滬科版九年級數(shù)學上冊期末復習 第24章 圓易錯訓練與壓軸訓練（4類易錯+4類壓軸）

第二十四章圓易錯訓練與壓軸訓練01思維導圖01思維導圖目錄TOC\o"1-3"\h\u易錯題型一對圓的相關(guān)概念理解不透徹 1易錯題型二對垂徑定理的推論理解不透徹 4易錯題型三忽視“弧、弦、圓心角之間的關(guān)系” 7易錯題型四當圖形未給出時，沒有分類討論 7壓軸題型一用圓周角求角度 13壓軸題型二求圖形面積 15壓軸題型三用與圓的位置關(guān)系解決問題 17壓軸題型四用切線解決問題 17002易錯題型易錯題型一對圓的相關(guān)概念理解不透徹例1．（24-25九年級上·福建福州·階段練習）下列說法，正確的是（

）A．優(yōu)弧大于劣弧 B．平分弦的直徑垂直于弦C．相等的圓心角所對的弧相等 D．直徑所對圓周角是直角鞏固訓練1．（24-25九年級上·江蘇南通·階段練習）下列語句中正確的說法是（

）A．垂直于弦的直徑平分弦B．圓是軸對稱圖形，任何一條直徑都是它的對稱軸C．長度相等的弧是等弧D．圓內(nèi)接矩形是正方形2．（24-25九年級上·江蘇無錫·階段練習）下列說法，錯誤的是（）A．過三點可以確定一個圓 B．等弧所對的圓心角相等C．弦的垂直平分線一定經(jīng)過圓心 D．直徑是弦3．（24-25九年級上·江蘇徐州·階段練習）下列說法中，正確的個數(shù)為（

）①面積相等的圓是等圓；②過圓心的線段是直徑；③長度相等的弧是等??；④半徑是弦；⑤直徑是最長的弦；⑥等弧所在的圓一定是等圓或同圓A．1個 B．2個 C．3個 D．4個易錯題型二對垂徑定理的推論理解不透徹例2．（24-25九年級上·浙江寧波·階段練習）如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點F，于點E，若⊙O的半徑為3，BF=2，則OE的長為（

）A．1 B．2 C． D．鞏固訓練1．（22-23九年級上·廣東湛江·期中）已知：如圖，AB是⊙O的弦，⊙O的半徑為5，OC⊥AB于點D，交⊙O于點C，且CD=2，那么AB的長為（

）A．4 B．6 C．8 D．102．（2024·河南商丘·三模）如圖，在⊙O中，直徑AB=20，弦DE⊥AB，交AB于點C，連接DO．若DE=16，則AC的長為（

）A．5 B．4 C．8 D．63．（2024·湖南長沙·模擬預測）如圖，在⊙O中，點A，B，C在圓上，且OC⊥AB，垂足為D．若∠BOC=45°，，則AB的長為（）A．22 B．4 C．2 D．易錯題型三忽視“弧、弦、圓心角之間的關(guān)系”例3.（2024·陜西西安·三模）如圖，AB是⊙O的直徑，點C、D、E在⊙O上，AE=DE，若∠BDE=110°，則∠ABD的度數(shù)為（

）A．20° B．30° C．40° D．50°鞏固訓練1．（2024·河南南陽·模擬預測）如圖，AB為⊙O的直徑，C、D為⊙O上的點，BC=DC．若∠ABD=20°，則∠CBD的度數(shù)為（

A．35° B．30° C．25° D．20°2．（2024·湖北黃石·三模）如圖所示，弦AB，CD所對的圓心角分別是∠AOB，∠COD，若∠AOB與∠COD互補，AB=8，CD=6，那么⊙O的半徑為（

）

A．5 B．10 C．52 D．3．（2024·山東德州·一模）如圖，A，B，C，D是⊙O上的點，AB=AD，AC與BD交于點E，AE=3，EC=5，BD=45，⊙OA．6 B． C．5 D．26易錯題型四當圖形未給出時，沒有分類討論例4.（23-24九年級上·黑龍江綏化·階段練習）已知在⊙O中兩條平行弦AB∥CD，AB=12，，⊙O的半徑是10，則AB與CD間的距離是（

）A．6或12 B．2或14 C．6或14 D．2或12鞏固訓練1．（22-23九年級上·天津和平·期末）⊙O半徑為5，弦AB∥CD，AB=6，CD=8，則AB與CD間的距離為（

）A．1 B．7 C．1或7 D．3或42．（23-24八年級上·山東濱州·開學考試）一個點到圓的最小距離為4cm，最大距離為9A．2.5cm或6.5cm B．2.5cm C．6.5cm 3．（23-24九年級上·內(nèi)蒙古通遼·期中）⊙O的半徑是10，弦AB∥CD，AB=16，CD=12，則弦AB與CD的距離是（

