9.2.3總體集中趨勢的估計（教學課件）高一數(shù)學（人教A版2019必修第二冊）

高中數(shù)學教研組第九章《統(tǒng)計》9.2.3總體集中趨勢的估計人教A版2019必修二

2創(chuàng)設情境，引入課題總體集中趨勢的估計為了了解總體的情況，前面我們研究了如何通過樣本的分布規(guī)律估計總體的分布規(guī)律.但有時候，我們可能不太關心總體的分布規(guī)律，而更關注總體取值在某一方面的特征.1）對于某縣今年小麥的收成情況，我們可能會更關注該縣今年小麥的總產(chǎn)量或平均每公頃的產(chǎn)量，而不是產(chǎn)量的分布；2）對于一個國家國民的身高情況，我們可能會更關注身高的平均數(shù)或中位數(shù)，而不是身高的分布；等等.3創(chuàng)設情境，引入課題總體集中趨勢的估計

在初中的學習中我們已經(jīng)了解到，平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)等都是刻畫“中心位置”的量，它們從不同角度刻畫了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢.(1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)．(2)中位數(shù)：一組數(shù)據(jù)按大小順序排列后，處于中間位置的數(shù)．

如果個數(shù)是偶數(shù)，則取中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)．(3)平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)的和除以數(shù)據(jù)個數(shù)所得到的數(shù)．

下面我們通過具體實例進一步了解這些量的意義，探究它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，并根據(jù)樣本的集中趨勢估計總體的集中趨勢.4新知探究總體集中趨勢的估計例4.利用9.2.1節(jié)中100戶居民用戶的月均用水量的調(diào)查數(shù)據(jù)，計算樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)，并據(jù)此估計全市居民用戶月均用水量的平均數(shù)和中位數(shù).9.013.614.95.94.07.16.45.419.42.02.28.613.85.410.24.96.814.02.010.52.15.75.116.86.011.11.311.27.74.92.310.016.712.012.47.85.213.62.422.43.67.18.825.63.218.35.12.03.012.022.210.85.52.024.39.93.65.64.47.95.124.56.47.54.720.55.515.72.65.75.56.016.02.49.53.717.03.84.12.35.37.88.14.313.36.81.37.04.91.87.128.010.213.817.910.15.54.63.221.6

5新知探究總體集中趨勢的估計例4.

利用9.2.1節(jié)中100戶居民用戶的月均用水量的調(diào)查數(shù)據(jù)，計算樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)，并據(jù)此估計全市居民用戶月均用水量的平均數(shù)和中位數(shù).因為數(shù)據(jù)是抽自全市居民戶的簡單隨機樣本，所以我們可以據(jù)此估計全市居民用戶的月均用水量約為8.79ｔ，其中位數(shù)約為6.8ｔ.9.013.614.95.94.07.16.45.419.42.02.28.613.85.410.24.96.814.02.010.52.15.75.116.86.011.11.311.27.74.92.310.016.712.012.47.85.213.62.422.43.67.18.825.63.218.35.12.03.012.022.210.85.52.024.39.93.65.64.47.95.124.56.47.54.720.55.515.72.65.75.56.016.02.49.53.717.03.84.12.35.37.88.14.313.36.81.37.04.91.87.128.010.213.817.910.15.54.63.221.6解：將樣本數(shù)據(jù)按從小到大排序，得第50個數(shù)和第51個數(shù)均為6.8，由中位數(shù)的定義，可得100戶居民的月均用水量的中位數(shù)是6.8ｔ.6新知探究總體集中趨勢的估計思考：小明用統(tǒng)計軟件計算了100戶居民用水量的平均數(shù)和中位數(shù).但在錄入數(shù)據(jù)時，不小心把一個數(shù)據(jù)7.7錄成了77.請計算錄入數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)，并與真實的樣本平均數(shù)和中位數(shù)作比較.哪個量的值變化更大？你能解釋其中的原因嗎？通過簡單計算可以發(fā)現(xiàn)，平均數(shù)由原來的8.79ｔ變?yōu)?.483ｔ，中位數(shù)沒有變化，還是6.8ｔ.7概念辨析總體集中趨勢的估計小結(jié)：1）樣本平均數(shù)與每一個樣本數(shù)據(jù)有關，樣本中的任何一個數(shù)據(jù)的改變都會引起平均數(shù)的改變；2）中位數(shù)只利用了樣本數(shù)據(jù)中間位置的一個或兩個值，并未利用其他數(shù)據(jù)，所以不是任何一個樣本數(shù)據(jù)的改變都會引起中位數(shù)的改變.3）與中位數(shù)比較，平均數(shù)反映出樣本數(shù)據(jù)中的更多信息，對樣本中的極端值更加敏感.8新知探究總體集中趨勢的估計探究:平均數(shù)和中位數(shù)都描述了數(shù)據(jù)的集中趨勢，它們的大小關系和數(shù)據(jù)分布的形態(tài)有關.在圖的三種分布形態(tài)中，平均數(shù)和中位數(shù)的大小存在什么關系？9新知探究總體集中趨勢的估計一般來說，對一個單峰的頻率分布直方圖來說，1）如果直方圖的形狀是對稱的（圖1），那么平均數(shù)和中位數(shù)應該大體上差不多；2）如果直方圖在右邊“拖尾”（圖2），那么平均數(shù)大于中位數(shù)；3）如果直方圖在左邊“拖尾”（圖3），那么平均數(shù)小于中位數(shù).也就是說，和中位數(shù)相比，平均數(shù)總是在“長尾巴”那邊.10新知探究總體集中趨勢的估計例5.

