專(zhuān)題4.8 三角形章末十大題型總結(jié)（培優(yōu)篇）（北師大版）（解析版）

第=1+1頁(yè)共sectionpages45頁(yè)專(zhuān)題4.8三角形章末十大題型總結(jié)（培優(yōu)篇）【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1確定第三邊的取值范圍】 1【題型2三角形的三邊關(guān)系的應(yīng)用】 3【題型3利用三角形的中線求長(zhǎng)度】 5【題型4三角形的高與面積有關(guān)的計(jì)算】 9【題型5利用全等三角形的判定與性質(zhì)證明線段或角度相等】 14【題型6利用全等三角形的判定與性質(zhì)求線段長(zhǎng)度或角的度數(shù)】 19【題型7利用全等三角形的判定與性質(zhì)確定線段之間的位置關(guān)系】 24【題型8全等三角形在網(wǎng)格中的運(yùn)用】 29【題型9全等三角形在新定義中的運(yùn)用】 32【題型10全等三角形的實(shí)際應(yīng)用】 41【題型1確定第三邊的取值范圍】【例1】（2023春·江蘇無(wú)錫·七年級(jí)統(tǒng)考期末）一個(gè)三角形的3邊長(zhǎng)分別是xcm、3x?3cm，x+2cm，它的周長(zhǎng)不超過(guò)39cm．則x的取值范圍是（

）A．53<x<5 B．5<x≤8 C．53【答案】A【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系和周長(zhǎng)不超過(guò)39cm可列出不等式組求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意，可得{x+(3x?3)>x+2∴53故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形的三邊關(guān)系和解不等式組，根據(jù)條件列出不等式組求解是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2023春·江蘇鹽城·七年級(jí)統(tǒng)考期中）已知a，b，c為△ABC的三邊長(zhǎng)，b，c滿足b?2+(c?3)2=0，且a為方程a?5=1【答案】9【分析】利用絕對(duì)值的性質(zhì)以及偶次方的性質(zhì)得出b=2、c=3的值，再解絕對(duì)值方程可得a=6或a=4，進(jìn)而利用三角形三邊關(guān)系得出a的值，進(jìn)而求出△ABC的周長(zhǎng)．【詳解】解：∵b?2+∴b?2=0且c?3=0，∴b=2、c=3，∵a為方程a?5=1∴a=6或a=4，又2+3<6，∴a=4，則△ABC的周長(zhǎng)為2+3+4=9，故答案為：9．【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形三邊關(guān)系以及絕對(duì)值的性質(zhì)和偶次方的性質(zhì)，得出a的值是解題關(guān)鍵．【變式1-2】（2023春·河南鄭州·七年級(jí)鄭州中學(xué)校聯(lián)考期中）有長(zhǎng)度分別是4cm、5cm、8cm和9cm的小棒各一根，任選其中三根首尾相接圍成三角形，可以圍成不同形狀的三角形的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系逐一判斷即可．【詳解】解：若選取長(zhǎng)度分別是4cm、5cm、8cm的小棒，4+5>8，故能?chē)扇切?；若選取長(zhǎng)度分別是4cm、5cm、9cm的小棒，4+5=9，故不能?chē)扇切?；若選取長(zhǎng)度分別是5cm、8cm、9cm的小棒，5+8>9，故能?chē)扇切?；若選取長(zhǎng)度分別是4cm、8cm、9cm的小棒，4+8>9，故能?chē)扇切危C上所述，可以圍成3種不同形狀的三角形．故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了構(gòu)成三角形的條件，掌握三角形的三邊關(guān)系是解決此題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2023春·河南周口·七年級(jí)統(tǒng)考期末）三角形的三邊長(zhǎng)分別為2，2x?1，5，則x的取值范圍是．【答案】2<x<4【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系：①任意兩邊之和大于第三邊；②任意兩邊之差小于第三邊，即可得出第三邊的取值范圍，進(jìn)而求出x的取值范圍．【詳解】解：∵三角形的兩邊長(zhǎng)分別為2和5，∴第三邊2x?1的取值范圍是：5?2<2x?1<5+2，解得：2<x<4．故答案為：2<x<4．【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形三邊關(guān)系和解不等式組，熟練掌握三角形的三邊關(guān)系定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【題型2三角形的三邊關(guān)系的應(yīng)用】【例2】（2023春·廣東深圳·七年級(jí)深圳中學(xué)校考期末）如圖，用五個(gè)螺絲將五條不可彎曲的木條圍成一個(gè)木框，不計(jì)螺絲大小，其中相鄰兩螺絲的距離依次為1、2、3、4、5，且相鄰兩木條的夾角均可調(diào)整．若調(diào)整木條的夾角時(shí)不破壞此木框，則任兩螺絲的距離之最大值為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】若兩個(gè)螺絲的距離最大，則此時(shí)這個(gè)木框的形狀為三角形，可根據(jù)三條線段的長(zhǎng)來(lái)判斷三角形的最長(zhǎng)邊時(shí)的組合，然后分別找出這些三角形的最長(zhǎng)邊即可．【詳解】解：相鄰兩螺絲的距離依次為1、2、3、4、5；①選4+5作為三角形的一邊、另外的線段構(gòu)成三角形另外兩邊，而1+2+3=②選3+4作為三角形的一邊，另外的線段構(gòu)成三角形另外兩邊為2和6或3和5，而1+2+5=8>3+4，6?2<7，此時(shí)最大邊長(zhǎng)為7；綜上所述，任兩螺絲的距離之最大值為7．故選：B．【點(diǎn)睛】此題實(shí)際考查的是三角形的三邊關(guān)系定理，能夠正確的判斷出調(diào)整角度后三角形木框的組合方法是解答的關(guān)鍵．【變式2-1】（2023春·山東濟(jì)南·七年級(jí)統(tǒng)考期末）小明家和小亮家到學(xué)校的直線距離分別是5km和3km，那么小明到小亮家的直線距離不可能是（）A．1km B．2km C．3km D．8km【答案】A【分析】根據(jù)小明家和小亮家與學(xué)校共線，小明家和小亮家與學(xué)校不共線，兩種情況進(jìn)行求解即可．【詳解】解：由題意知，當(dāng)小明家和小亮家與學(xué)校共線，小明家和小亮家的直線距離為5?3=2（km）或5+3=8（km）；當(dāng)小明家和小亮家與學(xué)校不共線，由三角形三邊關(guān)系可知，小明家和小亮家的直線距離大于2km，小于8km，綜上，小明家和小亮家的直線距離不可能是1km，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)加減運(yùn)算的應(yīng)用，三角形三邊關(guān)系．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握．【變式2-2】（2023秋·新疆和田·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已經(jīng)有兩根木條，長(zhǎng)分別是2cm和6cm，現(xiàn)要用3根木條組成三角形，還要從下面4根木條中選一根，可以是（