）A．2 B．14 C．2或14 D．7或1003壓軸題型壓軸題型一用圓周角求角度例1.（23-24九年級下·全國·單元測試）如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，∠BCD=126°，則∠BOD的大小是（

）

A．108° B．106° C．100° D．110°鞏固訓練1．（23-24九年級上·重慶榮昌·期末）如圖，⊙O是四邊形ABCD的外接圓，若∠ABC=110°，則∠ADC的度數(shù)是（

）A．60° B．70° C．80° D．90°2．（24-25九年級上·江蘇無錫·階段練習）如圖，點A，B，C都在⊙O上，若∠OAB=54°，則∠ACB=（）A．18° B．54° C．36° D．72°3．（2024·湖南·模擬預測）如圖，在⊙O中，，若∠D=25°，則∠1=（

）A．25° B．30° C．50° D．60°壓軸題型二求圖形面積例2.（23-24九年級上·重慶·階段練習）如圖，正方形ABCD的邊長為2，以A為圓心，AB為半徑畫弧．連接AC，以A為圓心，AC為半徑畫弧交AD的延長線于點E，則圖中陰影部分的面積是．鞏固訓練1．（24-25九年級上·江蘇南京·階段練習）如圖，將半徑OB=4的半圓繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)30°，此時點A到了點A'，則圖中涂色部分的面積為2．（2024·廣東清遠·模擬預測）如圖，在邊長為3的等邊三角形ABC中，以AB為直徑構(gòu)造半圓，則圖中陰影部分的面積為．3．（24-25七年級上·重慶·開學考試）如圖所示，在直角三角形ABC中，AB=6cm，BC=15cm，從中剪掉兩個半徑相等的扇形，求陰影部分的面積為壓軸題型三用與圓的位置關(guān)系解決問題例3.（24-25九年級上·江蘇揚州·階段練習）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，AB=5，D是AC上一點，E是BC上一點，，若以DE為直徑的圓交AB于M、N點，則MN的最大值為cm鞏固訓練1．（2024·安徽合肥·二模）已知△ABC三個頂點的坐標為A?2，6、B6，?2、C?2，?2，點P為△ABC邊上一動點，點Q為平面內(nèi)一點，連接，我們把線段的最小值稱為“點Q到△ABC（1）若Q在原點O時，；（2）若點Q是以點Mt，0為圓心，以1為半徑的⊙M上一動點，且，則t的取值范圍是．2．（2024·安徽蕪湖·一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，點D為AB上一點，點P在AC上，且CP=1，將CP繞點C在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，點P的對應點為點Q，連接AQ，（1）當點D是AB的中點時，DQ的最小值為；（2）當CD⊥AB，且點Q在直線CD上時，AQ的長為．

3．（2024·廣東廣州·二模）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB=AC，CD⊥AB于點D，BO的延長線交CD于點E．（1）∠DCB∠DBE（填“>，<或=”）：（2）若，BE=4，則OE=．壓軸題型四用切線解決問題例3.（22-23九年級上·廣東湛江·期中）已知：如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，OC與⊙O相交于點D，連接AD并延長與BC相交于點E，且點F為的中點，，BC=3cm．(1)求⊙O的半徑；(2)求證：FD與⊙O相切．鞏固訓練1．（2024·湖北恩施·模擬預測）如圖，已知四邊形ABCD中，∠DAB=∠ABC=90°，點O是AB的中點，∠COD=90°，以AB為直徑作半圓⊙O．(1)求證：CD是⊙O的切線；(2)若OC與⊙O的交點M是OC的中點，⊙O的半徑為2，求CD的長．2．（2024九年級下·云南昆明·專題練習）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交AC于點D（點D與點A不重合），交BC于點E，過點E作FG⊥AC于點F，交AB的延長線于點G．(1)求證：FG是⊙O的切線；(2)如圖1，若CF=1，BE=3；求⊙O的半徑；(3)如圖2，連接AE，OD，交點為H，當AH=EH=m時，求線段EG的長．3．（2024·貴州銅仁·一模）如圖，已知點C是以AB為直徑的⊙O上一點，CH⊥AB于點，過點B作⊙O的切線交直線AC于點D，點E為CH的中點，連接AE并延長交BD于點F，射線CF交AB的延長線于G．(1)則DF與FB的數(shù)量關(guān)系為_________；(2)求證：是⊙O的切線；(3)若，求tan∠DAB

第二十四章圓易錯訓練與壓軸訓練01思維導圖01思維導圖目錄TOC\o"1-3"\h\u易錯題型一對圓的相關(guān)概念理解不透徹 1易錯題型二對垂徑定理的推論理解不透徹 4易錯題型三忽視“弧、弦、圓心角之間的關(guān)系” 7易錯題型四當圖形未給出時，沒有分類討論 7壓軸題型一用圓周角求角度 13壓軸題型二求圖形面積 15壓軸題型三用與圓的位置關(guān)系解決問題 17壓軸題型四用切線解決問題 17002易錯題型易錯題型一對圓的相關(guān)概念理解不透徹例1．（24-25九年級上·福建福州·階段練習）下列說法，正確的是（

