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題答案使用2B鉛筆填涂，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)；非選擇題答案使用0.5毫米的黑色墨水簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整?筆跡清楚.3.請(qǐng)按照題號(hào)在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效.4.考試結(jié)束后，將答題卡交回.第I卷（選擇題）一?單選題：本題共8小題，每題5分，共40分.在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率為1，則實(shí)數(shù)（）A. B.3 C.2 D.1【答案】A【解析】過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率為，所以，解得，.故選：A.2.圓：與圓：的位置關(guān)系不可能是（）A.內(nèi)含 B.內(nèi)切 C.相交 D.外切【答案】D【解析】圓：化為標(biāo)準(zhǔn)方程，則圓的圓心為，半徑為，圓：的圓心為，半徑為，則兩圓心距離為，所以兩圓不可能外切.故選：D.3.在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，點(diǎn)，，則（）A.直線AB∥坐標(biāo)平面xOy B.直線AB⊥坐標(biāo)平面xOyC.直線AB∥坐標(biāo)平面 D.直線AB⊥坐標(biāo)平面【答案】C【解析】由已知得，坐標(biāo)平面的一個(gè)法向量是，坐標(biāo)平面的一個(gè)法向量是，易判斷與，不平行，所以直線AB不垂直坐標(biāo)平面，也不垂直坐標(biāo)平面，故BD錯(cuò).因?yàn)?，所以直線不平行坐標(biāo)平面，故A錯(cuò)因，點(diǎn)A、B均不在坐標(biāo)平面上，所以直線AB與坐標(biāo)平面平行，故C對(duì).故選：C4.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，并且，則等于（）A.32 B.16 C.992 D.【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，.所以.故選：A.5.已知雙曲線的左焦點(diǎn)為F1，M為C的漸近線上一點(diǎn)，M關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為N,若，且,則C的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖所示，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)在左支,由于，且，所以，由于關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以,結(jié)合可得，所以故漸近線的傾斜角為，雙曲線的漸近線方程為．故選：B6.已知為橢圓的焦點(diǎn)，P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，，則的最大值為（）A. B.6 C. D.【答案】A【解析】由于橢圓的焦點(diǎn)為，所以且焦點(diǎn)在軸上，則，且，，所以橢圓方程為，所以，設(shè)左焦點(diǎn)為，根據(jù)橢圓的定義得，當(dāng)是的延長(zhǎng)線與橢圓的交點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，所以的最大值為.故選：A7.已知等差數(shù)列的前5項(xiàng)和為105，且.對(duì)任意的，將數(shù)列中不大于的項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為，則數(shù)列的前項(xiàng)和等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為，因?yàn)椋傻?，解得，所以，?duì)任意的，若，則，所以，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為7的等比數(shù)列，故.故選：C.8.已知橢圓：的離心率為，左頂點(diǎn)是A，左、右焦點(diǎn)分別是，，是在第一象限上的一點(diǎn),直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為,若,則直線的斜率為（

）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)殡x心率為，故可設(shè)，故，故橢圓方程為：，而，，故，因，故.故直線與軸不垂直也不重合，故可設(shè)，，，則，由可得，因在橢圓內(nèi)部，故恒成立，且，故，因，故，此時(shí)，，故在第一象限，符合條件，的斜率為，故選：A.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知直線，其中，則（）A.直線過(guò)定點(diǎn)B.當(dāng)時(shí)，直線與直線垂直C.當(dāng)時(shí)，直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等D.若直線與直線平行，則這兩條平行直線之間的距離為【答案】ABD【解析】由直線方程，若，即直線過(guò)定點(diǎn)，A對(duì)；時(shí)，斜率為1，而斜率為，顯然斜率乘積為，所以直線與直線垂直，B對(duì)；時(shí)，，令則，令則，顯然截距不相等，C錯(cuò)；若直線與直線平行，即，則兩條平行直線之間的距離，D對(duì).故選：ABD10.如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家揚(yáng)輝所著的《詳析九章算法·商功》中后人稱(chēng)為“三角垛”，“三角垛”最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，…，設(shè)第層有個(gè)球，從上往下層球的總數(shù)為，則（）A. B.C. D.存在正整數(shù)，使得為質(zhì)數(shù)【答案】BC【解析】依題意因?yàn)?，以上個(gè)式子累加可得︰,又滿足上式，所以，故，故A錯(cuò)誤；因，所以，故B正確；因?yàn)?，所以，故C正確；因?yàn)?，故?dāng)且為整數(shù)時(shí)，，此時(shí)、必有一個(gè)為大于的偶數(shù)，則為合數(shù)，則不存在正整數(shù)，使得質(zhì)數(shù)，D錯(cuò)誤，故選：BC11.如圖，在四棱錐中，平面，，，則（）A.直線與所成角的余弦值為B.C.D.點(diǎn)到直線的距離為【答案】AB【解析】過(guò)作，垂足為，則，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，因?yàn)椋灾本€與所成角的余弦值為，故A正確；因?yàn)?，所以B正確；因?yàn)?，所以與不垂直，故C不正確；設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，即點(diǎn)到直線的距離為，故D不正確.故選：AB.12.法國(guó)著名數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日在研究圓錐曲線時(shí)發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，這個(gè)圓稱(chēng)為蒙日?qǐng)A.若矩形的四邊均與橢圓相切，則下列說(shuō)法正確的是（）A.