）A．4cm B．7cm C．8cm D．9cm【答案】B【分析】設(shè)第三根木條的長(zhǎng)度為xcm，根據(jù)三角形三邊之間的關(guān)系列不等式組求出x【詳解】設(shè)第三根木條的長(zhǎng)度為xcm6?2<x<6+2，解得4<x<8.故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形三邊之間的關(guān)系，熟練掌握三角形三邊之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.【變式2-3】（2023春·北京西城·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)(不含端點(diǎn)B、C).若線段AD長(zhǎng)為正整數(shù)，則點(diǎn)D的個(gè)數(shù)共有（

）A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)【答案】C【分析】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理，關(guān)鍵是正確利用勾股定理計(jì)算出AD的最小值，然后求出AD的取值范圍．首先過(guò)A作AE⊥BC，當(dāng)D與E重合時(shí)，AD最短，首先利用等腰三角形的性質(zhì)可得BE=EC，進(jìn)而可得BE的長(zhǎng)，利用勾股定理計(jì)算出AE長(zhǎng)，然后可得AD的取值范圍，進(jìn)而可得答案．【詳解】解：過(guò)A作AE⊥BC，∵AB=AC，∴EC=BE=1∴AE∴AE=3，∵D是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)(不含端點(diǎn)B、C)．∴3≤AD<5，∵線段AD長(zhǎng)為正整數(shù)，∴AD的可以有三條，長(zhǎng)為4，3，4，∴點(diǎn)D的個(gè)數(shù)共有3個(gè)，故選C．【題型3利用三角形的中線求長(zhǎng)度】【例3】（2023春·云南·七年級(jí)云南師大附中?？计谀┮阎?，已知ΔABC的周長(zhǎng)為33cm，AD是BC邊上的中線，AB=3（1）如圖，當(dāng)AC=10cm時(shí)，求BD的長(zhǎng)．（2）若AC=12cm，能否求出DC的長(zhǎng)？為什么？【答案】（1）4cm；（2）不能，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)三角形中線的性質(zhì)解答即可；（2）根據(jù)三角形周長(zhǎng)和邊的關(guān)系解答即可．【詳解】（1）∵AB=32AC∴AB=15cm，又∵ΔABC的周長(zhǎng)是33cm，∴BC=8cm，∵AD是BC邊上的中線，∴BD=1（2）不能，理由如下：∵AB=32AC∴AB=18cm，又∵ΔABC的周長(zhǎng)是33cm，∴BC=3cm，∵AC+BC=15<AB=18，∴不能構(gòu)成三角形ABC，則不能求出DC的長(zhǎng)．【點(diǎn)睛】此題考查三角形的中線、高、角平分線，關(guān)鍵是根據(jù)三角形中線的性質(zhì)解答．【變式3-1】（2023秋·全國(guó)·七年級(jí)期中）在△ABC中，AD是BC邊上的中線，△ADC的周長(zhǎng)比△ABD的周長(zhǎng)多3，AB與AC的和為13，則AC的長(zhǎng)為（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【分析】根據(jù)三角形的中線的定義得到BD=DC，根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式得到AC-AB=3，根據(jù)題意列出方程組，解方程組得到答案．【詳解】解：∵AD是BC邊上的中線，∴BD＝DC，由題意得，（AC+CD+AD）﹣（AB+BD﹣AD）＝3，整理得，AC﹣AB＝3，則AC?AB＝3AC+AB＝13解得，AC＝8AB＝5故選B．【點(diǎn)睛】此題考查三角形的中線的概念，解題關(guān)鍵在于掌握三角形一邊的中點(diǎn)與此邊所對(duì)頂點(diǎn)的連線叫做三角形的中線．【變式3-2】（2023秋·山東德州·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，△ABC的周長(zhǎng)為24cm，AD，BE分別是BC，AC邊上的中線，AD，BE相交于點(diǎn)O，CO的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)F，且BD＝4cm，AE＝3.5cm，求AF的長(zhǎng)．【答案】AF＝4.5(cm)．【分析】此題主要考查三角形的中線，利用三角形的周長(zhǎng)求出AB的長(zhǎng)度，然后利用中線便可解出答案.【詳解】∵AD，BE是△ABC的中線，∴BC＝2BD，AC＝2AE，CF是△ABC的中線，∴AF＝AB.∵BD＝4cm，AE＝3.5cm，∴BC＝8cm，AC＝7cm.∵△ABC的周長(zhǎng)是24cm，∴AB＝24－(BC＋AC)＝24－(8＋7)＝9(cm)，∴AF＝×9＝4.5(cm)．【點(diǎn)睛】此題主要考查三角形的中線特點(diǎn)，需熟練運(yùn)用三角形的各種定理來(lái)解題.【變式3-3】（2023秋·黑龍江大慶·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知AD、AE分別是△ABC的高和中線AB=9cm,AC=12cm，BC=15(1)△ABE的面積；(2)AD的長(zhǎng)度；(3)△ACE與△ABE的周長(zhǎng)的差．【答案】(1)27cm(2)365(3)3cm【分析】（1）先根據(jù)三角形面積公式計(jì)算出SΔABC=54cm2，然后利用AE（2）利用面積法得到12AD?BC=1（3）由△ACE的周長(zhǎng)－△ABE的周長(zhǎng)=AC?AB，即可求得答案．【詳解】（1）解：∵△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，∴S∵AE是BC上的中線，∴BE=EC，∴S∴S（2）解：∵∠BAC=90°，AD是∴1∴AD=AB?ACBC=（3）解：∵AE是BC邊上的中線，∴BE=CE，∴△ACE的周長(zhǎng)－△ABE的周長(zhǎng)=AC+AE+CE?(AB+BE+AE)=AC?AB=12?9=3(cm即△ACE和△ABE的周長(zhǎng)差是3cm【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積公式，以及三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)與公式是解決此題的關(guān)鍵．【題型4三角形的高與面積有關(guān)的計(jì)算】【例4】（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)哈爾濱市虹橋初級(jí)中學(xué)校?？计谀┰凇鰽BC中，AD是高，AD=6，CD=1，若△ABC的面積為12，則線段BD的長(zhǎng)度為．【答案】3或5【分析】根據(jù)題意分AD在△ABC內(nèi)部和AD在△ABC外部?jī)煞N情況進(jìn)行討論，根據(jù)三角形的面積公式求得BC長(zhǎng)度，再根據(jù)邊之間的和差關(guān)系求解即可．【詳解】當(dāng)AD在△ABC內(nèi)部時(shí)，如下圖