）A．優(yōu)弧大于劣弧 B．平分弦的直徑垂直于弦C．相等的圓心角所對的弧相等 D．直徑所對圓周角是直角【答案】D【分析】此題主要考查了圓的有關(guān)概念，熟練掌握相關(guān)概念是解決此題的關(guān)鍵.根據(jù)圓的有關(guān)概念進行逐項辨析即可得解.【詳解】A、同圓或等圓中，優(yōu)弧一定大于劣弧，故該選項錯誤；B、平分弦的直徑，當被平分的弦是直徑時，直徑不垂直于弦，故該選項錯誤；C、同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，故該選項錯誤；D、直徑所對圓周角是直角，故該選項正確；故選：D．鞏固訓練1．（24-25九年級上·江蘇南通·階段練習）下列語句中正確的說法是（

）A．垂直于弦的直徑平分弦B．圓是軸對稱圖形，任何一條直徑都是它的對稱軸C．長度相等的弧是等弧D．圓內(nèi)接矩形是正方形【答案】A【分析】本題考查垂徑定理，等弧的定義，圓的有關(guān)性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基本知識．根據(jù)垂徑定理，等弧的定義，圓的有關(guān)性質(zhì)逐項判斷，即可解題．【詳解】解：A、垂直于弦的直徑平分弦，說法正確，符合題意；B、圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對稱軸，原說法錯誤，不符合題意；C、在同圓或等圓中，長度相等的弧是等弧，原說法錯誤，不符合題意；D、圓內(nèi)接矩形是不一定是正方形，原說法錯誤，不符合題意；故選：A．2．（24-25九年級上·江蘇無錫·階段練習）下列說法，錯誤的是（）A．過三點可以確定一個圓 B．等弧所對的圓心角相等C．弦的垂直平分線一定經(jīng)過圓心 D．直徑是弦【答案】A【分析】本題主要考查了圓的基本知識，熟練掌握圓的基本定義，垂徑定理，是解題的關(guān)鍵．根據(jù)直徑定義，圓心角、弧間的關(guān)系，垂徑定理，確定圓的條件進行判斷即可．【詳解】解：A．過不在同一直線上的三點可以確定一個圓，原說法錯誤；B．等弧所對的圓心角相等，正確；C．弦的垂直平分線一定經(jīng)過圓心，正確；D．直徑是弦，正確．故選：A．3．（24-25九年級上·江蘇徐州·階段練習）下列說法中，正確的個數(shù)為（

）①面積相等的圓是等圓；②過圓心的線段是直徑；③長度相等的弧是等?。虎馨霃绞窍?；⑤直徑是最長的弦；⑥等弧所在的圓一定是等圓或同圓A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】本題考查了等圓、等弧、弦的相關(guān)定義，利用等圓及弧、弦的概念對說法進行判斷即可得到答案．【詳解】解：①面積相等的圓是等圓，故原說法正確；②連接圓周上兩點并通過圓心的線段是圓的直徑，故原說法錯誤；③等弧，是在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧，故原說法錯誤；④連接圓上任意兩點的線段叫作弦，半徑不是弦，故原說法錯誤；⑤連接圓上任意兩點的線段叫做弦，直徑是最長的弦，故原說法正確；⑥等弧，是在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧，即等弧所在的圓一定是等圓或同圓，故原說法正確∴正確的說法有①⑤⑥，共3個．故選：C．易錯題型二對垂徑定理的推論理解不透徹例2．（24-25九年級上·浙江寧波·階段練習）如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點F，于點E，若⊙O的半徑為3，BF=2，則OE的長為（

）A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】本題考查圓周角定理，垂徑定理，勾股定理．利用勾股定理求出DF，AD，再利用垂徑定理求得AE，再求解即可．【詳解】解：如圖，連接OD．∵⊙O的半徑為3，BF=2，∴OF=OB?BF=1，AF=AB?BF=4，在Rt△OFD中，在Rt△ADF中，∵OE⊥AD，，在Rt△AOE中，故選：C．鞏固訓練1．（22-23九年級上·廣東湛江·期中）已知：如圖，AB是⊙O的弦，⊙O的半徑為5，OC⊥AB于點D，交⊙O于點C，且CD=2，那么AB的長為（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【分析】此題考查了垂徑定理、勾股定理等知識．連接OA，根據(jù)垂徑定理得到∠ADO=90°,AB=2AD，利用勾股定理求出AD=4，即可得到答案．【詳解】解：連接OA，∵OC⊥AB于點D，∴∠ADO=90°,AB=2AD，在Rt△ODA中，即52解得：AD=4.∴AB=2AD=8.故選：C．2．（2024·河南商丘·三模）如圖，在⊙O中，直徑AB=20，弦DE⊥AB，交AB于點C，連接DO．若DE=16，則AC的長為（