某學校要定制高一年級的校服，學生根據(jù)廠家提供的參考身高選擇校服規(guī)格.據(jù)統(tǒng)計，高一年級女生需要不同規(guī)格校服的頻數(shù)如表所示.校服規(guī)格155160165170175合計頻數(shù)39641679026386如果用一個量來代表該校高一年級女生所需校服的規(guī)格，那么在中位數(shù)、平均數(shù)和眾數(shù)中，哪個量比較合適？試討論用表中的數(shù)據(jù)估計全國高一年級女生校服規(guī)格的合理性.分析：雖然校服規(guī)格是用數(shù)字表示的，但它們事實上是幾種不同的類別.對于這樣的分類數(shù)據(jù)，用眾數(shù)作為這組數(shù)據(jù)的代表比較合適.11新知探究總體集中趨勢的估計校服規(guī)格155160165170175合計頻數(shù)39641679026386解：為了更直觀地觀察數(shù)據(jù)的特征，我們用條形圖來表示表中的數(shù)據(jù).可以發(fā)現(xiàn)，選擇校服規(guī)格為“165”的女生的頻數(shù)最高，所以用眾數(shù)165作為該校高一年級女生校服的規(guī)格比較合適.由于全國各地的高一年級女生的身高存在一定的差異，所以用一個學校的數(shù)據(jù)估計全國高一年級女生的校服規(guī)格不合理.12概念辨析總體集中趨勢的估計小結(jié)：1）眾數(shù)只利用了出現(xiàn)次數(shù)最多的那個值的信息.2）眾數(shù)只能告訴我們它比其他值出現(xiàn)的次數(shù)多，但并未告訴我們它比別的數(shù)值多的程度.3）眾數(shù)只能傳遞數(shù)據(jù)中的信息的很少一部分，對極端值也不敏感.13概念辨析總體集中趨勢的估計對分類型數(shù)據(jù)（如校服規(guī)格、性別、產(chǎn)品質(zhì)量等級等）集中趨勢的描述，可以用眾數(shù).對數(shù)值型數(shù)據(jù)（如用水量、身高、收入、產(chǎn)量等）集中趨勢的描述，可以用平均數(shù)、中位數(shù)；14新知探究總體集中趨勢的估計15新知探究總體集中趨勢的估計

探究:樣本的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)可以分別作為總體的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的估計，但在某些情況下我們無法獲知原始的樣本數(shù)據(jù).

例如，我們在報紙、網(wǎng)絡上獲得的往往是已經(jīng)整理好的統(tǒng)計表或統(tǒng)計圖.這時該如何估計樣本的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)？你能以圖中頻率分布直方圖提供的信息為例，給出估計方法嗎？

在頻率分布直方圖中，我們無法知道每個組內(nèi)的數(shù)據(jù)是如何分布的.此時，通常假設它們在組內(nèi)均勻分布.這樣就可以獲得樣本的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的近似估計，進而估計總體的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù).16新知探究總體集中趨勢的估計因為樣本平均數(shù)可以表示為數(shù)據(jù)與它的頻率的乘積之和，所以在頻率分布直方圖中，

樣本平均數(shù)可以用每個小矩形底邊中點的橫坐標與小矩形的面積的乘積之和近似代替.17新知探究總體集中趨勢的估計根據(jù)中位數(shù)的意義，在樣本中，有50％的個體小于或等于中位數(shù)，也有50％的個體大于或等于中位數(shù).因此，在頻率分布直方圖中，

中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應該相等.18新知探究總體集中趨勢的估計在頻率分布直方圖中，月均用水量在區(qū)間［4.2，7.2）內(nèi)的居民最多，可以將這個區(qū)間的中點5.7作為眾數(shù)的估計值，如圖所示.眾數(shù)常用在描述分類型數(shù)據(jù)中，在這個實際問題中，眾數(shù)“5.7”讓我們知道月均用水量在區(qū)間［4.2，7.2）內(nèi)的居民用戶最多.這個信息具有實際意義.在頻率分布直方圖中，眾數(shù)是最高矩形的中點19新知探究總體集中趨勢的估計以上我們討論了平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)等特征量在刻畫一組數(shù)據(jù)的集中趨勢時的各自特點，并研究了用樣本的特征量估計總體的特征量的方法.需要注意的是，這些特征量有時也會被利用而產(chǎn)生誤導.例如，假設你到人力市場去找工作，有一個企業(yè)老板告訴你，“我們企業(yè)員工的年平均收入是20萬元”，你該如何理解這句話？20新知探究總體集中趨勢的估計這句話是真實的，但它可能描述的是差異巨大的實際情況.1）可能這個企業(yè)的工資水平普遍較高，也就是員工年收入的中位數(shù)、眾數(shù)與平均數(shù)差不多；2）可能是絕大多數(shù)員工的年收入較低（如大多數(shù)是5萬元左右），而少數(shù)員工的年收入很高，甚至達到100萬元，在這種情況下年收入的平均數(shù)就比中位數(shù)大得多.盡管在后一種情況下，用中位數(shù)或眾數(shù)比用平均數(shù)更合理些，但這個企業(yè)的老板為了招攬員工，卻用了平均數(shù).所以，我們要強調(diào)“用數(shù)據(jù)說話”，但同時又要防止被數(shù)