根據(jù)題意可知：S△ABC=12S解得：BC=4∵CD=1∴BD=BC?CD=4?1=3當(dāng)AD在△ABC外部時(shí)，如下圖

根據(jù)題意可知S△ABC=12S解得：BC=4∴BD=BC+CD=4+1=5故答案為：3或5．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的面積，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出相關(guān)的圖形（AD在△ABC內(nèi)部和外部)，數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解．【變式4-1】（2023春·江蘇常州·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知△ABC．(1)畫(huà)出△ABC的三條高AD、(2)在（1）的條件下，若AB=6，BC=3，CF=2，則AD=______．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)4【分析】（1）根據(jù)三角形的高線的畫(huà)法畫(huà)出AD、（2）根據(jù)面積相等可得出12AB?CF=1【詳解】（1）如圖，AD、（2）∵CF是AB邊上的高，AD是BC邊上的高，∴S△ABC∵AB=6，BC=3，CF=2，∴12解得，AD=4，故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形高的畫(huà)法以及與高有關(guān)的面積計(jì)算，正確識(shí)圖是解答本題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2023春·上海寶山·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，按下列要求畫(huà)圖并填空：

(1)畫(huà)△ABC邊AB上的高CD；(2)E在CD上，連接BE，使得S△ABC=S(3)已知BD=3，CD=4，DE=1，那么點(diǎn)C到直線AB的距離為_(kāi)______，△ADC的面積為_(kāi)______．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)4，3【分析】（1）根據(jù)畫(huà)高的方法作圖即可；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)只需要令A(yù)E∥BC即可得到S△ABC（3）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的定義即可求出點(diǎn)C到直線AB的距離；先求出S△BDE=32，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到【詳解】（1）解：如圖所示，CD即為所求；

（2）解：如圖所示，點(diǎn)E即為所求；

（3）解：∵CD⊥AB，CD=4，∴點(diǎn)C到直線AB的距離為4；∵BD=3，DE=1，∴S△BDE∵AE∥BC，∴S△ABC∴S△ACD【點(diǎn)睛】本題主要考查了畫(huà)三角形的高，畫(huà)平行線，三角形面積，平行線的性質(zhì)等等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)哈爾濱市蕭紅中學(xué)?？计谥校┤鐖D是由邊長(zhǎng)都是1的小正方形組成的網(wǎng)格．圖中各點(diǎn)均在格點(diǎn)上，請(qǐng)按以下要求畫(huà)圖．①所畫(huà)頂點(diǎn)必須在格點(diǎn)上；②標(biāo)清指定的字母；③不得出格．(1)在圖甲中面出△ABC中BC邊上的高AD；(2)在圖乙中畫(huà)出一個(gè)Rt△EBC，且△EBC的面積是圖甲中△ABC(3)在圖丙中畫(huà)出一個(gè)銳角三角形△MBC，且面積為15．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)見(jiàn)解析【分析】（1）延長(zhǎng)CB，過(guò)點(diǎn)A垂直CB的延長(zhǎng)線的線段即所求；（2）根據(jù)S△ABC=5，可得S△EBC=10，即可求出△EBC中BC的高，即可確定點(diǎn)E，再分別連接（3）根據(jù)銳角三角形△MBC的面積可求△MBC中BC上的高為6，即可確定點(diǎn)M，再連接MB、MC即可．【詳解】（1）解：如圖，線段AD即為△ABC中BC邊上的高；（2）解：由（1）可得：S△ABC=5，∵△EBC的面積是圖甲中△ABC面積的2倍，∴S△EBC=2×5=10，如圖，（3）解：∵銳角三角形△MBC的面積為15，BC=5，∴△MBC中BC上的高為：15×25∴點(diǎn)M距離BC邊為6，如圖，△MBC即所求．【點(diǎn)睛】本題考查網(wǎng)格畫(huà)三角形的高，三角形高的有關(guān)計(jì)算及利用網(wǎng)格求三角形的面積，熟練掌握三角形面積求出三角形的高是解題的關(guān)鍵．【題型5利用全等三角形的判定與性質(zhì)證明線段或角度相等】【例5】（2023春·四川達(dá)州·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，△ABC和△DCB中，AB=DC，∠ABC=∠DCB，AC和DB交于點(diǎn)M．