）A．5 B．4 C．8 D．6【答案】B【分析】本題考查的是垂徑定理、勾股定理的應用，根據(jù)垂徑定理得到DC=CE=8，利用勾股定理求得，即可得到AC的值，掌握垂直于弦的直徑平分這條弦是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵弦DE⊥AB，DE=16，直徑AB=20，∴DC=CE=12DE=8∴OC=O∴AC=AO?CO=4，故選：B．3．（2024·湖南長沙·模擬預測）如圖，在⊙O中，點A，B，C在圓上，且OC⊥AB，垂足為D．若∠BOC=45°，，則AB的長為（）A．22 B．4 C．2 D．【答案】D【分析】本題主要考查了垂徑定理以及勾股定理，掌握垂徑定理是解題關(guān)鍵．先根據(jù)勾股定理得BD=1，再根據(jù)垂徑定理即可得出答案．【詳解】解：∵OC⊥AB，∴AB=2BD，∵∠BOC=45°，OA=OB=2∴BD=OD，∴BD∴2BD∴BD=1，∴．故選：D．易錯題型三忽視“弧、弦、圓心角之間的關(guān)系”例3.（2024·陜西西安·三模）如圖，AB是⊙O的直徑，點C、D、E在⊙O上，AE=DE，若∠BDE=110°，則∠ABD的度數(shù)為（

）A．20° B．30° C．40° D．50°【答案】C【分析】本題考查了圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)，圓周角定理，弧、弦、圓心角的關(guān)系，連接，利用圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)得到∠BAE=70°，結(jié)合圓周角定理得到∠AEB=90°，進而推出，最后根據(jù)AE=DE，結(jié)合弧、弦、圓心角的關(guān)系即可解題．【詳解】解：連接，∵∠BDE=110°，，是圓的直徑，∴∠AEB=90°，∴∠ABE=90°?70°=20°，，∴AE∴∠ABE=∠DBE=20°，∴∠ABD=20°+20°=40°．故選：C．鞏固訓練1．（2024·河南南陽·模擬預測）如圖，AB為⊙O的直徑，C、D為⊙O上的點，BC=DC．若∠ABD=20°，則∠CBD的度數(shù)為（

A．35° B．30° C．25° D．20°【答案】A【分析】本題主要考查圓周角定理及圓心角、弧、弦的關(guān)系，利用其求得∠COD的度數(shù)為解題的關(guān)鍵．根據(jù)圓周角定理可得∠AOD=2∠ABD=2×20°=40°，及圓心角、弧、弦的關(guān)系易得∠BOC=∠COD=12∠BOD=70°【詳解】解：如圖，連接OC，OD，

，∴∠AOD=2∠ABD=2×20°=40°，∴∠BOD=180°?∠AOD=140°，BC=DC∴∠BOC=∠COD=1∴∠CBD=1故選：A2．（2024·湖北黃石·三模）如圖所示，弦AB，CD所對的圓心角分別是∠AOB，∠COD，若∠AOB與∠COD互補，AB=8，CD=6，那么⊙O的半徑為（

）

A．5 B．10 C．52 D．【答案】A【分析】本題主要考查圓的基本性質(zhì)、圓周角定理，延長AO交⊙O于點E，連接，由∠AOB+∠BOE=∠AOB+∠COD知∠BOE=∠COD，據(jù)此可得BE=CD，在Rt△ABE【詳解】解：如圖，延長AO交⊙O于點E，連接，

則∠AOB+∠BOE=180°，又∵∠AOB+∠COD=180°，∴∠BOE=∠COD，∴BE=CD=6，∵AE為⊙O的直徑，∴∠ABE=90°，∴AE=A∴⊙O的半徑=1故選A．3．（2024·山東德州·一模）如圖，A，B，C，D是⊙O上的點，AB=AD，AC與BD交于點E，AE=3，EC=5，BD=45，⊙OA．6 B． C．5 D．26【答案】A【分析】連接DC，易得△ADE∽△ACD，即可求出AD，連接OA，由垂徑定理可得AO⊥BD，再根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：連接DC，如圖：∵AB=AD，∴AB=∴∠ADE=∠ACD，∵∠DAE=∠CAD，∴△ADE∽△ACD，∴AEAD=AD解得：AD=26∵AB=AD，即A是∴AO⊥BD，BH=DH=1在中，AH2∴AH=2∴OH=OD?2，在Rt△ODH中，∴OD解得OD=6．故選：A．【點睛】本題主要考查了垂徑定理，三角形相似的判定和性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握相關(guān)的判定和性質(zhì)．易錯題型四當圖形未給出時，沒有分類討論例4.（23-24九年級上·黑龍江綏化·階段練習）已知在⊙O中兩條平行弦AB∥CD，AB=12，，⊙O的半徑是10，則AB與CD間的距離是（