橢圓的蒙日?qǐng)A方程為B.若為正方形，則的邊長(zhǎng)為C.若是直線：上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作橢圓的兩條切線與橢圓相切于，兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，連接，當(dāng)為直角時(shí)，或D.若是橢圓蒙日?qǐng)A上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作橢圓的兩條切線，與該蒙日?qǐng)A分別交于，兩點(diǎn)，則面積的最大值為18【答案】ABC【解析】A選項(xiàng)，，故橢圓的蒙日?qǐng)A方程為，A正確；B選項(xiàng)，由題意，為圓的內(nèi)接矩形，若為正方形，設(shè)的邊長(zhǎng)為，則，解得，故B正確；C選項(xiàng)，由題意得，直線：與的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)，則，解得或，故或，故或，C正確.D選項(xiàng)，由對(duì)稱(chēng)性可知，四邊形為矩形，其中為對(duì)角線，且，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故D錯(cuò)誤.故選：ABC第II卷（非選擇題）三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.在正方體中，是棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是__________.【答案】【解析】因?yàn)槭钦襟w，建立以為原點(diǎn)的坐標(biāo)系，如圖，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則有，，，，，，設(shè)異面直線與所成角為，．故答案為：．14.已知等差數(shù)列滿足，則的值為_(kāi)________.【答案】3【解析】由等差數(shù)列通項(xiàng)公式得，即，故，.故答案為：315.河南省2025年高考將實(shí)行“3+1+2”高考模式，其中的“2”為選考科目，分?jǐn)?shù)將實(shí)行賦分制，等級(jí)劃分?人數(shù)比例?賦分區(qū)域?qū)?yīng)關(guān)系如圖所示，各單科一樣.根據(jù)規(guī)則，各考生的單科分?jǐn)?shù)位次賦分前后不發(fā)生改變，一個(gè)等級(jí)內(nèi)的原始分x?賦分后的分?jǐn)?shù)y構(gòu)成的點(diǎn)都在一條直線上.某次模擬考試中，小張的化學(xué)成績(jī)?yōu)?3分在B級(jí)，且這次考試B級(jí)的上?下限原始分分別為69分?51分（51分賦分后為71分，69分賦分后為85分）.那么小張的賦分成績(jī)?yōu)開(kāi)_________.（賦分計(jì)算時(shí)四舍五入為整數(shù)）等級(jí)比例賦分區(qū)域【答案】80【解析】設(shè)小張的賦分為，由得，所以小張的賦分為分.故答案為：.16.過(guò)雙曲線：（，）的左焦點(diǎn)作的一條漸近線的垂線，垂足為，這條垂線與另一條漸近線在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，，成等差數(shù)列，則的離心率為_(kāi)_____.【答案】【解析】如圖，設(shè)（），漸近線：，漸近線：，直線：，因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，所以，得，原點(diǎn)到直線的距離，即.將直線與聯(lián)立方程組可解得，故.所以.在中，，整理可得，所以，整理得，所以離心率.故答案為：四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17.已知數(shù)列滿足，且成等比數(shù)列，（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求的最小值及此時(shí)的值.解：（1）由知為等差數(shù)列，設(shè)公差為，則，成等比數(shù)列，所以，即，解得，又，所以的通項(xiàng)公式為；（2）由(1)得，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為18.在正四棱柱中，，，在線段上，且.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.（1）求；（2）求直線與平面所成角的正弦值.解：（1）由題意得，，，，，，所以，所以；（2）由已知得，,，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，取，則，所以平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.19.已知是拋物線的焦點(diǎn)，是上在第一象限的一點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，軸，，．（1）求的方程；（2）過(guò)作斜率為的直線與交于，兩點(diǎn)，的面積為（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的方程．解：（1）由題知，，由拋物線的定義知，，，的方程為．（2）由（1）知，設(shè)，，直線的方程為，代入，整理得，由題易知，，，到直線的距離為，，解得，直線的方程為或．20.如圖，在多面體中，四邊形為正方形，平面，，，．（1）求平面與平面所成銳二面角的余弦值；（2）在棱上是否存在點(diǎn)，使得直線與所成角的余弦值為?若存在，求點(diǎn)到平面的距離；若不存在，說(shuō)明理由．解：（1）由四邊形為正方形，平面，知直線兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，令，得，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，令，得，設(shè)平面和平面所成銳二面角為，則所以平面與平面所成銳二面角余弦值為．（2）假設(shè)存在，又，則，，由直線與所成角的余弦值為，得，解得，則存在點(diǎn)，為棱的中點(diǎn)時(shí)滿足條件，即，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，令，得，所以點(diǎn)到平面的距離為.21.已知數(shù)列滿足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）探究數(shù)列是否存在最大項(xiàng)，并說(shuō)明理由．解：（1）因?yàn)?，即，且，可得，所以，即?shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則，即，所以，又，則.（2）由（1）可得，，則，所以，當(dāng)時(shí)，，，則，所以，所以當(dāng)時(shí)，為單調(diào)遞減數(shù)列，又，，，所以當(dāng)或時(shí)，數(shù)列有最大項(xiàng)為.22.已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且其右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)且與坐標(biāo)軸不垂直的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由；（3）過(guò)點(diǎn)且不垂直于軸的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，試證明：直線過(guò)定點(diǎn)．解：（1）因