(1)△ABC與△DCB全等嗎？為什么？(2)過(guò)點(diǎn)C作CE∥BD，過(guò)點(diǎn)B作BF∥AC，試判斷【答案】(1)△ABC≌△DCB，理由見(jiàn)解析(2)∠DCE=∠ABF，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)SAS，直接可得△ABC≌△DCB；（2）根據(jù)△ABC≌△DCB，可得∠A=∠D，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠DCE=∠D,∠ABF=∠A，等量代換即可得出結(jié)論．【詳解】（1）△ABC≌△DCB，理由如下，在△ABC和△DCB中，AB=DC∠ABC=∠DCB∴△ABC≌△DCB（2）∵CE∥BD，∴∠DCE=∠D,∠ABF=∠A，∵△ABC≌△DCB，∴∠A=∠D，∴∠DCE=∠ABF．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，平行線的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，BD,CE都是△ABC的角平分線，BD交CE于點(diǎn)F，其中∠A=60°．(1)求∠BFC的度數(shù)；(2)求證：DF=EF.【答案】(1)120°(2)見(jiàn)解析【分析】1首先利用三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC+∠ACB的度數(shù)，結(jié)合角平分線的定義得到∠DBC+∠ECB的度數(shù)；再次利用三角形內(nèi)角和定理可求出∠BFC的度數(shù)；2結(jié)合1根據(jù)平角定義得到∠BFE=∠CFD=60°.在BC上截取BG=BE，連接GF，利用SAS可證得△BFE與△BFG全等，則EF=GF，∠BFE=∠BFG=60°；再利用ASA可證得△CFG與△CFD全等，則GF=DF，至此即可證得結(jié)論．【詳解】（1）解：∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=180°?60°=120°，∵BD，CE分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，∴∠DBC+∠ECB=1∴∠BFC=180°?60°=120°；（2）證明：如圖，在BC上截取BG=BE，連接GF，∵∠BFC=120°，∴∠BFE=∠CFD=60°，∵BF=BF，BE=BG，∠EBF=∠GBF，∴△BFE≌△BFGSAS∴∠BFE=∠BFG=60°，F(xiàn)E=FG，∴∠CFG=60°，∵∠CFG=∠CFD=60°，CF=CF，∠FCG=∠FCD，∴△CFG≌△CFDASA∴FG=FD，∴DF=EF．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，得到△BFE≌△BFG是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2023春·廣西北?！て吣昙?jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)P是線段AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CP交CP延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CP于點(diǎn)F．

(1)求證：△ACE≌△CBF；(2)線段AE、BF、EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)BF=EF+AE，證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用垂線和余角，得出∠E=∠BFC=90°，∠CAE=∠BCF，再利用“AAS”，即可證明△ACE≌△CBF；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可知，AE=CF，CE=BF，再利用CE=EF+CF，即可求出線段AE、BF、EF之間的數(shù)量關(guān)系．【詳解】（1）證明：∵∠ACB=90°，∴∠ACE+∠BCF=90°，∵AE⊥CE，BF⊥CE，∴∠E=∠BFC=90°，∴∠ACE+∠CAE=90°，∴∠CAE=∠BCF，在△ACE和△CBF中，∠AEC=∠BFC∠CAE=∠BCF∴△ACE≌△CBFAAS（2）解：BF=EF+AE，理由如下：由（1）可知△ACE≌△CBF，∴AE=CF，CE=BF，∴CE=EF+CF=EF+AE=BF，即BF=EF+AE．【點(diǎn)睛】本題考查了垂線，余角，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式5-3】（2023春·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，AB∥CD，∠BAD，∠ADC的平分線AE，DE相交于點(diǎn)(1)證明：AE⊥DE；(2)如圖2，過(guò)點(diǎn)E作直線AB，AD，DC的垂線，垂足分別為F，G，H，證明：EF=EG=EH；(3)如圖3，過(guò)點(diǎn)E的直線與AB，DC分別相交于點(diǎn)B，C（B，C在AD的同側(cè)）求證：E為線段BC的中點(diǎn)；【答案】(1)見(jiàn)詳解(2)見(jiàn)詳解(3)見(jiàn)詳解【分析】（1）根據(jù)AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，可得∠BAE=∠DAE=12∠BAD，∠ADE=∠CDE=12∠ADC，再根據(jù)（2）先證明△AEF≌△AEG，即有EF=EG，同理可證：EH=EG，則問(wèn)題得解；（3）在AD上取一點(diǎn)M，使得AM=AB，連接ME，先證明△AME≌△ABE，即有ME=BE，∠AEM=∠AEB，在（1）中已證明∠AED=90°，即有∠AEM+∠DEM=∠AED=90°，∠BEA+∠CED=180°?∠AED=90°，即可得∠DEM=∠DEC，再證明△DME≌△DCE，即有ME=CE，問(wèn)題得解．【詳解】（1）∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，∴∠BAE=∠DAE=12∠BAD∵AB∥∴∠BAD+∠ADC=180°，∴∠ADE+∠DAE=1∴∠E=180°?∠ADE+∠DAE∴AE⊥DE；（2）∵EF⊥AB，EG⊥AC，AE平分∠BAD，∴∠EFA=∠EGA=90°，∠BAE=∠DAE=1∵AE=AE，∴△AEF≌△AEG，∴EF=EG，同理可證：EH=EG，∴EF=EG=EH；（3）在AD上取一點(diǎn)M，使得AM=AB，連接ME，如圖，∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，∴∠BAE=∠DAE=12∠BAD∵AE=AE，AM=AB，∴△AME≌△ABE，∴ME=BE，∠AEM=∠AEB，在（1）中已證明∠AED=90°，∴∠AEM+∠DEM=∠AED=90°，∠BEA+∠CED=180°?∠AED=90°，∴∠DEM=∠DEC，∵∠ADE=∠CDE=12∠ADC∴△DME≌△DCE，∴ME=CE，∴ME=BE=CE，∴E為線段BC的中點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義，平行線的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．【題型6利用全等三角形的判定與性質(zhì)求線段長(zhǎng)度或角的度數(shù)】【例6】（2023春·遼寧丹東·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)B、F、C、E在直線l上（F、C之間不能直接測(cè)量），點(diǎn)A、D在l異側(cè)，測(cè)得AB=DE，AB∥DE，