）A．6或12 B．2或14 C．6或14 D．2或12【答案】B【分析】由勾股定理，垂徑定理，分兩種情況討論：①當AB和CD位于圓心同側(cè)時和②當AB和CD位于圓心異側(cè)時，即可求解．【詳解】解：分類討論：①當AB和CD位于圓心同側(cè)時，如圖，連接OA，OC，過點O作OE⊥AB于點E，交CD于點F．

∵AB∥CD，∴OE⊥CD，∴AE=12AB=6∵OA=OC=10，∴OE=OA2∴EF=OE?OF=2，即此時AB與CD間的距離是2；②當AB和CD位于圓心異側(cè)時，如圖，連接OA，OC，過點O作OP⊥AB于點P，延長PO交CD于點Q．

∵AB∥CD，∴OQ⊥CD，∴，CQ=12∵OA=OC=10，∴OP=OA2∴PQ=OP+OQ=14，即此時AB與CD間的距離是14．綜上可知AB與CD間的距離是2或14．故選B．【點睛】本題考查垂徑定理，勾股定理，解題關(guān)鍵是分兩種情況討論，作輔助線構(gòu)造直角三角形．鞏固訓練1．（22-23九年級上·天津和平·期末）⊙O半徑為5，弦AB∥CD，AB=6，CD=8，則AB與CD間的距離為（

）A．1 B．7 C．1或7 D．3或4【答案】C【分析】過O點作OE⊥AB，E為垂足，交CD與F，連OA，OC，由AB∥CD，得到OF⊥CD，根據(jù)垂徑定理得AE=3，CF=4，再在Rt△OAE中和在中分別利用勾股定理求出OE，OF，然后討論：當圓O點在AB、CD之間，AB與CD之間的距離=OE+OF；當圓O點不在AB、CD之間，AB與CD之間的距離=OE?OF【詳解】解：過O點作OE⊥AB，E為垂足，交CD與F，連OA，OC，如圖，，∴OF⊥CD，，CF=DF，而AB=6，CD=8，∴AE=3，CF=4，在Rt△OAE中，OA=5，在中，OC=5，OF=OC當圓O點在AB、CD之間，AB與CD之間的距離=OE+OF=7；當圓O點不在AB、CD之間，AB與CD之間的距離=OE?OF=1；所以AB與CD之間的距離為7或1．故選：C．【點睛】本題考查了垂徑定理，即垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的?。部疾榱斯垂啥ɡ硪约胺诸愑懻摰乃枷氲倪\用．2．（23-24八年級上·山東濱州·開學考試）一個點到圓的最小距離為4cm，最大距離為9A．2.5cm或6.5cm B．2.5cm C．6.5cm 【答案】A【分析】本題主要考查圓的基本性質(zhì)，注意到分兩種情況進行討論是解決本題的關(guān)鍵．設(shè)此點為P點，圓為⊙O，最大距離為PB，最小距離為PA，有兩種情況：①當此點在圓內(nèi)；②當此點在圓外；分別求出半徑值即可．【詳解】解：設(shè)此點為P點，圓為⊙O，最大距離為PB，最小距離為PA，則：∵此點與圓心的連線所在的直線與圓的交點即為此點到圓心的最大、最小距離∴有兩種情況：當此點在圓內(nèi)時，如圖所示，半徑OB=PA+PB當此點在圓外時，如圖所示，半徑OB=PB?PA故圓的半徑為2.5cm或故選：．3．（23-24九年級上·內(nèi)蒙古通遼·期中）⊙O的半徑是10，弦AB∥CD，AB=16，CD=12，則弦AB與CD的距離是（

）A．2 B．14 C．2或14 D．7或1【答案】C【分析】本題考查了垂徑定理的應用．作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，由垂徑定理得AE=12AB=8，CF=12CD=6，由于AB∥CD，易得E、O、F三點共線，在Rt△AOE和中，利用勾股定理分別計算出OE與OF，然后討論：當圓心O在弦AB與CD之間時，AB與CD的距離；當圓心O在弦AB與CD的外部時，【詳解】解：如圖，作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，連OA，OC，OA=OC=10，則AE=1∵AB∥CD，∴E、O、F三點共線，在Rt△AOE中，在中，OF=OC當圓心O在弦AB與CD之間時，AB與CD的距離OF+OE=8+6=14；當圓心O在弦AB與CD的外部時，AB與CD的距離OF?OE=8?6=2．所以AB與CD的距離是14或2．故選：C．003壓軸題型壓軸題型一用圓周角求角度例1.（23-24九年級下·全國·單元測試）如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，∠BCD=126°，則∠BOD的大小是（