(1)試說(shuō)明：△ABC≌(2)若BE=10m，BF=3m，求【答案】(1)見(jiàn)解析(2)4【分析】（1）由AB∥DE，得∠ABC=∠DEF，而AB=DE，∠A=∠D，即可根據(jù)全等三角形的判定定理“（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得BC=EF，則BF=CE=3m，即可求得FC=BE?BF?CE=4【詳解】（1）證明：∵AB∥∴∠ABC=∠DEF在△ABC和△DEF中∠A=∠D∴△ABC≌△DEFASA（2）∵△ABC≌∴BC=EF∴BC?FC=EF?FC，即BF=CE∵BE=10m，∴BF=CE=3cm∴FC=4【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)平行線的性質(zhì)證明∠ABC=∠DEF是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2023春·江蘇淮安·七年級(jí)校聯(lián)考期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn)，若CD=3，則AB=【答案】6【分析】根據(jù)題意，作出圖形，數(shù)形結(jié)合，利用三角形全等的判定與性質(zhì)得到AB=2CD即可得到答案．【詳解】解：根據(jù)題意，作出Rt△ABC，連接CD并延長(zhǎng)，使DE=CD，連接BE

∵點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn)，∴AD=BD，在△ADC和△BDE中，AD=BD∠ADC=∠EDB∴△ADC≌△BDESAS∴AC=EB,∠A=∠ABE，∴AC∥EB，∵∠ACB=90°，∴∠EBC=90°，在△ACB和△EBC中，AC=BE∠ACB=∠EBC=90°∴△ACB≌△EBCSAS∴AB=CE=2CD,∵CD=3,∴AB=2×3=6，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查利用三角形全等的判定與性質(zhì)求線段長(zhǎng)，涉及倍長(zhǎng)中線方法作輔助線、平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定與性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2023春·陜西延安·七年級(jí)陜西延安中學(xué)?？计谥校┤鐖D，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=50°，AD、BE交于點(diǎn)H，連接CH，則∠AHE的度數(shù)為°．【答案】130【分析】先判斷出△ACD≌△BCE，可得∠DAC=∠EBC，從而利用三角形內(nèi)角定理可得出∠ACB=∠AHB=50°，再由平角可得∠AHE的度數(shù)．【詳解】∵∠ACB=∠DCE，∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，CA=CB∴△ACD≌△BCE（SAS）∴∠DAC=∠EBC由三角形內(nèi)角定理可得：∠DAC+∠ACB=∠EBC+∠AHB∴∠ACB=∠AHB=50°∴∠AHE=180°?∠AHB=130°故答案為：130．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)，能求出△ACD≌△BCE是解此題的關(guān)鍵．【變式6-3】（2023春·廣東梅州·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，在四邊形ABCD中，E是邊BC的中點(diǎn)，AE平分∠BAD且∠AED=90°，若CD=2AB，AD=18，則AB=．

【答案】6【分析】方法一：在AD上截取AF，使得AB=AF，證明△ABE≌△AFE，可得BE=EF，∠BEA=∠AEF，再證明△DEF≌△DEC，得CD=DF，進(jìn)而可求出AB的長(zhǎng)；方法二：延長(zhǎng)DE、AB交于點(diǎn)G，證明△AEG≌△AED得AG=AD=18，ED=EG，再證明△BEG≌△CEDSAS得BG=CD=2AB，進(jìn)而可求出AB【詳解】方法一：在AD上截取AF，使得AB=AF

∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠FAE，∵AE=AE，∴△ABE≌△AFE∴BE=EF，∠BEA=∠AEF又∵∠BEA+∠DEC=90°，∠AEF+∠FED=90°∴∠DEC=∠FED∵E是邊BC的中點(diǎn)，∴CE=BE=FE∵ED=ED∴△DEF≌△DEC∴CD=DFAD=AB+CD=AB+2AB=3AB=18∴AB=6方法二：延長(zhǎng)DE、AB交于點(diǎn)G

∵AE平分∠BAD且∠AED=90°∴∠GAE=∠DAE,∠GEA=∠DEA=90°∵AE=AE∴△AEG≌△AED∴AG=AD=18，ED=EG∵BE=CE，∠BEG=∠DEC∴△BEG≌△CED∴BG=CD=2AB∴AG=BG+AB=AB+2AB=3AB=18∴AB=6【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解答本題的關(guān)鍵．【題型7利用全等三角形的判定與性質(zhì)確定線段之間的位置關(guān)系】【例7】（2023春·河北石家莊·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在ΔABC和ΔADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC,AD=AE，點(diǎn)C、D、E三點(diǎn)在同一直線上，連接BD交AC于點(diǎn)

(1)求證：ΔBAD≌(2)猜想BD,CE有何特殊位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)BD⊥CE，理由見(jiàn)解析．【分析】（1）由“SAS”可證△BAD≌△CAE；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得∠ACE=∠ABD，由三角形內(nèi)角和定理可求解．【詳解】（1）∵∠BAC=∠DAE=90∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，在ΔBAD和ΔAB=AC∠BAD=∠CAE∴Δ（2）猜想：BD⊥CE，理由如下：由（1）知ΔBAD≌∴BD=CE,∠ABD=∠ACE，∵AB=AC,∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45∴∠ABD+∠DBC=∠ABC=45∵∠ABD=∠ACE，∴∠ACE+∠DBC=45∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90∴∠BDC=180∴BD⊥CE．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定是本題的關(guān)鍵．【變式7-1】（2023春·江西吉安·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，BD=BC，點(diǎn)E在BC上，且BE=AC，DE=AB．(1)求證：△ABC≌△EDB；(2)判斷AC和BD的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)AC∥BD，理由見(jiàn)解析【分析】（1）運(yùn)用SSS證明即可；（2）由（1）得∠DBE=∠BCA，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行可得結(jié)論．【詳解】（1）在ΔABC和ΔBD=BCBE=AC∴ΔABC?ΔEDB（2）AC和BD的位置關(guān)系是AC∥BD，理由如下：∵Δ∴∠DBE=∠BCA，∴AC∥BD．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理是解答本題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2023春·江蘇南通·七年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，△ABC的兩條高線BD、CE，延長(zhǎng)CE到Q使CQ＝AB，在BD上截取BP＝AC，連接AP、AQ，請(qǐng)判斷AQ與AP的數(shù)量與位置關(guān)系？并證明你的結(jié)論．【答案】AP＝AQ，AP⊥AQ，見(jiàn)解析【分析】根據(jù)垂直的定義得到∠ADB＝∠AEC＝90°，得到∠ABD＝∠ACQ＝90°﹣∠BAC．推出△APB≌△QAC（SAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：AP＝AQ，AP⊥AQ，理由如下：∵CF⊥AB，BE⊥AC，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，∴∠ABD＝∠ACQ＝90°﹣∠BAC．∵BP＝AC，CQ＝AB，在△APB和△QAC中，BP=AC∠ABD=∠ACQ∴△APB≌△QAC（SAS），∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CQA，∵∠CQA+∠QAE＝90°，∴∠BAP+∠QAE＝90°．即AP⊥AQ．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，垂直定義，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是推出△APB≌△QAC，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等．【變式7-3】（2023春·甘肅隴南·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在學(xué)習(xí)全等三角形的知識(shí)時(shí)，數(shù)學(xué)興趣小組拿了兩個(gè)大小不同的等腰直角三角板進(jìn)行拼擺，并探究擺放后所構(gòu)成的圖形之間的關(guān)系，如圖1，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D=90°,AB=AC,DE=DF．(1)勤奮小組擺出如圖2所示的圖形，點(diǎn)A和點(diǎn)D重合，連接BE和CF，求證：BE=CF．(2)超越小組在勤奮小組的啟發(fā)下，把兩個(gè)三角形板按如圖3的方式擺放，點(diǎn)B，C，E在同一直線上，連接CF，他們發(fā)現(xiàn)了BE和CF之間的數(shù)量和位置關(guān)系，請(qǐng)寫(xiě)出這些關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)BE=CF，BE⊥CF，理由見(jiàn)解析．【分析】（1）證明△BAE≌△CAF，即可得證；（2）證明△BAE≌△CAF，得到∠ABE=∠ACF,BE=CF，進(jìn)而求出∠BCF=90°，得到BE⊥CF，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵∠BAC=∠EAF=90°，∴∠BAE=90°?∠EAC，∠CAF=90°?∠EAC，∴∠BAE=∠CAF．在△BAE和△CAF中，BA=CA∠BAE=CAF∴△BAE≌△CAF(SAS∴BE=CF．（2）BE=CF,BE⊥CF．理由如下：∵∠BAC=∠EAF=90°，∴∠BAE=90°+∠EAC,∠CAF=90°+∠EAC，∴∠BAE=∠CAF，在△BAE和△CAF中BA=CA∠BAE=∠CAF∴△BAE≌△CAF(SAS∴∠ABE=∠ACF,BE=CF．∵∠ABE+∠ACB=90°，∴∠ACF+∠ACB=90°，∴∠BCF=90°，∴BE⊥CF．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握全等三角形的判定方法，證明三角形全等，是解題的關(guān)鍵．【題型8全等三角形在網(wǎng)格中的運(yùn)用】【例8】（2023春·廣西崇左·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是一個(gè)3×3的正方形網(wǎng)格，則∠1+∠2+∠3+∠4=．