）

A．108° B．106° C．100° D．110°【答案】A【分析】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，由根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠A+∠BCD=180°，求出，然后由圓周角定理即可求解，解題的關(guān)鍵是掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補．【詳解】∵四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠A+∠BCD=180°，∴∠A=54°，∴∠BOD=2∠A=108°，故選：A．鞏固訓練1．（23-24九年級上·重慶榮昌·期末）如圖，⊙O是四邊形ABCD的外接圓，若∠ABC=110°，則∠ADC的度數(shù)是（

）A．60° B．70° C．80° D．90°【答案】B【分析】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟練掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補是解題的關(guān)鍵．根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對角互補即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ABC=110°，∴∠ADC=180°?∠ABC=180°?110°=70°，故選：B2．（24-25九年級上·江蘇無錫·階段練習）如圖，點A，B，C都在⊙O上，若∠OAB=54°，則∠ACB=（）A．18° B．54° C．36° D．72°【答案】C【分析】本題考查了圓周角定理，等邊對等角和三角形內(nèi)角和定理，首先根據(jù)OA=OB得到∠OBA=∠OAB=54°，然后利用三角形內(nèi)角和定理求出∠O=180°?∠OAB?∠OBA=72°，然后利用圓周角定理求解即可．【詳解】解：∵OA=OB∴∠OBA=∠OAB=54°∴∠O=180°?∠OAB?∠OBA=72°∵AB∴∠ACB=1故選：C．3．（2024·湖南·模擬預測）如圖，在⊙O中，，若∠D=25°，則∠1=（

）A．25° B．30° C．50° D．60°【答案】C【分析】本題考查圓周角定理等，連接OA，根據(jù)圓周角定理求出∠AOB，根據(jù)AB?=BC【詳解】解：如圖，連接OA．，，∵AB．故選：C．壓軸題型二求圖形面積例2.（23-24九年級上·重慶·階段練習）如圖，正方形ABCD的邊長為2，以A為圓心，AB為半徑畫?。B接AC，以A為圓心，AC為半徑畫弧交AD的延長線于點E，則圖中陰影部分的面積是．【答案】2【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，扇形的面積的計算，圖中陰影部分的面積=扇形AEC的面積的面積正方形ABCD的面積?扇形ADB的面積，據(jù)此計算即可．根據(jù)正方形的性質(zhì)和扇形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵正方形ABCD的邊長為2，∴AB=BC=AD=CD=2，∠BAD=90°，∠DAC=45°，∴AC=2∴圖中陰影部分的面積=45π×故答案為：2．鞏固訓練1．（24-25九年級上·江蘇南京·階段練習）如圖，將半徑OB=4的半圓繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)30°，此時點A到了點A'，則圖中涂色部分的面積為【答案】163π【分析】本題考查求陰影部分面積，熟練掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．利用S陰影【詳解】解∶∵半徑OB=4的半圓繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)30°，∴S半圓A'∴S===16故答案為：1632．（2024·廣東清遠·模擬預測）如圖，在邊長為3的等邊三角形ABC中，以AB為直徑構(gòu)造半圓，則圖中陰影部分的面積為．【答案】3【分析】連接OD，OE，DE，根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)求出△AOD、△BOE、△CDE是邊長相等的等邊三角形，再根據(jù)陰影部分的面積=S【詳解】解：如圖，連接OD，OE，DE，∵△ABC是等邊三角形的邊長為3，∴∠BAC=∠CBA=∠ACB=60°，AB=AC=BC=3，∵以AB為直徑構(gòu)造半圓，，∴△AOD、△BOE，，，∴△CDE是等邊三角形，，∴S∴S∴陰影部分的面積=S故答案為：383．（24-25七年級上·重慶·開學考試）如圖所示，在直角三角形ABC中，AB=6cm，BC=15cm，從中剪掉兩個半徑相等的扇形，求陰影部分的面積為【答案】45?9π【分析】本題主要考查了直角三角形的面積和扇形的面積的計算，用直角三角形的面積減去兩個半徑相等的扇形的面積，就是剩余部分的面積．【詳解】解：，=45?9π，故答案為：45?9π．壓軸題型三用與圓的位置關(guān)系解決問題例3.（24-25九年級上·江蘇揚州·階段練習）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，AB=5，D是AC上一點，E是BC上一點，，若以DE為直徑的圓交AB于M、N點，則MN的最大值為cm【答案】12【分析】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系、勾股定理以及軌跡等知識，如圖，作OH⊥AB于H，CK⊥AB于K，由題意，，推出欲求MN的最大值，只要求出的最小值即可．【詳解】如圖，連接OM，作OH⊥AB于H，CK⊥AB于K，，∴MH=HN，，∵∠DCE=90°，OD=OE，，∴欲求MN的最大值，只要求出的最小值即可，∵OC=3∴點O的運動軌跡是以C為圓心，32在Rt△ACB中，AC=4，∴BC=3，∵1，當C、O、H共線，且與CK重合時，的值最小，∴OH的最小值為，的最小值為232故答案為：125鞏固訓練1．（2024·安徽合肥·二模）已知△ABC三個頂點的坐標為A?2，6、B6，?2、C?2，?2，點P為△ABC邊上一動點，點Q為平面內(nèi)一點，連接，我們把線段的最小值稱為“點Q到△ABC（1）若Q在原點O時，；（2）若點Q是以點Mt，0為圓心，以1為半徑的⊙M上一動點，且，則t的取值范圍是．【答案】2t=?4或0≤t≤4?22或【分析】本題考查的是點和圓的位置關(guān)系及點到直線的距離，解題關(guān)鍵是分情況畫出相應圖形，（1）由點的坐標推出平行，用待定系數(shù)法求出直線AB表達式，進而求出原點到AB距離；（2）根據(jù)題意分三種情況討論，結(jié)合圖形找出臨界點，利用三角函數(shù)求出關(guān)鍵線段的長度，進而求出對應圓心坐標．【詳解】解：（1）作OH⊥AB于點H，如下圖，∵A?2，6、B∴AC∥y軸，BC∥x軸，∴原點Q到AC,BC的距離都是2，設(shè)直線AB表達式為y=kx+b，把A?2，6∴?2k+b=6解得：&k=?1&b=4∴直線AB表達式為y=?x+4，當x=0時，y=4；當y=0時x=4，∴E4,0∴OE=OF=4，∴EF=∴∴OH=2當Q在原點O時，點Q到△ABC的距離最小值為d=2，故答案為2；（2）⊙M與△ABC位置關(guān)系有三種情況：①⊙M1在△ABC左側(cè)，此時Q1到AB∵⊙M∴M則t=?4；②⊙M2，⊙當圓心M2正好在原點時，到AB的距離，則，作M3G⊥AC于點G，Q3到AB∴M∵A?2，6∴AC∥y軸，BC∥x軸，∴AB⊥BC∴AB=BC=8∴∠ACB=45°∴則t=4?2時，均成立；③⊙M4在△ABC右側(cè)，此時Q4到AC作M4N⊥AC，于點則M4∵∠N∴則t=4+2綜上所述，t的取值范圍是t=?4或0≤t≤4?22或t=4+2故答案為：t=?4或0≤t≤4?22或t=4+22．（2024·安徽蕪湖·一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，點D為AB上一點，點P在AC上，且CP=1，將CP繞點C在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，點P的對應點為點Q，連接AQ，（1）當點D是AB的中點時，DQ的最小值為；（2）當CD⊥AB，且點Q在直線CD上時，AQ的長為．