【答案】180°【分析】根據(jù)三角形全等求出∠1和∠4的數(shù)量關(guān)系以及∠2和∠3的數(shù)量關(guān)系，即可求出四個(gè)角之和．【詳解】解：如圖所示，在Rt△ABC中和Rt△BED中，∴△ABC≌△DBESAS∴∠4=∠BED，∵∠1+∠BED=90°，∴∠1+∠4=90°．同理可證：∠2+∠3=90°．∴∠1+∠2+∠3+∠4=90°+90°=180°．故答案為：180°．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握三角形全等的性質(zhì)以及觀察圖形分析出相等的邊長(zhǎng)和角度．【變式8-1】（2023春·河南南陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期中）在如圖所示的3×3網(wǎng)格中，△ABC是格點(diǎn)三角形（即頂點(diǎn)恰好是網(wǎng)格線的交點(diǎn)），則與△ABC有一條公共邊且全等（不含△ABC）的所有格點(diǎn)三角形的個(gè)數(shù)是（）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)找出全等三角形即可．【詳解】解：如圖所示，以BC為公共邊的全等三角形有三個(gè)分別為△A1BC，△以AB為公共邊的全等三角形有一個(gè)為△ABC∴共有4個(gè)三角形與△ABC有一條公共邊且全等．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，理解全等三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．【變式8-2】（2023春·山東青島·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，圖形的各個(gè)頂點(diǎn)都在3×3正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上．則∠1+∠2=．【答案】45°【分析】通過(guò)證明三角形全等得出∠1=∠3，再根據(jù)∠1+∠2=∠3+∠2即可得出答案．【詳解】解：如圖所示，由題意得，在Rt△ABC和Rt△EFC中，∵{AB=EF∴Rt△ABC≌Rt△EFC（SAS）∴∠3=∠1∵∠2+∠3=90°∴∠1+∠2=∠3+∠2=90°故答案為：45°【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，由證明三角形全等得出∠1=∠3是解題的關(guān)鍵．【變式8-3】（2023春·吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)長(zhǎng)春市第八十七中學(xué)?？计谀┤鐖D所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，點(diǎn)A，B，C，D均落在格點(diǎn)上，則∠BAD+∠ADC=．【答案】90°【分析】證明△DCE≌△ABD（SAS），得∠CDE=∠DAB，根據(jù)同角的余角相等和三角形的內(nèi)角和可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，設(shè)AB與CD相交于點(diǎn)F，在△DCE和△ABD中，∵{CE=BD=1∴△DCE≌△ABD（SAS），∴∠CDE=∠DAB，∵∠CDE+∠ADC=∠ADC+∠DAB=90°，∴∠AFD=90°，∴∠BAC+∠ACD=90°，故答案為：90度．【點(diǎn)睛】本題網(wǎng)格型問(wèn)題，考查了三角形全等的性質(zhì)和判定及直角三角形各角的關(guān)系，本題構(gòu)建全等三角形是關(guān)鍵．【題型9全等三角形在新定義中的運(yùn)用】【例9】（2023春·河北滄州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）我們知道：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．類(lèi)似地，我們定義：至少有一組對(duì)邊相等的四邊形叫做等對(duì)邊四邊形．（1）請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)你學(xué)過(guò)的特殊四邊形中是等對(duì)邊四邊形的圖形的名稱(chēng)；（2）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在AB，AC上，設(shè)CD，BE相交于點(diǎn)O，若∠A=60°，∠DCB=∠EBC=12∠A（3）在△ABC中，如果∠A是不等于60°的銳角，點(diǎn)D，E分別在AB，AC上，且∠DCB=∠EBC=1【答案】（1）平行四邊形，等腰梯形，矩形等；（2）與∠A相等的角是∠DOB（或∠EOC）；猜想四邊形BDEC是等對(duì)邊四邊形；（3）存在等對(duì)邊四邊形，是四邊形BDEC，見(jiàn)解析．【分析】（1）本題理解等對(duì)邊四邊形的圖形的定義，平行四邊形，等腰梯形，矩形就是；（2）與∠A相等的角是∠BOD（或∠COE），四邊形DBCE是等對(duì)邊四邊形；（3）作CG⊥BE于G點(diǎn)，作BF⊥CD交CD延長(zhǎng)線于F點(diǎn)，易證△BCF≌△CBG，進(jìn)而證明△BDF≌△CEG，所以BD＝CE，所以四邊形DBCE是等對(duì)邊四邊形．【詳解】解：（1）如：平行四邊形，等腰梯形，矩形等．（2）與∠A相等的角是∠BOD（或∠COE），∵∠A＝60°，∠DCB=∠EBC=1∴∠OBC＝∠OCB＝30°，∴∠BOD＝∠EOC＝∠OBC＋∠OCB＝60°，∴與∠A相等的角是∠BOD（或∠EOC），猜想：四邊形BDEC是等對(duì)邊四邊形，（3）存在等對(duì)邊四邊形，是四邊形BDEC，證明：如圖作CG⊥BE于G，BF⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于F，在△BCF和△CBG中，∠DCB=∠EBC∠BFC=∠CGB∴△BCF≌△CBG（AAS），∴BF＝CG，∵∠BDF=∠ABE+∠EBC+∠DCB，∠BEC=∠ABE+∠A，∴∠BDF=∠BEC，在△BDF和△CEG中，∠BDF＝∠CEB∴△BDF≌△CEG（AAS），∴BD＝CE∴四邊形BDEC是等對(duì)邊四邊形．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是理解等對(duì)邊四邊形的定義，把證明BD＝CE的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明三角形全等的問(wèn)題．【變式9-1】（2023春·福建南平·七年級(jí)統(tǒng)考期中）定義：如圖1，在△ABC和△ADE中，AB＝AC＝AD＝AE，當(dāng)∠BAC+∠DAE＝180°時(shí)，我們稱(chēng)△ABC與△DAE互為“頂補(bǔ)等腰三角形”，△ABC的邊BC上的高線AM叫做△ADE的“頂心距”，點(diǎn)A叫做“旋補(bǔ)中心”．（1）特例感知：在圖2，圖3中，△ABC與△DAE互為“頂補(bǔ)等腰三角形”，AM是“頂心距”．①如圖2，當(dāng)∠BAC＝90°時(shí)，AM與DE之間的數(shù)量關(guān)系為AM＝DE；②如圖3，當(dāng)∠BAC＝120°，ED＝6時(shí)，AM的長(zhǎng)為．（2）猜想論證：在圖1中，當(dāng)∠BAC為任意角時(shí)，猜想AM與DE之間的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．【答案】（1）①AM＝12DE；②3；（2）AM＝1【分析】（1）①由等腰直角三角形的性質(zhì)可得AM=BM=CM=12BC，由全等三角形性質(zhì)可得BC=DE，即可求解；②由等邊三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可求解；（2）過(guò)點(diǎn)A作AN⊥ED于N，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠DAN=12∠DAE，ND=1【詳解】（1）①∵∠BAC+∠DAE＝180°，∠BAC＝90°；∴∠EAD=90°∵AB=AC，∠BAC＝90°∴△ABC為等腰直角三角形∵AM⊥BC∴AM=12在△ABC與△AED中，∵{∴△ABC≌△AED（SAS），∴BC=ED∴AM＝12②∵∠BAC+∠DAE＝180°，∠BAC＝120°；∴∠EAD=60°∵AD=AE∴△AED為等邊三角形即：ED=AE=6∴AB=AC=AE=6∵∠BAC＝120°，AB=AC，AM⊥BC∴∠ABM=30°∴AM＝12（2）猜想：結(jié)論AM＝12理由如下：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AN⊥ED于N∵AE＝AD，AN⊥ED∴∠DAN＝12∠DAE，ND＝1同理可得：∠CAM＝12∵∠DAE+∠CAB＝180°，∴∠DAN+∠CAM＝90°，∵∠CAM+∠C＝90°∴∠DAN＝∠C，∵AM⊥BC∴∠AMC＝∠AND＝90°在△AND與△AMC中，{∴△AND≌△AMC（AAS），∴ND＝AM∴AM＝12【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，理解題意，運(yùn)用“頂補(bǔ)等腰三角形”的定義解決問(wèn)題是本題的關(guān)鍵．【變式9-2】（2023春·四川遂寧·七年級(jí)統(tǒng)考期末）新定義：頂角相等且頂角頂點(diǎn)重合的兩個(gè)等腰三角形互為“兄弟三角形”．(1)如圖①中，若△ABC和△ADE互為“兄弟三角形”，AB=AC，AD=AE．則①∠BAD___________∠CAE（填>、＜或=）②連接線段BD和CE，則BD___________CE（填>、＜或=）(2)如圖②，△ABC和△ADE互為“兄弟三角形”，AB=AC，AD=AE，若點(diǎn)D、點(diǎn)E均在△ABC外，連接BD、CE交于點(diǎn)M，連接AM，則線段BD、CE還滿足以上數(shù)量關(guān)系嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】(1)①=，②=(2)BD=CE，見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)“兄弟三角形”的定義可知兩個(gè)三角形的頂角相等，利用角的和差即可得到①的結(jié)論；再結(jié)合“SAS”即可得到△BAD≌△CAE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求解；（2）沿用（1）的思路，利用角的和差得到∠BAD=∠CAE，再結(jié)合“SAS”即可得到△BAD≌【詳解】（1）①∠BAD=∠CAE；∵△ABC和△ADE互為“兄弟三角形”，AB=AC，AD=AE，∴∠BAC=∠DAE，∴∠BAC?∠DAC=∠DAE?∠DAC，即∠BAD=∠CAE；②BD=CE；在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌∴BD=CE．（2）滿足以上關(guān)系證明：如圖②，∵△ABC和△ADE互為“兄弟三角形”，∴∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，即∠CAE=∠BAD，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌∴BD=CE．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)與判定，根據(jù)題目信息識(shí)別出來(lái)全等三角形是解題的關(guān)鍵．【變式9-3】（2023春·山東淄博·七年級(jí)統(tǒng)考期中）根據(jù)全等圖形的定義，我們把能夠完全重合（即四個(gè)內(nèi)角、四條邊分別對(duì)應(yīng)相等）的四邊形叫做全等四邊形．請(qǐng)借助三角形全等的知識(shí)，解決有關(guān)四邊形全等的問(wèn)題．如圖，已知，四邊形ABCD和四邊形ABCD中，AB=AB，BC=BC，B=B，C=C，現(xiàn)在只需補(bǔ)充一個(gè)條件，就可得四邊形ABCD≌四邊形ABCD．下列四個(gè)條件：①A=A；②D=D；③AD=AD；④CD=CD；（1）其中，符合要求的條件是．（直接寫(xiě)出編號(hào)）（2）選擇（1）中的一個(gè)條件，證明四邊形ABCD≌四邊形ABCD．【答案】（1）①②④；（2）選④，證明見(jiàn)解析【分析】（1）連接AC、A′C′，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論；（2）連接AC、A′C′，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【詳解】（1）符合要求的條件是①②④，當(dāng)選擇①A=A時(shí)，證明：連接AC、AC，在△ABC與△ABC中，{AB=AB∴△ABC≌△ABC(SAS)，∴AC=AC，ACB=ACB，BAC=B'A'C'，∵BCD=BCD，∴BCDACB=BCDACB，∴ACD=ACD，∵BAD=BAD，∴BADBAC=BADBAC，∴DAC=DAC，在△ACD和△ACD中，{∠DAC=∠DAC∴△ACD≌△ACD(ASA)，∴D=D'，DC=DC，DA=DA，∴四邊形ABCD和四邊形ABCD中，AB=AB，BC=BC，AD=AD，DC=DC，B=B，BCD=BCD，D=D，BAD=BAD，∴四邊形ABCD≌四邊形ABCD；當(dāng)選擇②D=D時(shí)，證明：同理得到AC=AC，ACD=ACD，∵D=D，在△ACD和△ACD中，{∠D=∠D∴△ACD≌△ACD(AAS)，∴D=D'，DC=DC，DA=DA，∴四邊形ABCD和四邊形ABCD中，AB=AB，BC=BC，AD=AD，DC=DC，B=B，BCD=BCD，D=D，BAD=BAD，∴四邊形ABCD≌四邊形ABCD；當(dāng)選擇③AD=AD時(shí)，在△ACD和△ACD中，AC=AC，ACD=ACD，AD=AD，不符合全等的條件，不能得到△ACD≌△ACD；（2）選④CD=CD，證明：連接AC、AC，在△ABC與△ABC中，{AB=AB∴△ABC≌△ABC(SAS)，∴AC=AC，ACB=ACB，BAC=B'A'C'，∵BCD=BCD，∴BCDACB=BCDACB，∴ACD=ACD，在△ACD和△ACD中，{AC=AC∴△ACD≌△ACD(SAS)，∴D=D'，DAC=DAC，DA=DA，∴BACDAC=BACDAC，即BAD=BAD，∴四邊形ABCD和四邊形ABCD中，AB=AB，BC=BC，AD=AD，DC=DC，B=B，BCD=BCD，D=D，BAD=BAD，∴四邊形ABCD≌四邊形ABCD．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的全等，全等三角形的判定和性質(zhì)，多邊形的全等可以通過(guò)作輔助線轉(zhuǎn)化為證明三角形全等問(wèn)題．關(guān)鍵是掌握判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．【題型10全等三角形的實(shí)際應(yīng)用】【例10】（2023春·遼寧丹東·七年級(jí)統(tǒng)考期末）小明沿一段筆直的人行道行走，邊走邊欣賞風(fēng)景，在由C走到D的過(guò)程中，通過(guò)隔離帶的空隙P，剛好瀏覽完對(duì)面人行道宣傳墻上的一條標(biāo)語(yǔ)，具體信息如下：如圖，AB∥PM∥CD，相鄰兩平行線間的距離相等，AC，BD相交于P，PD⊥CD垂足為D．已知CD=165米．請(qǐng)根據(jù)上述信息求標(biāo)語(yǔ)AB的長(zhǎng)度為米．

【答案】165【分析】由AB∥CD，利用平行線的性質(zhì)可得∠ABP=∠CDP，利用ASA定理可得，△ABP≌△CDP，由全等三角形的性質(zhì)可得結(jié)果．【詳解】解：∵AB∥PM∥CD，PD⊥CD，∴PB⊥AB，∴∠ABP=∠CDP=90°，根據(jù)題意可知：相鄰兩平行線間的距離相等，∴BP=DP，在△ABP和△CDP中，∠ABP=∠CDP=90°BP=D