【答案】321305【分析】本題考查勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，分兩種情況進行討論是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)勾股定理得到AB長，當點Q在CD上時，DQ最小，計算即可；（2）現(xiàn)根據(jù)三角形的面積求出CD長，然后利用勾勾股定理求出AD長，分兩種情況：當點Q在CD上，當點Q在DC的延長線上，利用勾股定理分別進行計算即可解答．【詳解】（1）解：當點D是AB的中點時，如圖所示，以C為圓心，以CP長為半徑作圓C，交CD于點Q，則DQ為最小值，∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB=A又∵D是AB的中點，∴CD=1又∵CQ=CP=1，∴DQ=CD?CQ=5故答案為：32

（2）如圖：

∵CD⊥AB，∴S∴CD=AC∴AD=A∴點C、D、Q在同一條直線上，由旋轉(zhuǎn)得：CQ=CP=CQ分兩種情況：當點Q在CD上,在Rt△ADO中，∴AQ=A當點Q在DC的延長線上，在Rt△AD∴AQ'綜上所述：當∠ADQ=90°時,AQ的長為1305或370故答案為：1305或3703．（2024·廣東廣州·二模）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB=AC，CD⊥AB于點D，BO的延長線交CD于點E．（1）∠DCB∠DBE（填“>，<或=”）：（2）若，BE=4，則OE=．【答案】=1【分析】（1）延長交⊙O于點F，連接CF，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得∠BCF=90°，根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得，∠A+∠ACD=90°，根據(jù)在同圓中，等弧所對的圓周角相等可得，根據(jù)等角的余角相等可得，根據(jù)等邊對等角可得∠ABC=∠ACB，即可推得∠DBE=∠DCB；（2）根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得∠DBE+∠DEB=90°，結(jié)合（1）中結(jié)論和根據(jù)等角的余角相等可得∠DEB=∠FCE，結(jié)合對頂角相等可得，根據(jù)等角對等邊可得FE=FC，設(shè)FE=FC=x，則BF=4+x，根據(jù)直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方列方程，解方程求出x的值，即可求出、OB的值，根據(jù)OE=BE?OB即可求解．【詳解】解：（1）延長交⊙O于點F，連接CF，如圖：

∵是⊙O的直徑，∴∠BCF=90°，∴，∵CD⊥AB，∴∠BDC=∠ADC=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∵BC=∴，∴，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABC?∠FBC=∠ACB?∠ACD，∴∠DBE=∠DCB，故答案為：=．（2）解：∵∠BDC=90∴∠DBE+∠DEB=90°，∵∠FCB=90°，∴∠FCE+∠DCB=90°，由（1）得：∠DBE=∠DCB，∴∠DEB=∠FCE，∵∠DEB=∠FEC，∴，∴FE=FC，設(shè)FE=FC=x，則BF=BE+EF=4+x，在Rt△CBF中，即x2解得：x=2，∴BF=4+2=6，∴OB=1∴，∴OE的長為1，故答案為：1．【點睛】本題考查了圓周角定理，弧、弦、圓心角的關(guān)系，等角對等邊，等邊對等角，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)等；熟練掌握圓的相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．壓軸題型四用切線解決問題例3.（22-23九年級上·廣東湛江·期中）已知：如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，OC與⊙O相交于點D，連接AD并延長與BC相交于點E，且點F為的中點，，BC=3cm．(1)求⊙O的半徑；(2)求證：FD與⊙O相切．【答案】(1)1(2)見解析【分析】（1）先設(shè)⊙O的半徑為cm，由于AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，根據(jù)切線性質(zhì)可知AB⊥BC，在Rt△OBC中，利用勾股定理可得r+1（2）連接OF，由于OA=OB，BF=EF，可知OF是△BAE的中位線，那么OF∥AE，于是∠A=∠BOF，根據(jù)三角形外角性質(zhì)可得∠BOD=2∠A，易證∠DOF=∠BOF，而OD=OB，OF=OF，利用SAS可證△OBF≌△ODF，那么∠ODF=∠OBF=90°，于是OD⊥DF，從而可證FD是⊙O的切線．【詳解】（1）解：（1）設(shè)⊙O的半徑為cm，是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，∴AB⊥BC，在Rt△OBC中，∴r+1解得r=1，∴⊙O的半徑為1cm（2）證明：連接OF，∵OA=OB，BF=EF，∴OF是△BAE的中位線，∴OF∥AE，∴∠A=∠BOF，又∵∠BOD=2∠A，∴∠DOF=∠BOF，在△OBF和△ODF中，OB=OD∠DOF=∠BOF∴△OBF≌△ODF(SAS∴∠ODF=∠OBF=90°，即OD⊥DF，與⊙O相切．【點睛】本題考查了切線的判定與性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、中位線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證明△OBF≌△ODF．鞏固訓練1．（2024·湖北恩施·模擬預測）如圖，已知四邊形ABCD中，∠DAB=∠ABC=90°，點O是AB的中點，∠COD=90°，以AB為直徑作半圓⊙O．(1)求證：CD是⊙O的切線；(2)若OC與⊙O的交點M是OC的中點，⊙O的半徑為2，求CD的長．【答案】(1)見解析(2)CD=【分析】本題考查切線的判定與性質(zhì)，解直角三角形，掌握切線的判定方法，直角三角形的邊角關(guān)系以及等邊三角形的判定和性質(zhì)是正確解答的關(guān)鍵．（1）根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及切線的判定方法進行解答即可；（2）根據(jù)直角三角形的斜邊中線等于斜邊一半可得，進而可得△BOM是等邊三角形，再根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系進行計算即可．【詳解】（1）證明：如圖，延長DO交CB的延長線于點E，過點O作OF⊥CD，垂足為F，∵點O是AB的中點，∴AO=BO，又，∠AOD=∠BOE，∴△ADO≌△BEOASA∴DO=EO，∵∠COD=90°，即CO⊥DE，∴∠DCO=∠BCO，∴OF=OB，即點F在⊙O上，∴CD是⊙O的切線；（2）解：如圖，連接BM，∵點M是OC的中點，∠OBC=90°，∴，∴△BOM是等邊三角形，，∵⊙O的半徑OB=2，，在Rt△COD中，OC=4，．2．（2024九年級下·云南昆明·專題練習）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交AC于點D（點D與點A不重合），交BC于點E，過點E作FG⊥AC于點F，交AB的延長線于點G．(1)求證：FG是⊙O的切線；(2)如圖1，若CF=1，BE=3；求⊙O的半徑；(3)如圖2，連接AE，OD，交點為H，當AH=EH=m時，求線段EG的長．【答案】(1)見解析(2)9(3)【分析】（1）連接OE，AE，由圓周角定理可得∠AEB=90°，即AE⊥BC，再根據(jù)等腰三角形性質(zhì)可得，由半徑相等和等邊對頂角得出∠BAE=∠AEO，推出∠CAE=∠AEO，根據(jù)平行線的判定可得OE∥AC，由EG⊥AC得出EG⊥半徑OE，再運用切線的判定即可證得結(jié)論；（2）先證得△CEF∽△CAE，得出CECF=AC（3）先證得△AOD是等邊三角形，可得∠ADO=∠AOD=∠DAO=60°，∠DAE=∠OA